17.1一元二次方程的概念（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪教版）

17.1 一元二次方程的概念 知识点一 一元二次方程 ★1.一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。 ★2.一元二次方程必须同时满足的条件 (1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2 例如,都是一元二次方程，而xy-x²=0 (不满足“只含有一个未知数”),x³-4x=0 (不满足“未知数的最高次数是2”)都不是一元二次方程。 特别提醒 定义中“等号两边都是整式”是指原方程中等号两边都是整式，而不是“整理合并(整理合并是指去分母、去括号、移项和合 并同类项)”之后都是整式， (1) 定义中“只含有一个未知数(一元), 并且未知数的最高次数是2(二次)”这句话，是对将方程“整理合并”之后而言的， (2) 当方程中二次项系数含有字母时，若字母的取值范围不明确，则这个方程不一定是一元二次方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a≠0): 其中ax² 是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项 注意：（1）a≠0是一元二次方程的必要条件.（2）如果明确指出方程ax²+bx+c=0是关于x的一元二次方程，那么就隐含了a≠0这一重要条件。 特别提醒 (1)一元二次方程一般形式的特点为方程右边是0,方程左边是关 于x 的二次整式 (2)“a≠0”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分，也 是考查一元二次方程的定义的重点，但b,c可以为0. (3)要确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数与常数项，必须先将一元二次方程化为一般形式，二次项系数、一次项系数与常数项都包括它们前面的符号.如4x²-3x-2=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为4,-3,-2. (4)通常情况下，方程整理为一般形式时，将二次项系数化为正数 知识点三 一元二次方程的解(根) ★1.一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. ★2.判断一个数是不是一元二次方程的解的方法 将此数代入一元二次方程，若能使方程左右两边相等，则这个数是一元二次方程的解；反之，它不是一元二次方程的解。 题型一 一元二次方程的定义 解题技巧提炼 判断一元二次方程的方法 先看方程等号两边是不是整式，如果是整式，再移项、合并同类项，使方程等号右边为0,最后观察其是否还同时具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数是2”这两个条件，若同时具备了，则方程是一元二次方程，否则不是. 1．（23-24八年级上·上海青浦·期中）下列方程一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海静安·期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海长宁·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·上海宝山·期末）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·上海闵行·期中）写出一个关于的二次方程，这个方程可以是 . 6．（23-24八年级上·上海闵行·期末）若关于的一元二次方程的常数项为，则 ． 题型二 一元二次方程的一般形式 解题技巧提炼 (1)确定一元二次方程二次项系数、一次项系数及常数项时，首先要将方程化为一般形式. (2)指出一元二次方程的各项或各项系数时，要带上前面的符号，尤其是当系数是负数时，一定不能漏掉“-”! (3)若方程中没有一次项或常数项,则一次项系数或常数项为0. 7．（23-24八年级上·上海青浦·期中）方程化成一般式是 ． 8．（23-24八年级上·上海青浦·期中）方程的二次项系数是 ；一次项是 ． 9．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数是 ． 10．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）当m 时，方程是一元二次方程． 11．（22-23八年级上·上海·阶段练习）一元二次方程的一次项系数为 ． 题型三 一元二次方程的解 解题技巧提炼 (1)一元二次方程的根也称一元二次方程的解 (2)判断一个未知数的取值是否为一元二次方程的根，只需把未知数的值代入这个一元二次方程，若方程两边相等，则它就是一元二次方程的根，否则就不是. 12．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值是（   ） A． B． C． D．0 13．（23-24八年级上·上海青浦·期中）若，则关于的一元二次方程有一根是（    ） A．1 B． C．0 D．无法判断 14．（23-24八年级上·上海金山·期末）如果关于的一元二次方程有一个根是，则 ． 15．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知关于x的方程有一个根是，那么 ． 16．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知一元二次方程有一个根是3，那么 ． 17．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）若关于的一元二次方程方程有一个根为1，则 ． 18．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于 ． 19．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知为方程的一个根，则代数式 ． 题型四 一元二次方程的解的估算 解题技巧提炼 一元二次方程的解的估算方法：穿针引线法 注意观察表格中由正数变成负数，或者由负数变成正数的对应x的值，一元二次方程的估计值就在对应之间. 20．根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 21．已知，依据下表，它的一个解的范围是（    ） A． B． C． D．不确定 22．解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 23．根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（      ） A． B． C． D． 24．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.1 一元二次方程的概念 知识点一 一元二次方程 ★1.一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。 ★2.一元二次方程必须同时满足的条件 (1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2 例如,都是一元二次方程，而xy-x²=0 (不满足“只含有一个未知数”),x³-4x=0 (不满足“未知数的最高次数是2”)都不是一元二次方程。 特别提醒 定义中“等号两边都是整式”是指原方程中等号两边都是整式，而不是“整理合并(整理合并是指去分母、去括号、移项和合 并同类项)”之后都是整式， (1) 定义中“只含有一个未知数(一元), 并且未知数的最高次数是2(二次)”这句话，是对将方程“整理合并”之后而言的， (2) 当方程中二次项系数含有字母时，若字母的取值范围不明确，则这个方程不一定是一元二次方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a≠0): 其中ax² 是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项 注意：（1）a≠0是一元二次方程的必要条件.（2）如果明确指出方程ax²+bx+c=0是关于x的一元二次方程，那么就隐含了a≠0这一重要条件。 特别提醒 (1)一元二次方程一般形式的特点为方程右边是0,方程左边是关 于x 的二次整式 (2)“a≠0”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分，也 是考查一元二次方程的定义的重点，但b,c可以为0. (3)要确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数与常数项，必须先将一元二次方程化为一般形式，二次项系数、一次项系数与常数项都包括它们前面的符号.如4x²-3x-2=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为4,-3,-2. (4)通常情况下，方程整理为一般形式时，将二次项系数化为正数 知识点三 一元二次方程的解(根) ★1.一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. ★2.判断一个数是不是一元二次方程的解的方法 将此数代入一元二次方程，若能使方程左右两边相等，则这个数是一元二次方程的解；反之，它不是一元二次方程的解。 题型一 一元二次方程的定义 解题技巧提炼 判断一元二次方程的方法 先看方程等号两边是不是整式，如果是整式，再移项、合并同类项，使方程等号右边为0,最后观察其是否还同时具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数是2”这两个条件，若同时具备了，则方程是一元二次方程，否则不是. 1．（23-24八年级上·上海青浦·期中）下列方程一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】因为是二元方程，所以A不符合题意； 因为是一元二次方程，所以B符合题意； 因为当时不是一元二次方程，所以C不符合题意； 因为整理得，即，所以D不符合题意． 故选：B． 2．（23-24八年级上·上海静安·期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键，根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A．，是一元二次方程； B．，不是整式方程，选项B不符合题意； C．原方程可整理得：，是一元一次方程，选项C不符合题意； D．当时，选项D不符合题意． 故选：A． 3．（23-24八年级上·上海长宁·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．中含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．，不是整式方程，故本选项不符合题意； C．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 4．（23-24八年级上·上海宝山·期末）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．一元二次方程定义：“只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程”． 【详解】解：A．方程是一元二次方程，故本选项符合题意； B．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．方程，未知数的最高次数是，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：A． 5．（23-24八年级下·上海闵行·期中）写出一个关于的二次方程，这个方程可以是 . 【答案】 (答案不唯一) 【分析】本题考查了方程的次数的定义，掌握定义是关键．根据一元二次方程定义写出即可．只含有未知数的一项和非零的常数项的一元方程，一般形式是（a、b 是不为0的常数）． 【详解】解：二次方程可以是 (答案不唯一)． 故答案为： (答案不唯一)． 6．（23-24八年级上·上海闵行·期末）若关于的一元二次方程的常数项为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的有关概念，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】由得， ∵常数项为， ∴且， 解得：， 故答案为：． 题型二 一元二次方程的一般形式 解题技巧提炼 (1)确定一元二次方程二次项系数、一次项系数及常数项时，首先要将方程化为一般形式. (2)指出一元二次方程的各项或各项系数时，要带上前面的符号，尤其是当系数是负数时，一定不能漏掉“-”! (3)若方程中没有一次项或常数项,则一次项系数或常数项为0. 7．（23-24八年级上·上海青浦·期中）方程化成一般式是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，即（a，b，c是常数且）．将方程左边展开，通过移项、合并同类项化为（a，b，c是常数且）的形式即可．解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式． 【详解】 ． 故答案为：． 8．（23-24八年级上·上海青浦·期中）方程的二次项系数是 ；一次项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的相关定义，根据“一元二次方程中，a是二次项系数，是一次项系数，c是常数项”即可解答． 【详解】解：整理为：， ∴二次项系数为，一次项为， 故答案为：，． 9．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一次项系数．熟练掌握一元二次方程，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项是解题的关键． 【详解】解：由题意知，一次项系数是， 故答案为：． 10．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）当m 时，方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般式，再使二次项系数不为0即可求解． 【详解】解：将方程化为， ∵方程是一元二次方程， ∴，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的一般式中是解答的关键． 11．（22-23八年级上·上海·阶段练习）一元二次方程的一次项系数为 ． 【答案】 【分析】去括号、移项变形为一元二次方程的一般形式，从而得到一次项系数． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 所以一般形式为；一次项系数为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：，，，为常数），叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项． 题型三 一元二次方程的解 解题技巧提炼 (1)一元二次方程的根也称一元二次方程的解 (2)判断一个未知数的取值是否为一元二次方程的根，只需把未知数的值代入这个一元二次方程，若方程两边相等，则它就是一元二次方程的根，否则就不是. 12．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的定义以及方程解的定义，一元二次方程的二次项系数不为0． 根据一元二次方程有一个根为0， 得到且，即可解得答案． 【详解】解：根据题意得：且， 解得． 故选：C． 13．（23-24八年级上·上海青浦·期中）若，则关于的一元二次方程有一根是（    ） A．1 B． C．0 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据，若，可判断当时满足条件，于是判断出方程的根．解题的关键是掌握一元二次方程的解的概念． 【详解】解：∵，若， ∴当时，， ∴此方程必有一个根为． 故选：B． 14．（23-24八年级上·上海金山·期末）如果关于的一元二次方程有一个根是，则 ． 【答案】 【分析】把代入，转化为k的方程求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】把代入， 得， 解得， 故答案为：1． 15．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知关于x的方程有一个根是，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义，掌握定义“一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 【详解】把 代入方程得：， 故答案为：． 16．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知一元二次方程有一个根是3，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根，解题的关键是把代入原方程，求出的值． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根是3， ∴，解得， 故答案为：． 17．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）若关于的一元二次方程方程有一个根为1，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根据题意得出，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程方程有一个根为1， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，进而得到，再把所求式子转化为，据此整体代入求解即可． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 19．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知为方程的一个根，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，解题的关键是根据方程的根可得，整体代入即可解题． 【详解】解：∵为方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四 一元二次方程的解的估算 解题技巧提炼 一元二次方程的解的估算方法：穿针引线法 注意观察表格中由正数变成负数，或者由负数变成正数的对应x的值，一元二次方程的估计值就在对应之间. 20．根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数估算一元二次方程的近似解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本类题型的关键根据表格中的数据发现，在到之间时，随着的增大而减小，而当时，，当时，，在和之间，所以一元二次方程其中一个解的范围是 【详解】由表格可知： 在和之间，对应的在和之间， 所以一个解的取值范围为 故选 21．已知，依据下表，它的一个解的范围是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的估算，由表格可知，的值随着的增大而增大，那么在与之间必然有一个数使得代数式的值为0，据此可得答案． 【详解】解：由表格可知，的值随着的增大而增大， 当时，， 当时，， 那么在与之间必然有一个数使得代数式的值为0， ∴方程的一个解的范围为． 故选：B． 22．解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的近似根．根据表格得出近似根的取值范围． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴当在1与之间取某一个数时，可使， 即方程的其中一个解满足的范围是． 故选：B． 23．根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可得：在和之间有一个值能使的值为0，于是可判断方程一个解x的取值范围为． 【详解】解：由题意得： 当时，， 当时，， ∴方程一个解x的取值范围为． 故选：C． 24．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$