预习06讲 直线的方程（精讲+精练）-2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册） 预习06讲 直线方程（精讲+精练） ①直线的点斜式和斜截式方程（含平行、垂直问题） ②直线的两点式方程 ③直线的截距式方程（含与坐标轴围成的面积问题） ④直线的一般式方程（含平行、垂直、过定点问题） 一、直线的点斜式方程 已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.当直线与轴平行或重合时,方程可简写为.特别地,轴的方程是;当直线与轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成.特别地,轴的方程是. 二、直线的斜截式方程 已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况. 2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在轴上的截距和在轴上的截距都为0. 3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在轴上的截距,如直线的斜率,在轴上的截距为. 三、直线的两点式方程 已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程 四、直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 点斜式方程形式 适用条件 ， 五、直线的一般式方程 1.定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中 ,不同时为0，)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 2.直线的一般式方程与其它形式方程的互化 ①直线的点斜式和斜截式方程 策略方法 点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以： 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）直线l的方向向量，且过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·四川广元·开学考试）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，在y轴上的截距为，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·全国·课后作业）过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024高二下·上海·专题练习）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 7．（23-24高二上·陕西榆林·期中）直线过点，若的斜率为2，则在轴上的截距为 三、解答题 8．（2024高二·全国·专题练习）分别求出经过点，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率； (2)与x轴平行； (3)与x轴垂直． 9．（23-24高二上·陕西汉中·期末）已知两点． (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)求直线在轴上的截距． 10．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l的方程是. (1)求直线l的斜率和倾斜角； (2)求过点且与直线l平行的直线的方程. 11．（23-24高二上·河南南阳·期中）在平行四边形中，，，，点是线段的中点． (1)求直线的方程； (2)求过点且与直线垂直的直线方程． 12．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知在平面直角坐标系中，已知的三个顶点为，，，求： (1)所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程. ②直线的两点式方程 策略方法 当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0()时,不能用两点式方程表示. 【题型精练】 一、单选题 1．（2024高二·全国·专题练习）经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 2．（23-24高二上·广东广州·期中）已知的三个顶点分别为，，，则边上中线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点，，则直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、解答题 5．（2024高二·全国·专题练习）已知，在中， (1)求边的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． ③直线的截距式方程 策略方法 直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便. 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·山西太原·期末）直线在轴和轴上的截距分别为（    ） A．，2 B．，2 C．， D．， 2．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．8 C． D． 3．（23-24高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 二、填空题 5．（22-23高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）过点斜率为的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 . 6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则值是 . 三、解答题 7．（23-24高二上·浙江·期中）已知直线过点. (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线分别与轴的正半轴，轴的正半轴交于、两点，为原点.若的面积为，求直线的方程. 8．（23-24高二上·山东·期中）已知直线过点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)设为坐标原点，若与轴正半轴交于点与轴正半轴交于点，求面积的最小值． ④直线的一般式方程 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·山东青岛·开学考试）直线和直线垂直，则的值为（    ） A．1 B．0或1 C．0或-1 D．-1 5．（23-24高二下·江西·开学考试）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·上海·阶段练习）“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 7．（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）若直线与轴，轴分别交于，两点，则线段的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·湖南常德·开学考试）已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 二、填空题 9．（23-24高二下·上海·期中）直线过点，法向量为，则的一般式方程为 . 10．（23-24高二上·山东青岛·期末）直线在轴､轴上的截距分别是和，则直线的一般式直线方程为 . 11．（23-24高二上·北京·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为 . 12．（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 13．（23-24高二下·上海·期中）已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是 . 三、解答题 14．（23-24高二下·上海·期中）（1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求与直线垂直，且与两坐标轴围成的面积为的直线方程. 15．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）在中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为． (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册） 预习06讲 直线方程（精讲+精练） ①直线的点斜式和斜截式方程（含平行、垂直问题） ②直线的两点式方程 ③直线的截距式方程（含与坐标轴围成的面积问题） ④直线的一般式方程（含平行、垂直、过定点问题） 一、直线的点斜式方程 已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.当直线与轴平行或重合时,方程可简写为.特别地,轴的方程是;当直线与轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成.特别地,轴的方程是. 二、直线的斜截式方程 已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况. 2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在轴上的截距和在轴上的截距都为0. 3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在轴上的截距,如直线的斜率,在轴上的截距为. 三、直线的两点式方程 已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程 四、直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 点斜式方程形式 适用条件 ， 五、直线的一般式方程 1.定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中 ,不同时为0，)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 2.直线的一般式方程与其它形式方程的互化 ①直线的点斜式和斜截式方程 策略方法 点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以： 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）直线l的方向向量，且过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方向向量可求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求得直线的方程. 【详解】由直线l的方向向量可得直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即． 故选：D. 2．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点斜式方程求解即可. 【详解】直线在轴上的截距为，点在直线上， 又直线的斜率为,根据点斜式方程得即. 故选：B. 3．（23-24高二下·四川广元·开学考试）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知直线的斜率，根据直线的斜率求解倾斜角即可. 【详解】设直线的倾斜角为，， 由题意可知，直线的斜率为，所以，即. 故选：. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，在y轴上的截距为，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，求出斜率，利用斜截式直接写方程． 【详解】解析：直线的倾斜角为，则其斜率为，又在轴上的截距为，由直线的斜截式方程可得：. 故选：A. 5．（23-24高二上·全国·课后作业）过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先求得所求直线的斜率，再根据点斜式求得正确答案. 【详解】直线的斜率为 由垂直关系可得垂线的斜率为， 又垂线过点， 垂线方程为 故选：D 二、填空题 6．（2024高二下·上海·专题练习）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 【答案】 【分析】直接利用两点的坐标求出直线的方程，进一步转换为斜截式． 【详解】已知两点、，故直线的斜率， 则方程为：，整理得， 转化为直线的斜截式为． 故答案为：． 7．（23-24高二上·陕西榆林·期中）直线过点，若的斜率为2，则在轴上的截距为 【答案】 【分析】由点斜式写出直线的方程，求出在轴上的截距即可. 【详解】由题意知：直线的方程为，即， 所以在轴上的截距为. 故答案为：. 三、解答题 8．（2024高二·全国·专题练习）分别求出经过点，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率； (2)与x轴平行； (3)与x轴垂直． 【答案】(1)，图形见解析 (2)，图形见解析 (3)图形见解析 【分析】（1）由点斜式即可求解直线方程，进而可作出图形， （2）（3）由与坐标轴平行的直线的性质即可求解. 【详解】（1）由点斜式方程得，即 （2）与x轴平行时，， ∴，即 （3）与x轴垂直，斜率不存在，方程为 9．（23-24高二上·陕西汉中·期末）已知两点． (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)求直线在轴上的截距． 【答案】(1)， (2)1 【分析】（1）根据题意，由直线的斜率公式计算可得的值，进而分析可得答案； （2）根据题意，由（1）的结论求出直线的方程，据此分析可得答案． 【详解】（1）根据题意，直线的斜率为，倾斜角为， 由两点，得斜率， 则，即． （2）由（1）知，直线的斜率，则其方程为， 即，令，则直线在轴上的截距为1． 10．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l的方程是. (1)求直线l的斜率和倾斜角； (2)求过点且与直线l平行的直线的方程. 【答案】(1)斜率为，倾斜角是60° (2) 【分析】（1）由直线方程直接求出斜率，进而得到倾斜角； （2）利用点斜式方程求出直线方程. 【详解】（1）已知直线l：， 所以直线l的斜率，倾斜角是. （2）过点且与直线l平行的直线的斜率是， 所求直线方程为：，即. 11．（23-24高二上·河南南阳·期中）在平行四边形中，，，，点是线段的中点． (1)求直线的方程； (2)求过点且与直线垂直的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据求出点的坐标，再利用点斜式即可得解； （2）先求出点的坐标及直线的斜率，进而可求得所求直线的斜率，再根据点斜式即可得解. 【详解】（1）设点的坐标为，则， 由题意，，又， 故，解得，，， 所以点的坐标为， 则， 所以直线的方程为， 即； （2）设所求直线为， 点是线段的中点，则， 直线的斜率为， 由于直线与垂直，故直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即． 12．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知在平面直角坐标系中，已知的三个顶点为，，，求： (1)所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）利用垂直关系结合（1）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【详解】（1）由，，得直线的斜率为， 所以所在直线的方程为，即. （2）由（1）知，直线的斜率为，而， 则边上的高所在直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. ②直线的两点式方程 策略方法 当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0()时,不能用两点式方程表示. 【题型精练】 一、单选题 1．（2024高二·全国·专题练习）经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 【答案】C 【分析】利用直线方程的两点式即可得出. 【详解】当时，由两点式可得直线方程为：＝， 化为：， 对于或时上述方程也成立， 因此直线方程为：. 故选：C. 2．（23-24高二上·广东广州·期中）已知的三个顶点分别为，，，则边上中线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出线段中点坐标，由两点式写出直线方程，再化简即得. 【详解】∵，，∴边中点为，即 又，∴中线所在的直线方程为，即. 故选：D. 3．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点，，则直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知的两点求出直线的方程，将代入直线方程即可求解轴上的截距. 【详解】因为直线经过两点和，则直线方程为，化简得， 令，则直线在轴上的截距为. 故选：B. 4．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意可设直线的方程为：，则满足关系式，化简得，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，， 又点在直线上，所以，， 又三角形的面积为16，所以，， 所以，整理得； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 综上所述：满足题意的直线为：，共有4条. 故选：D. 二、解答题 5．（2024高二·全国·专题练习）已知，在中， (1)求边的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由直线的两点式方程化简得. （2）首先得中点，然后结合点坐标，由两点式化一般式即可得解. 【详解】（1）边过两点 由两点式，得，即， 故边的方程是． （2）设的中点为， 则，， 所以， 又边的中线过点， 所以，即， 所以边上的中线所在直线的方程为． ③直线的截距式方程 策略方法 直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便. 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·山西太原·期末）直线在轴和轴上的截距分别为（    ） A．，2 B．，2 C．， D．， 【答案】B 【分析】利用横纵截距的意义求解即得. 【详解】直线，当时，，当时，， 所以直线在轴和轴上的截距分别为，2. 故选：B 2．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】对直线方程，令，即可求得结果. 【详解】对方程，令，解得； 故直线在轴上的截距为. 故选：A. 3．（23-24高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故C项正确. 故选：C. 4．（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】利用截距式设直线的方程得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】设直线：，， 因为直线过点，所以，即， 所以，解得，当且仅当，即，时等号成立， 则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积. 故选：B. 二、填空题 5．（22-23高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）过点斜率为的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 . 【答案】 【分析】 根据直线的点斜式,再分别求出截距，计算面积及即得； 【详解】由题可得直线l方程为，即； 令，则,令，则, 则直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为， 故答案为: . 6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则值是 . 【答案】 【分析】根据题意，分别求得直线在轴的截距，结合三角形的面积公式，即可得到结果. 【详解】对于直线，能与两坐标轴围成三角形，则， 令，得，所以直线与轴交点坐标为， 令，得，所以直线与轴交点坐标为， 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为， 解得. 故答案为： 三、解答题 7．（23-24高二上·浙江·期中）已知直线过点. (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线分别与轴的正半轴，轴的正半轴交于、两点，为原点.若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）与直线垂直的直线的方程可设为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的方程； （2）设直线的方程为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）解：与直线垂直的直线的方程可设为， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 所以直线的方程为. （2）解：设直线的方程为， 由题意可的，解的， 所以直线的方程为，即. 8．（23-24高二上·山东·期中）已知直线过点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)设为坐标原点，若与轴正半轴交于点与轴正半轴交于点，求面积的最小值． 【答案】(1)或 (2)4 【分析】（1）因为在两坐标轴上的截距相等，所以按截距是否为，分类求解； （2）设直线斜率为，求解与坐标轴的交点，将面积表示为函数，利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）①当直线过坐标原点，直线过点． 所以方程为，即； ②当直线不过坐标原点，，设方程为， 由直线过点，将代入方程得，解得， 所以直线的方程为，即； 综上：的方程为或. （2）由题意知斜率存在且小于0，设方程为， 令，解得；令，解得； 因为，所以，， 所以面积 ， 当且仅当即时取等号， 所以面积的最小值为4. ④直线的一般式方程 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程得出斜率，再利用斜率公式计算得到倾斜角； 【详解】直线的斜率为， 因为，所以. 故选：B. 2．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由题意得与共线，为直线上的点，且不与重合，由此即可得解. 【详解】设直线上任意与点不重合的一点为，由题意有与共线， 所以，整理得的方程为， 又点在直线上，且点满足方程， 综上所述，的方程为. 故选：B. 3．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用同角三角关系可得直线l的斜率，结合直线的点斜式方程运算求解. 【详解】设直线l的倾斜角为，则，可得， 则直线l的斜率， 且直线l经过点， 所以直线l的方程为，即. 故选：A. 4．（23-24高二下·山东青岛·开学考试）直线和直线垂直，则的值为（    ） A．1 B．0或1 C．0或-1 D．-1 【答案】B 【分析】由两直线垂直直接计算. 【详解】由两直线垂直可知， 解得或， 故选：B. 5．（23-24高二下·江西·开学考试）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与（）平行，先设出所求直线方程，代入已知点的坐标，可求待定系数. 【详解】设与直线平行的直线方程是， 代入点，得，解得， 所以所求的直线方程是． 故选:A 6．（23-24高二下·上海·阶段练习）“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】首先判断两直线的位置关系，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】直线与直线相互垂直， 则，所以不管为何值，两直线垂直， 所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件. 故选：A 7．（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）若直线与轴，轴分别交于，两点，则线段的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出，两点坐标，从而求出、的中点坐标，再由点斜式计算可得. 【详解】对于直线，令可得，即， 令可得，即， 则、的中点坐标为，又， 所以线段的垂直平分线方程为，即. 故选：D 8．（23-24高二下·湖南常德·开学考试）已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】设，直线过和， 当时，直线、直线与轴围成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在. 设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，三角形是等腰三角形， 同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形， 所以，此时直线的方程为，即， 设直线与轴相交于点，如图所示，若， 则，所以直线，也即直线的斜率为， 对应方程为，即， 综上直线方程为或， 故选：D 二、填空题 9．（23-24高二下·上海·期中）直线过点，法向量为，则的一般式方程为 . 【答案】 【分析】首先得到直线的方向向量，从而得到直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程，最后化为一般式即可. 【详解】因为直线过点，法向量为， 所以直线的方向向量可取， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 10．（23-24高二上·山东青岛·期末）直线在轴､轴上的截距分别是和，则直线的一般式直线方程为 . 【答案】 【分析】由已知先求出直线的截距式方程，再化为一般式方程即可得解. 【详解】由题意，直线l的截距式方程为， 化为一般式方程为. 故答案为：. 11．（23-24高二上·北京·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【分析】由题可设直线方程为，代入已知点坐标即得. 【详解】由题可设所求直线方程为， 代入点，可得，即， 所以经过点且与直线垂直的直线方程为. 故答案为：. 12．（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 【答案】 【分析】变形得到方程组，求出定点坐标. 【详解】令，解得，故经过定点坐标为. 故答案为： 13．（23-24高二下·上海·期中）已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由直线恒过定点，分别计算，，结合图象即可得的范围. 【详解】 直线经过定点，如图所示， 则， 因为直线与连接两点的线段相交， 所以由图可知，. 故答案为：. 三、解答题 14．（23-24高二下·上海·期中）（1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求与直线垂直，且与两坐标轴围成的面积为的直线方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设直线的方程为，代入求出，得到答案； （2）设与直线垂直的直线，表达出与两坐标轴的交点坐标，表达出三角形面积，得到方程，求出答案. 【详解】（1）设直线的方程为， 将代入得，，解得， 故直线的方程为； （2）与直线垂直的直线设为， 中，令得，令得， 故，所以， 解得， 故直线方程为. 15．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）在中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为． (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）求出直线方程，与直线方程联立求出点的坐标，再设出点的坐标，由的中点在直线上，求出点的坐标，然后求出直线方程. （2）按直线过的中点及与平行求出方程即得. 【详解】（1）由边的垂直平分线的斜率为，得直线方程为，即， 而边中线所在的直线方程为， 由，解得，则，设点，则点， 于是，解得，即点，直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （2）由（1）知，，， 由直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，得直线过边的中点，或， 当直线过时，直线的斜率为，方程为，即， 当直线时，直线的斜率为，方程为，即， 所以直线l的方程为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$