圆锥曲线的方程讲义十七-2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十七 知识点一 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程,抛物线中的三角形或四边形面积问题 典例1、已知动点到定点的距离比到直线的距离小2，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设是轴上的点，曲线与直线交于，且的面积为，求点的坐标. 随堂练习：已知动点M到点的距离等于它到直线的距离，记动点M的轨迹为曲线C. （1）求动点M的轨迹方程C；（2）已知，过点的直线l斜率存在且不为0，若l与曲线C有且只有一个公共点P，求的面积. 典例2、设抛物线C：（）的焦点为F，抛物线C上一点A的横坐标为，过点A作抛物线C的切线，与x轴交于点D，与y轴交于点E，与直线l：交于点M.当时，. （1）求抛物线C的方程； （2）若B为y轴左侧抛物线C上一点，过B作抛物线C的切线，与直线交于点P，与直线l交于点N，求面积的最小值，并求取到最小值时的值. 随堂练习：已知抛物线的焦点为F，A，B是该抛物线上不重合的两个动点，O为坐标 原点，当A点的横坐标为4时，． （1）求抛物线C的方程； （2）以AB为直径的圆经过点，点A，B都不与点P重合，求的最小值． 典例3、已知抛物线，为坐标原点，过焦点的直线与抛物线交于不同两点. （1）记和的面积分别为，若，求直线的方程； （2）判断在轴上是否存在点，使得四边形为矩形，并说明理由. 随堂练习：已知抛物线的焦点为，准线为. （1）设与轴的交点为，点在上，且在轴上方，若，求直线的方程； （2）过焦点的直线与相交于、两点，点在上，且，，求的面积. 知识点二 根据a、b、c求双曲线的标准方程,根据双曲线过的点求标准方程,双曲线中的定值问题 典例4、已知双曲线，．焦距为，浙近线方程为． （1）求双曲线C的方程． （2）已知M，N是双曲线C上关于x轴对称的两点，点P是C上异于M，N的任意一点直线PM、PN分别交x轴于点了T、S，试问：是否为定值．若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中O是坐标原点） 随堂练习：已知双曲线：的右焦点为，左顶点为A，且，到C的渐近线的距离为1，过点的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点. （1）求双曲线C的标准方程. （2）若直线MB，NB的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 典例5、已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，， 的最小值，，且满足． （1）求双曲线的离心率； （2）若，过点的直线交双曲线于，两点，线段的垂直平分线交轴于点（异于坐标原点），求的最小值． 随堂练习：已知点，，双曲线C上除顶点外任一点满足直线RM与QM的斜率之 积为4. （1）求C的方程； （2）若直线l过C上的一点P，且与C的渐近线相交于A，B两点，点A，B分别位于第一、第二象限，，求的最小值. 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十七答案 典例1、答案：（1） （2）或 解：依题意动点到定点的距离等于动点到直线的距离， 由抛物线的定义可知，动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. （2）联立方程，整理得, 设，则有, 于是, 设到直线的距离为，因为， 由点到直线的距离公式得, 又，所以， 于是，解得或. 故点的坐标为或. 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）根据抛物线定义得动点M的轨迹为曲线.. （2）设过点的直线l为，将其与抛物线方程联立， 得，消去得：①， 因l与C有且只有一个公共点，则. 将代入①得，解得，代入直线l可得 则直线AP方程为：，则其与y轴交点为，则由图可得： 典例2、答案：（1） （2）, 解：（1）由题知，， 所以，，切点， 切线方程为：， 令，， 所以D为AE的中点， 因为根据焦半径公式得：，. 所以，， 因为， 所以，即， 所以抛物线C的方程为； （2）设，由（1）得方程：① 同理方程②，联立①②， 所以， 因为直线l的方程为：， 所以，， 所以， 所以， ， 令， ∴， 令，， 当，单调递减，，单调递增， ∴，当且仅当时取“=”，此时. 所以面积的最小值为，此时的值为. 随堂练习：答案： （1）； （2）11. 解：（1）设，因为，所以，，过点A作AD⊥x轴于点D， 则，，解得：，所以抛物线方程为. （2）设直线AB为，， 由方程与联立得：， 所以，即，且，， 所以，， 因为以AB为直径的圆经过点，所以，即，即，所以， 所以，所以或， 当时，直线AB为过点P， 此时与题干条件A，B都不与点P重合矛盾，不合题意，舍去； 当时，直线AB为，满足要求，所以， 则，所以当时，最小，且最小值为11. 典例3、答案：（1） ； （2）不存在，理由见详解. 解：（1）设直线方程为， 联立，消去得， 得①，②， 又因为，则③ 由①②③解得， 即直线的方程为，即 （2）假设存在点，使得四边形为矩形， 则互相平分 所以线段的中点在上，则轴， 此时 则不成立. 故在轴上不存在点，使得四边形为矩形 随堂练习：答案：（1） （2）32 解：（1）由可得的准线为直线，所以点 过点作的准线的垂线，垂足为，如图所示，则， 因为，所以，设直线的倾斜角为，则，即， 得直线的斜率为1，所以直线的方程为 （2），设，，， 若轴，由，得，、为、， 此时不满足，所以不满足题意. 设直线方程为，直线的方程为，如图所示： 将代入抛物线方程得，所以，， 将代入抛物线方程得，所以①， 直线的斜率为，同理的斜率为， 因为，所以， 所以，即②， 由①②解得，， 所以或者， 当时，直线方程为，，， 因为，满足，所以， 所以，所以的面积为32， 同理可得当直线方程为时的面积也为32. 所以的面积为32. 典例4、答案： （1）；（2）是定值，定值为2． 解:（1） 又因为渐近线方程为，， ，，. （2）是定值，定值为2 设直线的方程为，，则， 将直线方程代入得， 因为渐近线方程为，与渐近线不平行，. 设点，，则， 由韦达定理可得，， 由N，S，P三点共线得， 故， ，即为定值且定值为2. 随堂练习：答案： （1） （2）是定值， 解：（1）由题意得，，渐近线方程为， 则到渐近线的距离为， 又因为， 所以，，， 故双曲线的标准方程为. （2）设直线：，，，， 联立方程组得， 所以，. 因为直线的方程为， 所以的坐标为，同理可得的坐标为. 因为，， 所以 ， 即为定值. 典例5、答案： （1）2 （2）． 解：（1）由题意知，．由双曲线的性质知，，∴，∴，故双曲线的离心率． （2）当时，，．∴双曲线的方程为，． 由题知直线的斜率存在，设为，则，直线的方程为． 联立消去并整理，得． 设，，则，， ∴． 又∵， 线段的中点的坐标为， ∴线段的垂直平分线的方程为． 令，得， ∴点的坐标为，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为． 随堂练习：答案： （1） （2）1 解：（1）由题意得，即， 整理得， 因为双曲线的顶点坐标满足上式， 所以C的方程为. （2）由（1）可知，曲线C的渐近线方程为， 设点，，，，， 由，得， 整理得，①， 把①代入，整理得②， 因为， ， 所以.由，得， 则， 当且仅当时等号成立，所以的最小值是1. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$