24.1 圆周角的定理及推论 学案 2024～2025学年人教版九年级数学上册

24．1.4　圆周角 第1课时　圆周角定理及推论(原卷版) 1．顶点在圆 上，并且两边都与圆相 交的角叫做圆周角． 2．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ． 3．同弧或等弧所对的圆周角相等 ．半圆(或直径)所对的圆周角是直 角，90°的圆周角所对的弦是直 径． 知识点1：圆周角与圆周角定理 1．下列图形中的角是圆周角的是 （ ） 　 A　　　　B　 　　　C　　　　 D 2．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC＝60°，则∠AOC的度数为12 0°. 【变式】如图，点A，B，C都在⊙O上，连接CA，CB，OA，OB，AB，若∠ACB＝70°，则∠OAB的度数为 （ ） A．20° B．30° C．40° D．50° 3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，则∠C＋∠E＝90 °. 知识点2：圆周角定理的推论 4．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是 （ ） A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D 5．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ） 6．如图，在⊙O中，＝，∠BAC＝50°，则∠AEC的度数为65 °. 7．(十堰期中)如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交边AC，BC于点D，E，且点E为BC边的中点．求证：AC＝AB. 易错点：忽略弦所对的圆周角有两种情况 8．弦AB垂直平分半径OC，则弦AB所对的圆周角是60°或1 20°. 9．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，则下列说法中错误的是 （ ） A．AD＝BD B．∠ACB＝∠AOE C.＝ D．OD＝DE 10．如图，CO，CA是⊙O′的弦，⊙O′与x轴，y轴分别交于点A，B，B点坐标为(0，2)，∠ACO＝60°，则⊙O′的直径为 （ ） A．2 B. C．4 D．5 11．(核心素养·模型观念)如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝15°，BD＝AB，则∠BDC＝45 °. 12．如图，AB是⊙O的直径，C为的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点F，连接AC.求证：AF＝CF. 13．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且 AB⊥CD，垂足为E. (1)求证：∠CDB＝∠A； (2)若BD＝5，AD＝12，求CD的长． 14．(麻城期中)如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，如果∠B＝60°，AO＝4，那么CD的长为4 . 24．1.4　圆周角 第1课时　圆周角定理及推论(解析版) 1．顶点在圆 上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ． 3．同弧或等弧所对的圆周角相等 ．半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 知识点1：圆周角与圆周角定理 1．下列图形中的角是圆周角的是 （ ） 　 A　　　 B　 　　C　　 D 答案：B 2．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC＝60°，则∠AOC的度数为12 0°. 答案：120° 【变式】如图，点A，B，C都在⊙O上，连接CA，CB，OA，OB，AB，若∠ACB＝70°，则∠OAB的度数为 （ ） A．20° B．30° C．40° D．50° 答案：A 3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，则∠C＋∠E＝90 °. 答案：90° 知识点2：圆周角定理的推论 4．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是 （ ） A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D 答案：D 5．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ） 答案：C 6． 如图，在⊙O中，＝，∠BAC＝50°，则∠AEC的度数为65 °. 答案：65° 7．(十堰期中)如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交边AC，BC于点D，E，且点E为BC边的中点．求证：AC＝AB. 证明：连接AE， ∵AB为直径， ∴∠AEB＝90°， ∴AE⊥BC， ∵BE＝CE， ∴AE垂直平分BC， ∴AC＝AB. 易错点：忽略弦所对的圆周角有两种情况 8．弦AB垂直平分半径OC，则弦AB所对的圆周角是60°或1 20°. 答案：60°或者120° 9．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，则下列说法中错误的是 （ ） A．AD＝BD B．∠ACB＝∠AOE C.＝ D．OD＝DE 答案：D 10．如图，CO，CA是⊙O′的弦，⊙O′与x轴，y轴分别交于点A，B，B点坐标为(0，2)，∠ACO＝60°，则⊙O′的直径为 （ ） A．2 B. C．4 D．5 答案：C 11．(核心素养·模型观念)如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝15°，BD＝AB，则∠BDC＝45 °. 答案：45° 12．如图，AB是⊙O的直径，C为的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点F，连接AC.求证：AF＝CF. 证明：连接BC， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， 即∠ACF＋∠BCD＝90°， ∵CD⊥AB，∴∠B＋∠BCD＝90°， ∴∠ACF＝∠B， ∵C为的中点，∴＝. ∴∠B＝∠CAE，∴∠ACF＝∠CAE，∴AF＝CF. 13．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且 AB⊥CD，垂足为E. (1)求证：∠CDB＝∠A； (2)若BD＝5，AD＝12，求CD的长． (1)证明：∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD， ∴点B是的中点， ∴＝，∴∠CDB＝∠A. (2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∵BD＝5，AD＝12，∴AB＝13. ∴×5×12＝×13×DE， ∴DE＝，∴CD＝. 14．(麻城期中)如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，如果∠B＝60°，AO＝4，那么CD的长为4 . 答案：4 学科网（北京）股份有限公司 $$