17.2 一元二次方程的解法（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪教版）

17.2 一元二次方程的解法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 ★1.直接开平方法 利用平方根的意义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. ★2.方程x²=p的根 一般的，对于可化为x2 = p(I) 的方程， (1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不相等的实数根，； (2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根； (3)当p<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根. 归纳：利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法 高分技巧： 用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是常数的形式. 知识点二 配方法解一元二次方程 ★1.配方法 把一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个常数，进而可用直接开平方法来求解，这种通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。 ★2.可化为(x+n)²=p 的形式的一元二次方程的根 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)²=p（Ⅱ）. ①当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根，； ②当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根x1=x2=－n； ③当p<0时，因为对任意实数x，都有 (x + n)²≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根. 高分技巧： 类别 解题策略 1.完全平方式中的求参 如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4. 2.求最值或证明代数式的值恒为正(或负) 对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值. 3.利用配方构成非负式的和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负式的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，则a2＋(b－2)2=0，即a=0，b=2. 注意：1.用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一移：常数项且二次项系数化为 1； 二配：成完全平方公式[配上]； 三写：成(x+n)2=p； 四直：接开平方法解方程. 知识点三 因式分解法解一元二次方程 ★1.因式分解法 通过因式分解把一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. ★2.用因式分解法解一元二次方程的理论依据 如果两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0,即若ab=0,则a=0或b=0. ★3.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)移项、合并同类项：将方程的右边化为0; (2)因式分解：将方程的左边化为两个一次式的乘积； (3)降次转化：令每个一次式分别为0,得到两个一元一次方程； (4)一一求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解. ★4.几种常见的用因式分解法求解的方程 (1)形如x²+bx=0的一元二次方程， 将左边运用提公因式法因式分解为x(x+b)=0,则x=0或 x+b=0,即=0,=-b. (2) 形如x²-a²=0的一元二次方程， 将左边用平方差公式因式分解为(x+a)(x-a)=0,则x+a=0或x-a=0,即=-a,=a. (3) 形如x²±2ax+a²=0的一元二次方程， 将左边用完全平方公式因式分解为(x±a)²=0, 则①x+a=0,即==-a;②x-a=0,即==a. (4) 形如x²+(a+b)x+ab=0的一元二次方程， 将左边因式分解，则方程化为(x+a)(x+b)=0,所以x+a=0或x+b=0,即=-a,=-b. 知识点四 十字相乘法 ★1.十字相乘法 (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab1. 整式的乘法 两个一次二项式相乘的积 一个二次三项式 反过来，得x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) 如果二次三项式 x2 + px + q 中的常数项 q 能分解成两个因数 a、b 的积，而且一次项系数 p 又恰好是 a + b，那么 x2 + px + q 就可以用如上的方法进行因式分解. ★2.十字相乘法步骤： ①竖分二次项与常数项②交叉相乘，积相加③检验确定，横写因式 高分技巧： 用因式分解法解一元二次方程时，要先观察方程结构，看看方程中有没有公因式，提取公因式后能否转化为一边为0,另一边分解成两个一次因式的乘积形式，若能，则采用因式分解法来解答比较简单. 知识点五 公式法解一元二次方程 ★1.求根公式 解一元二次方程时，先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. ★2.公式法 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 注意：：运用公式法解一元二次方程时,首先要将方程化为一般式, 然后当 Δ= b²－4ac≥0时,才可以用求根公式. ★3.一元二次方程求根公式的推导 一元二次方程求根公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程，推导过程如下： 移项，得ax2+bx=－c，二次项系数化为1，得x2+x=， 配方，得x2+x+()2=()2， 即(x+)2=. 当Δ= b2－4ac时， . ★4.用公式法解一元二次方程的一般步骤 1.变形：化已知方程为一般形式； 2.确定系数：用a，b，c写出各项系数； 3.计算：b2－4ac的值； 4.判断：若Δ=b2－4ac≥0，则利用求根公式求出；若Δ=b2－4ac < 0，则方程没有实数根. ★5.b²-4ac（△）的取值与根的个数之间的关系 Δ=b2－4ac >0 有两个不等的实数根 Δ=b2－4ac = 0 有两个相等的实数根 Δ=b2－4ac＜0 没有实数根 题型一 直接开平方法解一元二次方程 解题技巧提炼 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤 第1步:移项,即将方程化为仅左边含有未知数的完全平方式; 第2步:开平方，即若右边是非负数(若为负数，则方程无实数根)，则根据平方根的意义求解，注意右边开方后必须取正、负两个平方根; 第3步:写出一元二次方程的两个根， 1．方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 2．下列方程能用直接开平方法求解的是(      ) A． B． C． D． 3．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 4． （21-22八年级上·上海黄浦·期末）解方程：． 5．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）一元二次方程的根是 ． 6．（23-24八年级上·上海青浦·期中）解方程：． 题型二 配方法解一元二次方程 解题技巧提炼 配方法的解题步骤： 第1步:化,把方程化为一元二次方程的一般形式,且使二次项系数为1; 第2步:移,使方程左边是二次项和一次项,右边是常数项; 第3步:配,方程两边同时加上一次项系数一半的平方; 第4步:开,当方程的右边是非负数时,用直接开平方法解方程; 第5步:写,写出一元二次方程的两个根 7．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）用配方法解方程时，配方法所得的方程是（      ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： ． 9．（23-24八年级上·上海宝山·期末）解方程：． 10．（23-24八年级上·上海静安·期末）解方程：． 11．（23-24八年级上·上海金山·期中）解方程：．（用配方法解） 12．（23-24八年级上·上海青浦·期中）解方程：． 13．（23-24八年级上·上海崇明·期中）解方程： 14．（23-24八年级上·上海崇明·期中）解方程： 题型三 配方法的应用 解题技巧提炼 配方时易出现的错误 (1)移项忘记变号. (2)系数化为1时漏项. (3)方程两边没有同时加上一次项系数一半的平方. 15．代数式的值的值一定（    ） A．大于3 B．小于3 C．等于3 D．不小于1 16．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）已知为实数，若，那么的值为 ． 17．代数式的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 18．代数式的最小值为（    ）． A． B．0 C．3 D．5 19．已知，，满足，，，则的值为（    ） A． B．5 C．6 D． 题型四 公式法解一元二次方程 解题技巧提炼 “公式法”的三点注意 (1)使用公式法时，必须先把方程化为一般形式，再确定系数. (2)确定a,b,c的值时,要注意符号,不要遗漏“-” (3)利用公式法解方程时，要先计算 b-4ac 的值,只有当b-4ac≥0时，才能使用求根公式求方程的根. 20．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解：． 21．（23-24八年级上·上海静安·期中）解方程：． 22．（23-24八年级上·上海虹口·期末）． 23．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）解方程：． 题型五 因式分解法解一元二次方程 解题技巧提炼 用因式分解法解一元二次方程时，要先观察方程结构，看看方程中有没有公因式，提取公因式后能否转化为一边为0,另一边分解成两个一次因式的乘积形式，若能，则采用因式分解法来解答比较简单. 24．（23-24八年级上·上海青浦·期中）解方程： 25．（23-24八年级上·上海静安·期中）． 26．（23-24八年级上·上海崇明·期末）解方程：． 27．（23-24八年级上·上海长宁·期末）解方程：． 28．（23-24八年级上·上海静安·期末）解方程：． 29．（23-24八年级上·上海普陀·期末）解方程：． 30．（23-24八年级上·上海闵行·期末）解方程：． 题型六 在实数范围内分解因式题 解题技巧提炼 在实数范围内分解因式，是先把方程的根求出来，再套用公式进行因式分解. 31．（23-24八年级上·上海闵行·期末）在实数范围内分解因式： ． 32．（23-24八年级上·上海普陀·期中）在实数范围内因式分解： ． 33．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）在实数范围内分解因式： ． 34．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解： ． 题型七 换元法解一元二次方程 解题技巧提炼 解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题简化，这种方法叫做换元法.换元法体现了整体思想和转化思想，其关键是构造元和换元. 35．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，求的值． 36．（2022八年级上·上海·专题练习）解方程： 37．（21-22八年级上·上海闵行·期中）因式分解：． 38．（20-21九年级上·上海·阶段练习）解方程： 39．（20-21八年级上·上海静安·课后作业） 40．（19-20八年级上·上海黄浦·期中）解方程： 题型八 一元二次方程的根与系数的关系 解题技巧提炼 （1）以，为实数根的一元二次方程（二次项系数为1） （2）与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形 前提条件：①方程是一元二次方程②方程有实数根，即△≥0. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 41．（22-23八年级上·上海·期中）阅读下列材料并完成练习题： 已知一元一次方程的两个实数根分别为和 ∵ ∴ 对比系数可得：， 类比上面的证明方法： (1)如果一元三次方程的两个实数根分别为，，，______，______，______． (2)已知方程，求值：______． 42．（23-24八年级上·上海·阶段练习）阅读：对于所有的一元二次方程中，对于两根，存在如下关系：试着利用这个关系解决问题．设方程的两根为， (1)不解方程，求 (2)不解方程，求 (3)不解方程，求 (4)不解方程，求下列式子的值： 43．（21-22八年级上·上海·期中）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个实数根分别是，那么，． 例如：已知是方程的两个实数根，则，． 请同学们阅读后完成以下问题： (1)已知是方程的两个实数根，求和的值． (2)已知是方程的两个实数根，求的值． (3)已知某一元二次方程的两根为，，二次项系数为2．请写出该方程的表达式． 44．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）已知α，β是方程的两个根，，不解方程，利用根与系数的关系求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.2 一元二次方程的解法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 ★1.直接开平方法 利用平方根的意义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. ★2.方程x²=p的根 一般的，对于可化为x2 = p(I) 的方程， (1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不相等的实数根，； (2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根； (3)当p<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根. 归纳：利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法 高分技巧： 用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是常数的形式. 知识点二 配方法解一元二次方程 ★1.配方法 把一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个常数，进而可用直接开平方法来求解，这种通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。 ★2.可化为(x+n)²=p 的形式的一元二次方程的根 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)²=p（Ⅱ）. ①当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根，； ②当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根x1=x2=－n； ③当p<0时，因为对任意实数x，都有 (x + n)²≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根. 高分技巧： 类别 解题策略 1.完全平方式中的求参 如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4. 2.求最值或证明代数式的值恒为正(或负) 对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值. 3.利用配方构成非负式的和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负式的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，则a2＋(b－2)2=0，即a=0，b=2. 注意： 1.用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一移：常数项且二次项系数化为 1； 二配：成完全平方公式[配上]； 三写：成(x+n)2=p； 四直：接开平方法解方程. 知识点三 因式分解法解一元二次方程 ★1.因式分解法 通过因式分解把一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. ★2.用因式分解法解一元二次方程的理论依据 如果两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0,即若ab=0,则a=0或b=0. ★3.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)移项、合并同类项：将方程的右边化为0; (2)因式分解：将方程的左边化为两个一次式的乘积； (3)降次转化：令每个一次式分别为0,得到两个一元一次方程； (4)一一求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解. ★4.几种常见的用因式分解法求解的方程 (1)形如x²+bx=0的一元二次方程， 将左边运用提公因式法因式分解为x(x+b)=0,则x=0或 x+b=0,即=0,=-b. (2) 形如x²-a²=0的一元二次方程， 将左边用平方差公式因式分解为(x+a)(x-a)=0,则x+a=0或x-a=0,即=-a,=a. (3) 形如x²±2ax+a²=0的一元二次方程， 将左边用完全平方公式因式分解为(x±a)²=0, 则①x+a=0,即==-a;②x-a=0,即==a. (4) 形如x²+(a+b)x+ab=0的一元二次方程， 将左边因式分解，则方程化为(x+a)(x+b)=0,所以x+a=0或x+b=0,即=-a,=-b. 知识点四 十字相乘法 ★1.十字相乘法 (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab1. 整式的乘法 两个一次二项式相乘的积 一个二次三项式 反过来，得x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) 如果二次三项式 x2 + px + q 中的常数项 q 能分解成两个因数 a、b 的积，而且一次项系数 p 又恰好是 a + b，那么 x2 + px + q 就可以用如上的方法进行因式分解. ★2.十字相乘法步骤： ①竖分二次项与常数项②交叉相乘，积相加③检验确定，横写因式 高分技巧： 用因式分解法解一元二次方程时，要先观察方程结构，看看方程中有没有公因式，提取公因式后能否转化为一边为0,另一边分解成两个一次因式的乘积形式，若能，则采用因式分解法来解答比较简单. 知识点五 公式法解一元二次方程 ★1.求根公式 解一元二次方程时，先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. ★2.公式法 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 注意：：运用公式法解一元二次方程时,首先要将方程化为一般式, 然后当 Δ= b²－4ac≥0时,才可以用求根公式. ★3.一元二次方程求根公式的推导 一元二次方程求根公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程，推导过程如下： 移项，得ax2+bx=－c，二次项系数化为1，得x2+x=， 配方，得x2+x+()2=()2， 即(x+)2=. 当Δ= b2－4ac时， . ★4.用公式法解一元二次方程的一般步骤 1.变形：化已知方程为一般形式； 2.确定系数：用a，b，c写出各项系数； 3.计算：b2－4ac的值； 4.判断：若Δ=b2－4ac≥0，则利用求根公式求出；若Δ=b2－4ac < 0，则方程没有实数根. ★5.b²-4ac（△）的取值与根的个数之间的关系 Δ=b2－4ac >0 有两个不等的实数根 Δ=b2－4ac = 0 有两个相等的实数根 Δ=b2－4ac＜0 没有实数根 题型一 直接开平方法解一元二次方程 解题技巧提炼 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤 第1步:移项,即将方程化为仅左边含有未知数的完全平方式; 第2步:开平方，即若右边是非负数(若为负数，则方程无实数根)，则根据平方根的意义求解，注意右边开方后必须取正、负两个平方根; 第3步:写出一元二次方程的两个根， 1．方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．利用直接开平方法即可求解． 【详解】解： 故选：C． 2．下列方程能用直接开平方法求解的是(      ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法﹣直接开方法，解题的关键是掌握直接开方法．形如的方程均可采用直接开方法进行解答，据此判断即可． 【详解】解：选项A，B，C方程左边均不能化为完全平方式，故选项A，B，C不能用直接开平方法求解； 由得，故选项D能用直接开平方法求解． 故选：D． 3．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解方程； （2）根据直接开平方法可进行求解方程 【详解】（1）解：移项，得， 根据平方根的意义，得， 即． （2）解：移项，得， 两边同除以3，得， 根据平方根的意义，得， 即． 4．（21-22八年级上·上海黄浦·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，直接开方法解方程即可． 【详解】解： ， ∴， ∴． 5．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项再化简，然后利用开平方法可求得结果，正确计算是解答本题的关键． 【详解】解：， 移项得：， 化简得：， 开方得：或， 解得：，， 故答案为：，． 6．（23-24八年级上·上海青浦·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，利用直接开方法解一元二次方程即可；解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【详解】 ∴ 解得，． 题型二 配方法解一元二次方程 解题技巧提炼 配方法的解题步骤： 第1步:化,把方程化为一元二次方程的一般形式,且使二次项系数为1; 第2步:移,使方程左边是二次项和一次项,右边是常数项; 第3步:配,方程两边同时加上一次项系数一半的平方; 第4步:开,当方程的右边是非负数时,用直接开平方法解方程; 第5步:写,写出一元二次方程的两个根 7．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）用配方法解方程时，配方法所得的方程是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握配方法的方法步骤是解本题的关键．方程变形后，配方得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程， 变形得：， 配方得：，即， 故选：B． 8．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键． 先移项，然后再按照配方法即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ∴． 9．（23-24八年级上·上海宝山·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．利用配方法求解即可． 【详解】解： ， 10．（23-24八年级上·上海静安·期末）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握配方法、因式分解法等一元二次方程的解法． 利用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得，． 11．（23-24八年级上·上海金山·期中）解方程：．（用配方法解） 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．根据配方法解一元二次方程的一般步骤解出方程，即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 12．（23-24八年级上·上海青浦·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式，然后开方求解即可；解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：， ， ， ， ∴， 解得，． 13．（23-24八年级上·上海崇明·期中）解方程： 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解： 解得：． 14．（23-24八年级上·上海崇明·期中）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，把看作整体，运用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 解得：． 题型三 配方法的应用 解题技巧提炼 配方时易出现的错误 (1)移项忘记变号. (2)系数化为1时漏项. (3)方程两边没有同时加上一次项系数一半的平方. 15．代数式的值的值一定（    ） A．大于3 B．小于3 C．等于3 D．不小于1 【答案】D 【分析】利用配方法把所给代数式变形为，根据偶次方的非负性推出，由此即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值一定不小于1， 故选D． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确将所给代数式变形为是解题的关键． 16．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）已知为实数，若，那么的值为 ． 【答案】2或3 【分析】将原方程变形为，然后把看作一个整体运用因式分解法求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴, ∴, ∴， 解解，， 故答案为：2或3． 【点睛】本题主要考查了配方法，用因式分解法解一元二次方程，正确将原方程进行变形运用因式分解法求解是解答本题的关键． 17．代数式的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先将原式变形为，再分解因式，然后根据配方法得到，然后利用非负数的性质即可求解． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式有最小值， 此时最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解，配方法的应用，以及非负数的性质，得出是解题的关键． 18．代数式的最小值为（    ）． A． B．0 C．3 D．5 【答案】A 【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案． 【详解】代数式 ∵， ∴即代数式， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解． 19．已知，，满足，，，则的值为（    ） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】首先把，，，两边相加整理成，分解因式，利用非负数的性质得出、、的数值，代入求得答案即可． 【详解】解：，，， ， ， ，，， ． 故选：B． 【点睛】此题考查了配方法，解题的关键是掌握完全平方公式是解决问题的关键． 题型四 公式法解一元二次方程 解题技巧提炼 “公式法”的三点注意 (1)使用公式法时，必须先把方程化为一般形式，再确定系数. (2)确定a,b,c的值时,要注意符号,不要遗漏“-” (3)利用公式法解方程时，要先计算 b-4ac 的值,只有当b-4ac≥0时，才能使用求根公式求方程的根. 20．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查特殊方法分解因式，涉及二次根式性质等知识，将看作常数，令，这是一个关于未知数的一元二次方程，利用公式法解一元二次方程即可得到答案，掌握这种特殊的因式分解方法是解决问题的关键． 【详解】解：将看作常数，令，这是一个关于未知数的一元二次方程， ， ， ，即， ∴． 21．（23-24八年级上·上海静安·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握公式法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 22．（23-24八年级上·上海虹口·期末）． 【答案】， 【分析】此题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意将方程化为一般形式，确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解． 【详解】解： ， ，． 23．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，利用公式法求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得． 题型五 因式分解法解一元二次方程 解题技巧提炼 用因式分解法解一元二次方程时，要先观察方程结构，看看方程中有没有公因式，提取公因式后能否转化为一边为0,另一边分解成两个一次因式的乘积形式，若能，则采用因式分解法来解答比较简单. 24．（23-24八年级上·上海青浦·期中）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法求解是解题关键．先移项，再根据因式分解法求解即可． 【详解】解： ， ∴或， ∴，． 25．（23-24八年级上·上海静安·期中）． 【答案】， 【分析】利用因式分解法求解即可；本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 则或 解得， ． 26．（23-24八年级上·上海崇明·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得，． 27．（23-24八年级上·上海长宁·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，把方程看作关于的一元二次方程，利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， 所以，． 28．（23-24八年级上·上海静安·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：移项，得 则，即 ∴或 ∴，． 29．（23-24八年级上·上海普陀·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把原方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 30．（23-24八年级上·上海闵行·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． 先整理方程，然后利用因式分解，求出答案． 【详解】解：根据题意得： ， 方程整理得：， 分解因式得：， 解得：，． 题型六 在实数范围内分解因式题 解题技巧提炼 在实数范围内分解因式，是先把方程的根求出来，再套用公式进行因式分解. 31．（23-24八年级上·上海闵行·期末）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握配方法和平方差法因式分解是解题的关键．先配方再用平方差公式法，进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 32．（23-24八年级上·上海普陀·期中）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】根据配方法化为平方差的形式，进而因式分解，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数范围内因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键． 33．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】先利用配方法进行整理，再根据平方差公式进行因式分解即可。 【详解】解：， 根据平方差公式可得， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，注意在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止是解题的关键． 34．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先利用求根公式求出方程的根，然后根据题目中所说的方法进行分解因式即可，解题关键是熟练掌握求方程的根再分解因式的方法． 【详解】解：令， 解得：，， ∴， 故答案为：． 题型七 换元法解一元二次方程 解题技巧提炼 解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题简化，这种方法叫做换元法.换元法体现了整体思想和转化思想，其关键是构造元和换元. 35．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，求的值． 【答案】的值为7或1 【分析】 设，则，对原方程进行变形，求出y的值，即为的值． 【详解】 解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或1， ∴的值为7或1． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法，把看作整体，直接求出的值是解题的关键． 36．（2022八年级上·上海·专题练习）解方程： 【答案】 【分析】方法一：利用因式分解法解方程； 方法二：设，则原方程变为，然后解关于y的方程，最后再来求x的值． 【详解】方法一： 解：． ， ， ∴或， ∴． 方法二： 解：，则有， ∴； 解得，或； ①当时，； ②当时，． ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 37．（21-22八年级上·上海闵行·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】设 则 令 求解的值，再分解因式即可. 【详解】解：设 则 令 即 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，利用一元二次方程的求根公式分解因式，熟练的利用公式法解一元二次方程是解本题的关键. 38．（20-21九年级上·上海·阶段练习）解方程： 【答案】 【分析】将原方程整理，移项，令，然后解关于t的一元二次方程，获得t的值，代回原方程即可求解． 【详解】 移项，整理得： 令，原式变为 解得，（舍去） ∴，即 解得， 故答案为 ，． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，问题的关键是令，然后解关于t的一元二次方程，一定要注意舍去不合理的根． 39．（20-21八年级上·上海静安·课后作业） 【答案】． 【分析】综合利用利用换元法和因式分解法即可得． 【详解】令，则原方程可化为， ， 或， 或， 则或， 解得或， 故原方程的解为． 【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键． 40．（19-20八年级上·上海黄浦·期中）解方程： 【答案】x1=-2，x2=2 【分析】利用换元法解方程． 【详解】解：设y=x+1，则由原方程得到：y2-2y-3=0． ∴（y+1）（y-3）=0． ∴y+1=0或y-3=0． ∴y=-1或y=3． ∴x+1=-1或x+1=3． ∴x1=-2，x2=2． 【点睛】考查了因式分解法和换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 题型八 一元二次方程的根与系数的关系 解题技巧提炼 （1）以，为实数根的一元二次方程（二次项系数为1） （2）与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形 前提条件：①方程是一元二次方程②方程有实数根，即△≥0. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 41．（22-23八年级上·上海·期中）阅读下列材料并完成练习题： 已知一元一次方程的两个实数根分别为和 ∵ ∴ 对比系数可得：， 类比上面的证明方法： (1)如果一元三次方程的两个实数根分别为，，，______，______，______． (2)已知方程，求值：______． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）将一元三次方程按照一元二次方程的方式因式分解为，再将其按照多项式乘以多项式的方式展开，最后得到，，，由此即可求解； （2）由（1）的结论代入即可求得，，，再将变形为，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据材料提示得， ， ∴，，， ∴，，， 故答案为：，，． （2）解：根据（1）的结论得，一元三次方程中，，，，， ∴，，， 且， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据一元二次方程的韦达定理推理一元三次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程中根与系数的关系，多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 42．（23-24八年级上·上海·阶段练习）阅读：对于所有的一元二次方程中，对于两根，存在如下关系：试着利用这个关系解决问题．设方程的两根为， (1)不解方程，求 (2)不解方程，求 (3)不解方程，求 (4)不解方程，求下列式子的值： 【答案】(1)， (2) (3)3 (4)34 【分析】（1）根据方程的两个根为，，可得，； （2）根据方程的两个根为，，，代入即可； （3）由题意得，等式变形代入即可； （4）根据一元二次方程根的定义得到，，则原式，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：方程的两个根为，， ∴，， 故答案为：， （2）∵， ∴ 故答案为： （3）方程的两个根为，， ， 即， 故答案为：3 （4）方程的两个根为，， ，， 即，， 原式 ， 原式． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程根的定义． 43．（21-22八年级上·上海·期中）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个实数根分别是，那么，． 例如：已知是方程的两个实数根，则，． 请同学们阅读后完成以下问题： (1)已知是方程的两个实数根，求和的值． (2)已知是方程的两个实数根，求的值． (3)已知某一元二次方程的两根为，，二次项系数为2．请写出该方程的表达式． 【答案】(1)；； (2)； (3)． 【分析】（1）直接利用题中所给的韦达的发现，即可求得和的值； （2）先利用题中所给的韦达的发现，即可求得和的值，然后求值，从而求出的值，即可求解； （3）根据题意，设所求方程的表达式为，再由，，即可求出． 【详解】（1）解：是方程的两个实数根， ，， ，； （2）解：由（1）知：，； ； ， ， 故； （3）解：一元二次方程的二次项系数为2． 设所求方程的表达式为， 一元二次方程的两根为，， ，， ， 设所求方程的表达式为． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系、乘法公式等知识，灵活运用题目中所给的根与系数的关系与乘法公式是解答此题的关键． 44．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）已知α，β是方程的两个根，，不解方程，利用根与系数的关系求的值． 【答案】 【分析】由题可得：，，则，，而，则，设，，求出及即可得出答案． 【详解】解：由题可得：，， 则，， 而，则， 设，， ， ， ∴， 即． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$