8.2 一元线性回归模型及其应用(第2课时）课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8．2　一元线性回归模型及其应用 第2课时　一元线性回归模型的应用 要点2　非线性经验回归方程 当经验回归方程不是形如y＝bx＋a(a，b∈R)的方程时，称之为非线性经验回归方程．当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间的非线性经验回归方程． 1．对R2的理解要注意以下三点 (1)由R2的计算公式可得0≤R2≤1.在一元线性回归模型中，R2和r都能刻画用线性回归模型拟合数据的效果，|r|越大(或R2越大)，用线性回归模型拟合数据的效果就越好，即线性相关程度越强． (2)当两个变量x，y非线性相关时，用决定系数R2判断拟合效果，R2越大，拟合效果越好． (3)R2可以作为衡量任何模型拟合效果的一个指标，它越大，拟合效果越好． 2．变量x，y的非线性经验回归方程y＝a＋bf(x－c)的求解步骤 (1)换元：令t＝f(x－c)，再根据x值求出t的值． (2)建模：根据t，y的新成对数据，建立一元线性回归模型y＝a＋bt. (3)求参：根据最小二乘法，求得a，b的最小二乘估计eq \o(a,\s\up12(^))，eq \o(b,\s\up12(^))，从而求得eq \o(y,\s\up12(^))＝eq \o(a,\s\up12(^))＋eq \o(b,\s\up12(^))t. (4)回代：把t＝f(x－c)代入eq \o(y,\s\up12(^))＝eq \o(a,\s\up12(^))＋eq \o(b,\s\up12(^))t，得经验回归方程eq \o(y,\s\up12(^))＝eq \o(a,\s\up12(^))＋eq \o(b,\s\up12(^))f(x－c)． 课 时 学 案 题型一　非线性回归分析 例1　某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． eq \o(x,\s\up6(－)) eq \o(y,\s\up6(－)) eq \o(w,\s\up6(－)) eq \o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up6(－)))2 eq \o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1)) (wi－eq \o(w,\s\up6(－)))2 46.6 563 6.8 289.8 1.6 eq \o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up6(－)))(yi－eq \o(y,\s\up6(－))) eq \o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1)) (wi－eq \o(w,\s\up6(－)))(yi－eq \o(y,\s\up6(－))) 1.469 108.8 表中wi＝eq \r(xi)，eq \o(w,\s\up12(－))＝eq \f(1,8) eq \o(∑,\s\up12(8),\s\do10(i＝1))wi. (1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋deq \r(x)哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的经验回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)； (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的经验回归方程； (3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x，根据(2)的结果回答问题： ①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费为多少时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线eq \o(v,\s\up12(^))＝eq \o(α,\s\up12(^))＋eq \o(β,\s\up12(^))u的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq \o(β,\s\up12(^))＝eq \f(\o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1)) （ui－\o(u,\s\up12(－))）（vi－\o(v,\s\up12(－))）,\o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1)) （ui－\o(u,\s\up12(－))）2)，eq \o(α,\s\up12(^))＝eq \o(v,\s\up12(－))－eq \o(β,\s\up12(^)) eq \o(u,\s\up12(－)). 【解析】　(1)由图中散点的大致分布，可以判断y＝c＋deq \r(x)适宜作为年销售量y关于年宣传费x的经验回归方程类型． (2)由w＝eq \r(x)，得y＝c＋dw， 由于eq \o(d,\s\up12(^))＝eq \f(\o(∑,\s\up12(8),\s\do10(i＝1)) （wi－\o(w,\s\up12(－))）（yi－\o(y,\s\up12(－))）,\o(∑,\s\up12(8),\s\do10(i＝1)) （wi－\o(w,\s\up12(－))）2)＝eq \f(108.8,1.6)＝68，eq \o(c,\s\up12(^))＝eq \o(y,\s\up12(－))－eq \o(d,\s\up12(^)) eq \o(w,\s\up12(－))＝563－68×6.8＝100.6， 所以y关于w的经验回归方程为eq \o(y,\s\up12(^))＝100.6＋68w，因此y关于x的经验回归方程为eq \o(y,\s\up12(^))＝100.6＋68eq \r(x). (3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值eq \o(y,\s\up12(^))＝100.6＋68eq \r(49)＝576.6(t)， 年利润z的预报值eq \o(z,\s\up12(^))＝576.6×0.2－49＝66.32(千元)． ②根据(2)的结果可知，年利润z的预报值 eq \o(z,\s\up12(^))＝0.2(100.6＋68eq \r(x))－x＝－x＋13.6eq \r(x)＋20.12， 当eq \r(x)＝eq \f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24时，eq \o(z,\s\up12(^))取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大． 【讲评】　本题考查经验回归方程及其应用，考查函数的最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题．求非线性经验回归方程的步骤如下： ①确定变量，作出散点图； ②根据散点图，选择恰当的拟合函数； ③变量置换，通过变量置换把非线性经验回归问题转化为一元线性回归模型，并求出经验回归方程； ④根据相应的变换，写出非线性经验回归方程． 思考题1　红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y(单位：个)和温度x(单位：℃)的8组观测数据，制成如图1所示的散点图．现用两种模型①y＝a·bx(a>0，b>0)，②y＝cx2＋d分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程并进行残差分析，进一步得到如图2所示的残差图．根据收集到的数据，计算得到如下值： eq \o(x,\s\up6(－)) eq \o(z,\s\up6(－)) eq \o(t,\s\up6(－)) eq \o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up6(－)))2 eq \o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1)) (ti－eq \o(t,\s\up6(－)))2 25 2.89 646 168 422 688 eq \o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1)) (zi－eq \o(z,\s\up6(－)))(xi－eq \o(x,\s\up6(－))) eq \o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1)) (yi－eq \o(y,\s\up6(－)))(ti－eq \o(t,\s\up6(－))) 48.48 70 308 其中z＝ln y，t＝x2. (1)根据残差图判断应选择哪个模型，并说明理由； (2)根据(1)中所选择的模型，求出y关于x的经验回归方程(计算过程中四舍五入保留两位小数)，并求温度为35 ℃时，产卵数y的预报值． 参考数据：e5.61≈273，e5.70≈299，e5.79≈327. 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线eq \o(v,\s\up12(^))＝eq \o(α,\s\up12(^))＋eq \o(β,\s\up12(^))u的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq \o(β,\s\up12(^))＝eq \f(\o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1)) （ui－\o(u,\s\up12(－))）（vi－\o(v,\s\up12(－))）,\o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1)) （ui－\o(u,\s\up12(－))）2)，eq \o(α,\s\up12(^))＝eq \o(v,\s\up12(－))－eq \o(β,\s\up12(^)) eq \o(u,\s\up12(－)). 【解析】　(1)应该选择模型①. 理由：模型①的残差比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②的带状区域的宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，经验回归方程的预报精度相应就会越高．故应选模型①. (2)由(1)知，选用模型①y＝a·bx，两边取自然对数，得ln y＝(ln b)x＋ln a， 由z＝ln y，得z＝(ln b)x＋ln a，ln eq \o(b,\s\up12(^))＝eq \f(\o(∑,\s\up12(8),\s\do10(i＝1)) （xi－\o(x,\s\up12(－))）（zi－\o(z,\s\up12(－))）,\o(∑,\s\up12(8),\s\do10(i＝1)) （xi－\o(x,\s\up12(－))）2)＝eq \f(48.48,168)≈0.29， ln eq \o(a,\s\up12(^))＝eq \o(z,\s\up12(－))－eq \o(x,\s\up12(－))ln eq \o(b,\s\up12(^))≈2.89－0.29×25＝－4.36， 于是有ln eq \o(y,\s\up12(^))＝0.29x－4.36，所以y关于x的经验回归方程为eq \o(y,\s\up12(^))＝e0.29x－4.36. 当x＝35时，eq \o(y,\s\up12(^))＝e0.29×35－4.36＝e5.79≈327(个)， 所以温度为35 ℃时，这只红铃虫的产卵数的预报值约为327个． 题型二　用R2判断模型拟合效果 例2　为研究质量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如下表所示： x 5 10 15 20 25 30 y 7.25 8.12 8.95 9.9 10.9 11.8 (1)作出散点图，并求经验回归方程； (2)求决定系数R2，并判断模型的拟合效果； (3)进行残差分析． 附：经验回归直线eq \o(y,\s\up12(^))＝eq \o(a,\s\up12(^))＋eq \o(b,\s\up12(^))x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为eq \o(b,\s\up12(^))＝eq \f(\o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up12(－)) \o(y,\s\up12(－)),\o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1))xi2－n\o(x,\s\up12(－))2)，eq \o(a,\s\up12(^))＝eq \o(y,\s\up12(－))－eq \o(b,\s\up12(^)) eq \o(x,\s\up12(－))，决定系数R2＝1－eq \f(\o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1)) （yi－\o(y,\s\up12(^))i）2,\o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1)) （yi－\o(y,\s\up12(－))）2). 【解析】　(1)散点图如下图所示： 从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式求得经验回归方程的系数． 因为eq \o(x,\s\up12(－))＝eq \f(1,6)×(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5， eq \o(y,\s\up12(－))＝eq \f(1,6)×(7.25＋8.12＋8.95＋9.9＋10.9＋11.8)≈9.487， eq \o(∑,\s\up12(6),\s\do10(i＝1))xi2＝2 275，eq \o(∑,\s\up12(6),\s\do10(i＝1))xiyi＝1 076.2. 计算，得eq \o(b,\s\up12(^))≈0.183，eq \o(a,\s\up12(^))≈6.285. 所以所求经验回归方程为eq \o(y,\s\up12(^))＝6.285＋0.183x. (2)由题中数据及(1)中所求经验回归方程列表如下： yi－eq \o(y,\s\up6(^))i 0.05 0.005 －0.08 －0.045 0.04 0.025 yi－eq \o(y,\s\up6(－)) －2.24 －1.37 －0.54 0.41 1.41 2.31 eq \o(∑,\s\up12(6),\s\do10(i＝1)) (yi－eq \o(y,\s\up12(^))i)2＝0.013 175，eq \o(∑,\s\up12(6),\s\do10(i＝1)) (yi－eq \o(y,\s\up12(－)))2＝14.678 4， 所以R2＝1－eq \f(0.013 175,14.678 4)≈0.999 1. 所以模型的拟合效果较好． (3)由(2)的表中数据可以看出残差比较均匀地落在比较狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与质量呈线性相关关系． 由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立经验回归模型． 【讲评】　(1)线性回归分析的过程： ①随机抽取样本，确定数据，形成样本点． ②由样本点作出散点图，判定两个变量是否具有线性相关关系． ③由最小二乘法求经验回归方程． ④进行残差分析，分析模型的拟合效果，不合适时，分析错因，予以纠正． ⑤依据经验回归方程作出预报． (2)用散点图可粗略判断两个变量间有无线性相关关系，用决定系数R2可以描述两个变量之间相关关系的密切程度． 思考题2　(1)对两个变量y与x进行回归分析时，分别选择了4个不同模型，它们的决定系数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(　　) A．模型1的决定系数R2＝0.15 B．模型2的决定系数R2＝0.85 C．模型3的决定系数R2＝0.25 D．模型4的决定系数R2＝0.95 D 【解析】　两个变量y与x的回归模型中，决定系数R2越大，拟合效果越好．故选D. (2)关于x与y有如下数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 为了对x，y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 甲模型：eq \o(y,\s\up12(^))＝6.5x＋17.5；乙模型：eq \o(y,\s\up12(^))＝7x＋17， 试比较哪一种模型拟合的效果更好． 附：决定系数R2＝1－eq \f(\o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1)) （yi－\o(y,\s\up12(^))i）2,\o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1)) （yi－\o(y,\s\up12(－))）2). 【解析】　∵R甲2＝1－eq \f(\o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1)) （yi－\o(y,\s\up12(^))i）2,\o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1)) （yi－\o(y,\s\up12(－))）2)＝1－eq \f(155,1 000)＝0.845， R乙2＝1－eq \f(\o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1)) （yi－\o(y,\s\up12(^))i）2,\o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1)) （yi－\o(y,\s\up12(－))）2)＝1－eq \f(180,1 000)＝0.82， ∴R甲2>R乙2.∴甲模型拟合的效果更好． 课 后 巩 固 1．下列说法错误的是(　　) A．在线性回归分析中，样本相关系数r的值越大，变量间的线性相关性越强 B．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 C．在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好 A 解析　在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越接近1，变量间的线性相关性越强，A错误；根据相关关系的定义知B正确；在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，C正确；在回归分析中，R2的值越大，模型拟合的效果越好，D正确．故选A. 2．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位：℃)存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的经验回归方程eq \o(y,\s\up12(^))＝0.25x＋eq \o(k,\s\up12(^))， x/(次/分钟) 20 30 40 50 60 y/℃ 25 27.5 29 32.5 36 则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温预报值为(　　) A．33 ℃　　　　　　　 B．34 ℃ C．35 ℃ D．35.5 ℃ B 解析　由题意，得eq \o(x,\s\up12(－))＝eq \f(20＋30＋40＋50＋60,5)＝40，eq \o(y,\s\up12(－))＝eq \f(25＋27.5＋29＋32.5＋36,5)＝30，则eq \o(k,\s\up12(^))＝eq \o(y,\s\up12(－))－0.25eq \o(x,\s\up12(－))＝30－0.25×40＝20，所以eq \o(y,\s\up12(^))＝0.25x＋20.当x＝56时，eq \o(y,\s\up12(^))＝0.25×56＋20＝34(℃)．故选B. 3．已知变量y关于x的经验回归方程为eq \o(y,\s\up12(^))＝eeq \o(b,\s\up12(^))x－0.5，其一组数据如下表所示： x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 若x＝5，则预测y的值可能为(　　) A．e5 B．eeq \s\up12(\f(11,2)) C．e7 D．eeq \s\up12(\f(15,2)) D 解析　由eq \o(y,\s\up12(^))＝eeq \o(b,\s\up12(^))x－0.5，得ln eq \o(y,\s\up12(^))＝eq \o(b,\s\up12(^))x－0.5，令z＝ln y，则eq \o(z,\s\up12(^))＝eq \o(b,\s\up12(^))x－0.5. z与x的数据如下表所示： x 1 2 3 4 z 1 3 4 6 eq \o(x,\s\up12(－))＝eq \f(1＋2＋3＋4,4)＝2.5，eq \o(z,\s\up12(－))＝eq \f(1＋3＋4＋6,4)＝3.5， ∵(eq \o(x,\s\up12(－))，eq \o(z,\s\up12(－)))满足eq \o(z,\s\up12(^))＝eq \o(b,\s\up12(^))x－0.5，∴3.5＝eq \o(b,\s\up12(^))×2.5－0.5， 解得eq \o(b,\s\up12(^))＝1.6，∴eq \o(z,\s\up12(^))＝1.6x－0.5，∴eq \o(y,\s\up12(^))＝e1.6x－0.5， 当x＝5时，eq \o(y,\s\up12(^))＝e1.6×5－0.5＝eeq \s\up12(\f(15,2)).故选D. 4．以下几个命题： ①经验回归直线eq \o(y,\s\up12(^))＝eq \o(b,\s\up12(^))x＋eq \o(a,\s\up12(^))恒过点(eq \o(x,\s\up12(－))，eq \o(y,\s\up12(－)))； ②用决定系数R2可以刻画回归的效果，值越小说明模型的拟合效果越好； ③随机误差是引起预报值eq \o(y,\s\up12(^))和观测值yi之间存在误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差． 其中真命题为________． ①③ 解析　①经验回归直线eq \o(y,\s\up12(^))＝eq \o(b,\s\up12(^))x＋eq \o(a,\s\up12(^))恒过点(eq \o(x,\s\up12(－))，eq \o(y,\s\up12(－)))，所以正确． ②用决定系数R2可以刻画回归的效果，值越大说明模型的拟合效果越好，所以错误． ③随机误差是引起预报值eq \o(y,\s\up12(^))和观测值yi之间存在误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差，所以正确． 5．某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关，经统计得到如下数据： x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24 根据以上数据，绘制了散点图． 观察散点图，现考虑用反比例函数模型y＝a＋eq \f(b,x)和指数函数模型y＝cedx分别对两个变量的关系进行拟合．已求得用指数函数模型拟合的经验回归方程为eq \o(y,\s\up12(^))＝96.54e－0.2x，ln y与x的样本相关系数r1＝－0.94. 参考数据eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中ui＝\f(1,xi)))： eq \o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))uiyi eq \o(u,\s\up6(－)) eq \o(u,\s\up6(－))2 eq \o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))ui2 eq \o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))yi eq \o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))yi2 eq \r(0.61×6 185.5) e－2 183.4 0.34 0.115 1.53 360 22 385.5 61.4 0.135 (1)用反比例函数模型求y关于x的经验回归方程； (2)用样本相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好(精确到0.01)，并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本． 参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线eq \o(v,\s\up12(^))＝eq \o(α,\s\up12(^))＋eq \o(β,\s\up12(^))u的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq \o(β,\s\up12(^))＝eq \f(\o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1))uivi－n\o(u,\s\up12(－)) \o(v,\s\up12(－)),\o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1))ui2－n\o(u,\s\up12(－))2)，eq \o(α,\s\up12(^))＝eq \o(v,\s\up12(－))－eq \o(β,\s\up12(^)) eq \o(u,\s\up12(－))，样本相关系数r＝eq \f(\o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1))uivi－n\o(u,\s\up12(－)) \o(v,\s\up12(－)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1))ui2－n\o(u,\s\up12(－))2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1))vi2－n\o(v,\s\up12(－))2)))). 解析　(1)令u＝eq \f(1,x)，则y＝a＋eq \f(b,x)可转化为y＝a＋bu， 因为eq \o(y,\s\up12(－))＝eq \f(360,8)＝45，所以eq \o(b,\s\up12(^))＝eq \f(\o(∑,\s\up12(8),\s\do10(i＝1))uiyi－8\o(u,\s\up12(－)) \o(y,\s\up12(－)),\o(∑,\s\up12(8),\s\do10(i＝1))ui2－8\o(u,\s\up12(－))2)＝eq \f(183.4－8×0.34×45,1.53－8×0.115)＝eq \f(61,0.61)＝100， 则eq \o(a,\s\up12(^))＝eq \o(y,\s\up12(－))－eq \o(b,\s\up12(^)) eq \o(u,\s\up12(－))＝45－100×0.34＝11，所以eq \o(y,\s\up12(^))＝11＋100u， 所以y关于x的经验回归方程为eq \o(y,\s\up12(^))＝11＋eq \f(100,x). (2)y与eq \f(1,x)的样本相关系数为r2＝eq \f(\o(∑,\s\up12(8),\s\do10(i＝1))uiyi－8\o(u,\s\up12(－)) \o(y,\s\up12(－)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up12(8),\s\do10(i＝1))ui2－8\o(u,\s\up12(－))2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up12(8),\s\do10(i＝1))yi2－8\o(y,\s\up12(－))2))))＝eq \f(61,\r(0.61×6 185.5))＝eq \f(61,61.4)≈0.99， 因为|r1|<|r2|，所以用反比例函数模型拟合效果更好． 当x＝10时，eq \o(y,\s\up12(^))＝eq \f(100,10)＋11＝21(元)， 所以当产量为10千件时，估计每件产品的非原料成本为21元． 2 0 2 5 看 观 谢 谢 $$