专题09 集合的基本运算（六大题型）-2024年暑假九年级升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题9 集合的基本运算 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：集合的运算 1、并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB} Venn图表示： 知识点诠释： （1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只出现一次）． 2、交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示： 知识点诠释： （1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是． （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”． （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合． 3、补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U． 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set），简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示： 知识点诠释： （1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同． （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集． （3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）． 4、集合基本运算的一些结论 ， 若A∩B=A，则，反之也成立 若A∪B=B，则，反之也成立 若x（A∩B），则xA且xB 若x（A∪B），则xA，或xB 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法． 【典例例题】 题型一：集合的交集运算 【典例1-1】（2024·高一·江苏·假期作业）若集合，或，则 . 【典例1-2】（2024·高一·上海金山·期末）已知集合，则 . 【变式1-1】（2024·高一·上海宝山·期末）已知集合，，则 ． 【变式1-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知集合，则 ． 【变式1-3】（2024·高一·全国·竞赛）已知集合，，则 ． 【变式1-4】（2024·高一·广东阳江·阶段练习）设，，则 . 【变式1-5】（2024·高一·新疆·阶段练习）已知集合，，则 ． 题型二：并集运算 【典例2-1】（2024·高一·青海海东·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·北京东城·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·贵州黔东南·二模）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高三·山东·学业考试）已知集合，，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 题型三：补集运算 【典例3-1】（2024·高一·北京顺义·期中）已知全集，集合，则 ． 【典例3-2】（2024·高一·全国·专题练习）设，，，则 ； ． 【变式3-1】（2024·高一·上海嘉定·阶段练习）设全集，集合，那么 . 【变式3-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知，或，，则 ． 题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算 【典例4-1】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知全集，且，，，则集合       ． 【典例4-2】（2024·高一·安徽安庆·阶段练习）已知，且，，，则 . 【变式4-1】（2024·高一·广东中山·开学考试）已知全集，集合，，求： (1)，； (2) 【变式4-2】（2024·高一·北京·期中）已知：设，，，求： (1) ； (2) ； (3) 【变式4-3】（2024·高一·河北承德·期末）已知集合. (1)求； (2)求. 【变式4-4】（2024·高一·广西北海·期末）设集合.求： (1)； (2). 题型五：已知集合的交集、并集、补集求参数 【典例5-1】（2024·高一·北京·期中）已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求m的取值范围. 【典例5-2】（2024·高一·广东珠海·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【变式5-1】（2024·高一·浙江·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【变式5-2】（2024·高一·北京·期中）设全集，集合，. (1)若，求集合并写出的所有子集； (2)若，，求. 【变式5-3】（2024·高一·上海·专题练习）设集合，，全集，且，求实数的取值范围． 【变式5-4】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 题型六：韦恩图在集合运算中的应用 【典例6-1】（2024·高一·北京·阶段练习）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 . 【典例6-2】（2024·高一·北京·期中）某班共42人，其中20人喜爱篮球运动，25人喜爱乒乓球运动，12人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 . 【变式6-1】（2024·高一·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 【变式6-2】（2024·高一·江苏常州·期中）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出17种商品，第二天售出13种商品，第三天售出14种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有5种，则该网店这三天售出的商品最少有 种. 【变式6-3】（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）某校高一年级组织趣味运动会，其中“毛毛虫”和“两人三足”两个比赛项目深受学生喜爱，报名踊跃.已知某班学生参加“毛毛虫”的人数是该班全体人数的四分之一；参加“两人三足”的人数比参加“毛毛虫”的人数多2人；两个项目都参加的人数比两个项目都不参加的学生人数少26人；则该班参加“两人三足”比赛的人数是 . 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高二·四川德阳·期末）集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高一·安徽芜湖·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高一·全国·假期作业）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．（2024·天津·三模）设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2024·江苏南通·模拟预测）设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 6．（2024·高一·青海海东·阶段练习）已知集合，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 8．（2024·高一·辽宁朝阳·阶段练习）已知全集，集合，，则下列说法不正确的是（    ） A．集合的真子集有个 B． C． D．， 9．（2024·高一·云南怒江·阶段练习）若，，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（2024·上海闵行·二模）集合，，则 . 11．（2024·高一·河南南阳·阶段练习）若集合或，则 12．（2024·高一·重庆长寿·期末）已知集合，则 13．（2024·高一·广东广州·阶段练习）已知全集，集合．则 ． 14．（2024·高一·黑龙江牡丹江·阶段练习）设全集，，则 ． 15．（2024·高三·全国·专题练习）“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为 ． 16．（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）疫情期间，某社区因疫情防控需要招募志愿者进行连续3天的核酸采样工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人.则这三天参加的人数最少为 . 17．（2024·江西·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为 . 四、解答题 18．（2024·高一·江西上饶·期末）已知集合，，. (1)求，； (2)若，求的取值范围. 19．（2024·高二·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9 集合的基本运算 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：集合的运算 1、并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB} Venn图表示： 知识点诠释： （1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只出现一次）． 2、交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示： 知识点诠释： （1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是． （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”． （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合． 3、补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U． 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set），简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示： 知识点诠释： （1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同． （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集． （3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）． 4、集合基本运算的一些结论 ， 若A∩B=A，则，反之也成立 若A∪B=B，则，反之也成立 若x（A∩B），则xA且xB 若x（A∪B），则xA，或xB 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法． 【典例例题】 题型一：集合的交集运算 【典例1-1】（2024·高一·江苏·假期作业）若集合，或，则 . 【答案】/ 【解析】根据题意，或. 故答案为：. 【典例1-2】（2024·高一·上海金山·期末）已知集合，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以. 故答案为：. 【变式1-1】（2024·高一·上海宝山·期末）已知集合，，则 ． 【答案】 【解析】由，可得、，则. 故答案为：. 【变式1-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知集合，则 ． 【答案】 【解析】由已知得， 故答案为： 【变式1-3】（2024·高一·全国·竞赛）已知集合，，则 ． 【答案】 【解析】提示：由，则是偶数，故； 再由，则是奇数且不小于，即， 故． 故答案为：. 【变式1-4】（2024·高一·广东阳江·阶段练习）设，，则 . 【答案】 【解析】因为，，则. 故答案为：. 【变式1-5】（2024·高一·新疆·阶段练习）已知集合，，则 ． 【答案】 【解析】，， 则，解得，故. 故答案为：. 题型二：并集运算 【典例2-1】（2024·高一·青海海东·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为集合， 所以. 故选：A. 【典例2-2】（2024·北京东城·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 所以. 故选：A. 【变式2-1】（2024·贵州黔东南·二模）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可知，. 故选：D 【变式2-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 故选：A 【变式2-3】（2024·高三·山东·学业考试）已知集合，，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以. 故选：B 题型三：补集运算 【典例3-1】（2024·高一·北京顺义·期中）已知全集，集合，则 ． 【答案】 【解析】全集，集合，则. 故答案为：. 【典例3-2】（2024·高一·全国·专题练习）设，，，则 ； ． 【答案】 【解析】由，，， ，． 故答案为：，. 【变式3-1】（2024·高一·上海嘉定·阶段练习）设全集，集合，那么 . 【答案】 【解析】由全集，可得集合表示直线上的点构成的集合， 又由，可得且，所以集合表示直线上除去点之外的点构成的集合，所以. 故答案为：. 【变式3-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知，或，，则 ． 【答案】 【解析】，或， ， 又， ． 故答案为：． 题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算 【典例4-1】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知全集，且，，，则集合       ． 【答案】 【解析】全集， ，则，， 所以. 故答案为：. 【典例4-2】（2024·高一·安徽安庆·阶段练习）已知，且，，，则 . 【答案】 【解析】由题意得， 又，故， 又，故，且，， 因为，故，， 因为，故，， 综上：，画出韦恩图如下： 故答案为： 【变式4-1】（2024·高一·广东中山·开学考试）已知全集，集合，，求： (1)，； (2) 【解析】（1）由交集的定义可知，； 由并集的定义可知，； （2）由补集定义可知，， . 【变式4-2】（2024·高一·北京·期中）已知：设，，，求： (1) ； (2) ； (3) 【解析】（1），，， 则有 ； （2）； （3），. 【变式4-3】（2024·高一·河北承德·期末）已知集合. (1)求； (2)求. 【解析】（1）因为， 故， 所以 （2）易知， . 【变式4-4】（2024·高一·广西北海·期末）设集合.求： (1)； (2). 【解析】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以或，或. 故或. 题型五：已知集合的交集、并集、补集求参数 【典例5-1】（2024·高一·北京·期中）已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求m的取值范围. 【解析】（1）当时，， 因为， 所以；； （2）因为， 所以或， 因为，所以， 因为， 所以或， 得或， 所以m的取值范围为或. 【典例5-2】（2024·高一·广东珠海·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）集合，，， 则由交集的定义可知，且，解得. （2）当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，或， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 【变式5-1】（2024·高一·浙江·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，所以，， 所以， （2）由得，得解得， 所以，故实数的取值范围为 【变式5-2】（2024·高一·北京·期中）设全集，集合，. (1)若，求集合并写出的所有子集； (2)若，，求. 【解析】（1）若，， 所以，集合的所有子集为：、、、. （2）因为，所以，，因为，所以，， 所以，，解得， 则， ， 所以，，，满足题意， 因此，. 【变式5-3】（2024·高一·上海·专题练习）设集合，，全集，且，求实数的取值范围． 【解析】法一：(直接法)：由，得． 因为，， 所以，即， 所以m的取值范围是． 法二(集合间的关系)：由可知， 又，， 结合数轴： 得，即. 【变式5-4】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）由已有，或， ∴； （2）∵，∴， 若，则，则，满足题意； 若，则，解得，∴， 综上，的取值范围是． 题型六：韦恩图在集合运算中的应用 【典例6-1】（2024·高一·北京·阶段练习）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 . 【答案】 9 2 【解析】如图所示： 设U={参加比赛的学生}，A={参加游泳比赛的学生}，B={参加田径比赛的学生}，C={参加球类比赛的学生}， 依题意，，， 于是，解得， 所以只参加游泳比赛的人数为， 只参加田径比赛的人数. 故答案为：9，2 【典例6-2】（2024·高一·北京·期中）某班共42人，其中20人喜爱篮球运动，25人喜爱乒乓球运动，12人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 . 【答案】5 【解析】设集合表示：喜爱篮球运动的学生，集合表示：喜爱乒乓球运动的学生，整个班级学生为集合, 则由题可知，的元素个数为20，的元素个数为25， 则的元素个数为12，所以的元素个数为， 所以的元素个数为， 所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为人， 故答案为:5. 【变式6-1】（2024·高一·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 【答案】6 【解析】如图所示，设同时参加田径和球类比赛有人， 可得，解得． 易知只参加趣味比赛一项的有6人， 故答案为：6 【变式6-2】（2024·高一·江苏常州·期中）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出17种商品，第二天售出13种商品，第三天售出14种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有5种，则该网店这三天售出的商品最少有 种. 【答案】 【解析】由题意，第一天售出17种商品，第二天售出13种商品，前两天都售出的商品有3种， 所以第一天售出但第二天未售出的商品有种， 第二天售出但第一天未售出的商品有种， 所以前两天共售出的商品有种， 第三天售出14种商品，后两天都售出的商品有5种， 所以第三天售出但第二天未售出的商品有种， 因为， 所以这种商品都是第一天售出但第二天未售出的商品时，该网店这三天售出的商品种类最少，其最小值为. 故答案为：. 【变式6-3】（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）某校高一年级组织趣味运动会，其中“毛毛虫”和“两人三足”两个比赛项目深受学生喜爱，报名踊跃.已知某班学生参加“毛毛虫”的人数是该班全体人数的四分之一；参加“两人三足”的人数比参加“毛毛虫”的人数多2人；两个项目都参加的人数比两个项目都不参加的学生人数少26人；则该班参加“两人三足”比赛的人数是 . 【答案】 【解析】设该班总人数为，则参加“毛毛虫”的人数为，参加“两人三足”的人数为， 若两个项目都参加的人数为，则两个项目都不参加的学生人数为， 所以，故该班参加“两人三足”比赛的人数是. 故答案为： 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高二·四川德阳·期末）集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合，集合， 则集合. 故选：D. 2．（2024·高一·安徽芜湖·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故. 故选：A 3．（2024·高一·全国·假期作业）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得， 又因为，所以， 故选：C. 4．（2024·天津·三模）设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，全集，则，， 得，所以. 故选：B 二、多选题 5．（2024·江苏南通·模拟预测）设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】当，，，时，满足， 此时，不是的子集，所以A、B不一定成立； ，，所以C不一定成立； 对于D，若，则，但，因为， 所以，于是，所以， 同理若，则，， 因此，成立，所以D成立. 故选：ABC. 6．（2024·高一·青海海东·阶段练习）已知集合，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为， 对于A，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AC. 7．（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】ABD 【解析】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}， {是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人， 只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人. 故选：ABD 8．（2024·高一·辽宁朝阳·阶段练习）已知全集，集合，，则下列说法不正确的是（    ） A．集合的真子集有个 B． C． D．， 【答案】BCD 【解析】对于A：因为含有个元素，则集合的真子集有个，故A正确； 对于B：因为且，所以，则，故B错误； 对于C：因为， 显然，，所以不是的子集，故C错误； 对于D：依题意， 所以，显然，故D错误. 故选：BCD 9．（2024·高一·云南怒江·阶段练习）若，，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为，所以； 若，则，时，，不符合集合元素的互异性，舍去；时，，，满足，故A正确； 若，则，时，，，满足，故B正确；时，，，满足，故C正确； 若，则，不符合集合元素的互异性，舍去； 若，则或0，时，，，满足； 所以或或， 故选：ABC. 三、填空题 10．（2024·上海闵行·二模）集合，，则 . 【答案】 【解析】， 所以. 故答案为：. 11．（2024·高一·河南南阳·阶段练习）若集合或，则 【答案】或 【解析】因为或， 所以或， 故答案为：或. 12．（2024·高一·重庆长寿·期末）已知集合，则 【答案】或 【解析】全集为实数R，集合； 故或. 故答案为：或. 13．（2024·高一·广东广州·阶段练习）已知全集，集合．则 ． 【答案】 【解析】由题意可知：或， 所以. 故答案为：. 14．（2024·高一·黑龙江牡丹江·阶段练习）设全集，，则 ． 【答案】 【解析】由题可知，， 则， 故答案为：． 15．（2024·高三·全国·专题练习）“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为 ． 【答案】20 【解析】首先设是会打乒乓球的教师，是会打羽毛球球的教师， 是会打蓝球的教师， 根据题意得，，，，， 再使用三元容斥原理得： ， 有， 而中把的区域计算了3次， 于是要减掉这3次，才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数. 因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为. 故答案为：20. 16．（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）疫情期间，某社区因疫情防控需要招募志愿者进行连续3天的核酸采样工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人.则这三天参加的人数最少为 . 【答案】29 【解析】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分别构成集合A，B，C， 设三天都参加的志愿者人数为，第一天和第三天均参加的志愿者人数为， 根据题意可作维恩图如图： 依题意必有均为自然数， 所以，， 故这三天参加的志愿者总人数为： 当时，总人数最少，最少人数为. 故答案为：29. 17．（2024·江西·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为 . 【答案】3 【解析】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三 支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图， 观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有(人)， 因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有(人)， 因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有(人)， 因此，至少看了一支短视频的有(人)， 所以没有观看任何一支短视频的人数为. 故答案为：3 四、解答题 18．（2024·高一·江西上饶·期末）已知集合，，. (1)求，； (2)若，求的取值范围. 【解析】（1）依题意，集合，， 所以，或， 所以或. （2）由于，若， 则. 19．（2024·高二·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由题意知：； 因为，故； ①当，即时，满足，此时； ②当，若，则，解得； 综上所述：m的取值范围为 （2）因为，且，故，即， 解得，则，； ①当，即时，； 故，解得； ②当，即时，； 故，解得； ③当，即时，，不合题意； 综上所述，m的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$