专题08 集合间的基本关系（七大题型）-2024年暑假九年级升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题08 集合间的基本关系 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一．集合与集合的关系 （1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集． 记作： 读作：A包含于B（或B包含A）． 图示： （2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等． 记作： 读作：A等于B． 图示： 知识点诠释： （1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出． （2）当不是的子集时，我们记作“（或）”，读作：“不包含于”（或“不包含”）． 知识点二．真子集 若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集． 记作：A⫋B（或BA） 读作：A真包含于B（或B真包含A） 知识点三．空集 不含有任何元素的集合称为空集，记作：． 规定：空集是任何集合的子集． 结论：（1）（类比） （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）若则（类比，则） （4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0． 【典例例题】 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 【典例1-1】（2024·高三·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高一·山东日照·阶段练习）已知集合满足，则集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（2024·高一·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 【变式1-2】（2024·高一·甘肃白银·阶段练习）设集合，求集合A的所有子集以及子集的的个数. 【变式1-3】（2024·高一·江苏·课后作业）已知集合． (1)用列举法表示集合，并求集合的真子集的个数； (2)若，求所有满足条件的集合； 【变式1-4】（2024·高一·全国·课后作业）（1）写出集合{a，b，c，d}的所有子集； （2）若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？ 题型二：韦恩图及其应用 【典例2-1】（2024·高一·辽宁大连·阶段练习）已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是 （填序号）. 【典例2-2】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·高一·全国·课后作业）能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R| x2＝x}关系的Venn图是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高一·河南新乡·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（    ） A． B． C． D． 题型三：由集合间的关系求参数的范围 【典例3-1】（2024·高一·广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 【典例3-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【变式3-1】（2024·高一·湖南衡阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 【变式3-2】（2024·高一·河北沧州·期中）已知集合，，若，求实数m的取值范围. 【变式3-3】（2024·高一·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 题型四：集合间的基本关系 【典例4-1】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2024·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高一·广东深圳·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·高一·湖北孝感·期中）给出下列关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型五：判断两集合是否相等 【典例5-1】（2024·高一·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 【典例5-2】（2024·高一·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-1】（2024·高一·湖北宜昌·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（多选题）（2024·高一·四川成都·期中）下列各组中M，P表示相同集合的是（ ） A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z } B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R } C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N } D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R } 【变式5-4】（2024·高一·上海静安·阶段练习）设集合，，则集合M与N的关系是 . 题型六：根据两集合相等求参数 【典例6-1】（2024·高一·全国·竞赛）已知，若集合，则 . 【典例6-2】（2024·高一·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则 . 【变式6-1】（2024·高一·全国·竞赛）已知集合，其中，若，则 ． 【变式6-2】（2024·高一·山东临沂·期末）集合，，且，则实数 ． 【变式6-3】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，若，则c的值为 . 题型七：空集的性质 【典例7-1】（2024·高一·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 【典例7-2】（2024·高一·上海虹口·期中）在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的为 （填写所有正确的序号）． 【变式7-1】（2024·高一·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【变式7-2】（2024·高一·湖南永州·阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 【变式7-3】（2024·高一·全国·课后作业）在下面的写法中：①；②；③；④；⑤，错误的写法的序号是 ． 【变式7-4】（2024·高一·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高一·河南南阳·阶段练习）若{a，b}⊆A⫋{a，b，c，d}，则符合条件的集合A的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 2．（2024·高一·上海静安·阶段练习）满足{1，2，3}M{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 3．（2024·高一·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（2024·高一·天津滨海新·阶段练习）设集合，，则两集合间的关系是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，，，则A，B，C之间的关系是（    ） A．A=BC B．AB=C C．ABC D．BC=A 二、多选题 6．（2024·高一·新疆乌鲁木齐·期中）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高一·新疆伊犁·阶段练习）给出以下几组集合，其中相等的集合有（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高一·河北张家口·期中）下列集合中，可以表示为的是（    ） A． B． C． D．不等式组的解集 9．（2024·高一·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·高三·浙江·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·高一·山东·期中）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 三、填空题 12．（2024·高一·浙江温州·开学考试）已知，，则M N （ 填“”或“”或“”或“” ）. 13．（2024·高一·全国·课后作业）集合，，若，则 ． 14．（2024·高一·天津和平·阶段练习）已知集合，则 . 15．（2024·高一·福建福州·阶段练习）已知集合若，则实数值为 16．（2024·高一·北京东城·期中）若集合，则实数a的取值范围 ． 17．（2024·高一·全国·课后作业）集合∅和{0}的关系表示正确的有 ．(把正确的序号都填上) ①{0}＝∅；②{0}∈∅；③{0}⊆∅；④∅是{0}的真子集． 18．（2024·高二·上海闵行·开学考试）不等式组的解集为，则实数的取值范围是 . 四、解答题 19．（2024·高一·全国·随堂练习）写出下列集合的所有子集： (1)； (2)． 20．（2024·高一·重庆·期中）已知集合，集合，且. (1)求m的值； (2)若，求的值. 21．（2024·高一·上海普陀·期中）已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 22．（2024·高一·上海浦东新·期中）已知，，若，求m的值． 23．（2024·高一·江苏·专题练习）已知集合，，若BA，求实数m的取值范围. 24．（2024·高一·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 25．（2024·高一·江苏·专题练习）由三个数，，1组成的集合与由，，0组成的集合中的元素相同，求的值. 26．（2024·高一·江苏·专题练习）已知集合A有三个元素：，，，集合B也有三个元素：0，1，x. (1)若，求a的值； (2)若，求实数x的值； (3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同？ 27．（2024·高一·山东德州·阶段练习）已知集合 (1)若集合且求实数的值 (2)若集合且求实数的取值范围 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 集合间的基本关系 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一．集合与集合的关系 （1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集． 记作： 读作：A包含于B（或B包含A）． 图示： （2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等． 记作： 读作：A等于B． 图示： 知识点诠释： （1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出． （2）当不是的子集时，我们记作“（或）”，读作：“不包含于”（或“不包含”）． 知识点二．真子集 若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集． 记作：A⫋B（或BA） 读作：A真包含于B（或B真包含A） 知识点三．空集 不含有任何元素的集合称为空集，记作：． 规定：空集是任何集合的子集． 结论：（1）（类比） （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）若则（类比，则） （4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0． 【典例例题】 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 【典例1-1】（2024·高三·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确. 故选：C. 【典例1-2】（2024·高一·山东日照·阶段练习）已知集合满足，则集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题可知，集合可以为：共3个， 故选：C. 【变式1-1】（2024·高一·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 【解析】（1）由题意可知，所以其子集为：，真子集为； （2）由题意可知， 所以其子集为：，共个， 真子集为：，共个， 非空真子集为：，共个； （3）由（1），（2）可猜想含有n个元素的集合其子集个数为个，真子集个数为个， 非空真子集个数为个. 【变式1-2】（2024·高一·甘肃白银·阶段练习）设集合，求集合A的所有子集以及子集的的个数. 【解析】我们根据集合的子集中含有的元素的个数分为以下五种情形： 情形一：不含任何元素的子集有； 情形二：含有一个元素的子集有； 情形三：含有两个元素的子集有； 情形四：含有三个元素的子集有； 情形五：含有四个元素的子集有； 因此集合A的所有子集共有个. 【变式1-3】（2024·高一·江苏·课后作业）已知集合． (1)用列举法表示集合，并求集合的真子集的个数； (2)若，求所有满足条件的集合； 【解析】（1）由知．又，所以， 集合A的真子集的个数为． （2）由题意知集合中必含元素0，1，2，而3，4这两个元素可以不含，也可以含一个或含两个，所以满足条件的集合为，，，． 【变式1-4】（2024·高一·全国·课后作业）（1）写出集合{a，b，c，d}的所有子集； （2）若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？ 【解析】（1）集合的所有子集有：、、、、、、、、、、、、、、、； （2）若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有个子集，个真子集. 题型二：韦恩图及其应用 【典例2-1】（2024·高一·辽宁大连·阶段练习）已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是 （填序号）. 【答案】② 【解析】．由N＝{x|x2+x＝0}， 得N＝{﹣1，0}． ∵M＝{﹣1，0，1}， ∴NM， 故答案为②． 【典例2-2】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知，显然，且互不包含. 故选：A 【变式2-1】（2024·高一·全国·课后作业）能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R| x2＝x}关系的Venn图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴N M. 故选：B 【变式2-2】（2024·高一·河南新乡·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得： 由题意得， 所以N是M的真子集． 故选：B 【变式2-3】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】化简集合，判断集合没有包含关系，即可得出答案.，集合没有包含关系 故选：A 题型三：由集合间的关系求参数的范围 【典例3-1】（2024·高一·广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 【解析】（1） 当时，， 所以B是A的真子集． （2）． 若，则，是真子集成立； 若，则，因为是A真子集， 或，所以或． 所以的值组成的集合． 【典例3-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 【变式3-1】（2024·高一·湖南衡阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 【解析】（1）因为，， 所以中没有元素，即， 所以的取值范围为. （2）因为，， 由（1）知，当时，，此时满足； 当时，则； 所以的取值范围为. 【变式3-2】（2024·高一·河北沧州·期中）已知集合，，若，求实数m的取值范围. 【解析】由， 当，则，满足题设； 当，则； 综上，. 【变式3-3】（2024·高一·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【解析】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 题型四：集合间的基本关系 【典例4-1】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 故选：D. 【典例4-2】（2024·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：， 显然24的倍数均为12的倍数，但12的倍数不一定是24的倍数，例如12， 所以是的真子集，对比选项可知B正确，ACD错误. 故选：B. 【变式4-1】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 故选：C. 【变式4-2】（2024·高一·广东深圳·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， , ， 故, 故选： 【变式4-3】（2024·高一·湖北孝感·期中）给出下列关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①，故①错误； ②是整数，所以，故②正确； ③由，得或，所以，所以正确； ④为正整数集，所以错误； ⑤由，得，所以，所以错误. 所以正确的个数有2个. 故选：B. 题型五：判断两集合是否相等 【典例5-1】（2024·高一·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】A选项，整数中的元素是整数，整数集中的元素是整数集，故不是同一集合； B选项，中的元素是，中的元素是，故不是同一集合； C选项，与都表示直线上的所有点，故是同一集合； D选项，中的元素是数1，2，中的元素是有序数对，故不是同一集合； 故选：C. 【典例5-2】（2024·高一·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】A：根据集合元素具有无序性，则，故A正确； B：和是不同元素，故B错误； C：图为中的元素是有序实数对，而中的元素是实数，所以C错误； D：因为中有两个元素，即4，3，而中有一个元素，即，所以D错误. 故选：A 【变式5-1】（2024·高一·湖北宜昌·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】A选项：与不是同一个点，A选项错误； B选项：集合是点集，集合是数集，B选项错误； C选项：根据集合中元素的无序性可知，是同一个集合，C选项正确； D选项：集合是数集，集合是点集，D选项错误； 故选：C. 【变式5-2】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误； B.集合表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合是点集，只有1个元素，为，所以不是相等集合，故B错误； C.，得，即，故C正确； D.集合是空集，但集合是非空集，里面有1个元素，所以不是相等集合，故D错误. 故选：C 【变式5-3】（多选题）（2024·高一·四川成都·期中）下列各组中M，P表示相同集合的是（ ） A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z } B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R } C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N } D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R } 【答案】ABC 【解析】对于A，因为n∈Z，则n+1∈Z，因此集合M ，P都表示所以偶数组成的集合，A正确， 对于B，M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R }，即B正确， 对于C，M，P因此C正确， 对于D，集合M的元素是实数，集合P的元素是有序实数对，因此D不正确. 故选：ABC 【变式5-4】（2024·高一·上海静安·阶段练习）设集合，，则集合M与N的关系是 . 【答案】 【解析】，解得，又，故， 因为，又，所以， 故答案为：. 题型六：根据两集合相等求参数 【典例6-1】（2024·高一·全国·竞赛）已知，若集合，则 . 【答案】2 【解析】因为，所以，于是可得或， 由得，而无解，所以， 所以=2. 故答案为：2 【典例6-2】（2024·高一·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则 . 【答案】 【解析】依题意可知，由于， 所以，此时， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 【变式6-1】（2024·高一·全国·竞赛）已知集合，其中，若，则 ． 【答案】 【解析】，即，又，所以， 解得，当时，，与元素的互异性矛盾，所以． 时，符合要求， 故答案为： 【变式6-2】（2024·高一·山东临沂·期末）集合，，且，则实数 ． 【答案】 【解析】由题意得， 则，解得. 故答案为：. 【变式6-3】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，若，则c的值为 . 【答案】 【解析】①若，消去b得， 当时，集合B中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性， 故，，即，此时集合B中的三个元素也相同， ∴舍去，即此时无解． ②若，消去得，同理， ∴，经检验满足题意 故答案为： 题型七：空集的性质 【典例7-1】（2024·高一·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 【答案】 【解析】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 【典例7-2】（2024·高一·上海虹口·期中）在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的为 （填写所有正确的序号）． 【答案】② 【解析】由数集的定义知：，，则①③错； 由空集性质和集合关系知：，，则②对，④错. 故答案为：② 【变式7-1】（2024·高一·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【答案】 【解析】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 【变式7-2】（2024·高一·湖南永州·阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【解析】因为集合为空集，所以，即或. 故答案为：或 【变式7-3】（2024·高一·全国·课后作业）在下面的写法中：①；②；③；④；⑤，错误的写法的序号是 ． 【答案】②③⑤ 【解析】①，空集是任何非空集合的真子集，①正确. ②，集合与集合间是包含关系，不是“属于”，元素与集合之间是属于关系，②错误. ③，空集没有任何元素，③错误. ④，根据集合元素的无序性可知④正确. ⑤，集合与集合间是包含关系，不是“属于”，元素与集合之间是属于关系，⑤错误. 故答案为：②③⑤ 【变式7-4】（2024·高一·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高一·河南南阳·阶段练习）若{a，b}⊆A⫋{a，b，c，d}，则符合条件的集合A的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【解析】若{a，b}⊆A⫋{a，b，c，d}， 则中必有两个元素，又是的真子集， 所以集合为，共3个， 故选：A. 2．（2024·高一·上海静安·阶段练习）满足{1，2，3}M{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【解析】由题意可知，,,,,, ，共有6个集合满足条件. 故选：C 3．（2024·高一·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 4．（2024·高一·天津滨海新·阶段练习）设集合，，则两集合间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可 即为的奇数倍构成的集合， 又， 即为的整数倍构成的集合，，即 故选：B 5．（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，，，则A，B，C之间的关系是（    ） A．A=BC B．AB=C C．ABC D．BC=A 【答案】B 【解析】集合，，， 集合，，， 集合，，， 时，表示被6除余1的数；时，表示被3除余1的数；时，表示被3除余1的数； 所以， 故选：B． 二、多选题 6．（2024·高一·新疆乌鲁木齐·期中）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，集合表示数集，集合表示点集，故B错误； 对于C，集合表示以点为元素的集合， 集合表示以点为元素的集合，故C错误； 对于D，空集是任意非空集合的真子集，故D正确. 故选：AD. 7．（2024·高一·新疆伊犁·阶段练习）给出以下几组集合，其中相等的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于选项A，是点集,是数集，所以不是相等集合； 对于选项B, , 都表达的是奇数集，所以是相等集合； 对于选项C，,所以是相等集合； 对于选项D, 是空集没有元素，有元素为0，所以不是相等集合. 故选：BC. 8．（2024·高一·河北张家口·期中）下列集合中，可以表示为的是（    ） A． B． C． D．不等式组的解集 【答案】AB 【解析】由，A符合； 由，B符合； 由表示点集合，不是数集，C不符合； 由，解集为，D不符合. 故选：AB 9．（2024·高一·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确． 故选：BCD． 10．（2024·高三·浙江·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】易知方程无解，所以，所以选项A正确， 因为，所以选项B错误， 因为集合是以为元素的集合，由元素与集合间的关系，知选项C正确， 又空集是任何集合的子集，所以选项D正确， 故选：ACD. 11．（2024·高一·山东·期中）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 【答案】ABC 【解析】，且，则： ①当时，或，解得或，A适合题意； ②若，则，解得， ③若，则，此时无解， ④若，则，此时无解，不合题意； 综上：的值为0和. 故选：ABC. 三、填空题 12．（2024·高一·浙江温州·开学考试）已知，，则M N （ 填“”或“”或“”或“” ）. 【答案】 【解析】因为，， 所以. 故答案为： 13．（2024·高一·全国·课后作业）集合，，若，则 ． 【答案】或/或 【解析】因为，所以即， 所以且，可得， 因为，所以，， 当时，，， 当时，可得：， 当时，，可得：， 所以或， 故答案为：或. 14．（2024·高一·天津和平·阶段练习）已知集合，则 . 【答案】或2 【解析】∵集合，即方程有唯一根 ∴或， 解得或， ∴或 故答案为：或2 15．（2024·高一·福建福州·阶段练习）已知集合若，则实数值为 【答案】或 【解析】因为所以， 记， 所以， 当时，，此时，所以不成立，故无解； 当时，，若，则，解得，符合； 当时，，若，则，解得或（舍）， 综上可知，的值为或， 故答案为：或. 16．（2024·高一·北京东城·期中）若集合，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【解析】故无解则 故答案为： 17．（2024·高一·全国·课后作业）集合∅和{0}的关系表示正确的有 ．(把正确的序号都填上) ①{0}＝∅；②{0}∈∅；③{0}⊆∅；④∅是{0}的真子集． 【答案】④ 【解析】∅没有任何元素，而{0}中有一个元素，显然∅≠{0}，故①不对； 又∅是任何非空集合的真子集，故有∅{0}，所以②③不对，④正确． 故答案为：④ 18．（2024·高二·上海闵行·开学考试）不等式组的解集为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】∵不等式组的解集为， ①当时，由求得；由，求得，故不等式组的解集为，故不满足条件； ②当时，由求得；由，求得， 若，即时，不等式组的解集为，满足条件； 若，即时，不等式组的解集为，不满足条件， 综上可得实数的取值范围是， 故答案为：． 四、解答题 19．（2024·高一·全国·随堂练习）写出下列集合的所有子集： (1)； (2)． 【解析】（1）的所有子集有和， （2）由于， 所以所有的子集有和， 20．（2024·高一·重庆·期中）已知集合，集合，且. (1)求m的值； (2)若，求的值. 【解析】（1）因为，可知2为方程的根， 则，解得. （2）由（1）可得：，且， 若，则或， 所以或4. 21．（2024·高一·上海普陀·期中）已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 【解析】， 可能为，，. 当时，无解，故，满足， 当时，则，解得， 当时，则，解得. 综上，实数的取值为. 22．（2024·高一·上海浦东新·期中）已知，，若，求m的值． 【解析】，若则，满足， 若则，则或， 解得或， 所以或或. 23．（2024·高一·江苏·专题练习）已知集合，，若BA，求实数m的取值范围. 【解析】当时，由，得. 当时，如图所示. 则，得，即， 综上可得，实数m的取值范围是. 24．（2024·高一·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）当时，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 当时，，因为所以，解得， 综上：实数的取值范围是或； （2）当时，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 综上：实数的值是2； 25．（2024·高一·江苏·专题练习）由三个数，，1组成的集合与由，，0组成的集合中的元素相同，求的值. 【解析】三个数a，，1组成的集合与由，a＋b，0组成的集合中的元素相同， 由a，，1组成一个集合，可知且. 由题意可得或，得或 (不满足集合元素的互异性，舍去). 所以，则有. 26．（2024·高一·江苏·专题练习）已知集合A有三个元素：，，，集合B也有三个元素：0，1，x. (1)若，求a的值； (2)若，求实数x的值； (3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同？ 【解析】（1）由且，可知或， 当时，；当时，. 经检验，0与－1都符合要求.∴或. （2）由，得或或，∴或或. 但考虑到集合元素的互异性，且，故. （3）显然，由集合元素的无序性，只可能或. 若，则，A包含的元素为0，5，10，与集合B中元素不相同. 若，则，A包含的元素为0，，，与集合B中元素不相同. 故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同. 27．（2024·高一·山东德州·阶段练习）已知集合 (1)若集合且求实数的值 (2)若集合且求实数的取值范围 【解析】（1）由集合，且 所以可得，此时方程组无解； 或，解得； 所以实数的值为. （2）当集合且可知： 若，则，解得 当时，若，则，，此时，不满足 若，则，此时，满足符合题意； 综上可知，实数的取值范围为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$