第02讲 空间中的点、直线与空间向量（7考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019选择性必修第一册）

第02讲 空间中的点、直线与空间向量 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解空间中的点与空间向量、空间中的直线与空间向量中的有关概念，凸显数学抽象的核心素养； 2．掌握空间中两条直线所成的角的向量求法、会用向量方法判断直线的平行、垂直的位置关系，凸显数学运算、直观想象的核心素养； 3．了解异面直线的公垂线段、异面直线之间的距离，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养. 知识点 1 空间中的点与空间向量 1.如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量OP唯一确定，向量OP就是点P的位置向量. 2.特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的坐标唯一确定． 知识点2 空间中的直线与空间向量 1直线的方向向量：l是空间一直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量，也称v与直线l平行，记作v//l. 2.结论： 知识点3 空间中两条直线所成的角 1.设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有 2.设a，b，分别是直线l1,l2的方向向量，则l1⊥l2⇔<a，b>＝⇔a·b＝0 3.拓广：向量方法证明直线与平面垂直. 知识点4 异面直线与空间向量 1.如图所示，l1,l2的方向向量分别是v1,v2,如果A∈l1,B∈l2,则l1与l2 2.如果l1,l2是空间中两条异面直线，M∈l1,N∈l2,MN⊥l1,MN⊥l2,则称MN为l1与l2的公垂线段. 3.结论：（1）空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在且唯一； （2）两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离. 考点一：直线方向向量的概念及其辨析 例1.（21-22高二·全国·课后作业）已知一直线经过点A（2，3，2），B（－1，0，5），下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（21-22高二上·广东·期中）已知一直线经过点，，下列向量中不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（21-22高二上·湖南邵阳·期末）已知平面上两点，则下列向量是直线的方向向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）（22-23高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知，，则直线的方向向量可以表示为(     ) A． B． C． D． 考点二：求直线方向向量 例2.（22-23高二·全国·课堂例题）如图，已知长方体的棱长，，．以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：    (1)； (2)． 【变式2-1】（22-23高二下·江苏·课后作业）在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD­-A1B1C1D1的棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为 ，直线BC1的一个方向向量为 . 【变式2-2】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知点，都在直线上，写出一个直线的方向向量： . 【变式2-3】（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）已知，在直线上，写出直线的一个方向向量： ．（坐标表示） 考点三：根据直线方向向量求参数 例3.（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式3-1】（21-22高二上·安徽合肥·期末）已知直线过点，，且是直线的一个方向向量，则 . 【变式3-2】（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知向量，都是直线l的方向向量，则x的值是 . 【变式3-3】（22-23高二下·江苏·课后作业）已知直线的一个方向向量为，另一个方向向量为，则 ， . 考点四：空间线线关系的判断 例4.（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【变式4-1】（21-22高二上·北京·期中）直线的方向向量分别为，则（    ） A． B．∥ C．与相交不平行 D．与重合 【变式4-2】（22-23高二上·云南昆明·期中）如图，下列正方体中，为底面的中点，为所在棱的中点，、为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．③④ B．①② C．②④ D．②③ 【变式4-3】（23-24高二上·山东威海·期末）设，分别是空间中的直线，的方向向量，，.记甲：，，不共面，乙：与异面，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 考点五：空间线线角的计算 例5.（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱柱中，侧棱平面，，，，，E为棱的中点，M为棱的中点． (1)证明：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【变式5-1】（2024·广东梅州·模拟预测）直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（21-22高二上·海南三亚·阶段练习）如图，正方体中，，分别是，的中点，则 ， 【变式5-3】（23-24高二上·青海海东·阶段练习）如图，在正四棱柱 中， M是棱上任意一点. (1)求证: (2)若M是棱的中点，求异面直线AM与BC 所成角的正切值. 考点六：根据线线角求参数 例6.（23-24高二上·重庆·期中）如图，设为正方体，动点在对角线上，记．    (1)证明：； (2)当为钝角时，求的取值范围． 【变式6-1】（23-24高二上·安徽合肥·期中）如图，已知点在正方体的对角线上，设，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二上·海南·期中）在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，是的中点，是棱上一点（不含端点），满足．若异面直线与所成角的余弦值为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-3】（23-24高二上·河南周口·期末）在空间直角坐标系 中，向量 分别为异面直线 的方向向量，若所成角的余弦值为 则 考点七：空间直线与平面垂直的证明 例7. （20-21高二上·山东滨州·期末）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且． （1）求证：平面； 【变式7-1】（多选）（23-24高三上·山东滨州·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，分别是棱，，的中点，则（    ）    A． B．平面 C．直线与是异面直线 D．直线与平面的交点是的外心 【变式7-2】（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）如图，在长方体中，，点分别为棱的中点， (1)求证：平面； 【变式7-3】（2024·山东·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，，. (1)当时，求证：平面； 1．（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，已知棱长为2的正方体，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（22-23高二上·湖北十堰·阶段练习）如图，在正方体中，E为棱上不与，C重合的任意一点，则能作为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二上·广东江门·期末）如图，在四面体中，分别是的中点，是和的交点，为空间中任意一点，则（    ） A．四点共面 B． C．为直线的方向向量 D． 4．（多选）（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（    ） A． B．∥ C．平面 D．四边形为矩形 5．（22-23高二上·山东·阶段练习）已知，在直线l上，写出直线l的一个方向向量： ． 6．（23-24高二上·山东济宁·阶段练习）如图所示，在正方体中，、分别为，的中点，为上一动点，记为异面直线与所成的角，则的值为 .    7．（23-24高三上·山东滨州·阶段练习）如图，下列正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足 的是 （填正确的序号） . ①．   ②．   ③．   ④．   8．（22-23高二·全国·随堂练习）已知非零向量，分别有，是否一定存在非零实数，使得？为什么？ 9．（21-22高二上·全国·课后作业）如图，把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，求折纸后的大小. 10.（18-19高二·全国·假期作业）在棱长为1的正方体中，分别是，的中点. (1)求证：； (2)求； (3)求的长. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 空间中的点、直线与空间向量 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解空间中的点与空间向量、空间中的直线与空间向量中的有关概念，凸显数学抽象的核心素养； 2．掌握空间中两条直线所成的角的向量求法、会用向量方法判断直线的平行、垂直的位置关系，凸显数学运算、直观想象的核心素养； 3．了解异面直线的公垂线段、异面直线之间的距离，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养. 知识点 1 空间中的点与空间向量 1.如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量OP唯一确定，向量OP就是点P的位置向量. 2.特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的坐标唯一确定． 知识点2 空间中的直线与空间向量 1直线的方向向量：l是空间一直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量，也称v与直线l平行，记作v//l. 2.结论： 知识点3 空间中两条直线所成的角 1.设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有 2.设a，b，分别是直线l1,l2的方向向量，则l1⊥l2⇔<a，b>＝⇔a·b＝0 3.拓广：向量方法证明直线与平面垂直. 知识点4 异面直线与空间向量 1.如图所示，l1,l2的方向向量分别是v1,v2,如果A∈l1,B∈l2,则l1与l2 2.如果l1,l2是空间中两条异面直线，M∈l1,N∈l2,MN⊥l1,MN⊥l2,则称MN为l1与l2的公垂线段. 3.结论：（1）空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在且唯一； （2）两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离. 考点一：直线方向向量的概念及其辨析 例1.（21-22高二·全国·课后作业）已知一直线经过点A（2，3，2），B（－1，0，5），下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点坐标得向量，结合方向向量的定义以及向量共线即可求解. 【详解】由题知，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量．D选项中的向量与线，所以是直线的方向向量． 故选：D． 【变式1-1】（21-22高二上·广东·期中）已知一直线经过点，，下列向量中不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得，然后根据向量共线确定正确选项. 【详解】由题知，，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量. A选项中的向量与不共线，所以不是直线的方向向量. 故选：A 【变式1-2】（21-22高二上·湖南邵阳·期末）已知平面上两点，则下列向量是直线的方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量的坐标运算和空间向量平行的坐标表示，以及直线的方向向量的定义可得选项. 【详解】解：因为两点，则， 又因为与向量平行，所以直线的方向向量是， 故选：D. 【变式1-3】（多选）（22-23高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知，，则直线的方向向量可以表示为(     ) A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】计算，，，AB满足，CD中向量与不共线，得到答案. 【详解】，，则， 对选项A：，满足； 对选项B：，满足； 对选项C：与不共线，不满足； 对选项D：与不共线，不满足； 故选：AB. 考点二：求直线方向向量 例2.（22-23高二·全国·课堂例题）如图，已知长方体的棱长，，．以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：    (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点的坐标再求向量坐标，最后结合方向向量的定义可求； （2）先求出点的坐标再求向量坐标，最后结合方向向量的定义可求； 【详解】（1）由已知可得，长方体顶点A，B，，的坐标分别为 ，，，． 因为向量，所以直线的一个方向向量为． （2）因为向量，所以直线的一个方向向量为． 【变式2-1】（22-23高二下·江苏·课后作业）在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD­-A1B1C1D1的棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为 ，直线BC1的一个方向向量为 . 【答案】 (0， 0， 1) (0， 1， 1)(答案不唯一) 【分析】利用方向向量的定义求解. 【详解】因为DD1∥AA1，＝(0， 0， 1)， 所以直线DD1的一个方向向量为(0， 0， 1). 因为BC1∥AD1， ＝(0， 1， 1)，所以直线BC1的一个方向向量为(0， 1， 1)． 故答案为：(0， 0， 1)，(0， 1， 1)(答案不唯一). 【变式2-2】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知点，都在直线上，写出一个直线的方向向量： . 【答案】(答案不唯一) 【分析】由方向向量的定义求解即可. 【详解】， 因为点，都在直线上， 所以都是直线的方向向量， 则可取. 故答案为：. 【变式2-3】（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）已知，在直线上，写出直线的一个方向向量： ．（坐标表示） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据直线上过的两个定点，即可求出直线的一个方向向量. 【详解】由题意， 在直线中，，， ∴直线的一个方向向量． 故答案为：（答案不唯一）． 考点三：根据直线方向向量求参数 例3.（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可. 【详解】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 【变式3-1】（21-22高二上·安徽合肥·期末）已知直线过点，，且是直线的一个方向向量，则 . 【答案】 【分析】由题得，解方程组即得解. 【详解】解：由题得， 因为是直线的一个方向向量， 所以，所以， 所以. 故答案为： 【变式3-2】（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知向量，都是直线l的方向向量，则x的值是 . 【答案】-1 【分析】根据两向量平行得到方程组，求出x的值. 【详解】由题意设，即， 即，解得. 故答案为：-1 【变式3-3】（22-23高二下·江苏·课后作业）已知直线的一个方向向量为，另一个方向向量为，则 ， . 【答案】 －20 12 【分析】由直线的方向向量平行的性质即可求解. 【详解】∵直线的方向向量平行， ∴， ∴， 故答案为：；. 考点四：空间线线关系的判断 例4.（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】利用给定的坐标，求出向量的坐标，再借助共线向量判断得解. 【详解】由，，，， 得，，则，即， 而，显然向量不共线，即点不在直线上， 所以直线与平行． 故选：B 【变式4-1】（21-22高二上·北京·期中）直线的方向向量分别为，则（    ） A． B．∥ C．与相交不平行 D．与重合 【答案】A 【分析】由题意可得，即得，从而得，即得答案. 【详解】解：因为直线的方向向量分别为， ， 所以， 即. 故选：A. 【变式4-2】（22-23高二上·云南昆明·期中）如图，下列正方体中，为底面的中点，为所在棱的中点，、为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．③④ B．①② C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断的值即可. 【详解】设正方体的棱长为， 对于①：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以与不垂直，即与不垂直，所以①错误； 对于②：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以，即，所以②正确；    对于③：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以，即，所以③正确； 对于④：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以与不垂直，即与不垂直，所以④错误； 故选：D. 【变式4-3】（23-24高二上·山东威海·期末）设，分别是空间中的直线，的方向向量，，.记甲：，，不共面，乙：与异面，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】从充分性和必要性的角度，结合异面直线的定义，即可判断和选择. 【详解】对空间中的任意两条直线， 若，，不共面，显然不可能平行或相交，两直线异面，充分性成立； 若是异面直线，根据异面直线的定义，定有，，不共面，必要性成立； 故甲是乙的充要条件. 故选：C. 考点五：空间线线角的计算 例5.（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱柱中，侧棱平面，，，，，E为棱的中点，M为棱的中点． (1)证明：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，只需证明即可； （2）求出异面直线与的方向向量，由向量的夹角公式即可得解. 【详解】（1）因为底面，平面， 所以， 而， 所以、、两两互相垂直， 不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如上图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、，， ，， 因为，所以，则； （2），， ， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 【变式5-1】（2024·广东梅州·模拟预测）直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，以为原点，建立空间直角坐标系，求出异面直线与所在直线的方向向量，由空间向量夹角的余弦值的坐标公式求解即可. 【详解】以为原点，在平面中过作的垂线交于， 以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为直三棱柱中，， 设， 所以，，，， ，， 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：. 【变式5-2】（21-22高二上·海南三亚·阶段练习）如图，正方体中，，分别是，的中点，则 ， 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为， 则， ， 所以. 故答案为： 【变式5-3】（23-24高二上·青海海东·阶段练习）如图，在正四棱柱 中， M是棱上任意一点. (1)求证: (2)若M是棱的中点，求异面直线AM与BC 所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法从而求证； （2）利用空间向量法求解异面直线所成的角. 【详解】（1）以A为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，则，， 可得，则， 所以，即. （2）是棱的中点，故，则， 设异面直线与所成角的大小为，， 则， 所以， 故异面直线与所成角的正切值为. 考点六：根据线线角求参数 例6.（23-24高二上·重庆·期中）如图，设为正方体，动点在对角线上，记．    (1)证明：； (2)当为钝角时，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明； （2）显然不是平角，则为钝角时有，解得不等式即可． 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    设正方体的棱长为1，则； ， 因为，所以， 所以， 所以，所以． （2），， 与是异面直线，显然不是平角， 则为钝角，有，解得． 所以的取值范围为． 【变式6-1】（23-24高二上·安徽合肥·期中）如图，已知点在正方体的对角线上，设，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以D为原点，以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.写出的坐标，根据向量夹角的坐标表示计算可得. 【详解】以D为原点，以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系. 不妨设，则， 所以， 所以， 因为， 所以， 整理得，解得或， 由题可知，所以. 故选：C 【变式6-2】（23-24高二上·海南·期中）在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，是的中点，是棱上一点（不含端点），满足．若异面直线与所成角的余弦值为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先根据条件建立合适空间直角坐标系，然后表示出点坐标，利用向量法表示出异面直线所成角的余弦值，求解出的倍数关系则可知. 【详解】取中点，连接， 因为四边形是菱形，，所以均为等边三角形， 又因为为中点，所以， 又因为，所以， 以为坐标原点，以方向为轴正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系： 设， 所以， 设，所以， 所以，所以，， 所以， 化简可得，所以， 所以，所以，所以， 故选：C. 【变式6-3】（23-24高二上·河南周口·期末）在空间直角坐标系 中，向量 分别为异面直线 的方向向量，若所成角的余弦值为 则 【答案】 【分析】由向量夹角的余弦公式运算即可. 【详解】设，所成角为， 则， 解得. 故答案为：. 考点七：空间直线与平面垂直的证明 例7. （20-21高二上·山东滨州·期末）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且． （1）求证：平面； 【答案】（1）证明见解析． 【分析】（1）以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得和，结合，即可证得平面； 【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得，，，则． 设点的坐标为，因为，所以， 即，，， 所以点的坐标为，即． 因为，所以． 由已知，且，所以平面． 【变式7-1】（多选）（23-24高三上·山东滨州·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，分别是棱，，的中点，则（    ）    A． B．平面 C．直线与是异面直线 D．直线与平面的交点是的外心 【答案】ABD 【分析】由题意建立空间直角坐标系，利用两个向量的夹角公式求得直线与直线的夹角，结合直线与平面垂直的判定定理以及正四面体的性质，即可求得. 【详解】由题意得，以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则， 对于选项A，由题意可知， ，则，，， 所以，即，故A正确； 对于选项 B，因为，则， 又因为，则，所以，即， 又因为，即，，平面， 所以平面，故B正确； 对于选项C，连接，，，，，则，，所以，    由图知，不共线，所以，则四点共面， 所以直线与是共面直线，故C错误； 对于选项D，设直线与平面的交点为， 由正方体的性质知，， 则四面体为正四面体， 又因为平面，则为正三角形的中心， 即为正三角形的外心，故D正确. 故选：ABD. 【变式7-2】（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）如图，在长方体中，，点分别为棱的中点， (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，通过证明，可得答案； 【详解】（1）方法一：因为是的中点，所以和是等腰直角三角形，所以， ， 因为平面平面，所以， 又平面，且 平面； 方法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， ，， 所以， ，，又平面，且， 平面； 【变式7-3】（2024·山东·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，，. (1)当时，求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，当时，求得的坐标，求得，得到，结合线面垂直的判定定理，即可得证； 【详解】（1）证明：以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，， 当时，，所以， 可得，所以， 又因为，平面，平面，所以平面. 1．（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，已知棱长为2的正方体，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解. 【详解】如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设异面直线与所成角为， 则 ， 所以异面直线与所成角为. 故选：D. 2．（22-23高二上·湖北十堰·阶段练习）如图，在正方体中，E为棱上不与，C重合的任意一点，则能作为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合立体图形，得到平行关系，从而确定答案. 【详解】因为，所以，，都可作为直线的方向向量. 故选：ABD. 3．（多选）（23-24高二上·广东江门·期末）如图，在四面体中，分别是的中点，是和的交点，为空间中任意一点，则（    ） A．四点共面 B． C．为直线的方向向量 D． 【答案】AC 【分析】证明四边形是平行四边形即可判断A和B；利用方向向量的概念即可判断C；利用向量加法运算计算判断D作答. 【详解】在四面体中，，，，分别是，，，的中点，则，， 于是得四边形是平行四边形，故，，，四点共面，即A正确 因平行四边形两条对角线不一定垂直，即不一定垂直，则不一定成立，B不正确； 因，，则为直线的方向向量，C正确； 平行四边形中，是和的交点，则是中点，对空间任意一点， 则，D不正确. 故选：AC. 4．（多选）（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（    ） A． B．∥ C．平面 D．四边形为矩形 【答案】AC 【分析】运用空间向量数量积的坐标运算结合垂直关系逐项分析判断. 【详解】由题意可知 都是非零向量， 对于A， ，即，故A正确； 对于C， ，即， 且 平面ABCD，， 所以 平面ABCD，故C正确； 对于B，因为 平面ABCD， 平面ABCD，所以，故B错误； 对于D，因为，即不垂直，故D错误； 故选：AC. 5．（22-23高二上·山东·阶段练习）已知，在直线l上，写出直线l的一个方向向量： ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据直线方向向量的求法求得. 【详解】由于，， 所以直线的一个方向向量. 故答案为：（答案不唯一） 6．（23-24高二上·山东济宁·阶段练习）如图所示，在正方体中，、分别为，的中点，为上一动点，记为异面直线与所成的角，则的值为 .    【答案】1 【分析】建立空间直角坐标系,表示出相关点的坐标，表示出，计算即可. 【详解】如图，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体边长为1，则,, 所以, 因为， 所以,即，所以. 故答案为：1.    7．（23-24高三上·山东滨州·阶段练习）如图，下列正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足 的是 （填正确的序号） . ①．   ②．   ③．   ④．   【答案】②③ 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量分析判断即可. 【详解】设正方体的棱长为2， 对于①：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以与不垂直，即与不垂直，所以①错误；    对于②：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以，即，所以②正确；    对于③：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以，即，所以③正确；    对于④：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以与不垂直，即与不垂直，所以④错误；    故答案为：②③. 8．（22-23高二·全国·随堂练习）已知非零向量，分别有，是否一定存在非零实数，使得？为什么？ 【答案】一定存在，理由见解析. 【分析】利用向量共线定理判定即可. 【详解】因为非零向量，分别有，则都是直线的方向向量， 所以，所以一定存在非零实数，使得. 9．（21-22高二上·全国·课后作业）如图，把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，求折纸后的大小. 【答案】 【分析】可连接，，根据正方形的对角线互相垂直有，，而折成的为直二面角，从而平面平面，从而可得到平面，可得出，，三直线两两垂直，从而可分别以这三直线为，，轴，建立空间直角坐标系．然后求出空间一些点的坐标，从而可以得出向量的坐标，这样可根据向量夹角的余弦公式求出向量的夹角，从而得出的大小． 【详解】折起后的图形如下所示，连接，，则，； 又平面平面，平面平面； 平面； ，，三直线两两垂直，分别以这三直线为，，轴，建立空间直角坐标系 设正方形的对角线长为2，则可确定以下点坐标： ，0，，，，，，0，，，，0，，，1，， ； ； ； ； ． 10.（18-19高二·全国·假期作业）在棱长为1的正方体中，分别是，的中点. (1)求证：； (2)求； (3)求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，根据空间位置的向量证明方法，即可证明结论； （2）根据空间向量夹角的坐标表示，即可求得答案； （3）根据空间向量模长的坐标表示，即可求得答案. 【详解】（1）证明：以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 因为，所以，即. （2）由（1）得，， ，， 所以. （3）由（1）知， 故. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$