1.3 探索三角形全等的条件（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（鲁教版五四制）

1.3 探索三角形全等的条件 知识点一 三角形的稳定性 ◆三角形的稳定性：三角形具有稳定性. 知识点二 全等三角形的概念 ◆全等三角形的概念：能够完全重合的三角形（长得完全一样的三角形） ◆全等三角形的表示方法： ①△ABC≌△DEF（读作：三角形ABC全等于三角形DEF） ②顶点需要一一对应（即长得一样的在描述中至于同等地位） ③从书写中，我们根据一一对应的关系，可得： a.点A与点D为对应顶点，点B与点E为对应顶点，点C与点F为对应顶点； b.∠A与∠D为对应角，∠B与∠E为对应角，∠C与∠F为对应角； c.AB与DE为对应边，AC与DF为对应边，BC与EF为对应边。 【注】找对应角对应边的方法： ①图形特征法； ②字母顺序确定法 知识点三 全等三角形的性质 ◆全等三角形的概念： ①对应边、对应角相等 ②周长、面积相等 ③对应边上的中线、角平分线、高相等 【注】 ①平移、翻折、旋转都是全等变换； ②缩放不是全等变换 知识点四 全等三角形的判断 ◆全等三角形的判定定理： ①SSS ②SAS ③ASA ④AAS ⑤HL斜边和直角边分别相等的两直角三角形全等（简写为HL）． 题型一 三角形具有稳定性 解题技巧提炼 三角形具有稳定性． 1. （2023秋•五莲县期中）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定门框，使其不变形，这种做法的根据是　　 A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 2. （2023秋•梁山县期中）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是　　 A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 3. （2023秋•岚山区期末）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的　　 A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．美观性 4. （2024春•青州市校级月考）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是　　 A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 5. （2024•沂源县二模）杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是 　 　． 题型二 利用全等三角形的性质求度数 解题技巧提炼 全等三角形的对应角相等． 1. （2024•张店区二模）如图所示的两个三角形全等，则的度数为　　 A． B． C． D． 2. （2024春•长清区期中）如图，，如果，，那么度数是　　 A． B． C． D． 3. （2023秋•定陶区期末）如图，已知，点恰好在的延长线上，，．则的度数是　　 A． B． C． D． 4. （2023秋•金乡县期末）已知图中的两个三角形全等，则等于　　 A． B． C． D． 5. （2023秋•嘉祥县期末）如图，，，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 6. （2023秋•海阳市期末）三个全等三角形按如图所示摆放，则　　 A． B． C． D． 7. （2023秋•费县期末）如图，，点在线段上，，则的度数为　　 A． B． C． D． 8. （2023秋•成武县期末）如图所示，，，，，，则　　． 题型三 利用全等三角形的性质求长度 解题技巧提炼 全等三角形的对应边、周长、面积相等． 1. （2024春•济南期中）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于　　 A．7 B．8 C．9 D．10 2. （2023秋•夏津县期末）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于　　 A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 3. （2023秋•宁津县期末）如图，，，，则　　 A．2 B．8 C．5 D．3 4. （2023秋•长汀县期中）如图，，、、在同一直线上，且，，则长　　 A．12 B．7 C．2 D．14 5. 如图，，若，，则的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 6. （2023秋•定陶区校级月考）如图，，，，，在同一条直线上，和，和是对应边，若，，则线段的长为　　 A． B． C． D． 题型四 判定三角形全等 解题技巧提炼 全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 1. （2023秋•邹平市期末）如图，，若要使，则添加的一个条件不能是　　 A． B． C． D． 2. （2023秋•任城区期末）如图，在和中，已知，，添加一个条件，不能判定的是　　 A． B． C． D． 3. （2024春•市中区校级期中）如图，已知，要说明，还需从下列条件中选一个，错误的选法是　　 A． B． C． D． 4. （2024春•天桥区期中）如图：，添加下列条件　　不能保证． A． B． C． D． 5. （2023秋•无棣县期末）如图，点，在上，，，添加一个条件，不能完全证明的是　　 A． B． C． D． 6. （2023秋•滨城区期末）如图，若，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是　　 A． B． C． D． 7. （2023秋•曲阜市期末）如图，平分，增加下列一个条件，不能判定的是　　 A． B． C． D． 题型五 全等三角形的综合题 解题技巧提炼 利用三角形的全等的性质和判定做题． 1. （2023秋•临沭县期末）如图，在中，，，为线段上一动点（不与点、点重合），连接，作，交线段于点．以下四个结论：①；②当为中点时，；③若，则；④当为等腰三角形时，．其中正确的结论有 　 　（填写正确结论的序号） 2. （2023秋•高青县期末）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在中，，是高，是外一点，，，若，，，求的面积．同学们可以先思考一下，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，（如图．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得的面积为 　 　． 3. （2024春•即墨区期中）如图，点、在上，已知，和是对应角，和是对应边． （1）再写出其他的一组对应边和一组对应角； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，，求的长． 4. （2024春•乳山市期末）如图，在中，，，过点作，，连接并延长交于点． （1）求； （2）证明：； （3）求证：． 5. （2024•高青县校级一模）如图，点在上，与交于点，，，． （1）求证：； （2）证明：． 6. （2024春•郓城县期中）如图，于，于，若、， （1）求证：平分； （2）已知，，求的长． 7. （2024•高青县校级模拟）如图，，，，，垂足为． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． 8. （2023秋•潍城区期末）如图，是等腰三角形，，点在边上运动（与，不重合），点、分别在边，上，且始终有，，连接，，设与交于点． （1）求证：； （2）若，随着点的运动，的大小是否为定值？如果是定值，请求出的度数；如果不是定值，请说明理由． 题型六 全等三角形的动点问题 解题技巧提炼 动点问题最重要的就是用利用动点表示线段长． 1. （2024春•垦利区期末）如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，，两点同时出发．当点到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为 ． （1）求证：； （2）连接，当线段经过点时，求的值． 2. （2023秋•铁锋区期末）综合与实践： 已知：如图，在中，厘米，厘米，点为的中点． （1）如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，运动的时间秒． ①若点的运动速度与点的运动速度相等，时，与是否全等 　 　（填“是”或“否； ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当与全等时，请直接写出点的运动速度为 　　． （2）若点以（1）②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，则经过多长时间，点与点第一次在的哪条边上相遇？此时相遇点距离点的路程是多少？ 3. 如图，已知正方形的边长为，点在边上，． （1）如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等．请说明理由． ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ （2）若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿正方形四边运动，求经过多长时间点与点第一次在正方形边上的何处相遇？相遇点在何处？ 4. （2022春•神木市期末）如图1，与相交于点．，． （1）求证：； （2）如图2，过点作交于，交于，求证：； （3）如图3，若，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发．当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 探索三角形全等的条件 知识点一 三角形的稳定性 ◆三角形的稳定性：三角形具有稳定性. 知识点二 全等三角形的概念 ◆全等三角形的概念：能够完全重合的三角形（长得完全一样的三角形） ◆全等三角形的表示方法： ①△ABC≌△DEF（读作：三角形ABC全等于三角形DEF） ②顶点需要一一对应（即长得一样的在描述中至于同等地位） ③从书写中，我们根据一一对应的关系，可得： a.点A与点D为对应顶点，点B与点E为对应顶点，点C与点F为对应顶点； b.∠A与∠D为对应角，∠B与∠E为对应角，∠C与∠F为对应角； c.AB与DE为对应边，AC与DF为对应边，BC与EF为对应边。 【注】找对应角对应边的方法： ①图形特征法； ②字母顺序确定法 知识点三 全等三角形的性质 ◆全等三角形的概念： ①对应边、对应角相等 ②周长、面积相等 ③对应边上的中线、角平分线、高相等 【注】 ①平移、翻折、旋转都是全等变换； ②缩放不是全等变换 知识点四 全等三角形的判断 ◆全等三角形的判定定理： ①SSS ②SAS ③ASA ④AAS ⑤HL斜边和直角边分别相等的两直角三角形全等（简写为HL）． 题型一 三角形具有稳定性 解题技巧提炼 三角形具有稳定性． 1. （2023秋•五莲县期中）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定门框，使其不变形，这种做法的根据是　　 A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可． 【解答】解：工人盖房时常用木条固定矩形门框，使其不变形这种做法的根据是三角形的稳定性， 故选：． 2. （2023秋•梁山县期中）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是　　 A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：． 3. （2023秋•岚山区期末）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的　　 A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．美观性 【分析】三角形具有稳定性，由此即可得到答案． 【解答】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性． 故选：． 4. （2024春•青州市校级月考）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是　　 A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【分析】根据三角形的稳定性即可解决问题． 【解答】解：根据三角形的稳定性可固定窗户． 故选：． 5. （2024•沂源县二模）杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是 　 　． 【分析】杜师傅这样做是为了构成三角形，根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性来解决问题． 【解答】解：杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做就构成了三角形，利用的数学原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 题型二 利用全等三角形的性质求度数 解题技巧提炼 全等三角形的对应角相等． 1. （2024•张店区二模）如图所示的两个三角形全等，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意和图形，可知是边的对角，由第一个三角形可以得到的度数，本题得以解决． 【解答】解：图中的两个三角形全等， ， 故选：． 2. （2024春•长清区期中）如图，，如果，，那么度数是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据全等三角形的性质得到，，然后计算出，从而得到的度数． 【解答】解：， ，， ， 的度数是． 故选：． 3. （2023秋•定陶区期末）如图，已知，点恰好在的延长线上，，．则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】由全等三角形的对应角相等，得到，，由三角形外角的性质等到． 【解答】解：， ，， ． 故选：． 4. （2023秋•金乡县期末）已知图中的两个三角形全等，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知数据找出对应角，根据全等得出，，根据三角形内角和定理求出即可． 【解答】解： 和全等，，， ，，， ， 故选：． 5. （2023秋•嘉祥县期末）如图，，，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意求出，利用角之间的关系计算即可． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 故选：． 6. （2023秋•海阳市期末）三个全等三角形按如图所示摆放，则　　 A． B． C． D． 【分析】由全等三角形的性质得到，，由三角形内角和定理得到，因此，由三角形外角的性质推出，即可求出． 【解答】解：由全等三角形的性质得到，， ， ， ， ． 故选：． 7. （2023秋•费县期末）如图，，点在线段上，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由全等三角形的性质可得，，可求得，，由三角形的内角和可求得，从而得解． 【解答】解：， ，， ， 即， ， ， ． 故选：． 8. （2023秋•成武县期末）如图所示，，，，，，则　　． 【分析】求出，证，推出，根据三角形的外角性质求出即可． 【解答】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 题型三 利用全等三角形的性质求长度 解题技巧提炼 全等三角形的对应边、周长、面积相等． 1. （2024春•济南期中）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】由全等三角形的性质推出，，求出，即可得到的长． 【解答】解：， ，， ， ， ． 故选：． 2. （2023秋•夏津县期末）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于　　 A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【分析】根据全等三角形的性质可得，，然后由求出的值，即可获得答案． 【解答】解：，，， ，， 点、、在同一直线上， ， ． 故选：． 3. （2023秋•宁津县期末）如图，，，，则　　 A．2 B．8 C．5 D．3 【分析】根据全等三角形的对应边相等可得，再求出，那么，代入数值计算即可得解． 【解答】解：， ， ，即， ，， ， ． 故选：． 4. （2023秋•长汀县期中）如图，，、、在同一直线上，且，，则长　　 A．12 B．7 C．2 D．14 【分析】由全等三角形的性质得到，，再根据即可得解． 【解答】解：， ，， ，， ，， ． 故选：． 5. 如图，，若，，则的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据全等三角形的对应边相等推知，然后根据线段的和差即可得到结论． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 6. （2023秋•定陶区校级月考）如图，，，，，在同一条直线上，和，和是对应边，若，，则线段的长为　　 A． B． C． D． 【分析】由全等三角形的对应边相等得到，而，即可求出的值． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 题型四 判定三角形全等 解题技巧提炼 全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 1. （2023秋•邹平市期末）如图，，若要使，则添加的一个条件不能是　　 A． B． C． D． 【分析】已知条件，还有公共角，然后再结合选项所给条件和全等三角形的判定定理进行分析即可． 【解答】解：、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； 、添加不能判定，故此选项符合题意； 、添加可得，可利用利用定理判定，故此选项不合题意； 、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； 故选：． 2. （2023秋•任城区期末）如图，在和中，已知，，添加一个条件，不能判定的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【解答】解：，， 当添加，则，则可根据“”判断； 当添加，则可根据“”判断； 当添加，则可根据“”判断． 故选：． 3. （2024春•市中区校级期中）如图，已知，要说明，还需从下列条件中选一个，错误的选法是　　 A． B． C． D． 【分析】先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中、与、组成了是不能由此判定三角形全等的． 【解答】解：、加，，，，，是正确选法； 、加，，，，是正确选法； 、加，满足，不能得出，是错误选法； 、加，，，，，是正确选法． 故选：． 4. （2024春•天桥区期中）如图：，添加下列条件　　不能保证． A． B． C． D． 【分析】由全等三角形的判定，即可判断． 【解答】解：、，又，，由判定，故不符合题意； 、，，分别是和的对角，不能判定，故符合题意； 、，又，，由判定，故不符合题意； 、，，，由判定，故不符合题意． 故选：． 5. （2023秋•无棣县期末）如图，点，在上，，，添加一个条件，不能完全证明的是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据得出，再根据全等三角形的判定定理解答即可． 【解答】解：， ， ， ，即， 当时，符合定理，可以判定，故不符合题意； 当时，符合定理，可以判定，故不符合题意； 当时，符合定理，可以判定，故不符合题意； 当时，不符合判定三角形全等的定理，不能判定，故符合题意． 故选：． 6. （2023秋•滨城区期末）如图，若，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据即可判断；根据即可判断；根据两三角形不一定全等即可判断；根据即可判断． 【解答】解：、根据，，能推出，正确，故本选项错误； 、根据，，能推出，正确，故本选项错误； 、两边和一角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确； 、根据，，能推出，正确，故本选项错误； 故选：． 7. （2023秋•曲阜市期末）如图，平分，增加下列一个条件，不能判定的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据角平分线的定义得出，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：平分， ， ．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； ．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； ．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； ．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； 故选：． 题型五 全等三角形的综合题 解题技巧提炼 利用三角形的全等的性质和判定做题． 1. （2023秋•临沭县期末）如图，在中，，，为线段上一动点（不与点、点重合），连接，作，交线段于点．以下四个结论：①；②当为中点时，；③若，则；④当为等腰三角形时，．其中正确的结论有 　 　（填写正确结论的序号） 【分析】①由三角形外角的性质可得出结论；②由等腰三角形的性质可得出结论；③证明，得出；④由等腰三角形的性质可得出结论． 【解答】解：①，， ， 故①正确； ②为中点，， ， ， ， ， ， ， ； ③， ， 由①知：， ， ， ， 故③正确； ④， ， ， 为等腰三角形， 或， 当时，， ， ， 当时，， ， 故④不正确． 故答案为：①②③． 2. （2023秋•高青县期末）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在中，，是高，是外一点，，，若，，，求的面积．同学们可以先思考一下，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，（如图．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得的面积为 　 　． 【分析】由，求出，的长，再由面积公式求得即可． 【解答】解：如图所示，连接， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：64． 3. （2024春•即墨区期中）如图，点、在上，已知，和是对应角，和是对应边． （1）再写出其他的一组对应边和一组对应角； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，，求的长． 【分析】（1）根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据全等三角形的性质得到，即可判定； （3）根据全等三角形的对应边相等得到，进而得出，根据线段的和差求解即可． 【解答】解：（1）， 和是对应角，和是对应角，和是对应边，和是对应边；（答案不唯一） （2）． 理由：因为， 所以， 所以． （3）因为， 所以， 所以，即． 因为，， 所以， 所以， 所以． 4. （2024春•乳山市期末）如图，在中，，，过点作，，连接并延长交于点． （1）求； （2）证明：； （3）求证：． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （3）根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）解：，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：，， ， ， ，， 在与中， ， ； （3）证明：， ， ， ． 5. （2024•高青县校级一模）如图，点在上，与交于点，，，． （1）求证：； （2）证明：． 【分析】（1）根据等式的性质得，再利用即可证明结论成立； （2）根据全等三角形的对应角相等得，对顶角相等得，利用三角形内角和定理可得结论． 【解答】证明：（1）． ， 在和中， ， ； （2）由第一小问得， ， ， ． 6. （2024春•郓城县期中）如图，于，于，若、， （1）求证：平分； （2）已知，，求的长． 【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，即可求出答案． 【解答】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分； （2）解：，，， ， ，， ， ． 7. （2024•高青县校级模拟）如图，，，，，垂足为． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． 【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出的条件； （2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到的度数； （3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立． 【解答】证明：（1）， ，， ， 在和中， ， ； （2），， ， 由（1）知， ， ， ， ， ； （3）延长到，使得， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 8. （2023秋•潍城区期末）如图，是等腰三角形，，点在边上运动（与，不重合），点、分别在边，上，且始终有，，连接，，设与交于点． （1）求证：； （2）若，随着点的运动，的大小是否为定值？如果是定值，请求出的度数；如果不是定值，请说明理由． 【分析】（1）设，根据等腰三角形得，再根据，，得，，进而得，，则，由此可得，进而可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论； （2）设，，由（1）可知，根据全等三角形的性质得，，再由，，得，进而得，，，则，由此可得，然后由三角形的外角定理得，，则，最后在四边形中，利用四边形的内角和等于可求出的度数． 【解答】（1）证明：设， ， ， ，， ，， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）若，随着点的运动，的大小为定值． 设，， 由（1）可知：， ，， ，， ， 即， 由（1）可知：，， ， ， ， 即， ，， ， 在四边形中，， ， ． 即随着点的运动，为定值． 题型六 全等三角形的动点问题 解题技巧提炼 动点问题最重要的就是用利用动点表示线段长． 1. （2024春•垦利区期末）如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，，两点同时出发．当点到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为 ． （1）求证：； （2）连接，当线段经过点时，求的值． 【分析】（1）由证明，得，即可得出结论； （2）先证，得，再分两种情况：当时，；当时，，分别解出即可． 【解答】（1）证明：在和中， ， ， ， ； （2）由（1）得：，， 在和中， ， ， ， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当线段经过点时，的值为或． 2. （2023秋•铁锋区期末）综合与实践： 已知：如图，在中，厘米，厘米，点为的中点． （1）如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，运动的时间秒． ①若点的运动速度与点的运动速度相等，时，与是否全等 　 　（填“是”或“否； ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当与全等时，请直接写出点的运动速度为 　　． （2）若点以（1）②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，则经过多长时间，点与点第一次在的哪条边上相遇？此时相遇点距离点的路程是多少？ 【分析】（1）①先求得厘米，厘米，然后根据等边对等角求得，最后根据即可证明； ②因为，所以，又，要使与全等，只能厘米，根据全等得出厘米，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和的长即可求得的运动速度； （2）因为，只能是点追上点，即点比点多走的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得． 【解答】解：（1）①， 厘米， 厘米，为中点， 厘米， 又（厘米）， ， ， ， 在与中， ， ； 故答案为：是； ②， ， 又， 要使，只能厘米， ， 厘米． 点的运动时间， 此时（厘米秒）． 当与全等时，点的运动速度为4厘米秒． 故答案为：4厘米秒； （2）因为，只能是点追上点，即点比点多走的路程， 设经过秒后与第一次相遇，依题意得， 解得（秒， 此时运动了（厘米）， 又的周长为33厘米， （厘米）， 经过24秒，点与点第一次在的边上相遇；此时相遇点距离点的路程是6厘米． 3. 如图，已知正方形的边长为，点在边上，． （1）如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等．请说明理由． ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ （2）若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿正方形四边运动，求经过多长时间点与点第一次在正方形边上的何处相遇？相遇点在何处？ 【分析】（1）①由“”可证； ②由全等三角形的性质可得，列出方程可求的值，即可求解； （2）设经过秒时，点与点第一次相遇，由点与点的路程差，列出方程可求解． 【解答】解：（1）①，理由如下： 经过1秒后，，， ，， ， 在和中， ， ； ②设经过秒后，， 当点与点速度不相同时，，此时， ， 解得， 又， ； （2）设经过秒时，点与点第一次相遇， 由题意可得：， 解得：， 点运动的路程， 经过秒点与点第一次相遇，相遇点在点处． 4. （2022春•神木市期末）如图1，与相交于点．，． （1）求证：； （2）如图2，过点作交于，交于，求证：； （3）如图3，若，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发．当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求出的值． 【分析】（1）证明出全等之后得到一组内错角相等即可求证； （2）利用（1）平行的结论得到一组角度相等，可以求证三角形全等，即可得到结论； （3）由（2）可知，始终成立，即，分两种情况，一种是从到，另外一种是从到． 【解答】（1）证明：在与中， ， ， ， ． （2）证明：， ， 在和中， ， ， ． （3）解：由（2）可知：当线段经过点时，， 可得， 或， 或4， 当或时，线段经过点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$