21.2 因式分解（第4课时）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

九年级人教版数学上册 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 第四课时 因式分解 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点） 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点） 1．若ab＝0，则 ； 若(x－a)(x－b)＝0，则方程的根为 ． a＝0或b＝0 x1＝a，x2＝b 2．分解因式： (1)2x2－2x＝ ； (2)9x2＋12x＋4＝ ． 2x(x－1) (3x＋2)2 情景导入 复习引入 3．将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法呢？ (1)提公因式法：am＋bm＋cm＝ ； m(a＋b＋c) (2)公式法：a2－b2＝ ， a2±2ab＋b2＝ ． (a＋b)(a－b) (a±b)2 情景导入 复习引入 引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s后物体离地面的高度（单位：m）为：10x-4.9x2. 问题：设物体经过x s落回地面，请说说你列出的方程. 10x-4.9x2=0 1.因式分解法解一元二次方程 新知探究 解： 解： ∵ a=4.9,b=-10,c=0. ∴ b2－4ac = (－10)2－4×4.9×0 =100. 公式法解方程10x-4.9x2=0. 配方法解方程10x-4.9x2=0. 10x-4.9x2=0. 因式分解 如果a · b = 0， 那么 a = 0或 b = 0. 两个因式乘积为 0，说明什么？ 或 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 这种解法是不是很简单？ 10x-4.9x2 =0 ① x(10-4.9x) =0 ② x =0 10-4.9x=0 除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程吗？ 解方程： 10x－4.9x2＝0 因式分解法的概念 因式分解法的基本步骤 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 对于一元二次方程，先因式分解使方程化为两个一次式的 等于0的形式，再使这两个一次式分别等于 ，从而实现 ，这种解法叫做因式分解法． 0 乘积 降次 概念归纳 1.移项：将方程化为一般形式，即方程右边化为 ； 2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的 ； 3.转化：令每一个一次式分别为 ，得到两个一元一次方程； 0 0 乘积 4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 下列各方程的根分别是多少？ (1) x(x-2)=0； (1) x1=0,x2=2； (2) (y+2)(y-3)=0； (2) y1=-2,y2=3 ； (3) (3x+6)(2x-4)=0； (3) x1=-2,x2=2； (4) x2=x. (4) x1=0,x2=1. 练一练 例1 解下列方程： 解：(1)因式分解，得 于是得 x－2＝0或x＋1=0, x1=2，x2=－1. (2)移项、合并同类项，得 因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0. 于是得 2x＋1=0或2x－1=0, (x－2)(x＋1)=0. 典例剖析 例2 用适当的方法解方程： (1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）； (2)（5x + 1）2 = 1； 分析：该式左右两边可以提取公因式， 所以用因式分解法解答较快. 解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0. 即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0. 分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法. 解：开平方,得 5x + 1 = ±1. 解得, x 1= 0 , x2= 2.灵活选用方法解方程 新知探究 （3）x2 - 12x = 4 ; （4）3x2 = 4x + 1； 分析：二次项的系数为1，可用配方法来解题较快. 解：配方,得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62, 即 (x - 6)2 = 40. 开平方,得 解得 x1= , x2= 分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法. 解：化为一般形式 3x2 - 4x + 1 = 0. ∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0, 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 各种一元二次方程的解法及适用类型. 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） (x+m)2＝n（n ≥ 0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) （x + n）＝0 填一填 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 因式分解法与配方法、公式法 配方法要先 ，再 ，公式法直接利用 解方程； 因式分解法要先将方程一边化为 ，另一边为 ，再分别使各一次因式等于 ． 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便． 解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次． 配方 降次 求根公式 0 0 两个一次因式相乘 概念归纳 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单. 解法选择基本思路 概念归纳 提示: 1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.” 典例剖析 例3.解下列方程 解：因式分解，得 于是得 x－2＝0或x＋1=0, x1=2，x2=－1. (x－2)(x＋1)=0. 解：移项、合并同类项，得 因式分解，得 于是得 2x＋1=0或2x－1=0, ( 2x＋1)( 2x－1 )=0. 4x2-1=0 例4.用因式分解法解下列方程： (1)7x(3－x)＝2(x－3)； (2)16(x－7)2－9(x＋2)2＝0. 典例剖析 （1）7x(3－x)＝2(x－3) 解：移项并整理得 7x(3－x)+2(3－x)=0 因式分解，得 （7x+2）(3－x)=0 于是得 7x＋2=0或3－x=0, 整体思想 注意符号的变化 (2)16(x－7)2－9(x＋2)2＝0. 解：分解因式，得 整体思想 [4（x-7）+3（x+2）][4（x-7）-3（x+2）]=0 [4（x-7）]2 [3（x+2）]2 即（7x-22）（x-34）=0 于是得 7x-22=0或x-34=0, 转化为两个一元一次方程 例5.用适当的方法解下列一元二次方程： (1)2(x＋3)2＝8； (2)4x2－ x＋1＝0； (3)(3x－4)2＝9x－12； (4)x2－2x－99＝0. 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 典例剖析 (1)2(x＋3)2＝8； (2)4x2－ x＋1＝0； 【分析】方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法. 解：开平方,得 x + 3 = ±2. 解得, x 1= -1 , x2=-5 【分析】二次项的系数为偶数，可用配方法来解题较快. 解：配方,得 开平方,得 解得, (3)(3x－4)2＝9x－12； (4)x2－2x－99＝0. 【分析】方程左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快. 解：移项，得 (3x－4)2-（9x－12）=0 因式分解，得 (3x－4)（3x－7）=0 即：3x-4=0或3x-7=0 【分析】二次项系数为1，一次项系数为偶数，可用配方法. 解：配方,得 （x-1）2=100 开平方,得 （x-1）=±10 解得：x1=11，x2=-9 1.公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法） 2.方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法. ① x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ； ③ -3t2+t=0 ； ④ x2-4x=2 ； ⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8； ⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0； ⑨ (x-2)2=2(x-2). 适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法 ； 适合运用配方法 . 1.填空 ⑥ ① ② ③ ④ ⑤ ⑦ ⑧ ⑨ 练一练 2.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两根分别为（ ） A.3，-5 B.-3，-5 C.-3，5 D.3，5 3.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是（ ） A.-1 B.2 C.1和2 D.-1和2 4.方程x2-3x+2=0的根是 . 5. 方程 的根是 . D D x1=1, x2=2 练一练 6.解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为 ； 再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1= , x2= . x2+x－2=0 －2 1 练一练 29 7.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来. 解方程 (x-5)(x+2)=18. 解: 原方程化为： (x-5)(x+2)=18 . ① 由x-5=3, 得x=8; ② 由x+2=6, 得x=4; ③ 所以原方程的解为x1=8或x2=4. 解: 原方程化为： x2 －3x －28= 0， (x－7)(x+4)=0， x1=7，x2=－4. 练一练 30 解：化为一般式为 因式分解，得 x2－2x+1 = 0. ( x－1 )( x－1 ) = 0. 有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0， x1=x2=1. 解：因式分解，得 ( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0. 有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0， 8.解方程： 练一练 9. 用适当方法解下列方程： （1）(2x+3)2-25=0; （2）x2+5x+7=3x+11； 解：化简，得 4x2+12x+9-25=0 x2+3x-4=0 分解因式，得 (x-1)(x+4)=0 x1=1, x2=-4 解：化简，得 x2+2x=4 x2+2x+1=5 (x+1)2=5 练一练 10. 若一个三角形的三边长均满足方程x2-7x+12=0，求此三角形的周长. 解：x2-7x+12=0，则(x-3)(x-4)=0. ∴x1=3，x2=4. ∵三角形三边长均为方程的根. ①三角形三边长为4、3、3，周长为10； ②三角形三边长为4、4、3，周长为11； ③三角形三边长为4、4、4，周长为12； ④三角形三边长为3、3、3，周长为9. 练一练 11. 用公式法和因式分解法解方程x(5x+4)-(4+5x)=0. 解：公式法：原方程化为一般形式，得 5x2-x-4=0. ∵a=5，b=-1，c=-4， b2-4ac=(-1)2-4×5×(-4)=81>0, ∴方程有两个不相等的实数根. ∴x= , ∴x1= , x2=1 因式分解法：方程左边提公因式，得 (5x+4)(x-1)=0 ，则x1= ，x2=1. 练一练 课本练习 1.解下列方程： （1）x²+x=0； （2）x²-=0； （3）3x²-6x=-3； （4）4x²-121=0； （5）3x（2x+1）=4x+2； （6）（x-4）²=（5-2x）². 解：（1）x²+x =0. 因式分解，得x（x+1）=0. 于是得 x=0 或 x+1 =0， 所以 x₁=0，x₂=-1. 2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为r， 根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π. 因式分解，得 于是得 答：小圆形场地的半径是 课本练习 39 两个一次因式相乘 (x＋4)(x－4)＝0 x＋4＝0 x－4＝0 －4 4 　 C 分层练习-基础 分层练习-基础 D 　 分层练习-基础 －2 分层练习-基础 C A 分层练习-巩固 C A x1＝0，x2＝1 x2＋x－6＝0 分层练习-巩固 16 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 课堂反馈 课堂反馈 因式分解法 概念 步骤 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 如果a ·b=0，那么a=0或b=0. 原理 将方程左边因式分解，右边=0. 因式分解的方法有 ma+mb+mc=m(a+b+c); a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b). 课堂小结 知识点一：因式分解法解一元二次方程 用因式分解法先将方程化为 的形式，另一边化为0，再分别使各一次因式等于0.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 1．方程x2－16＝0，可将方程左边因式分解得方程 ，则有两个一元一次方程 或 ，分别解得x1＝ ，x2＝ . 2．方程(x－2)(x＋1)＝0的解是(　　) A．x＝2　 B．x＝－1　 C．x1＝2，x2＝－1　 D．x1＝－2，x2＝1 3．用因式分解法解下列方程： (1)x2－10x＋25＝0; 　　(2)3(t－1)2＋2t＝2. 解：(1)x1＝x2＝5；　 (2)t1＝1，t2＝eq \f(1,3). 知识点二：用适当的方法解一元二次方程 解一元二次方程时，若没有具体的要求，应尽量选择最简单的方法去解，能用因式分解法或直接开平方法的选用因式分解法或直接开平方法；若不能用上述方法，可用公式法求解． 4．解方程(x＋2)2＋3(2＋x)＝0，最适当的解法是(　　) A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 能力点：熟练准确地解一元二次方程 在用因式分解法解一元二次方程时，一要防止漏解，二要注意等号右边不等于0. 5．小明在解关于x的方程(x＋2)2＝4(x＋2)时，在方程两边都除以(x＋2)，得到方程的根为x＝2.其实，在解答中，小明的做法还遗漏了方程的一个根，你认为遗漏的根是 . 6．解下列一元二次方程： (1)(x－1)(x－3)＝8; (2)9(x－2)2＝4(x＋1)2. 解：(1)x1＝－1，x2＝5；　 (2)x1＝eq \f(4,5)，x2＝8. 7．由一元二次方程x2－4＝0转化得到的两个方程是(　　) A．x＋4＝0，x－4＝0　 B．x＋16＝0，x－16＝0 C．x＋2＝0，x－2＝0 D．x＋4＝0，x－1＝0 8．我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是(　　) A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．公理化思想 9．方程(1－x)2＋1＝x的根是(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．以上都不对 10．一元二次方程x2－x－12＝0的两根分别为x1＝4，x2＝－3，则x2－x－12可分解为(　　) A．(x－4)(x＋3) B．(x＋4)(x－3) C．(x－4)(x－3) D．(x＋4)(x＋3) 11．(淮安中考)一元二次方程x2－x＝0的根是 . 12．请你写出一个以x为未知数的一元二次方程，使它的两根分别为2和－3，则这个方程是 . 13．(黄冈中考)一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2－10x＋21＝0的根，则三角形的周长为 . 14．用适当的方法解方程： (1)x2＋4x＝5； (2)2x2－4x＝－1； (3)4x2－12x＋9＝0. 解：(1)x1＝－5，x2＝1(配方法)； (2)x1＝1＋eq \f(\r(2),2)，x2＝1－eq \f(\r(2),2)(公式法)； (3)x1＝x2＝eq \f(3,2)(因式分解法)． 15．已知三角形的两边长为3和7，第三边长是方程x(x－7)－8(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的周长． 解：解方程x(x－7)－8(x－7)＝0，得x1＝7，x2＝8.当x1＝7时，3＋7＞7，∴周长为17；当x2＝8时，3＋7＞8，∴周长为18.∴这个三角形的周长为17或18. 16．小明给出解方程x2－|x|－2＝0的过程： 解：(1)当x≥0时，原方程化为x2－x－2＝0.解得x1＝2，x2＝－1(不合题意，舍去)； (2)当x＜0时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－2. ∴原方程的根是x1＝2，x2＝－2 请参照小明的解题过程，解方程x2－|x－1|－1＝0. 解：(1)当x－1≥0时，原方程化为x2－x＝0，解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝1； 【方法归纳】用因式分解法解一元二次方程的步骤是：一移项，二化积，三转化，四求解． 会用因式分解法解一元二次方程． 【例1】用因式分解法解下列方程： (1)x2－6x＋9＝0； (2)(x＋2)2＝2x＋4. 【思路分析】(1)左边可用完全平方公式分解因式；(2)移项提取公因式即可． 【规范解答】(1)原方程可变形为(x－3)2＝0，∴x1＝x2＝3；　 (2)原方程可变形为(x＋2)2－2(x＋2)＝0，(x＋2)(x＋2－2)＝0，x(x＋2)＝0，x＝0或(x＋2)＝0，x1＝0，x2＝－2. 能选择适当的方法解一元二次方程． 【例2】请选择适当的方法解下列方程： (1)x2－3x＋1＝0； (2)x2－2x＝4； (3)(3x－4)2＝9x－12. 【思路分析】(1)用公式法解；(2)用配方法解；(3)用因式分解法解． 【规范解答】(1)b2－4ac＝(－3)2－4×1×1＝5＞0，∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(－－3±\r(5),2×1)＝eq \f(3±\r(5),2)，即x1＝eq \f(3＋\r(5),2)，x2＝eq \f(3－\r(5),2)； (2)方程两边同时加1，得x2＋2x＋1＝4＋1，即(x－1)2＝5，∴x－1＝±eq \r(5)，∴x1＝1＋eq \r(5)，x2＝1－eq \r(5)； (3)原方程可变形为(3x－4)2－3(3x－4)＝0，(3x－4)(3x－4－3)＝0，所以3x－4＝0或3x－7＝0，所以原方程的解为x1＝eq \f(4,3)，x2＝eq \f(7,3). $$