精品解析：辽宁省沈阳市一二六中学2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

沈阳市第一二六中学教育集团2023--2024学年度下学期 八年级5月数学学科作业检查 检查时长：120分钟 作业满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 国家提倡推行生活垃圾分类，下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、可回收物和其他垃圾，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是完全平方式，则实数m的值是（ ） A. B. C. 6或 D. 6或 4. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( ) A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形 C. 矩形 D. 对角线相等的四边形 5. 如图，若，则表示的值的点落在( ) A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 6. 如图，把绕点按顺时针旋转，得到．点落在边上，若于点，则的度数为（    ） A B. C. D. 7. 小王开车回家从家到单位有两条路可选择，路线A全程25千米的普通道路，路线B包含快速通道，全程21千米，走路线B比走路线A平均速度提高，时间节省20分钟，求走路线A和路线B的平均速度是多少？若设走路线A的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　） A. 2 B. C. 3 D. 9. 如图，平行四边形中，对角线、相交于O，过点O作交于点E，若，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 10. 如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点A，B分别在x轴、y轴上滑动，矩形的形状保持不变，若AB＝2，BC＝1，则顶点C到坐标原点O的最大距离为（　　） A. 1+ B. 1+ C. 3 D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为，则__________． 12. 若关于分式方程有增根，则的值是_______． 13. 如图，在中，对角线AC、BD相交于点O，，，，则的面积为______． 14. 小刚和小丽从家到运动场的路程都是，其中小丽走的是平路，骑车速度是．小刚需要走上坡路和的下坡路，在上坡路上的骑车速度是，在下坡路上的骑车速度是．如果他们同时出发，那么早到的人比晚到的人少用_________．（结果化为最简） 15. 如图，在中，D为斜边的中点，点E在边上，将沿折叠至．若的延长线经过点D，平分，则 （1）的数值为______； （2）的长为______（用含m的代数式表示） 三、解答题（本题共8道题，共75分） 16. 解方程： 17. 先化简代数式，再从四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 18. 如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，且，连接．如果，试猜测四边形的形状，并证明你的结论． 19. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提取公因式；B．平方差公式； C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式． （2）该同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ______． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 20. 如图，在四边形中，，E是的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，点Q同时以每秒2个单位的长度的速度从点C出发，沿向B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）设面积为S，求S与t之间的函数关系式； （2）当 时，的面积与四边形的面积相等； （3）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 21. 中国·哈尔滨冰雪大世界，始创于1999年，是由黑龙江省哈尔滨市政府为迎接千年庆典神州世纪游活动，凭借哈尔滨的冰雪时节优势，而推出的大型冰雪艺术精品工程，展示了北方名城哈尔滨冰雪文化和冰雪旅游魅力．2024年在准备冰雪大世界的建造时，需要取冰，现安排甲、乙两个采冰队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队取240立方米的冰比乙队取同样体积的冰少用2天． （1）甲、乙两个采冰队每天能采冰的体积分别是多少立方米？ （2）如需40天采冰1840立方米．甲乙共同工作队若干天后，甲另有任务，剩下的由乙队独立完成，为了能在规定的时间内完成任务，至少安排甲队工作多少天？ 22. 【模型建立】如图1，正方形中，点E，F分别在边上，，与相交于点P．线段的关系是______． 【迁移应用】如图2，请仅用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不用证明） （1）以为边画正方形； （2）取中点E，连接； （3）在上找点G，连接，使． 【拓展提升】如图3，正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，点A，D的对应点分别为，，使得点始终落在边上，与相交于点G， （1）若，求长度=______； （2）点E，F在边上运动时，连接，求的度数． 23. 综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动，如图1，三角板和三角板都是等腰直角三角形，，点D，E分别在边上，连接，点M，P，N分别为的中点．试判断线段与的数量关系和位置关系． 探究展示：勤奋小组发现，．并展示了如下的证明方法： ∵点P，N分别是的中点，． ∵点P，M分别是的中点，．（依据1） ∵，，∴，∴． ∵，∴． ∵，∴． ∵，∴．（依据2） ∴．∴． 反思交流： （1）①上述证明过程中的“依据1”指什么（写出定理的内容）______． “依据2”指什么______． ②试判断图1中，与的位置关系是______； （2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，把绕点C逆时针方向旋转到如图2的位置，发现是______三角形，请你给出说明过程； （3）缜密小组的同学继续探究，当时，把绕点C在平面内自由旋转． ①求面积的最大值______． ②连接，则面积最大值______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沈阳市第一二六中学教育集团2023--2024学年度下学期 八年级5月数学学科作业检查 检查时长：120分钟 作业满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 国家提倡推行生活垃圾分类，下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、可回收物和其他垃圾，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误； B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B正确； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C错误； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误． 故选：B． 2. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义解答． 【详解】解：中不是整式，故A选项不符合题意； 是整式乘法计算，故B选项不符合题意； 是因式分解，故C选项符合题意； 不是分解为整式的乘积形式，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查因式分解的定义：将一个多项式写成几个整式的积的形式叫做将多项式分解因式，熟记定义是解题的关键． 3. 若是完全平方式，则实数m的值是（ ） A. B. C. 6或 D. 6或 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到的值．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】解：是完全平方式， ， 或， 解得或， 故选：D． 4. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( ) A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形 C. 矩形 D. 对角线相等的四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是边AD，AB，CB，DC的中点， ∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD， ∴EH∥FG，EF=FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 假设AC=BD， ∵EH=AC，EF=BD， 则EF=EH， ∴平行四边形EFGH是菱形， 即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形， 故选：D． 【点睛】题目主要考查中位线的性质及菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用三角形中位线的性质是解题关键． 5. 如图，若，则表示的值的点落在( ) A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 【答案】B 【解析】 【分析】把变形得，代入即可求出分式的值，再看值的点落在的位置． 【详解】解：∵， ， ∴==， ∴表示的值的点落在段②， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的值，能正确把变形为是解此题的关键． 6. 如图，把绕点按顺时针旋转，得到．点落在边上，若于点，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转的性质可得，，由于点，得，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：把绕点顺时针旋转，得到， ，， 于点， ， ，， ． 故选：A． 7. 小王开车回家从家到单位有两条路可选择，路线A全程25千米的普通道路，路线B包含快速通道，全程21千米，走路线B比走路线A平均速度提高，时间节省20分钟，求走路线A和路线B的平均速度是多少？若设走路线A的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据走两条路线速度间的关系，可得出走路线B的平均速度为千米/时，利用时间路程速度，结合走“走路线B比路线A时间节省20分钟”，即可得出关于x的分式方程，找出等量关系是解答本题的关键． 【详解】设走路线A的平均速度为千米/小时，则走路线B的平均速度为千米/时， 由题意得：， 故选：D． 8. 如图，在中，，，，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，利用三角形中位线的性质得到，根据垂线段最短知，当时，最小，即最小，利用勾股定理和等面积法求得即可． 【详解】解：连接， ∵点D、E分别为CN，MN的中点， ∴， ∴当时，最小，即最小， 在中，，，， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的中位线性质、勾股定理、垂线段最短，熟练掌握三角形的中位线性质，将求的最小值转化为求的最小值是解答的关键． 9. 如图，平行四边形中，对角线、相交于O，过点O作交于点E，若，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据已知条件证明是直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 平行四边形中，， 垂直平分，，，， ，， ，， ， 是直角三角形，是等腰直角三角形， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明是直角三角形是解题的关键． 10. 如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点A，B分别在x轴、y轴上滑动，矩形的形状保持不变，若AB＝2，BC＝1，则顶点C到坐标原点O的最大距离为（　　） A. 1+ B. 1+ C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】取AB的中点E，连接OE、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和勾股定理求得OE=1，CE=，再根据两点之间线段最短求解最大距离即可· 【详解】解：取AB的中点E，连接OE、CE， ∵∠AOB=90°，AB=2， ∴OE=BE= AB=1， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，又BC=1， ∴CE= ， 根据两点之间线段最短得：OC≤OE+CE=1+ ，当O、E、C共线时取等号， ∴顶点C到坐标原点O的最大距离为1+， 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、两点之间线段最短，熟练掌握相关知识的联系与运用，取AB中点E是解答的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件以及分式有意义的条件，正确把握相关知识是解题关键．直接利用分式有意义的条件以及分式的值为零的条件分别分析得出答案即可． 【详解】解：若分式的值为， 则有且， 解得． 故答案为：． 12. 若关于的分式方程有增根，则的值是_______． 【答案】1 【解析】 【分析】先把分式方程去分母变为整式方程，然后把代入计算，即可求出的值． 【详解】解：∵， 去分母，得：； ∵分式方程有增根， ∴， 把代入，则 ， 解得：； 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 13. 如图，在中，对角线AC、BD相交于点O，，，，则的面积为______． 【答案】27 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得到BC=，OA=，勾股定理求出AB，利用面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=，OA=， 在△ABC中，，AC=OA+OC=12， ∴， ∴的面积=， 故答案为：27． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理求线段长，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 14. 小刚和小丽从家到运动场的路程都是，其中小丽走的是平路，骑车速度是．小刚需要走上坡路和的下坡路，在上坡路上的骑车速度是，在下坡路上的骑车速度是．如果他们同时出发，那么早到的人比晚到的人少用_________．（结果化为最简） 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出小刚和小丽用的时间，然后比较即可得出答案. 【详解】解：小丽用的时间为 =， 小刚用的时间为+=， >， ∴-=， 故答案为. 【点睛】本题考查列代数式以及分式的加减．正确的列出代数式是解决问题的关键. 15. 如图，在中，D为斜边的中点，点E在边上，将沿折叠至．若的延长线经过点D，平分，则 （1）的数值为______； （2）的长为______（用含m的代数式表示） 【答案】 ①. ##0.5 ②. 【解析】 【分析】取中点，连接，则是的中位线，，折叠的性质可得，，依据，得到，进而求得的值；倍长至点，连结，则，设，；推导出，得到，得到，在中，由勾股定理得，化简即可作答． 【详解】解：（1）如图1，取中点，连接， 为斜边的中点， 是的中位线， ，， ， ， 由折叠的性质可得，，， 为斜边的中点， ， ， 即， ； （2）依题意，∵， ∴， 设， ， ， ∴ 如图2所示，过点作交延长线于， ， 又，， ， ，，； 平分， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， 中，由勾股定理得， ， 即 ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）以及直角三角形斜边上中线，勾股定理，中位线的性质与判定，相似三角形的判定与性质，作出辅助线得到中位线是解答本题的关键． 三、解答题（本题共8道题，共75分） 16. 解方程： 【答案】x=1 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边乘， 得， 解得：， 检验：当 时，， 所以，原分式方程的解为． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 17. 先化简代数式，再从四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再由化简后的式子选择使原式子有意义的数代入计算即可． 【详解】原式 ， 由题意知，，所以取代入可得 原式， 故答案为：（1）；（2）． 【点睛】考查了分式的化简，利用平方差公式，因式分解的方法化成简单的形式，然后代入数值求解，注意代入数时，要使所取数使得原分式有意义的才行． 18. 如图，在中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，且，连接．如果，试猜测四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】四边形是矩形；证明见详解 【解析】 分析】可证，得出，进而根据，得出；若，则是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知；而与平行且相等，故四边形是平行四边形，又，则四边形是矩形．此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质与判定、矩形的判定等知识综合运用，关键是掌握相关性质和判定． 【详解】证明：四边形是矩形；证明如下： 是的中点， ． ， ，． 在和中， ， ． ． ， ． ∵， 四边形是平行四边形． ，， ， 即． 平行四边形是矩形． 19. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提取公因式；B．平方差公式； C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式． （2）该同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ______． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】（1）C （2）不彻底，； （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． （1）根据分解因式的过程直接得出答案； （2）该同学因式分解的结果不彻底，将继续分解因式即可得解； （3）利用换元法，将看成一个整体，设，进行因式分解即可得解； 【小问1详解】 解：，是利用了两数和的完全平方公式， 故选：C． 【小问2详解】 解： ， 该同学因式分解的结果不彻底， ， ． 【小问3详解】 解：设， ． 20. 如图，在四边形中，，E是的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，点Q同时以每秒2个单位的长度的速度从点C出发，沿向B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）设的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （2）当 时，的面积与四边形的面积相等； （3）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】（1） （2） （3）2秒或秒 【解析】 【分析】（1）作于M，根据30度角的性质得到，利用勾股定理求出，由三角形面积公式计算即可； （2）由题意得：，则，根据面积公式列式可求； （3）由，则点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，分两种情况：①当Q运动到E和B之间，则得：②当Q运动到E和C之间，分别列方程求解． 【小问1详解】 作于M，如图所示：则， ∵， ∴， ∴，， 由题意得， ∴， ∴的面积为， 即； 【小问2详解】 由题意得：，则， ∵， ∴四边形的面积， ∵的面积与四边形的面积相等， ∴， 解得：， 即时，的面积与四边形的面积相等； 故答案为：； 【小问3详解】 ∵，则点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，， ∵E是的中点， ∴， 分两种情况： ①当Q运动到E和B之间，则得： ， 解得：， ②当Q运动到E和C之间，则得：， 解得：， 综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了动点问题，直角三角形30度角的性质，一次函数，平行四边形的性质，一元一次方程的应用，勾股定理，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 21. 中国·哈尔滨冰雪大世界，始创于1999年，是由黑龙江省哈尔滨市政府为迎接千年庆典神州世纪游活动，凭借哈尔滨的冰雪时节优势，而推出的大型冰雪艺术精品工程，展示了北方名城哈尔滨冰雪文化和冰雪旅游魅力．2024年在准备冰雪大世界的建造时，需要取冰，现安排甲、乙两个采冰队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队取240立方米的冰比乙队取同样体积的冰少用2天． （1）甲、乙两个采冰队每天能采冰的体积分别是多少立方米？ （2）如需40天采冰1840立方米．甲乙共同工作队若干天后，甲另有任务，剩下的由乙队独立完成，为了能在规定的时间内完成任务，至少安排甲队工作多少天？ 【答案】（1）甲、乙两个采冰队每天能采冰的体积分别是60立方米，40立方米； （2）至少安排甲队工作4天． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式解决问题． （1）设乙采冰队每天能采冰的体积是x立方米，根据甲队取240立方米的冰比乙队取同样体积的冰少用2天可得：，解方程并检验可得答案； （2）设安排甲队工作m天，可得：，，即可解得答案． 【小问1详解】 解：设乙采冰队每天能采冰的体积是x立方米，则甲采冰队每天能采冰的体积是立方米， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是方程的解， ∴， 答：甲、乙两个采冰队每天能采冰的体积分别是60立方米，40立方米； 【小问2详解】 解：设安排甲队工作m天， 根据题意得：， 解得， ∴至少安排甲队工作4天． 22. 【模型建立】如图1，正方形中，点E，F分别在边上，，与相交于点P．线段的关系是______． 【迁移应用】如图2，请仅用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不用证明） （1）以为边画正方形； （2）取中点E，连接； （3）在上找点G，连接，使． 【拓展提升】如图3，正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，点A，D的对应点分别为，，使得点始终落在边上，与相交于点G， （1）若，求的长度=______； （2）点E，F在边上运动时，连接，求的度数． 【答案】模型建立：；迁移应用：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；拓展提升：（1）；（2） 【解析】 【分析】模型建立：根据正方形的性质，根据，可得，根据全等三角形的性质，可得答案； 迁移应用：根据题意画图即可； 拓展提升：（1）过点D作，交于H，可证得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得出，设，利用勾股定理可求得答案； （2）作于H．利用全等三角形的性质证明，即可解决问题． 【详解】解：模型建立： 结论：．理由如下： 如图1，∵四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ； 迁移应用： （1）正方形即为所求； （2）如图，取中点E，连接，即为所求； （3）点G即为所求； 拓展提升: （1）过点D作，交于H， ∵四边形是正方形， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∵将正方形沿折叠，点A，D的对应点分别为，使得点始终落在边上， ， ， 由（1）可知， ， 设， ， 在中，， ， 解得：， ； （2）如图4中，作于H． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 同法可证：， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、折叠变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题是解题关键． 23. 综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动，如图1，三角板和三角板都是等腰直角三角形，，点D，E分别在边上，连接，点M，P，N分别为的中点．试判断线段与的数量关系和位置关系． 探究展示：勤奋小组发现，．并展示了如下的证明方法： ∵点P，N分别是的中点，． ∵点P，M分别是的中点，．（依据1） ∵，，∴，∴． ∵，∴． ∵，∴． ∵，∴．（依据2） ∴．∴． 反思交流： （1）①上述证明过程中的“依据1”指什么（写出定理的内容）______． “依据2”指什么______． ②试判断图1中，与的位置关系是______； （2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，把绕点C逆时针方向旋转到如图2的位置，发现是______三角形，请你给出说明过程； （3）缜密小组的同学继续探究，当时，把绕点C在平面内自由旋转． ①求面积的最大值______． ②连接，则面积的最大值______． 【答案】（1）①三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，直角三角形两锐角互余；②互相垂直 （2）等腰直角 （3）①，②14 【解析】 【分析】（1）①依据为三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，直角三角形两锐角互余；②由等腰直角三角形以及平行线的性质得到，故，可证明，因此，即； （2）证明．推出，．再利用三角形的中位线定理，平行线的性质以及三角形的外角，内角和进行角度推导即可； （3）①，而，故当最大值，即最大，可确定点D在以点C为圆心，为半径的圆上运动，由，故当点B、C、D 三点共线时，取得最大值，且为14，此时，所以； ②取中点H，连接并延长交于点G，则，由三角形的中位线定理得，，故点P在以点H为圆心，为半径的圆上运动，记与的上交点为点F，则，因此的面积最大时，最大，而，故当点C与点G重合，点P与点F重合时，取得最大值为7，此时的面积最大，． 【小问1详解】 解：①由点P，M分别是的中点，得到， ∴依据为：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半； 由，得到， ∴依据为：直角三角形两锐角互余， 故答案为：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，直角三角形两锐角互余； ②解：如图， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：互相垂直； 【小问2详解】 证明：连接，如图： 由旋转知，， ，， ． ，． 点，，分别是，，的中点， ，分别是，的中位线， ，， ． 是等腰三角形． 又，． ，． ， ， ， ． ， 是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角； 【小问3详解】 解：①如图： ∵是等腰直角三角形， ∴， 而， ∴当最大值，即最大， ∵， ∴点D在以点C为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴当点B、C、D 三点共线时，取得最大值，如图示： ∴此时， ∴， 故答案为：； ②取中点H，连接并延长交于点G，则， ∵点P为的中点， ∴，， ∴ 点P在以点H为圆心，为半径的圆上运动，记与的上交点为点F，， ∵， ∴的面积最大时，最大， ∵， ∴当点C与点G重合，点P与点F重合时，取得最大值为7， ∴此时的面积最大，， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，垂线段最短，三角形三边关系求最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$