第11章 平面直角坐标系（单元复习课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 单元考点串讲 第11章 平面直角坐标系 目录/CONTENTS 易错易混 典例剖析 考点透视 考场练兵 技巧总结 考点透视 C 典例剖析 (4,7) C B 典例剖析 C C A 3 (－7,3) A 典例剖析 C 易错易混 【易错分析】 1．用有序数对表示平面内点的位置时，易忽略“有序性”而出错． 2．不建立坐标系，就用坐标系的知识求点的坐标而出错． 3．平面内的点平移时，不要混淆点的坐标的平移规律． 易错点一 不能利用坐标或有序实数对准确地表示物体位置 1.如图是故宫博物院的部分建筑分布图，若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示弘义阁的点的坐标为（-1，-1），表示文华殿的点的坐标为（2，-2），则表示雨花阁的点的坐标是（ ） A.（-2，3） B.（0，5） C.（1，2） D.（1，4） 正解：由表示弘义阁的点的坐标为（-1，-1），表示文华殿的点的坐标为（2，一2），可得到如下平面直角坐标系： 由图可知，表示雨花阁的点的坐标为（-2，3）.故选 A. A 易错点二 求点的坐标时考虑不全面 类型1 由点到坐标轴的距离相等求坐标 2.若点P（2-a，-2a+1）到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是 . 正解：所以2-a=-2a+1或2-a+（-2a+1）=0， 解得 a=-1 或 a =1. 当a=-1时，2-a=3，-2a+1=3，则点P的坐标是（3，3）； 当a=1时，2-a=1，-2a+1=-1，则点P的坐标是（1，-1）. 综上所述，点P的坐标是（3，3）或（1，-1）. 故答案为（3，3）或（1，-1）. （3，3）或（1，-1） 类型2 利用平行求点的坐标 3.已知线段AB的长度为3，且AB平行于y轴，点A的坐标为（3，2），则点B的坐标为 . 正解：因为AB=3，所以当点B在点A上方时，点B的纵坐标为2+3=5，故点B的坐标为（3，5）；当点B在点A下方时，点B的纵坐标为2-3=-1，故点B 的坐标为（3，-1）. 综上所述，点B的坐标为（3，5）或（3，—1）. 故答案为（3，5）或（3，-1）. （3，5）或（3，-1） 正解：由题意知点P的坐标为（1+4，2—3），即（5，-1）.故选D. 易错点三 不能准确地理解平移 4.在平面直角坐标系中，将点P（x，y）先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点(1，2)，则点P的坐标为（ ） A.（2，6） B.（-3，5） C.（-3，1） D.（5，-1） D 8 7.5 技巧总结 5 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 A 技巧总结 技巧总结 技巧总结 B 解题策略 利用数形结合思想，根据给出的点的坐标分析出待求坐标的点所在的象限，以及该点横、纵坐标的变化规律，再根据规律求出该点的坐标. D (8,16) (－505,505) (2019,2) (10,0) B D 考场练兵 B A 考场练兵 B C 考场练兵 C 考场练兵 D D 考场练兵 B 考场练兵 平行四边形 (－2，－2) (3,5) ±5 考场练兵 3 3 －3 2 －4 －3 2 －2 0 0 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 纵 横 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 用有序数对表示点的坐标 1．如图中的一张脸，小明说：“如果我用(0,2)表示左眼，用(2,2)表示右眼”，那么嘴的位置可以表示成(　　) A．(0,1) B．(2,1) C．(1,0) D．(1，－1) 2．(六盘水中考)观察中国象棋的棋盘，其中红方“马”的位置可以用一个数对(3,5)来表示，红“马”走完“马三进四”后到达B点，则表示B点位置的数对是 ． 平面直角坐标系中点的坐标特征 3．如图，笑脸盖住的点的坐标可能为(　　) A．(5,2) B．(－4，－6) C．(3，－4) D．(－2,3) 4．如果a－b＜0，且ab＜0，那么点(a，b)在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知点P(a,2a－1)在一、三象限的角平分线上，则a的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 6．已知点P(3a，a＋2)在x轴上，则P点的坐标是(　　) A．(3,2) B．(6,0) C．(－6,0) D．(6,2) 7．已知点A(m＋1，－2)，点B(3，m－1)，若直线AB∥x轴，则m的值为(　　) A．－1 B．－4 C．2 D．3 8．在平面直角坐标系中，有一点P(－2，－3)到x轴的距离是 . 9．在直角坐标系中，点P(x，y)在第二象限，且P到x轴、y轴的距离分别为3,7，则P点坐标为 ． 10．已知，点P(2m－6，m＋2)． (1)若点P在y轴上，P点的坐标为 ； (2)若点P的纵坐标比横坐标大6，求点P在第几象限？ (3)若点P和点Q都在过点A(2,3)且与x轴平行的直线上，PQ＝3，求Q点的坐标． 解：(1)(0,5)； (2)由题意，得2m－6＋6＝m＋2，解得m＝2，∴P点的坐标为(－2,4)，∴点P在第二象限； (3)∵点P和点Q都在过点A(2,3)且与x轴平行的直线上，∴点P和点Q的纵坐标都为3，∵m＋2＝3，即m＝1，∴2m－6＝－4，即点P(－4,3)．∵PQ＝3，∴点Q的坐标为(－1,3)或(－7,3)． 图形的平移与点的坐标变化 11．(成都中考)在平面直角坐标系中，将点(－2,3)向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为(　　) A．(2,3) B．(－6,3) C．(－2,7) D．(－2，－1) 12．如图所示，把图①中的三角形ABC经过一定的变换得到图②中的三角形A′B′C′.如果三角形ABC中的点P坐标为(a，b)，那么其对应点P′在图②中的坐标为(　　) A．(a－2 ，b－3) B．(a－3 ，b－2) C．(a＋3 ，b＋2) D．(a＋2 ，b＋3) 13．如图，在直角坐标系中，A(－1,5)、B(－1,0)、C(－4,3)． (1)求△ABC的面积； (2)若把△ABC向下平移2个单位，再向右平移5个单位得到△A′B′C′，画出平移后的图形△A′B′C′，并写出C′的坐标． 解：(1)△ABC的面积＝eq \f(1,2)×3×5＝7.5； (2)作图如图， 14．如图，若△A1B1C1是由△ABC平移后得到的，且△ABC中任意一点P(x，y)经过平移后的对应点为P1(x－5，y＋2)． (1)求点A1、B1、C1的坐标； (2)求△A1B1C1的面积． 解：(1)∵A(4,3)、B(3,1)、C(1,2)，∴A1(－1,5)、B1(－2,3)、C1(－4,4)； (2)如图所示，f(1,2)INCLUDEPICTURE"H013.TIF" △A1B1C1的面积＝3×2－×1×3－eq \f(1,2)×1×2－eq \f(1,2)×1×2＝eq \f(5,2). 15．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(－1,0)、(3,0)，现同时将点A、B先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A、B的对应点C、D，连接AC、BD、CD. (1)直接写出点C、D的坐标，求出四边形ABDC的面积； (2)在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)C(0,2)、D(4,2)．S四边形ABDC＝AB·OC＝4×2＝8； (2)存在，当BF＝eq \f(1,2)CD时，三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍．∵C(0,2)、D(4,2)，∴CD＝4，BF＝eq \f(1,2)CD＝2.∵B(3,0)，∴F(1,0)或(5,0)． 强化技巧1：有一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形直接求面积 1．如图，已知点A(－1,0)、B(3,0)、C(5，－4)，则三角形ABC的面积是 . 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1,5)、B(－1,0)、C(－4,3)，则三角形的面积为 . 强化技巧2：利用补形法求图形的面积 3．如图，已知△OBA的三个顶点坐标分别为O(0,0)、A(－5，－7)、B(4， －3)，则△OBA的面积是　　. 4．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在网格的格点上，其中A点的坐标为(2，－1)，则三角形ABC的面积为 个平方单位． eq \f(43,2) 5．在边长1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形(顶点为网格线的交点)． (1)写出点A、B、C、D的坐标； (2)求四边形ABCD的面积． 解：(1)由图形可知点A(4,1)、B(0,0)、C(－2,3)、D(2,5)； (2)四边形ABCD的面积＝5×6－eq \f(1,2)×2×3－eq \f(1,2)×2×4－eq \f(1,2)×2×4－eq \f(1,2)×1×4＝17. 强化技巧3：利用分割法求图形的面积 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A(2,2)、B(0,1)、C(－1,0)、D(3,0)，试求四边形ABCD的面积． 解：方法不唯一．如：连接OA.S四边形ABCD＝eq \f(1,2)×1×1＋eq \f(1,2)×1×2＋eq \f(1,2)×3×2＝4.5. 强化技巧4：已知面积求坐标 7．已知点O(0,0)、A(－3,2)，点B在y轴的正半轴上，若三角形AOB的面积为6，则点B的坐标为(　　) A．(0,4)　　　　 B．(0,2) C．(4,0) D．(0,4)或(0，－4) 8．如图，已知三点A(0,1)、B(2,0)、C(4,3)． (1)求△ABC的面积； (2)设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标． 解：(1)三角形ABC的面积＝4×3－eq \f(1,2)×1×2－eq \f(1,2)×2×3－eq \f(1,2)×2×4＝4； (2)当点P在x轴上时，S△ABP＝eq \f(1,2)PB·OA＝eq \f(1,2)PB＝4.∴PB＝8.∴P的坐标为(10,0)或(－6,0)．当点P在y轴上时，S△ABP＝eq \f(1,2)PA·OB＝eq \f(1,2)×2AP＝4.∴PA＝4.∴点P的坐标为(0,5)或(0，－3)，综上所述，可知点P的坐标为为(10,0)或(－6,0)或(0,5)或(0，－3)． 强化技巧5根据已知点的变化情况，探究点的坐标变化规律． 1．如图，在平面直角坐标系中，A(1,1)、B(－1,1)、C(－1，－2)、D(1，－2)．把一条长为2018个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A－B－C－D－A…的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是(　　) A．(－1,0)　　　　　　 B．(1，－1) C．(1,1) D．(－1，－1) 2．将下列正整数按以下规律排列： 表中数2在第二行第一列，与有序数对(2,1)对应；数5与(1,3)对应；数14与(3,4)对应，根据这一规律，数2018对应的有序数对为(　　) A．(44,9) B．(45,9) C．(44,8) D．(45,8) 3．观察下面各点坐标的排列规律：P1(1，eq \f(1,4))、P2(2,1)、P3(3，eq \f(9,4))、P4(4,4)…根据你发现的规律可知点P8的坐标为 ． 4．如图，已知A1(1,0)、A2(1,1)、A3(－1,1)、A4(－1，－1)、A5(2，－1)、…，则点A2019的坐标为 ． 5．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)，…，按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P的坐标是 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)、(2,0)、(2,1)、(1,1)、(1,2)、(2,2)…根据这个规律，第82个点的坐标为 ． 【解析】第1、9、25、49个点的坐标分别为(1,0)、(3,0)、(5,0)、(7,0)．所以第81个点的坐标为(9,0)，第82个点的坐标为(10,0)． 7．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标： A1( ， )，A3( ， )， A12( ， )； (2)写出点A4n的坐标(n是正整数)； (3)指出蚂蚁从点A2016到A2017的移动方向． 解：(1)A1(0,1)、A3(1,0)、A12(6,0)； (2)A4n(2n,0)； (3)∵2016＝4×504，∴点A2016中的n正好是4的倍数，所以点A2016是(1008,0)，A2017的坐标是(1008,1)，所以蚂蚁从点A2016到A2017的移动方向从下向上． 一、选择题(每小题4分，共40分) 1．如果教室的座位3排2号用(3,2)表示，那么(2,3)表示(　　) A．3排2号 B．2排3号 C．2排3号或3排2号 D．以上都不是 2．如图，小手盖住的点的坐标可能为(　　) A．(5,2) B．(－6,3) C．(－4，－6) D．(3，－4) 3．点P在第三象限，点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为(　　) A．(－4,3) B．(－3，－4) C．(－3,4) D．(3，－4) 4．如果点P(m＋2,2m＋6)在x轴上，那么点P的坐标是(　　) A．(－1,0) B．(0，－1) C．(1,0) D．(0,1) 5．如图，与图①中的三角形相比，图②中的三角形发生的变化是(　　) A．向左平移1个单位 B．向左平移3个单位 C．向上平移3个单位 D．向下平移1个单位 6．已知点A(－1,0)和点B(1,2)，将线段AB平移至A′B′，点A′与点A对应，若点A′的坐标为(1，－3)，则点B′的坐标为(　　) A．(3,0) B．(3，－3) C．(3，－1) D．(－1,3) 7．点P(x，y)经平移后的对应点P′的坐标为(x＋3，y－1)，则平移的方法可能是(　　) A．将点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位 B．将点P先向左平移3个单位，再向上平移1个单位 C．将点P先向右平移3个单位，再向下平移1个单位 D．将点P先向左平移3个单位，再向下平移1个单位 8．下列结论：①在平面直角坐标系中，x轴上的点的纵坐标都为0；②到x轴、y轴的距离都是3的点的坐标是(3,3)；③点P(m，n)是平面直角坐标系中的点，如果mn＜0，那么P点在第二或第四象限；④点(2，－3)与点(2,5)的连线平行于y轴；⑤y轴负半轴上的点属于第四象限．其中正确的有(　　) A．5个 B．4个 C．2个 D．3个 9．对平面上任意一点(a，b)，定义f、g两种变换：f(a，b)＝(a，－b)，如f(1,2)＝(1，－2)；g(a，b)＝(b，a)，如g(1,2)＝(2,1)．据此得g[f(5，－9)]等于(　　) A．(5，－9) B．(－9，－5) C．(5,9) D．(9,5) 10．如图，一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第1秒钟，它从原点跳动到(0,1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→…]，且每秒跳动1个单位长度，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是(　　) A．(4,0) B．(5,0) C．(0,5) D．(5,5) 二、填空题(每小题5分，共20分) 11．在平面直角坐标系中，依次连接A(－1,1)、B(－2，－2)、C(2，－2)、D(3,1)、A(－1,1)，所得到的图形是 ． 12．(绵阳中考)如图，在中国象棋的残局上建立平 面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是 (3，－1)和(－3,1)，那么“卒”的坐标为 ． 13．如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为 (－1,1)，AB平行于x轴，则点C的坐标为 ． 14．已知点A(a,3)，过点A向x轴、y轴作垂线，两条 垂线与两坐标轴围成的图形的面积是15，则a的值是 . 三、解答题(共90分) 15．(8分)点A、B、C、D在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)写出表示下列各点的有序实数对：A( ， )、B( ， )、C( ， )、D( ， )、O( ， )； (2)在平面直角坐标系中，描出下列各点：E(2,4)、F(0,3)、G(4,0)． 解：图略． 16．(8分)已知点P(2m－5，－m－2)在第三象限． (1)求满足条件的m的取值范围； (2)写出所有满足条件的正整数m的值． 解：(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2m－5＜0,－m－2＜0))；解得－2＜m＜eq \f(5,2)；　(2)m＝1,2. 17．(8分)(1)已知点A(4－a，－2a－3)和点B(－2,5)，且AB平行于x轴，试求点A的坐标； (2)把点P(m＋1，n－2m)先向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度后，得到的点P′的坐标为(3，－2)，试求m、n的值． 解：(1)－2a－3＝5，解得a＝－4，∴4－a＝8，∴A(8,5)； (2)由题意，得点P的坐标为(－1,4)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1＝－1,n－2m＝4))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－2,n＝0))； 18．(8分)如图，在平面直角坐标系中： (1)描出点A(－3,2)和点B(1,2)，画直线AB，那么直线AB与x轴有怎样的位置关系？ (2)描出点M(2,3)和点N(2，－1)，画直线MN，那么直线MN与y轴有怎样的位置关系？ (3)想一想：如果一些点在平行于x轴的直线上，则这些点的 坐标相同；如果一些点在平行于y轴的直线上，则这些点的 坐标相同． 解：(1)画图略；AB∥x轴；　(2)画图略；MN∥y轴； 19．(10分)如图标明了李明同学家附近的一些地方． (1)根据图中所建立的平面直角坐标系，写出学校、邮局的坐标； (2)某星期日早晨，李明同学从家里出发，沿着(－2，－1)→(－1，－2)→(1，－2)→(2，－1)→(1，－1)→(1,3)→(－1,0)→(0，－1)的路线转了一下，写出他路上经过的地方； (3)连接他在(2)中经过的地点，你能得到什么图形？ 解：(1)学校(1,3)，邮局(0，－1)；　(2)李明家→商店→公园→汽车站→水果店→学校→游乐场→邮局；　(3)连接图形略．一艘帆船． 20．(10分)如图，三角形ABC内任意一点P(x0，y0)，将三角形ABC平移后，点P的对应点为P1(x0＋5，y0－3)． (1)写出将三角形ABC平移后，三角形ABC中顶点A、B、C分别对应的点A1、B1、C1的坐标，并画出三角形A1B1C1； (2)若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1(5,3)，写出点M的坐标 ，若连接线段MM1、PP1，则这两条线段之间的关系是 ． 解：(1)A1(2，－1)，B1(1，－5)，C1(5，－6)，图略；　 (2)(0,6)　平行且相等． 21．(12分)在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别是A(0,0)、B(3,1)、C(2,2)． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出三角形ABC；(每个小正方形的边长均为1个单位长度) (2)如果将三角形ABC先向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到三角形A1B1C1，直接写出点B1、C1的坐标，并求三角形A1B1C1的面积； (3)求出线段AB在(2)中的平移过程中扫过的面积． 解：(1)三角形ABC如图所示. (2)三角形A1B1C1如图所示，所以B1(1,2)，C1(0,3)，三角形A1B1C1的面积为3×2－eq \f(1,2)×2×2－eq \f(1,2)×1×1－eq \f(1,2)×3×1＝2； (3)线段AB在(1)中的平移过程中扫过的面积为5×2－eq \f(1,2)×3×1×2－eq \f(1,2)×2×1×2＝5. 22．(12分)如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为(4,0)，C点的坐标为(0,6)，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿着O－A－B－C－O的路线移动(即沿着长方形移动一周)． (1)写出点B 的坐标； (2)当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5时，求点P移动的时间． 解：(1)点B的坐标为(4,6)；　 (2)当点P移动了4秒时，点P的位置如图， (3)设点P移动的时间为x秒．当点P在AB上时，由题意，得2x＝4＋5，解得x＝eq \f(9,2)；当点P在OC上时，由题意，得2x＝2×(4＋6)－5，解得x＝eq \f(15,2).∴当点P到x轴的距离为5时，点P移动了eq \f(9,2)秒或eq \f(15,2)秒． 23．(14分)如图三角形ABO的三个顶点的坐标分别为O(0,0)、A(5,0)、B(2,4)． (1)求三角形OAB的面积； (2)若O、A两点的位置不变，P点在什么位置时，三角形OAP的面积是三角形OAB面积的2倍； (3)若B(2,4)、O(0,0)不变，M点在x轴上，M点在什么位置时，三角形OBM的面积是三角形OAB面积的2倍． 解：(1)S三角形OAB＝eq \f(1,2)×5×4＝10；　 (2)设P(xp，yp)，则S三角形OAP＝2S三角形OAB＝20.即eq \f(1,2)×OA×yp＝20，解得yp＝8或－8.∴P点的纵坐标为8或－8，横坐标为任意实数；　 (3)设M点的坐标为(x,0)，则S三角形OBM＝2S三角形OAB＝20.即eq \f(1,2)×x×4＝20.∴x1＝10，x2＝－10.故M(10,0)或M(－10,0)． $$