12.3.1 角平分线的作法及性质 课件- 2024-2025学年人教版数学八年级上册

角平分线的作法及性质 人教版高中数学必修二 R 数学八年级(上册) 12.3 角的平分线的性质 同步数学教学课件 (1)判定两个三角形全等的方法有哪些? SSS、ASA、ASA、AAS、HL (2)三角形中有哪些重要的线段? 三角形的高、三角形的中线、三角形的角的平分线 (3)从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做 _. 点到直线的距离 复习回顾 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 在纸上画一个角,你能得到这个角的平分线吗? 方法一:用量角器度量 方法二:用折纸的方法 在黑板上画一个角,还能用对折的方法得到这个角的平分线吗? 方法三:角平分仪 【问题1】 【问题2】 新课导入 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 右图是一个平分角的仪器,其中AB =AD,BC =DC,将点A 放在角的顶点,AB 和AD 沿着角的两边放下,沿AC 画一条射线AE,AE 就是∠DAB 的平分线.你能说明它的 道理吗? A B D C E 推进新课 (1)角平分仪由什么构成? (2)角平分仪如何使用? (3)∠DAC和∠BAC相等的依据是什么? 思考: 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 推进新课 A B D C 分析:在 ACD和 ACB中, AC=AC, AD=AB, CD=CB, ∴ ACD≌ ACB(SSS) ∴∠DAC=∠BAC. ∴AE平分∠DAB. E 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 知识点一 A B O 已知:∠AOB. 求作:∠AOB的平分线. 用尺规作角的平分线 思考 如果没有平分角的仪器,我们用尺规作图也能画出一个角的平分线吗? 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 A B O M N C (1) 以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N. (3) 画射线OC.射线OC即为所求. (2) 分别以点M,N为圆心.大于 MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点C. 知识点一 用尺规作角的平分线 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 A B O M N C 1.为什么以大于 MN的长为半径作弧? 2.两弧的交点一定在∠AOB的内部吗? 思考 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 结论 1.如果以小于 MN的长为半径作弧,所作的两弧可能没有交点,就找不到角的平分线. A B O M N 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 结论 2.两弧的交点可能在∠AOB的内部,也可能在∠AOB的外部,而我们要找的是∠AOB内部的交点,否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了. A B O M N C 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 画一画 已知:平角∠AOB. 求作:平角∠AOB的平分线. A B O 【结论】作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 知识点二 角的平分线的性质 如图,将三角形纸片的∠ABC对折,再将BM自身重合对折(点B与点M重合),观察折叠后的展开图,三条折痕分别表示什么?你发现了什么? 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 知识点二 角的平分线的性质 BD表示∠ABC的平分线,NP和NQ分别表示点N到AB和BC的距离,点N到AB和BC的距离相等(NP = NQ). 猜想:角平分线上的点到角的两边的距离相等 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 知识点二 角的平分线的性质 如图,∠AOC = ∠BOC,点 P 在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为D,E.求证:PD =PE. 已知: 一个点在一个角的平分线上. 求证:这个点到这个角两边的距离相等. 验证猜想 角平分线上的点到角的两边的距离相等 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 证明: ∵PD ⊥ OA,PE ⊥ OB, ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 . 在 PDO和 PEO中, ∠PDO = ∠PEO , ∠AOC = ∠BOC , OP = OP , ∴ PDO ≌ PEO(AAS) ∴PD = PE 知识点二 角的平分线的性质 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 知识点二 角的平分线的性质 ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上的一点,PD⊥OA,PE⊥OB ,垂足分别为D、E,∴PD=PE. 【几何语言】 角平分线上的点到角的两边的距离相等 角平分线的性质 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 知识点二 角的平分线的性质 角平分线上的点到角的两边的距离相等 定理应用所具备的条件: (1)角的平分线; (2)点在该平分线上; (3)垂直距离. 定理的作用: 证明线段相等 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 知识点二 角的平分线的性质 如图,AM是∠BAC的平分线,点P在AM上,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=_cm. 4 提示: 存在两条垂线段—直接应用 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 知识点二 角的平分线的性质 【变式】如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,AP平分∠BAC交BC于点P,若PC=4,则点P到AB的距离为_. 4 A C P B 提示: 存在一条垂线段 构造另一条垂线段 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 知识点三 证明几何命题的一般步骤 1.明确命题中的已知和求证; 2.根据题意,画出图形,并用符号表示已知和求证; 3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程. 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 1.如图,DE⊥AB,DF⊥BG,垂足分别是E、F, DE =DF,∠EDB= 60 ,则∠EBF=_ ,BE=_. 60 BF 随堂演练 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 随堂演练 2.如图,AD是 ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,S ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是( ) A.6 B.5 C.4 D.3 D 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 随堂演练 3.如图,在直线MN上求作一点P,使点P到射线OA和OB的距离相等. 【课本P50 练习 第1题】 解:如图所示:作∠AOB的平分线与MN交于点P,点P即为所求. 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 4.已知:如图,在 ABC中,AD是∠BAC的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E、F.求证:EB=FC. 随堂演练 证明:∵AD是∠BAC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 , 在Rt BDE 和 Rt CDF中, ∴ Rt BDE ≌ Rt CDF(HL). ∴ EB=FC. DE=DF , BD=CD, 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 拓展延伸 5.如图,已知AD∥BC,P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点,PE⊥AB,垂足为E,且PE= 3,求AD与BC之间的距离. 解:过点 P 作MN⊥AD于点M ,交BC于点 N . ∵AD∥BC ∴MN⊥BC , ∴MN的长即为AD与BC之间的距离 . ∵AP平分∠BAD ,PM⊥AD ,PE⊥AB, ∴ PM = PE .同理,PN = PE. ∴ PM = PN = PE= 3,∴ MN= 6. 即 AD 与 BC 之间的距离为6. M N 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 角平分线 尺规作图 性质 添加辅助线解题 依据:SSS 一个点: 二距离: 两相等: 角平分线上的点 点到角两边的距离 两条垂线段相等 过角平分线上一点向两边作垂线段 课堂小结 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 从课后习题中选取 完成练习册本课时的习题 课后作业 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 $$