1.2 一定是直角三角形吗？（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

八年级北师大版数学上册 第一章 勾股定理 1.2 一定是直角三角形吗？ 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1. 通过学习勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念，能根据所给定三角形三边的条件判断三角形是不是直角三角形，发展应用意识．（重点） 2．通过经历勾股定理的逆向思维所推出的勾股定理逆定理的理解过程，发展学生的抽象思维能力、归纳能力．（难点） 3．通过体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣，发展模型观念． 据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角. 用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子就得到一个直角三角形， 其直角在第1个结处. 情景导入 问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? 一级标题：黑体， 4 同学们：小红没有量角的工具，只有一把能测量长度的尺，你能不能帮小红判断一个三角形的形状？带着这个问题开始今天的学习之旅吧! 情景导入 一级标题：黑体， 5 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 回答下列问题: 1.这三组数都满足 a2+b2=c2吗？ 2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 1.勾股定理的逆定理 思考探究 新知探究 6 实验结果： ① 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; ② 7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; ③ 8,15,17满足a2+b2=c2 ,可以构成直角三角形. 思考：从上述问题中，能发现什么结论吗？ 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 有同学认为测量结果可能有误差,不同意 这个发现.你觉得这个发现正确吗?你能给 出一个更有说服力的理由吗? △ABC≌ △ A′B′C′ 　　 ？ ∠C是直角　　　 △ABC是直角三角形　　 A　 B　 C　 a b c 已知：如图，△ABC的三边长a,b,c，满足a2+b2=c2． 求证：△ABC是直角三角形． 构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′ 简要说明： 作一个直角∠MC1N， 在C1M上截取C1B1=a=CB, 在C1N上截取C1A1=b=CA, 连接A1B1. 在Rt△A1C1B1中，由勾股定理,得A1B12=a2+b2=AB2 . ∴ A1B1=AB ，∴ △ABC ≌△A1B1C1 . （SSS） ∴ ∠C=∠C1=90°， ∴ △ABC是直角三角形. a c b A C B b a C1 M N B1 A1 如果三角形的三边长a，b，c满足 a2 ＋ b2 ＝ c2，那么这个三角形是直角三角形． 符号语言： 如图，在△ABC中，a2 ＋ b2 ＝ c2， 则△ABC是直角三角形． 注意：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，最长边所对的角为直角． 概念归纳 勾股定理与其逆定理的关系： 勾股定理是已知直角三角形，得到三边长的关系，它是直角三角形的重要性质之一；而勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系判断该三角形是不是直角三角形，这是直角三角形的判定，也是判断两直线是否垂直的方法之一．二者的条件和结论刚好相反． 4 3 5 13 12 A B C D 例1.一个零件如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，这个零件符合要求吗？ 典例剖析 解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2， 所以△ABD是直角三角形，∠A是直角. 同理，△BCD是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求. 例2.下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？ (1) a=15 ， b=8 ，c=17; 解：因为152+82=289，172=289，所以152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角. (2) a=13 ， b=14 ， c=15; 解：因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形. 典例剖析 (3) a:b: c=3:4:5; 解：设a=3k,b=4k,c=5k, 因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, 所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，∠C是直角. 根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 归纳 变式1： 已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1(n为 大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是， 哪一条边所对的角是直角？请说明理由 解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)² =n4 -2n²+1+4n² =n4 +2n²+1 =(n²+1)² =AC²， ∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角. 先确定AB、BC、AC、 的大小 变式2： 若三角形ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状. 解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0. 即 (a－3)²+ (b－4)²+ (c－5)²=0. ∴ a=3, b=4, c=5 即 a2+b2+c2. ∴△ABC直角三角形. 例3.在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝ CB，试判断AF与EF的 位置关系，并说明理由． 解：AF⊥EF.设正方形的边长为4a, 则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a. 在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2. 在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2. 在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2. 在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2， ∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边． ∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF. 典例剖析 2.勾股数 概念 新知探究 满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数． 常见勾股数： 3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26…… 勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数． 例4.下列各组数是勾股数的是( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132 A 方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可. 典例剖析 1.下列各组数是勾股数的是 ( ) A.3，4，7 B.5，12，13 C.1.5，2，2.5 D.1，3，5 2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形 B A 练一练 21 1.如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可以是 ( ) A.3:4:7 B.5:12:13 C.1:2:4 D.1:3:5 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到 的三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形 B A 练一练 22 4.如果三条线段a，b，c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的三角形是直角三角形吗?为什么? 解：是直角三角形.因为a2+b2=c2满足勾股定理的逆定理. 3.以△ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是25, 144 , 169, 则这个三角形是______三角形. 直角 练一练 随堂练习 1. 下面几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由。 （1）9，12，15； （2）12，18，22； （3）12，35，36； （4）15，36，39. 解：（1）、（4）可作为直角三角形的三边长,因为这两组数据都满足a2＋b2＝c2． 2. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形？你是如何判断的？与同伴交流. A B C D F E 随堂练习 解:图中四个三角形都是直角三角形：△BAE，△EDF，△BCF 分别有一个角为正方形的内角，是直角； 在△BEF 中，可以计算出BE2 ＝20，EF2 ＝5，BF2 ＝25， 从而可得∠BEF＝90°，△BEF 也是直角三角形． 解：因为9²+40²=1681=41²，所以斜边长为41. 1.如果直角三角形的两直角边长是9，40，那么斜边长为多少？ 解：由a2=c2－b2，得a²+b²=c2，所以这三条线段组成的三角形是直角三角形. 2.如果三条线段长a，b，c满足a2=c2－b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？ 习题1.3 知识技能 解：还是直角三角形. 3.（1）如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，那么得到的三家形还是直角三角形吗？ （2）下表中第一列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的2倍、3倍、4倍、10倍还是勾股数吗？任意倍呢？说说你的理由. 2倍 3倍 4倍 10倍 3,4,5 6,8,10 5,12,13 15,36,39 8,15,17 32,60,68 7,24,25 70,240,250 9 , 12 ,15 12 ,16 ,20 30, 40 ,50 10, 24 ,26 20, 48 ,52 50, 120 ,130 16, 30 ,34 24, 45 ,51 80, 150 ,170 14, 48 ,50 21, 72 ,75 28, 96 ,100 数学理解 3.（2）下表中第一列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的2倍、3倍、4倍、10倍还是勾股数吗？任意倍呢？说说你的理由. 解：这些勾股数的任意倍还是勾股数.理由： 不妨设勾股数a,b,c的k倍为ak,bk,ck.（a,b,c,k为正整数） 因为a2+b2=c2，所以（ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2= （a2+b2）k2=c2k2=（ck）2.所以ak,bk,ck是勾股数. 数学理解 解：由勾股定理逆定理可得三角形④⑤是直角三角形，三角形①②③⑥不是直角三角形. 4.如图，哪些三角形是直角三角形，哪些不是？说说你的理由. 数学理解 解：把绳子平均分成12段，分别取其中的3段、4段、5段作为边长围成一个三角形，则5段的边所对的角是直角. *5.给你一根长绳子，没有其他工具，你能方便地得到一个直角吗？ 问题解决 *6.美国哥伦比亚大学收藏了一块古巴比伦时代的泥板（如图）.经科学家研究，这块泥板上的三列文字实际上是三列数字（如表）.你知道这些数字间的关系吗？借助计算器进行探索. 联系拓广 解：通过计算可以发现，这些数字满足a²+b²=c2. 这些数中，每行的三个数都是勾股数. D 分层练习-基础 B B 1 分层练习-基础 正整数 B B 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 D 分层练习-巩固 B C 分层练习-巩固 C 分层练习-巩固 100或28 直角 互余 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 课堂反馈 课堂反馈 课堂小结 勾股定理 的逆定理 内容 作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形. 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 注意 最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角. 勾股数一定是正整数 勾股数 知识点一：直角三角形的判定 如果三角形的三条边分别为a、b、c，满足　a2＋b2＝c2　，那么这个三角形是直角三角形． 1．下列各数组的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是(　　) A．1、2、3　 B．32、42、52　 C．eq \f(1,3)、eq \f(1,4)、eq \f(1,5)　 D．0.3、0.4、0.5 2．若三角形的三边分别为a、b、c，且满足(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形中最大的角是(　　) A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 3．下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是(　　) A．3、4、1 B．3、4、3 C．3、4、5 D．3、4、7 4．四根小木棒的长分别为5cm、8cm、12cm、13cm，任选三根组成三角形，其中有　　个直角三角形． 知识点二：勾股数 满足a2＋b2＝c2的三个 ，称为勾股数． 5．下列各组数中，是勾股数的是(　　) A．12、15、18 B．11、60、61 C．15、16、17 D．12、35、36 6．下列几组数中勾股数有(　　) ①1、1、eq \r(2)；②3、4、5；③4、5、6；④5、12、13；⑤7、24、25； ⑥8、12、15；⑦8、15、17；⑧1、eq \r(3)、2. A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 知识点三：勾股定理及其逆定理的应用 7．已知：在△ABC中，三条边长分别为a、b、c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)．试判断△ABC的形状． 解：因为a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2＝c2，所以△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理)． 8．如图，在△ABC中，点D为BC边上一点．若AB＝13，BD＝5，AD＝12，BC＝14.求AC的长． 解：因为BD2＋AD2＝52＋122＝169＝AB2，所以∠ADB＝90°，所以∠ADC＝90°，所以AC2＝AD2＋DC2＝122＋(14－5)2＝225.所以AC＝15. 9．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(　　) A．∠A＋∠B＝∠C　　 B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 C．a2＝c2－b2 D．a∶b∶c＝3∶4∶6 10．如图所示，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C均在格点上，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 11．三角形三边长为6、8、10，那么最长边的高为(　　) A．6 B．4.5 C．4.8 D．8 12．五根小木棒，其长度分别为7、15、20、24、25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是(　　) 13．若三角形的三边是6、8、x，当x2的值为 时，该三角形是直角三角形． 14．已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a＋b＝10，ab＝18，c＝8，则此三角形为 三角形． 15．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝2.4，BD＝3.2，CD＝1.8，则∠B与∠C的关系是 . 16．如图，已知AB⊥BC，AB＝2，BC＝eq \r(5)，CD＝5，DA＝4.求四边形ABCD的面积． 解：连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(22＋\r(5)2)＝3.由勾股定理的逆定理，得△ACD为直角三角形．所以S四边形ABCD＝SRt△ABC＋SRt△ACD＝eq \f(1,2)×2×eq \r(5)＋eq \f(1,2)×3×4＝eq \r(5)＋6. 17．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC于点D，交AB于点E，且BE2－EA2＝AC2. (1)求证：∠A＝90°； (2)若DE＝3，BD＝4，求AE的长． (1)证明：连接CE，如图， (2)解：∵DE＝3，BD＝4，∴BE＝eq \r(DE2＋BD2)＝5＝CE，∴AC2＝EC2－AE2＝25－EA2，∵BC＝2BD＝8，∴在Rt△BAC中由勾股定理可得，BC2－BA2＝64－(5＋EA)2＝AC2，∴64－(5＋AE)2＝25－EA2，解得AE＝eq \f(7,5). 18．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB中点，F为AD上一点，且AF＝eq \f(1,4)AD，试判断△FEC的形状，并说明理由． 解：△FEC为直角三角形，理由略．点拨：设正方形ABCD的边长为4a，则AF＝a，AE＝2a，BE＝2a，BC＝4a，CE＝2eq \r(5)a，EF＝eq \r(5)a，CF＝5a.∵EF2＋CE2＝25a2，CF2＝25a2，∴EF2＋CE2＝CF2，∴△FEC为直角三角形． 19．观察以下几组勾股数，并寻找规律： ①3、4、5；　　　　②5、12、13； ③7、24、25; ④9、40 、41；... 请写出有以上规律的第⑤组勾股数． 【解析】勾股定理和了解数的规律变化是解题关键． 解：从上述勾股数中可以发现第一个数是奇数，且逐步递增2，故第5组第一个数是11，又发现第二、第三个数相差为1，故设第二个数为x，则第三个数为x＋1，根据勾股定理得，112＋x2＝(x＋1)2，解得x＝60，则得第5组数是：11、60、61.故答案为：11、60、61. 会判别直角三角形． 1.已知a、b、c满足条件a2＋b2＋c2＋164＝12a＋16b＋16c，且△ABC的三边长分别为a＋6、b－3、c＋5，试判断△ABC的形状． 【思路分析】要判断一个三角形的形状，必须先求出其三边长，再分别计算出三边长的平方．若符合两个较小边长的平方等于最大边长的平方，则该三角形为直角三角形，否则，该三角形不是直角三角形． 【规范解答】由a2＋b2＋c2＋164＝12a＋16b＋16c，得(a－6)2＋(b－8)2＋(c－8)2＝0.所以(a－6)2＝0，(b－8)2＝0，(c－8)2＝0，所以a＝6，b＝8，c＝8.所以a＋6＝12，b－3＝5，c＋5＝13，又因为52＋122＝132.即(b－3)2＋(a＋6)2＝(c＋5)2.所以△ABC为直角三角形． 勾股定理的逆定理的应用． 2.有一块空白地，如图，∠ADC＝90°，CD＝6米，AD＝8米，AB＝26米，BC＝24米．现计划在该空地上进行绿化，若平均每平方米投资100元，那么该空白地绿化需多少总投入？ 【思路分析】解题关键是求空地的面积，连接AC后，空地面积是△ABC与△ADC的面积差． 【规范解答】连接AC，因为∠ADC＝90°，所以△ADC是直角三角形．由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2，即82＋62＝AC2，所以AC＝10米．又因为AC2＋CB2＝102＋242＝262＝AB2，所以△ACB是直角三角形．所以S四边形ABCD＝SRt△ACB－SRt△ACD＝eq \f(1,2)×10×24－eq \f(1,2)×6×8＝96(米2).100×96＝9600(元)． 答：该空白地绿化需9600元总投入． $$