16.1二次根式（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪教版）

16.1 二次根式 知识点一 二次根式的概念 ★1. 二次根式的概念 代数式叫做二次根式，读作“根号a”，其中a是被开方数.例如，，都是二次根式. [注意]例如可写成，但不能写成. 通常把形如的式子也叫做二次根式，如，，，也是二次根式. [注意]表示与是相乘的关系，当是分数时，只能是真分数或假分数，不能写成带分数或小数的形式. ★2. 二次根式的特征 （1）必须含有平方根“”，“”的根指数是2；[根指数2一般省略不写] （2）被开方数一定是非负数，如和都不是二次根式. 问题：如何证明不是二次根式？ 解：∵，∴，∴∴无意义即不是二次根式. 知识点二 二次根式有无意义的条件 分类 条件 符号语言 有意义 被开方数是非负数 无意义 被开方数是负数 本知识点一般用于求被开方数中的字母的取值范围较多。 二次根式有意义的条件： (1) 要使二次根式有意义,必须使被开方数为非负数,据此建立不等式(组)求解,不要错误地认为二次根式中所含字母为非负数; (2) 若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数; (3) 若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零. 知识点三 二次根式的性质 ★1. 二次根式的双重非负性 具有双重非负性：①被开方数是非负数②本身也是非负数 初中阶段非负性的三种表达式： （1） 偶次方非负，常以二次方居多： （2） 绝对值非负： （3） 算术平方根非负： ★2. 非负式常见形式 若几个非负式的和为0，则这几个非负式都为0，常见形式如下： （1）若则； （2）若则； （3）若则； （4） ★3. 二次根式的性质1： （1） 一个非负数的平方的算术平方根等于它本身； （2） 对于实数，一般来说，由，得，其中.利用二次根式的性质1，可知，所以. 注意：性质表示一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.的值不一定等于. ★4. 二次根式的性质2： 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.反之，一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式,即. ★5. 与的区别与联系： 类别 区别 表示的意义 表示非负数的算术平方根的平方 表示数的平方的算术平方根 运算顺序 先开方，后平方 先平方，后开方 的取值 为任意实数 化简结果 ＝ 联系 （1）结果都是非负数 （2）当时，＝ ★6. 不同类型的二次根式化简 类型 方法 先利用积的平方等于平方的积，即化为的形式，再化简. 先利用化为的形式后再化简. ★7. 二次根式的性质3： （1）和可以是数，也可以是代数式，但必须满足，实际上，是限制性质3右边的，对于性质3的左边，只需要即可. （2）若一个二次根式的被开方数中有的因式是完全平方式，则可以利用 及将这些因式“开方”出来，从而将二次根式化简. ★8. 二次根式的性质4： 性质4中的和必须满足.是限制性质4右边的，对于性质4的左边，只要且即可.例如计算，不能写成，而应该写成. 【注意】性质3和4两个等式中，左边是以两个数的积（或商）为被开方数的二次根式，右边是分别以这两个数为被开方数的两个二次根式的积（或商），在二次根式的运算或变换中，可以据此从左到右或从右到左进行转化. 知识点四 化简二次根式 ★1. 化简二次根式： 把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”. ★2. 方法： 方法 举例 被开方数含有完全平方因式，可用它的非负平方根代替后移到根号外面 化去被开方数的分母 若被开方数含有带分数，应先将带分数化成假分数 若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数 若被开方数是分式，应先将分母化成平方的形式，再进行开方运算 被开方数是多项式的要先进行因式分解 化去分母的方法 将分子和分母同乘一个不等于0的代数式，使得分母变为完全平方式，再将分母用它的正平方根代替后移到根号外作新的分母. 注意 去根号时，若移到根号外面的式子是多项式，则该多项式是一个整体，必须添加括号. 题型一 二次根式的判断 解题技巧提炼 判断二次根式，厘清“是”“否”是关键. 1．下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数．根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式可得答案． 【详解】解：A、，不是二次根式，故A选项不符合题意； B、 ，是三次根式，故B选项不符合题意； C、，无论x取任何值都大于零，故C选项符合题意； D、，由题目无法判断正负，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是二次根式的定义，掌握其概念是解决此题的关键．直接根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式解答即可． 【详解】解：A，无论取何值，总成立，一定为二次根式，符合题意； B，当时，不是二次根式，不合题意； C，当时，，不是二次根式，不合题意； D，当时，不是二次根式，不合题意． 故选：A． 3．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的概念，正确熟练掌握二次根式的概念是解题的关键． 依据形如的式子叫做二次根式解题即可； 【详解】解：A、为说明，本选项不符合题意； B、中由于，∴，本选项符合题意； C、中被开方数为负数，本选项不符合题意； D、形式不符合，本选项不符合题意． 故选：B． 4．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查二次根式的定义：形如的代数式叫做二次根式，其中a叫做被开方数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中的被开方数，故不是二次根式，不符合题意； B、是三次根式，故不是二次根式，不符合题意； C、中的a不一定大于等于0，故不是二次根式，不符合题意； D、是二次根式，符合题意， 故选：D． 题型二 求二次根式的值 解题技巧提炼 求二次根式的值的时候，如果没有字母的值，则可以根据二次根式的双重非负性求取值范围或公共解；如果给出字母的值，则可以先化简二次根式，再代入求解. 1．当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可． 【详解】当时， ． 故选：C． 2．当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 【详解】解：当时，． 故选：B． 3．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式求值，将代入二次根式，直接求解即可． 【详解】解：当时， 故选：B． 4．当时，二次根式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，掌握代入求值法是解题关键．把代入原式化简即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：2． 题型三 二次根式有意义的条件 解题技巧提炼 求字母取值范围的三种常见类型： (1)单独一个二次根式,要保证被开方数大于或等于0; (2)多个二次根式的组合,要列出不等式组，求出各不等式解集的公共部分; (3)二次根式与分式或零次幂(及负整数次幂)的组合，所求取值范围在保证二次根式有意义的同时，还要去掉使分式分母、零次幂(及负整数次幂)的底数等于0的值.. 1.（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．根据二次根式的被开方数是非负数，二次根式的值是非负数，可得答案． 【详解】解：∵； ∴，； 解得：； 故选：C． 2．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如果在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义：被开方数为非负数以及分母不为0，据此即可列式计算作答． 【详解】解：∵在实数范围内有意义 ∴， 解得 故答案为： 3．（2024·上海·中考真题）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可． 【详解】解：根据题意可知：， ∴， 解得：， 故答案为：1． 4．（23-24七年级下·上海闵行·期中）要使得代数式有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题关键．根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：若代数式有意义， 则有且， 解得且． 故答案为：且． 5.（2023·上海静安期末）方程的根是 ． 【答案】1 【分析】根据二次根式的性质可得，从而可得，再将方程转化为，据此解答即可． 【详解】解：由二次根式的被开方数的非负性得：，即， ， 则原方程可化为， ，解得． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 6.已知实数、满足，求的平方根． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件确定的值，进而求得的值，代入代数式，求得代数式的值，根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， 又∵分母中， ∴， 解得：， ∴， ∴ ， ∵的的平方根为， ∴的平方根为， 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求一个数的算术平方根，求得的值是解题的关键． 7.若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 解得， 即的取值范围是， 故答案为： 【点睛】此题考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 8.如果，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的非负性，先求出的值，再代入计算其平方根即可． 【详解】解：在中， ∵，， ∴且， ∴，把代入得，， ∴， ∴的平方根表示为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，代入求值，求一个数的平方根的方法的综合，掌握以上知识是解题的关键． 9.已知，其中为整数，则的值为 ． 【答案】0或2 【分析】先根据二次根式有意义的条件得出，求出，再根据为整数，得出或，分别代入，即可得出答案． 【详解】解：要使有意义，则， 解得：， ∵为整数， ∴或， 当时，； 当时，； 综上分析可知：y的值为0或2． 故答案为：0或2． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于零． 题型四 二次根式的非负性的应用 解题技巧提炼 二次根式的被开方数是非负数，它是限制字母取值范围的重要条件，也是经常被忽略的隐含条件. 1. 已知：实数满足关系式，请求出的值． 【答案】． 【分析】根据平方数，绝对值的非负性可求的值，再根据含有乘方的有理数的混合运算，二次根式的性质即可求解． 【详解】解：由题意得，，解得，， ∴． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握平方数，绝对值的非负性，乘方的运算，二次根式的性质等知识是解题的关键． 2. 当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程：    (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2)未能正确地运用二次根式的性质 (3) 【分析】（1）运用二次根式的性质来进行化简，再将代入求解来进行判定； （2）运用二次根式的性质来求解； （3）根据得到，，利用二次根式的性质进行化简求解. 【详解】（1）解： ， ， ， 原式， 故小亮的解法错误. 故答案为：小亮. （2）解：小亮解法错误，错误的原因是： 未能正确地运用二次根式的性质，将变形为. 故答案为：未能正确地运用二次根式的性质. （3）解： ， ，， . 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质和绝对值的性质是解答关键. 3. 若，则x的值为 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，根据二次根式的性质可得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 4. 设x，y均为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据二次根式的定义求出和的值，然后再将和的值代入要求得式子即可； 【详解】解：由二次根式的性质可得： ， ， 将代入中得：， ， 将，代入上式得：原式． 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简等知识点，熟知二次根式有意义的条件的运用是解题关键． 题型五 利用二次根式的性质求字母的取值范围 解题技巧提炼 若两个或多个非负数(式)之和等于0,则每个非负数(式)都等于0,从而可以求得各个字母的值，进而求得代数式的值. 1.已知，求的取值范围 【答案】 【分析】根据二次根式性质先化简，再由去绝对值的代数意义分类讨论求解即可得到答案． 【详解】解： ， ， 当时，，原式，不合题意； 当时，，原式，符合题意； 当时，，原式，不合题意； 综上所述，当时，的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式性质及去绝对值运算，熟记二次根式性质及绝对值代数意义是解决问题的关键． 2.若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先用完全平方公式进行整理，然后再利用二次根式的性质化简即可解答． 【详解】解：， ， ，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，解答的关键是灵活运用二次根式的性质进行化简以及二次根式的非负性是解答本题的关键． 3.若化简的结果是，则x的取值范围是 【答案】1≤x≤4 【分析】根据可以得到，然后根据x的取值范围去绝对值即可求解. 【详解】解：由题意可知： ∴ ∴， ∴当时 原式不合题意； ∴当时， 原式不合题意； ∴当时， 原式符合题意； ∴x的取值范围为：， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 题型六 利用二次根式的性质化简 解题技巧提炼 化简形如的式子时，一般分两步: 第1步:将其化为的形式; 第2步:根据的取值范围确定去掉绝对值号后的符号. 1．化简 的结果是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了根据二次根式的性质化简，先算出根号里面的数字，再化简即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．如果实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，立方根的定义，掌握二次根式的性质，立方根的定义，是解题的关键． 根据数轴的特点确定的符号和大小，再根据二次根式的性质，立方根的定义化简，即可求解． 【详解】解：根据数轴上点的位置可得，，，， ∴ ， 故答案为： ． 3．已知，化简： ． 【答案】2 【分析】根据二次根式的性质化简每一项，得出原式，再合并同类项即可作答．本题考查了二次根式的性质以及完全平方公式的应用，主要考查学生的化简和计算能力． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故答案为：2 4．若6，8，m为三角形的三边长，则化简的结果为 . 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的三边关系及二次根式的性质，掌握三角形的三边关系及二次根式的性质是解题的关键． 根据三角形的三边关系确定m的取值范围，根据进行化简即可． 【详解】解：∵6，8，m为三角形的三边长， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，数轴上点A表示的数为a，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是利用二次根式的性质化简，先判定，再化简二次根式即可． 【详解】解：由数轴可得：， ∴． 故答案为：． 6．如图，数轴上点A表示的数为a，化简 ． 【答案】1 【分析】本题考查了数轴及二次根式的性质与化简；利用数轴表示数的方法得到，再利用二次根式的性质得到原式，然后去绝对值后合并即可． 【详解】解：根据数轴A点表示的数得， ∴ ． 故答案为：1． 7．，为实数，且，化简： ； 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件求出，则，据此化简绝对值和二次根式即可得到答案． 【详解】解：∵式子要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 题型七 二次根式的性质与几何问题 解题技巧提炼 1.单独二次根式，灵活运用二次根式的被开方数是非负数这一性质； 2.若两个或多个非负数(式)之和等于0,则每个非负数(式)都等于0，从而可以求得各个字母的值，进而求得代数式的值, 1．如果a，b，c为三角形ABC的三边长，请化简：＝ ． 【答案】2a+2c-2b 【分析】根据三角形三边关系定理得出a+c＞b，再根据二次根式性质进行计算，最后求出即可． 【详解】解：∵a，b，c为三角形的三边长， ∴a+c＞b，即a+c-b＞0，b-c-a<0， ∴ =|a+c-b |+| b-c-a | = a+c-b-b+c+a =2a+2c-2b． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，二次根式的性质的应用，解此题的关键是根据三角形三边关系得到a+c-b＞0，b-c-a<0． 2．设分别是三角形三边的长，化简：． 【答案】 【分析】本题可根据三角形的性质：两边之和大于第三边．依此对原式进行化简二次根式即可得解． 【详解】解：∵分别是三角形三边的长， ∴，，， ∴原式 ． 【点睛】此题考查二次根式的化简，三角形三边关系，解题关键在于掌握运算法则. 3．已知a，b，c满足 （1）求a，b，c的值； （2）试问以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由. 【答案】（1）a=8,b=15,c=17；（2）40 【详解】试题分析：（1）根据二次根式有意义的条件求出a的值，然后根据非负数的性质求出b、c的值； （2）根据三角形的三边关系定理即可判断a、b、c能组成三角形，然后利用三角形的周长公式计算即可． 试题解析： （1）由二次根式有意义的条件可知，解得：a＝8， ∴|c－17|＋(b－15)2＝0， ∴c－17＝0，b－15＝0， 解得：c＝17，b＝15； （2）∵a＋b＝8＋15＝23，c＝17， ∴a＋b＞c， ∴a、b、c能组成三角形， ∴三角形周长为8＋15＋17＝40． 点睛：本题考查了二次根式有意义的条件、非负数的性质和三角形的三边关系，根据二次根式的被开方式为非负求出a的值是解决此题的关键． 4．已知a、b、c满足． (1)求 a、b、c 的值； (2)以a、b、c 为边能否构成三角形？如果能构成，请求出三角形的周长；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能构成三角形，周长为 【分析】（1）利用非负数的性质进行求解即可； （2）根据三角形三边的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴以a、b、c 为边能构成三角形， ∴此三角形的周长为 ． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，三角形三边的关系，化简二次根式，熟知几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0是解题的关键． 5．我们知道，，所以当时，的最小值为0．根据这种结论，小明同学对二次根式和进行了以下的探索： ∵，∴，∴， ∴当时，的最小值为1． ∵，∴，∴，∴， ∴当时，的最大值为． (1)求的最小值和的最大值； (2)求的最小值； (3)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值为多少？ 【答案】(1)当时，的最小值为；时，的最大值为3 (2)当时，的最小值为4 (3)三角形面积的最大值为 【分析】（1）仿照例题，根据非负数的性质以及二次根式的性质，即可求解； （2）仿照例题，将根号内的代数式配方，进而即可求解； （3）将已知数据代入代数式，根据例题的方法求得最大值即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴当时，的最小值为. ∵，∴，∴，∴， ∴当时，的最大值为3. （2）∵ ∴当时，的最小值为4. （3）当，时，， ∵， ∴ ∴ ∴的最大值为， 【点睛】本题考查了二次根式的性质，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式以及二次根式的性质是解题的关键． 6．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（，约公元年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中为三角形的三边长，，为三角形的面积）． 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：其中三角形边长分别为，三角形的面积为． （）利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ （）利用材料解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为． 当时，请直接写出中最长边的长度； 若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】（）；（）；． 【分析】（）求出，把的值代入海伦公式计算即可求解； （）把代入计算即可求解； 根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，进而化简，根据取最大值且为整数，确定出的值，进而求出的值，代入秦九韶公式计算即可求解； 本题考查了三角形的面积，三角形三边关系，二次根式，平方差公式，掌握三角形的三边关系和二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ； （）当时， ，，， ∴中最长边的长度为； ∵，， ∴， ∵，三角形的边为正数， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， ， ∵，，为整数， ∴当时，三边为，，， ∵， ∴不合题意，舍去， 当时，三边为，，，符合题意，此时，取最大值， ∴，，， ∴ ， ， ， ． 题型八 二次根式的性质与最大（小）整数问题 解题技巧提炼 二次根式的性质与最大（小）整数问题，先利用二次根式的性质进行化简，再将被开方数进行分解，使得最终数字与字母的乘积是一个平方数，再利用最大（小）整数求出字母的值. 1．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是7． 故选：C． 2．已知是正偶数，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果实数n取最大值，那么12－n有最小值，又知是正偶数，而最小的正偶数是2，则＝2，从而得出结果． 【详解】解：当等于最小的正偶数2时， n取最大值,则n＝8， 故选：C 【点睛】本题考查二次根式的有关知识，解题的关键是理解“是正偶数”的含义． 3．已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 ． 【答案】5 【分析】根据二次根式的性质进行化简，即可求出答案． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是整数， ∴是一个平方数， ∴最小正整数n为5； 故答案为：5 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键． 4．若是正整数，则整数可取的最小值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了二次根式的性质，整理，再结合“是正整数”以及“是整数”，进行作答． 【详解】解：依题意，得， ∵是正整数，且是整数， ∴整数可取的最小值为15， 故答案为：15． 5．如果二次根式与是同类二次根式，那么满足条件的中最小正整数是 ． 【答案】4 【分析】根据同类二次根式的概念列式计算，得到答案． 【详解】解：当5m+8=7时，m=-，不合题意， 当=2，即5m+8=28时，m=4， ∴与是同类二次根式，那么m的最小正整数是4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，把各二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，这样的二次根式称为同类二次根式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.1 二次根式 知识点一 二次根式的概念 ★1. 二次根式的概念 代数式叫做二次根式，读作“根号a”，其中a是被开方数.例如，，都是二次根式. [注意]例如可写成，但不能写成. 通常把形如的式子也叫做二次根式，如，，，也是二次根式. [注意]表示与是相乘的关系，当是分数时，只能是真分数或假分数，不能写成带分数或小数的形式. ★2. 二次根式的特征 （1）必须含有平方根“”，“”的根指数是2；（2）被开方数一定是非负数，如和都不是二次根式. 问题：如何证明不是二次根式？ 解：∵，∴，∴∴无意义即不是二次根式. 知识点二 二次根式有无意义的条件 分类 条件 符号语言 有意义 被开方数是非负数 无意义 被开方数是负数 本知识点一般用于求被开方数中的字母的取值范围较多。 二次根式有意义的条件： (1) 要使二次根式有意义,必须使被开方数为非负数,据此建立不等式(组)求解,不要错误地认为二次根式中所含字母为非负数; (2) 若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数; (3) 若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零. 知识点三 二次根式的性质 ★1. 二次根式的双重非负性 具有双重非负性：①被开方数是非负数②本身也是非负数 初中阶段非负性的三种表达式： （1） 偶次方非负，常以二次方居多： （2） 绝对值非负： （3） 算术平方根非负： ★2. 非负式常见形式 若几个非负式的和为0，则这几个非负式都为0，常见形式如下： （1）若则； （2）若则； （3）若则； （4） ★3. 二次根式的性质1： （1） 一个非负数的平方的算术平方根等于它本身； （2） 对于实数，一般来说，由，得，其中.利用二次根式的性质1，可知，所以. 注意：性质表示一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.的值不一定等于. ★4. 二次根式的性质2： 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.反之，一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式,即. ★5. 与的区别与联系： 类别 区别 表示的意义 表示非负数的算术平方根的平方 表示数的平方的算术平方根 运算顺序 先开方，后平方 先平方，后开方 的取值 为任意实数 化简结果 ＝ 联系 （1）结果都是非负数 （2）当时，＝ ★6. 不同类型的二次根式化简 类型 方法 先利用积的平方等于平方的积，即化为的形式，再化简. 先利用化为的形式后再化简. ★7. 二次根式的性质3： （1）和可以是数，也可以是代数式，但必须满足，实际上，是限制性质3右边的，对于性质3的左边，只需要即可. （2）若一个二次根式的被开方数中有的因式是完全平方式，则可以利用 及将这些因式“开方”出来，从而将二次根式化简. ★8. 二次根式的性质4： 性质4中的和必须满足.是限制性质4右边的，对于性质4的左边，只要且即可.例如计算，不能写成，而应该写成. 【注意】性质3和4两个等式中，左边是以两个数的积（或商）为被开方数的二次根式，右边是分别以这两个数为被开方数的两个二次根式的积（或商），在二次根式的运算或变换中，可以据此从左到右或从右到左进行转化. 知识点四 化简二次根式 ★1. 化简二次根式： 把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”. ★2. 方法： 方法 举例 被开方数含有完全平方因式，可用它的非负平方根代替后移到根号外面 化去被开方数的分母 若被开方数含有带分数，应先将带分数化成假分数 若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数 若被开方数是分式，应先将分母化成平方的形式，再进行开方运算 被开方数是多项式的要先进行因式分解 化去分母的方法 将分子和分母同乘一个不等于0的代数式，使得分母变为完全平方式，再将分母用它的正平方根代替后移到根号外作新的分母. 注意 去根号时，若移到根号外面的式子是多项式，则该多项式是一个整体，必须添加括号. 题型一 二次根式的判断 解题技巧提炼 判断二次根式，厘清“是”“否”是关键. 1．下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型二 求二次根式的值 解题技巧提炼 求二次根式的值的时候，如果没有字母的值，则可以根据二次根式的双重非负性求取值范围或公共解；如果给出字母的值，则可以先化简二次根式，再代入求解. 1．当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 2．当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 3．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．当时，二次根式的值是 ． 题型三 二次根式有意义的条件 解题技巧提炼 求字母取值范围的三种常见类型： (1)单独一个二次根式,要保证被开方数大于或等于0; (2)多个二次根式的组合,要列出不等式组，求出各不等式解集的公共部分; (3)二次根式与分式或零次幂(及负整数次幂)的组合，所求取值范围在保证二次根式有意义的同时，还要去掉使分式分母、零次幂(及负整数次幂)的底数等于0的值.. 1.（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如果在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 ． 3．（2024·上海·中考真题）已知，则 ． 4．（23-24七年级下·上海闵行·期中）要使得代数式有意义，那么的取值范围是 ． 5.（2023·上海静安期末）方程的根是 ． 6.已知实数、满足，求的平方根． 7.若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 8.如果，则的平方根为 ． 9.已知，其中为整数，则的值为 ． 题型四 二次根式的非负性的应用 解题技巧提炼 二次根式的被开方数是非负数，它是限制字母取值范围的重要条件，也是经常被忽略的隐含条件. 1. 已知：实数满足关系式，请求出的值． 2. 当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程：    (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因______； (3)当时，求的值． 3. 若，则x的值为 ． 4. 设x，y均为实数，且，则的值为 ． 题型五 利用二次根式的性质求字母的取值范围 解题技巧提炼 若两个或多个非负数(式)之和等于0,则每个非负数(式)都等于0,从而可以求得各个字母的值，进而求得代数式的值. 1.已知，求的取值范围 2.若，则的取值范围是 ． 3.若化简的结果是，则x的取值范围是 题型六 利用二次根式的性质化简 解题技巧提炼 化简形如的式子时，一般分两步: 第1步:将其化为的形式; 第2步:根据的取值范围确定去掉绝对值号后的符号. 1．化简 的结果是（    ） A． B．2 C． D．4 2．如果实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式 ． 3．已知，化简： ． 4．若6，8，m为三角形的三边长，则化简的结果为 . 5．如图，数轴上点A表示的数为a，化简： ． 6．如图，数轴上点A表示的数为a，化简 ． 7．，为实数，且，化简： ； 题型七 二次根式的性质与几何问题 解题技巧提炼 1.单独二次根式，灵活运用二次根式的被开方数是非负数这一性质； 2.若两个或多个非负数(式)之和等于0,则每个非负数(式)都等于0，从而可以求得各个字母的值，进而求得代数式的值, 1．如果a，b，c为三角形ABC的三边长，请化简：＝ ． 2．设分别是三角形三边的长，化简：． 3．已知a，b，c满足 （1）求a，b，c的值； （2）试问以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由. 4．已知a、b、c满足． (1)求 a、b、c 的值； (2)以a、b、c 为边能否构成三角形？如果能构成，请求出三角形的周长；如果不能，请说明理由． 5．我们知道，，所以当时，的最小值为0．根据这种结论，小明同学对二次根式和进行了以下的探索： ∵，∴，∴， ∴当时，的最小值为1． ∵，∴，∴，∴， ∴当时，的最大值为． (1)求的最小值和的最大值； (2)求的最小值； (3)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值为多少？ 6．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（，约公元年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中为三角形的三边长，，为三角形的面积）． 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：其中三角形边长分别为，三角形的面积为． （）利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ （）利用材料解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为． 当时，请直接写出中最长边的长度； 若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 题型八 二次根式的性质与最大（小）整数问题 解题技巧提炼 二次根式的性质与最大（小）整数问题，先利用二次根式的性质进行化简，再将被开方数进行分解，使得最终数字与字母的乘积是一个平方数，再利用最大（小）整数求出字母的值. 1．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 2．已知是正偶数，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 ． 4．若是正整数，则整数可取的最小值为 ． 5．如果二次根式与是同类二次根式，那么满足条件的中最小正整数是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$