12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等 课件- 2024-2025学年人教版数学八年级上册

用“HL” 判定 直角三角形全等 【R 数学八年级上册】 12.2 三角形全等的判定 同步数学教学课件 复习回顾 判定方法 简称 图示 A B C C' A' B' A B C C' A' B' A B C C' A' B' A B C C' A' B' 三边分别相等 两边和它们的 夹角分别相等 两角和它们的 夹边分别相等 两角分别相等且其中 一组等角的对边相等 SSS SAS AAS ASA 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 新课导入 【思考】对于两个直角三角形,除了直角相等的条件,还要满足几个条件,这两个直角三角形就全等了? A B C A' B' C' 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 ①一条直角边 和一锐角分别相等 ②斜边和一锐角分别相等 推进新课 ASA 或AAS A B C A' B' C' AAS A B C A' B' C' 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 ③两直角边分别相等 推进新课 SAS A B C A' B' C' 如果满足斜边和一条直角边分别相等呢?能证明全等吗? A B C A' B' C' 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 知识点 直角三角形全等的判定 “HL” 【探究】 任意画一个Rt ABC,使∠C =90 . 再画一个Rt A′B′C′,使∠C′=90 ,B′C′=BC,A′B′=AB .把画好的Rt A′B′C′剪下来,放到Rt ABC上,它们全等吗? A B C 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 (1) 画∠MC′N =90 ; (2)在射线C′M上取B′C′=BC; (3) 以B′为圆心,AB为半径画弧, 交射线C′N于点A′; (4)连接A′B′. 现象:两个直角三角形能重合. 说明:这两个直角三角形全等. 画法: A B C C' M N B' A' 知识点 直角三角形全等的判定 “HL” 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 视频 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL” ) 在 ABC 与 A′B′C′中, ∴ ABC ≌ A′B′C′ (ASA) AB =A′B′ BC =B′C′ 几何语言: 直角三角形全等“斜边、直角边” 归纳 A B C A' B' C' 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 拓展 直角三角形中三边满足a +b =c ,也就是说,已知直角三角形两边,便能求第三边. 思考:HL的实质是什么? SSS 直角三角形任意两边相等都能证全等. 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 例题 如图,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,AC =BD.求证 BC =AD. 分析:AC⊥BC,BD⊥AD, AC =BD Rt ABC≌Rt BAD(HL) BC=AD 例 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 例题 证明:∵ AC⊥BC,BD⊥AD, ∴ ∠C 和∠D 都是直角. 在Rt ABC 和 Rt BAD 中, AB = BA,AC = BD, ∴Rt ABC ≌ Rt BAD(HL) ∴BC =AD (全等三角形对应边相等) 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 (1) ( ); (2) ( ); (3) ( ); (4) ( ). 例题 【变式1 】如图,AC⊥BC,BD⊥AD,要明证 ABC ≌ BAD,需要添加一个什么条件?请说明理由. AD = BC AC = BD ∠DAB = ∠CBA ∠DBA = ∠CAB HL HL AAS AAS 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 例题 如图,已知AD,AF分别是两个钝角 ABC和 ABE的高,如果AD=AF,AC=AE. 求证:BC=BE. 证明:由题可知∠D=∠F=90 AD=AF,AC=AE ∴在Rt ADC和Rt AFE中, AC=AE, AD=AF, ∴Rt ADC≌Rt AFE(HL) ∴DC=FE. 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 例题 如图,已知AD,AF分别是两个钝角 ABC和 ABE的高,如果AD=AF,AC=AE. 求证:BC=BE. 又在Rt ADB和Rt AFB中, AB=AB, AD=AF, ∴Rt ADB≌Rt AFB(HL), ∴DB=FB. BC=BD-DC,BE=BF-FE, ∴BC=BE. 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 方法总结 证明线段相等可通过证明三角形全等解决,作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件. 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 归纳:两个三角形全等判定思路 已知条件 可选择的判定方法 寻找条件 两边 两角 SSS SAS HL ASA AAS 找第三边 找两边的夹角 看是否是直角三角形 找两角的夹边 找任意一角的对边 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 归纳:两个三角形全等判定思路 已知条件 可选择的判定方法 寻找条件 一边和它的邻角 ASA SAS AAS AAS HL 找这条边的另一个邻角 找这个角的另一边 找这条边的对角 找另外任意一个角 看这个角是否是直角, 若是,找任意一条直角边 一边一角 一边和它的对角 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 随堂演练 1. 在 Rt ABC 和 Rt A′B′C′ 中,∠C′=∠C=90 ,∠B′=∠A,AB = B′A′,则下列结论正确的是( ) C A.AC = A′C′ B.BC = B′C′ C.AC = B′C′ D.∠A′=∠A 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 随堂演练 2.如图,C 是路段AB 的中点,两人从C 同时出发,以相同的速度分别沿两条直线行走,并同时到达D,E 两地.DA⊥AB,EB⊥AB.D,E 与路段AB的距离相等吗?为什么? A B C D E 【课本P43 练习 第1题】 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 随堂演练 A B C D E 解:D、E与路段AB的距离相等. 理由:∵C是路段AB的中点,∴AC = BC, 又∵两人同时同速度出发,并同时到达D,E两地. ∴CD = CE, 又DA⊥AB,EB⊥AB, ∴∠A=∠B =90 , 在Rt ACD与Rt BCE中 ∴Rt ACD≌Rt BCE(HL). ∴DA = EB,即D、E与路段AB的距离相等. 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 随堂演练 3.如图,AB = CD,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,CE = BF.求证:AE = DF. 【课本P43 练习 第2题】 证明:∵CE = BF,∴CE - EF = BF–EF, 即CF = BE. 又∵AE⊥BC,DF⊥BC, ∴∠DFC =∠AEB =90 . 在Rt DFC与Rt AEB中 ∴Rt DFC≌Rt AEB(HL).∴AE = DF. 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 综合运用 4.如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为 D、E,BE、CD 相交于点 O,如果 AB = AC,求证:AO 平分∠CAB. 证明:∵ CD⊥AB,BE⊥AC, ∴∠ADC=∠AEB=90 . 在 ACD 和 ABE 中, ∠ADC=∠AEB, ∠DAC=∠EAB, AC=AB , ∴ ACD≌ ABE (AAS). O 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 ∴ AD=AE 在Rt AOD 和Rt AOE 中, OA=OA AD=AE ∴Rt AOD≌Rt AOE(HL) ∴ ∠DAO=∠EAO ∴ AO 平分∠CAB. 综合运用 4.如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为 D、E,BE、CD 相交于点 O,如果 AB = AC,求证:AO 平分∠CAB. O 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 拓展延伸 如图,有一Rt ABC,∠C=90 ,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在线段AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动,问P点运动到AC上什么位置时Rt ABC才能和Rt APQ全等? 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 拓展延伸 【分析】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角,由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角,因此要分类讨论,以免漏解. C(P) A M B Q (1)Rt ABC≌Rt QPA (2)Rt ABC≌Rt PQA 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 综合运用 (1)解:当P运动到AP=BC时, ∵∠C=∠QAP=90 . 在Rt ABC与Rt QPA中, AB=PQ, BC=PA, ∴Rt ABC≌Rt QPA(HL), ∴AP=BC=5cm. 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 综合运用 (2)当P运动到与C点重合时,AP=AC. 在Rt ABC与Rt PQA中, AB=PQ, AC=PA, ∴Rt ABC≌Rt PQA(HL) ∴AP=AC=10cm. 综上:当AP=5cm或10cm时, Rt ABC才能和Rt APQ全等. C(P) A M B Q 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 课堂小结 斜边 直角边 内容 前提条件 使用方法 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等 在直角三角形中 只需找除直角外的两个条件即可(两个条件中至少有一个是一对边相等) 用“HL”判定两个直角三角形全等 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 课后作业 从课后习题中选取 完成练习册本课时的习题 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 $$