第2节　与圆有关的位置关系（课件PPT）-【卓文中考·加速度】2024年河北中考数学复习

2024河北中考 数学 《精讲册》 《精练册》 《答案精析》 《运算题组》 编辑修改 便捷操作 本课件使用WPS2019版本制作，建议老师使用相应软件打开 本课件全文可单击进行编辑修改 目录、返回目录设置对应超链接，点击即可跳转至相应页面；答案添加动画效果，使用更方便 课件说明 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 软件使用 第六章　圆 第2节　与圆有关的位置关系 考点3　与切线有关的概念和性质 （6年5考， 常结合几何图形的其他命题点考查） 深挖教材·练透考点 1 2 考点1　直线与圆的位置关系 考点2　三角形的外接圆与内切圆 （6年2考， 其中2020年结合圆的其他命题点考查） 典例剖析·攻克重难点 第六章　圆 [9～12分] 【教材链接】冀教：九（上）第二十八章P150～P152，九（下）第二十九 章P2～P15； 人教：九（上）第二十四章P92～P104； 北师：九（下）第三章P89～P96. 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 考点梳理过教材 练透考点 深挖教材 相离 d① 　＞　⁠r 没有公共点 ⁠ ⁠ 相切 d② 　＝　⁠r 有且只有 一个公共点 ⁠ ⁠ ＞ ＝ 1　直线与圆的位置关系 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 相交 d③ 　＜　⁠r 有两个公共点 ⁠ ⁠ ＜ 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 外接圆 内切圆 图示 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 定义 经过三角形的三个顶点的圆 与三角形各边都相切的圆 圆心 圆心是三边垂直平分线的 交点 圆心是三个内角的平分线的交点 2　三角形的外接圆与内切圆 （6年2考， 其中2020年结合圆的其他命题点考查） 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 外接圆 内切圆 性质 外心到三角形的④ 　三个 顶点　⁠的距离相等 内心到三角形的⑤ 　三条边　⁠的 距离相等 角度 关系 ∠BOC＝2∠A ∠BOC＝90°＋∠A 三个 顶点 三条边 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 　　⁠ ⁠（1）在Rt△ABC中，若两条直角边长分别为a，b，斜边长为 c，则内切圆半径为r＝，外接圆半径为R＝； （2）若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则S△ABC＝ r； （3）锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形外 部，直角三角形的外心在斜边的中点处. 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 切线 概念 直线和圆只有一个公共点时，称这条直线和圆相切，这 条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点 性质 圆的切线⑥ 　垂直　⁠于过切点的半径 垂直 3　与切线有关的概念和性质 （6年5考， 常结合几何图形的其他命题点考查） 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 切线 判定 （1）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线； （2）到圆心的距离等于⑦ 　半径　⁠的直线是圆的切线； （3）过半径外端点且⑧ 　垂直　⁠于半径的直线是圆的切 线 判定的常 用方法 （1）“连半径，证垂直”：已知直线经过圆上一点，则 连接这点和圆心得到半径，再证明所作半径与这条直线 垂直； （2）“作垂直，证半径”：已知条件中不确定直线与圆 是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段，再证明垂线 段的长等于半径 半径 垂直 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 切线的性质及相关计算　难点 例1题图 （1）若∠CAE＝30°，则∠E＝⁠ ⁠，AE＝⁠ ⁠； ⁠ ⁠人教·九（上）P102如图，在Rt△ADE中，∠D＝90°，AD＝6.点B 为斜边上一点，以AB为直径作☉O，☉O与DE边相切，切点为C. 30° 12 攻克重难点 典例剖析 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 （2）求证：AC平分∠DAE； 证明：∵☉O与DE相切，∴∠ECO＝90°. 又∵∠D＝90°，∴OC∥AD， ∴∠DAC＝∠ACO. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAE. （3）若tan∠DAC＝，则☉O的半径为 　​　⁠. ​ 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 （4）连接BC.若AE＝10，求CE的长. 解：由勾股定理得DE＝＝8. 设BE＝a，CE＝b. ∵OC∥AD，∴＝，即＝，解得a＝10－b. 如答图，连接BC，则∠BCE＝∠CAB. 又∵∠CEB＝∠AEC， ∴△EBC∽△ECA，∴＝，∴＝， ∴＝，解得b1＝5，b2＝－20（舍去），∴CE的长为5. 例1题答图 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 （1）由外角定义可得到∠COE的度数，结合切线的性质求得∠E，在 直角三角形中，由“30°角所对的直角边为斜边的一半”可得到AE的长. （2）由“等边对等角”“两直线平行，内错角相等”进行角度的转 化求解. （3）由tan∠DAC得到DC与AD的数量关系，利用勾股定理可求得AC 的长.再由AC平分∠DAB和∠ACB＝90°可证明△DAC∽△CAB，利用相似比 可求得AB的长，从而得到半径长. 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 （4）由勾股定理可得DE长.设BE与CE的长分别为a，b，利用平行线分线 段成比例可得到BE与CE的数量关系，由一组等角和一个公共角可证明 △EBC∽△ECA，利用对应边相等得到含a和b的比例式，求解即可. 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 三角形的内心及相关计算　难点 ⁠ ⁠华师·九（下）P73如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的 外接圆☉O相交于点D，过点D作直线DG∥BC. 例2题图 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 （1）若∠ACB＝80°，求∠AEB的度数； 解：如答图，连接OD， 由圆周角定理得∠ADB＝∠ACB＝80°. 由∠ACB＝80°得∠ABC＋∠BAC＝100°. ∵点E是△ABC的内心， ∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE， ∴∠BAE＋∠ABE＝50°，∴∠AEB＝130°. 例2题答图 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 （2）求证：DE＝CD； 证明：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE， ∴∠BED＝∠BAE＋∠ABE＝∠CBD＋∠CBE＝∠DBE， ∴BD＝DE. ∵∠BAE＝∠CAE，∴BD＝CD，∴DE＝CD. （3）求证：DG是☉O的切线； 证明：∵＝，∴OD⊥BC.∵DG∥BC，∴OD⊥DG. 又∵OD是☉O的半径，∴DG是☉O的切线. 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 （4）连接CE.若∠BAC＝60°，BC＝3. a.求∠BEC的度数及DE的长； b.若点E和点A均在BC上方，求AE长度的取值范围. 解：a.∠BEC＝90°＋∠BAC＝120°. ∵四边形ABDC为☉O的内接四边形， ∴∠BAC＋∠BDC＝180°，∴∠BDC＝120°，∴∠DCB＝30°. 由（2）得DE＝DC，∴DE＝＝. b.当点A运动到点C时AD最短，但取不到最小值，此时AE＝0. 当AD过点O时最长，AE取得最大值，此时∠ACD＝90°，∠DAC＝30°， ∴AD＝2CD＝2 ，∴AE＝AD－DE＝. 综上所述，AE长度的取值范围为0＜AE≤. 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 （1）由圆周角定理可得∠ADB＝∠ACB＝80°，利用内心的定义可得 ∠ABE＋∠BAE＝（∠ABC＋∠BAC），从而得到∠AEB的度数. （2）由三角形的内心的性质可得AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，可 得∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE，由外角的性质可得∠BED＝∠DBE， 结合等角对等边及同圆中圆周角与弦的关系可证DE＝CD. （3）由垂径定理可得OD⊥BC，由平行线的性质可得OD⊥DG，进而 证得DG是☉O的切线. 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 （4）a.∠BEC＝90°＋∠BAC；利用圆内接四边形对角互补可得到 ∠BDC的度数，然后利用等边对等角可得到∠BCD的度数，利用三角函数 可求得CD的长，进而得到DE的长； b.取特殊位置分类讨论：当点A运动到点C时，AD最短，AE取得最小值； 当AD过点O时最长，AE取得最大值. 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 三角形的外心及相关计算　难点 ⁠ ⁠人教·九（上）P87如图，☉O为Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，BC ＝4 ，AC＝4，D是☉O上的动点，且点C，D分别位于AB的两侧. 例3题图 （1）求☉O的半径； 解：∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵AC＝4，BC＝4 ，∴AB＝＝8， ∴☉O的半径为4. 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 （2）当CD＝4 时，求∠ACD的度数； 解：如答图①，连接OC，OD. ∵CD＝4 ，OC＝OD＝4，∴CD2＝OC2＋OD2， ∴∠COD＝90°，∴∠OCD＝45°. ∵AC＝OC＝OA，∴△AOC是等边三角形， ∴∠ACO＝60°， ∴∠ACD＝∠ACO－∠DCO＝60°－45°＝15°. 例3题图 例3题答图① 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 （3）连接AD，记AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在 最大值？若存在，求出CM的最大值；若不存在，请说明理由. 解：存在最大值. 如答图②，连接OM，OC，BD. ∵AM＝MD，AO＝OB，∴OM为△ADB的中位线， ∴OM∥BD. 又∵BD⊥AD，∴OM⊥AD于点M， ∴点M的运动轨迹是以AO为直径的圆，记圆心为J，连接CJ，JM. ∵△AOC是等边三角形，AJ＝OJ， ∴CJ⊥OA，∴CJ＝＝2 . ∵CM≤CJ＋JM＝2 ＋2，∴CM的最大值为2 ＋2. 例3题答图② 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 （1）利用勾股定理求得AB的长，进而得到☉O的半径. （2）连接OC，OD，证明∠OCA＝60°，∠OCD＝45°，可得结论. （3）由中位线定理可得OM⊥AD，由此可得点M的轨迹为圆弧，利用三边关系可得到CM的最大值. 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 聚焦河北中考 1.[2023邢台一模]如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D， E，F，O均在格点上.下列三角形中，外心不是点O的是（　C　） A.△ABC B.△ABD C.△ABE D.△ABF 第1题图 C 1 三角形的内心与外心 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 2.[2023石家庄栾城区期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°， AD⊥BC于点D， E是AC上一点，连接BE，交AD于点F.若AE＝BE，则下列 说法正确的为（　B　） A.点F为△ABC的外心 B.点F到△ABC三边的距离相等 C.点E，B，C在以F为圆心的圆上 D.E为AC中点 第2题图 B 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 3.[2018河北，15]如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将 ∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（　B　） A.4.5 B.4 C.3 D.2 第3题图 3－1.改变设问如图（同第3题图），点I为△ABC的内心，AB＝5，AC＝4， BC＝3，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的面积为⁠ ⁠. B ​ 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 4.推理能力[2020河北，22]如图，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB 到点D，使OC＝OD.以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两 个半圆.点P为小半圆上任一点（不与点A，B重合），连接OP并延长交大半 圆于点E，连接AE，CP. （1）a.求证：△AOE≌△POC； b.写出∠1，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由； 2 与切线有关的证明和计算 第4题图 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 （1）a.证明：在△AOE和△POC中， ​ ∴△AOE≌△POC（SAS）. b.解：∠1＋∠C＝∠2.理由如下： ∵△AOE≌△POC，∴∠E＝∠C. ∵∠1＋∠E＝∠2，∴∠1＋∠C＝∠2. 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 （2）若OC＝2OA＝2，当∠C最大时，直接指出CP与小半圆的位置关系， 并求此时S扇形EOD（结果保留π）. （2）解：如答图，当∠C最大时，CP与小半圆相切. ∵OC＝2OA＝2，∴OC＝2OP. ∵CP与小半圆相切， ∴∠OPC＝90°，∴∠OCP＝30°， ∴∠DOE＝∠OPC＋∠OCP＝120°， ∴S扇形EOD＝＝π. 第4题图 第4题答图 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 5.[2021河北，24]如图，☉O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模 型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作☉O的切线交A1A11延 长线于点P. （1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长； 解：（1）如答图，连接OA7，OA11. 由题意得∠A7OA11＝120°， ∴劣弧＝4π＞12， ∴劣弧的长度比直径长. 第5题图 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 （2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由； 解：（2）A7A11⊥PA1.理由如下： 如答图，连接A1A7，A7A11. ∵A1，A2…A12等分圆， ∴A1A7是☉O的直径， ∴∠A7A11A1＝90°， ∴A7A11⊥PA1. 第5题图 第5题答图 第5题答图 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 （3）求切线长PA7的值. 解：（3）∵PA7是☉O的切线， ∴PA7⊥A1A7，∴∠PA7A1＝90°. ∵∠PA1A7＝60°，A1A7＝12， ∴PA7＝A1A7·tan 60°＝12 . 第5题图 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 6.[2023承德县联考]如图，已知☉O的半径为2，四边形ABCD内接于☉O， ∠BAD＝120°，点A平分，连接OB，OD，延长OD至点M，使得DM＝ OD，连接AM. （1）∠BOD＝⁠ ⁠°； 解：（1）120 第6题图 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 （2）判断AM与☉O的位置关系，并说明理由； 解：（2）AM与☉O相切.理由如下： 如答图，连接OA. ∵四边形ABCD内接于☉O，∠BAD＝120°， ∴∠BCD＝180°－∠BAD＝60°， ∴∠BOD＝2∠BCD＝120°. ∵点A平分，∴∠AOD＝∠BOD＝60°. 又∵在☉O中，OA＝OD， ∴△AOD是等边三角形， 第6题图 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 ∴∠OAD＝∠ODA＝60°，AD＝OD. ∵DM＝OD，∴AD＝DM， ∴∠DAM＝∠DMA＝∠ODA＝30°， ∴∠OAM＝∠OAD＋∠DAM＝90°， ∴OA⊥AM，∴AM与☉O相切. 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 （3）当点C在优弧上移动，且BC在OB左侧时，若∠OBC＝20°，求 的长. 解：（3）如答图，连接OC. ∵在☉O中，OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝20°， ∴在△BOC中，∠BOC＝140°. ∵∠BOD＝120°，∴∠COD＝360°－120°－140°＝100°， ∴的长为＝. 第6题图 第6题答图 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 7.[2023河北，24]装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直 径的半圆O，AB＝50 cm，如图①和图②所示，MN为水面截线，GH为台面 截线，MN∥GH. 第7题图 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 计算　在图①中，已知MN＝48 cm，作OC⊥MN于点C. （1）求OC的长； 操作　将图①中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当 ∠ANM＝30°时停止滚动.如图②，其中半圆的中点为Q，GH与半圆的切点 为E，连接OE交MN于点D. 探究　在图②中. 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 解：（1）如答图，连接OM. ∵O为圆心，OC⊥MN于点C，MN＝48， ∴MC＝MN＝24. ∵AB＝50，∴OM＝AB＝25. 在Rt△OMC中，OC＝＝7（cm）. 第7题答图 第7题答图 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 （2）操作后水面高度下降了多少？ 解：（2）∵GH与半圆的切点为E，∴OE⊥GH. ∵MN∥GH，∴OE⊥MN于点D. ∵∠ANM＝30°，ON＝25，∴OD＝ON＝， ∴操作后水面高度下降了－7＝（cm）. 第7题答图 第7题答图 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 （3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小. 解：（3）∵OE⊥MN于点D，∠ANM＝30°， ∴∠DOB＝60°. ∵半圆的中点为Q，∴＝， ∴∠QOB＝90°，∴∠QOE＝30°， ∴EF＝OE·tan∠QOE＝（cm）， ＝（cm）. ∵－π＝＞0，∴EF＞. 第7题答图 第7题答图 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 更多同类型习题见第二部分P170 请完成《精练册》第六章第2节（P50～P51）中的习题 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第2节　与圆有关的位置关系 $$