第3节 代数式与整式（含因式分解）（课件PPT）-【卓文中考·加速度】2024年河北中考数学复习

2024河北中考 数学 《精讲册》 《精练册》 《答案精析》 《运算题组》 编辑修改 便捷操作 本课件使用WPS2019版本制作，建议老师使用相应软件打开 本课件全文可单击进行编辑修改 目录、返回目录设置对应超链接，点击即可跳转至相应页面；答案添加动画效果，使用更方便 课件说明 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 软件使用 考点3　整式的运算 （6年17考，常结合其他命题点考查） 深挖教材·练透考点 1 考点1　代数式及其求值 （6年5考，常结合其他命题点考查） 考点2　整式的相关概念 考点4　因式分解 （6年3考，常结合其他简便运算题目考查） 第一章　数与式 第3节　代数式与整式（含因式分解） 聚焦河北中考 2 [7～18分] 【教材链接】冀教：七（上）第三章P96～P116；第四章P122～P140，七 （下）第八章P67～P92，第十一章P141～P156； 人教：七（上）第二章P53～P76，八（上）第十四章P94～P125； 北师：七（上）第三章P77～P104，七（下）第一章P1～P36，八（下）第 四章P91～P106. 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 考点梳理过教材 练透考点 深挖教材 1.代数式：用运算符号连接数和字母组成的式子叫做代数式.单独的一个数 或一个表示数的字母也叫代数式. 2.列代数式：首先是找出问题中的数量关系及公式，如：路程＝速度×时 间，售价＝标价×折扣等，其次要抓住一些关键词，如：多、少、大、 小、增长、下降等. 1　代数式及其求值 （6年5考，常结合其他命题点考查） 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） （1）直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计 算求值； （2）整体代入法：观察已知条件和所求代数式的关系，将所求代数式变 形为与已知条件相关联的代数式，将已知条件整体代入所求代数式中求值. 3.代数式求值 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 1.单项式 （1）概念：由数字与字母或字母与字母的①⁠ ⁠所组成的代数式叫 做单项式，单独一个数字或字母也是单项式；  （2）系数：单项式中的②⁠ ⁠因数，如：a2b的系数为1，2a的系 数为2；  （3）次数：一个单项式中所有字母的③⁠ ⁠的和，如：a2b的次数为 3，2a的次数为1.  乘积　 数字　 指数　 2　整式的相关概念 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 2.多项式 （1）概念：几个单项式的④⁠ ⁠叫做多项式；  （2）项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫 做常数项； （3）次数：多项式中，最高次项的次数叫做多项式的次数，如5a3＋4b＋ 3c的次数是3. 3.整式：单项式与多项式统称为整式. 4.同类项：所含字母相同，并且相同字母的⑤⁠ ⁠也相同的单项式 （所有的常数项都是同类项）.  和　 指数　 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 1.整式的加减（实质是合并同类项） 合并 同类项 去括 号法则 括号前是“＋”号，括号内各项不变号，如a＋（b＋c） ＝a＋b＋c；括号前是“－”号，括号内每一项都⑧ 　变 号　⁠，如a－（b＋c）＝a－b－c  变 号　 3　整式的运算（6年17考，常结合其他命题点考查） 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 2.幂的运算 运算 文字表述 字母表述（举例） 同底数 幂相乘 底数不变，指数相加 am·an＝⑨ 　am＋n　⁠  同底数 幂相除 底数不变，指数相减 am÷an＝ ⑩ 　am－n　⁠（a≠0）  幂的乘方 底数不变，指数相乘 （am）n＝⑪ 　amn　⁠  积的乘方 各因式分别乘方的积 （ab）n＝⑫ 　anbn　⁠  am＋n　⁠  am－n　 amn　⁠  anbn　⁠  卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 　　⁠ ⁠遇到积的乘方时，要注意： （1）当括号内有“－”号时， （－am）n＝ （2）当含有系数时，一定要给系数进行乘方运算. 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 3.整式的乘法 运算 文字表述 字母表述（举例） 单项式 乘单项式 把它们的系数、同底数幂分别相乘， 其余字母连同它的指数不变，作为积 的因式 2a3·3ab2＝6a4b2 单项式 乘多项式 用单项式去乘多项式的每一项，再把 所得的积相加 m（a＋b）＝ma＋mb ⁠ ⁠ 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 运算 文字表述 字母表述（举例） 多项式 乘多项式 先用多项式的每一项去乘另一个多项 式的每一项，再把所得的积相加 （m＋n）（a＋b）＝ ma＋mb＋na＋nb ⁠ ⁠ 乘法公式 平方 差公式 （1）公式：（a＋b）（a－b）＝⑬ 　a2－b2　⁠.  （2）几何背景： a2－b2　 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 运算 文字表述 字母表述（举例） 乘法 公式 完全 平方 公式 （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2， （a－b）2＝a2－2ab＋b2 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 4.整式的除法 运算 文字表述 字母表述（举例） 单项式 除以单 项式 把系数与同底数幂分别相除作为商的因 式，对于只在被除式里含有的字母，则连 同它的指数作为商的因式 4ab÷2a＝2b 多项式 除以单 项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项 式，再把所得的商相加 （am＋bm）÷m＝ am÷m＋bm÷m＝a ＋b 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式 基本 方法 提公 因式法 ma＋mb＋mc＝⑭ 　m（a＋b＋c）　⁠  公式法 （1）a2－b2⁠ ⁠⑮ 　（a＋b）（a－b）　⁠；  （2）（a±b）2⁠ ⁠⑯ 　a2±2ab＋b2　⁠  m（a＋b＋c）　⁠  （a＋b）（a－b）　 a2±2ab＋b2　⁠  4　因式分解（6年3考，常结合其他简便运算题目考查） 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 一般步骤 一提：有公因式，先提公因式； 二套：提取公因式后，用公式法：两项考虑用平方差公式， 三项考虑用完全平方公式； 三检查：检查分解因式是否彻底 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 一题多问练考点 北师·七（上）P88仔细观察下列各式，请回答问题. ①－3；②x3；③－15ambn；④；⑤2x－3y；⑥4a2b2－4ab＋b2. （1）其中单项式的有⁠ ⁠，多项式的有⁠ ⁠；（填序号）  （2）的系数是 　⁠　 ⁠，次数是⁠ ⁠；4a2b2－4ab＋b2是⁠ ⁠次⁠ ⁠ 项式；  ①②③④　 ⑤⑥　 　 3　 4　 3　 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） （3）下列表述正确的是⁠ ⁠；  a.甲、乙两车从A地开往B地，乙比甲早出发一小时，甲的行驶速度为x km/h，乙的行驶速度为y km/h，2小时后，甲比乙少走（2x－3y）km. b.棱长为x cm的正方体的体积是x3 cm3. c.底边长为a cm，高为h cm的三角形的面积是 cm2. （4）若－ma2b和－15ambm－n是同类项，则m＝⁠ ⁠，n＝⁠ ⁠；  （5）若2x－3y＋4＝0，则4x－6y＋15的值为⁠ ⁠；  （6）若（4a2b2－4ab＋b2）＋kb（a＋ab）可因式分解为完全平方式，则k ＝⁠ ⁠. bc　 2　 1　 7　 4　 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 聚焦河北中考 1.[2023河北，1]代数式－7x的意义可以是（　C　） A.－7与x的和 B.－7与x的差 C.－7与x的积 D.－7与x的商 C 1 列代数式及求值 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 2.[2018河北，12]用一根长为a（单位：cm）的铁丝，首尾相接围成一个正 方形，要将它按如图的方式向外等距扩1（单位：cm）得到新的正方形， 则这根铁丝的长度需增加（　B　） A.4 cm B.8 cm C.（a＋4） cm D.（a＋8）cm 第2题图 B 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 3.[2023石家庄高邑县期末]如图，是一个运算程序的示意图.若开始输入x的 值为－2，则输出的结果是（　B　） A.－8 B.－10 C.－12 D.－14 第3题图 B 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 4.几何直观[2021河北，17]现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如 图）. 第4题图 （1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为⁠ ⁠；  （2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再 取乙纸片4块，还需取丙纸片⁠ ⁠块.  a2＋b2　 4　 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 5.[2021河北，20]某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/ 本、10元/本.现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元. （1）用含m，n的代数式表示Q； 解：（1）由题意可得Q＝4m＋10n. （2）若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示 Q的值. 解：（2）将m＝5×104，n＝3×103代入（1）中式子得 Q＝4×5×104＋10×3×103＝2.3×105. 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 6.[2020河北，21]有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上 a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果.如图①，已知A，B 两区初始显示的分别是25和－16. 第一次按键后，A，B两区分别显示的结果如图②. （1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果； 解：（1）A区显示的结果为25＋2a2，B区显 示的结果为－16－6a. 第6题图 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） （2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为 负数吗？说明理由. 解：（2）这个和不能为负数.理由如下： 根据题意得25＋4a2＋（－16－12a）＝25＋ 4a2－16－12a＝4a2－12a＋9＝（2a－3）2， ∵（2a－3）2≥0， ∴从初始状态按4次后，A，B两区代数式的和 不能为负数. 第6题图 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） （3）拓展设问当a＝2时，若从初始状态按m次后，A区代数式的值比B区 的大101，请通过计算说明按键操作进行了多少次. 解：（3）按m次后A区显示结果为25＋ma2， B区显示结果为－16－3ma， 由题意得25＋ma2－（－16－3ma）＝25＋ma2 ＋16＋3ma＝41＋ma2＋3ma. 又∵a＝2，∴原式＝41＋10m＝101， 解得m＝6，∴按键操作进行了6次. 第6题图 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 7.[2022河北，1]计算a3÷a得a？，则“？”是（　C　） A.0 B.1 C.2 D.3 8.[2020河北，2]墨迹覆盖了等式“x3⁠ ⁠x＝x2（x≠0）”中的运算符 号，则覆盖的是（　D　） A.＋ B.－ C.× D.÷ 9.[2023河北，6]若k为任意整数，则（2k＋3）2－4k2的值总能（　B　） A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除 C D B 2 整式运算 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 10.[2021河北，2]不一定相等的一组是（　D　） A.a＋b与b＋a B.3a与a＋a＋a C.a3与a·a·a D.3（a＋b）与3a＋b 11.[2020河北，11]若k为正整数，则（）k＝（　A　） A.k2k B.k2k＋1 C.2kk D.k2＋k D A 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） ③（b－c）÷a＝b÷a－c÷a（a≠0）； ④a÷（b＋c）＝a÷b＋a÷c（a≠0）. 其中一定成立的个数是（　C　） A.1 B.2 C.3 D.4 C 12.[2019河北，6]小明总结了以下结论： ①a（b＋c）＝ab＋ac； ②a（b－c）＝ab－ac； 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 13.[2018河北，13]若2n＋2n＋2n＋2n＝2，则n＝（　A　） A.－1 B.－2 C.0 D. 14.[2018河北，18]若a，b互为相反数，则a2－b2＝⁠ ⁠.  15.[2019河北，17]若7－2×7－1×70＝7p，则p的值为⁠ ⁠.  A 0　 －3　 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 验证　如，（2＋1）2＋（2－1）2＝10为偶数.请把10的一半表示为两个正 整数的平方和； 探究　设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论 正确. 解：验证　10的一半为5， 5＝1＋4＝12＋22. 16.[2022河北，22]发现　两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方 和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和. 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 探究　两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且 该偶数的一半也可以表示为这两个正整数的平方和.理由如下： 　（m＋n）2＋（m－n）2 ＝m2＋2mn＋n2＋m2－2mn＋n2 ＝2m2＋2n2 ＝ 2（m2＋n2）， 故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶 数的一半也可以表示为这两个正整数的平方和. 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 17.[2023河北，21]现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如 图①所示（a＞1）.某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝 隙），如图②和图③，其面积分别为S1，S2. （1）请用含a的式子分别表示S1，S2；当a＝2时，求S1＋S2的值； 解：（1）S1＝（a＋2）（a＋1）＝a2＋3a ＋2，S2＝（5a＋1）×1＝5a＋1. 当a＝2时，S1＋S2＝4＋6＋2＋10＋1＝23. 第17题图 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） （2）比较S1与S2的大小，并说明理由. 解：（2）S1＞S2.理由如下： ∵S1－S2＝a2＋3a＋2－5a－1＝a2－2a＋1＝ （a－1）2，a＞1， ∴S1－S2＞0，∴S1＞S2. 第17题图 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 18.[2019河北，21]已知：整式A＝（n2－1）2＋（2n）2，整式B＞0. 尝试 化简整式A. 发现 A＝B2，求整式B. 联想　由上可知，B2＝（n2－1）2＋（2n）2，当n＞1时，n2－1，2n，B为 直角三角形的三边长，如图.填写下表中B的值： 直角三角形三边长 n2－1 2n B 勾股数组Ⅰ / 8  　　　⁠  勾股数组Ⅱ 35 /  　　　⁠  第18题图 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 解：尝试　A＝（n2－1）2＋（2n）2 ＝n4－2n2＋1＋4n2 ＝n4＋2n2＋1. 发现　∵A＝n4＋2n2＋1＝（n2＋1）2，A＝B2，B＞0， ∴B＝n2＋1. 联想　17　37 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 19.[2018河北，20]嘉淇准备完成题目： 化简：（⁠ ⁠x2＋6x＋8）－（6x＋5x2＋2）发现系数“⁠ ⁠”印刷不清楚. （1）他把“⁠ ⁠”猜成3，请你化简：（3x2＋6x＋8）－（6x＋5x2＋2）； 解：（1）（3x2＋6x＋8）－（6x＋5x2＋2） ＝3x2＋6x＋8－6x－5x2－2 ＝－2x2＋6. 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数.”通过 计算说明原题中“⁠ ⁠”是几？ 解：（2）设“⁠ ⁠”是a， 则原式＝（ax2＋6x＋8）－（6x＋5x2＋2） ＝ax2＋6x＋8－6x－5x2－2 ＝（a－5）x2＋6. ∵标准答案的结果是常数， ∴a－5＝0，解得a＝5. 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 20.[2020河北，3]对于①x－3xy＝x（1－3y），②（x＋3）（x－1）＝x2＋ 2x－3，从左到右的变形，表述正确的是（　C　） A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是因式分解，②是乘法运算 D.①是乘法运算，②是因式分解 C 3 因式分解 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 21.创新意识[2023邯郸丛台区期末]阅读材料：我们把多项式a2＋2ab＋b2及 a2－2ab＋b2叫做完全平方式.如果一个多项式不是完全平方式，我们常做的 变形是先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项， 使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题 的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决 一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等.例如分解因式： x2＋2x－3＝（x2＋2x＋1）－4＝（x＋1）2－4＝（x＋1＋2）（x＋1－2） ＝（x＋3）（x－1）； 又例如：求代数式2x2＋4x－6的最小值：∵2x2＋4x－6＝2（x2＋2x－3）＝ 2（x＋1）2－8，且（x＋1）2≥0，当x＝－1时，2x2＋4x－6有最小值，最 小值是－8. 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：a2－4a－5＝⁠ ⁠；  （2）当x＝⁠ ⁠，y＝⁠ ⁠时，多项式－x2＋2xy－2y2＋6y＋7有最大值. （a＋1）（a－5）　 3　 3　 请完成《精练册》第一章第3节（P6～P7）中的习题 卓文中考·加速度 数学 2024河北中考 第3节　代数式与整式（含因式分解） $$