5.7 三角函数的应用 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.7　三角函数的应用 课标定位 素养阐释 1.会用三角函数解决简单的实际问题. 2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 3.体会数学建模的过程,提升数学建模和数学运算素养. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 易 错 辨 析 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、弹簧振子的运动模型 1.一个弹簧振子做简谐振动,在完成一次全振动的过程中,时间t(单位:s)与位移y(单位:mm)之间的关系如图所示. (1)若用函数y=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)来刻画位移y随时间t的变化规律,你能写出y关于t的函数解析式吗? (2)函数y=Asin(ωt+φ)中的参数A,ω,φ对其图象有怎样的影响? 提示:A影响函数的最值,ω影响函数的周期,φ决定函数的具体位置. 二、拟合函数模型 我们可以利用收集到的数据,首先画出相应的“散点图”并观察,然后进行函数拟合获得具体的函数模型,最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型.( √ ) (2)在研究具体问题时,我们常常利用搜集到的数据,作出相应的“散点图”来获得相应的函数模型.( √ ) (3)函数y=|cos x|的图象是以2π为周期的波浪形曲线.( × ) 合作探究·释疑解惑 探究一 三角函数模型在物理中的应用 分析:确定函数y=Asin(ωx+φ)中的参数A,ω,φ的物理意义. 【例1】 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,规定向上为正方向,小球离开平衡位置的位移s(单位:cm)随时间t(单位:s)的变化规律为 ,t∈[0,+∞).作出这个函数的简图,并回答下列问题. (1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少? (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少? (3)经过多长时间小球往复振动一次? 解:列表如下: 描点、连线,图象如图所示. 反思感悟 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多,解决这类问题时要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法. (1)作出该函数的图象; (2)当单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置的距离是多少? (3)当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是多少? (4)单摆来回摆动一次需多长时间? 解:(1)利用“五点法”可画出其图象,如图. 探究二 数据拟合问题 【例2】 某港口的水深y(单位:m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,下面是有关时间t与水深y的数据: (1)在平面直角坐标系中描出上表中的点. (2)根据表中的数据,你能选用一个函数描述时间与水深的关系吗?并求出选用函数的解析式. 分析:(1)先建立平面直角坐标系,再描点;(2)根据散点分布趋势,寻找函数关系. 解:(1)以时间t(单位:h)为横轴,水深y(单位:m)为纵轴,建立平面直角坐标系. 在坐标系中画出散点图,如图所示. 反思感悟 1.本题中没有明确函数的类型,可通过画散点图来拟合曲线. 2.此类问题的一般解法是先由表中数据分析求出待定系数,再转化为三角不等式对实际问题进行预测判断.因为实际问题的背景往往比较复杂,所以要注意认真审题,从中抽取基本的数学关系. 【变式训练2】 已知某海滨浴场海浪的高度y(单位:m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作:y=f(t),下表是某日各时的浪高数据. (1)根据以上数据,求函数y=f(t)的函数解析式; (2)依据规定,当海浪高度高于1 m时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内8:00至20:00之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行运动? 解:(1)由表中数据描出各点,并把这些点用光滑的曲线连接起来(如图), 所以在8:00至20:00之间,有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动,即上午9:00至下午15:00. 易 错 辨 析 不能正确认识简谐运动的过程致错 【典例】 弹簧振子以点O为平衡位置,在B,C两点间做简谐运动,B,C两点相距20 cm,初始时刻振子处在点B,经0.5 s振子首先到达点C.求: (1)振子振动的振幅、周期和频率; (2)振子在5 s内通过的路程及这时相对平衡位置的距离的大小. 错解:(1)因为B,C两点相距20 cm,所以振幅A=20 cm. 因为振子从点B经0.5 s首次达到点C, 所以周期T=0.5 s,频率 (2)5 s内的路程=距离=5A=100(cm). 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:(1)算错了振幅,误认为B,C两点的距离是振幅,算错了周期,误认为由点B到点C是一个周期,实际上是半个周期;(2)混淆了物理上的路程和位移,导致错解. 正解:(1)设振幅为A,则2A=20 cm,即A=10 cm. 设周期为T,则 ,T=1 s,故频率f=1 Hz. (2)振子在1个周期内通过的路程为4A,当t=5 s时,振子振动了5个周期,故路程s=5×4A=20A=20×10=200(cm)=2(m). 因为5 s末振子处在点B,所以它相对平衡位置的距离为10 cm. 防范措施 在应用三角函数模型求解物理问题时,要注意对物理量的准确理解,防止出错. (1)开始时的电压; (2)电压最小值重复出现一次的时间间隔; (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间. 随 堂 练 习 答案:C 2.(多选题)一质点做简谐运动的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)  A.该质点的运动周期为0.7 s B.该质点的振幅为5 cm C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零 D.该质点在0.3 s和0.7 s时运动速度最大  解析:由题意知T=2×(0.7-0.3)=0.8(s),故A不正确;振幅为5 cm,故B正确;由物理意义知,CD正确. 答案: BCD 答案:A 4.某质点做简谐运动的图象如图所示,则简谐运动的频率为 　　　　　.  答案:1.25 Hz 提示:由题图可知ω=,A=20. 又t=0时,y=20sin φ=-20, 解得φ=-+2kπ,k∈Z.又|φ|<π,所以φ=-. 故y=20sin. 2.简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0, ω>0. (1)A是简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置 的最大距离; (2)简谐运动的周期T=,它是做简谐运动的物体往复运动一 次所需要的时间; (3)简谐运动的频率由公式f=给出,它是做简谐运动的物 体在单位时间内往复运动的次数; (4)ωx+φ称为相位;x=0时的相位φ称为初相. 3.y=sin的初相是　　　　　.  答案:- s=4sin(2t+) t 0 π 2t+ π 2π sin 1 0 -1 0 s 2 4 0 -4 0 2 (1)将t=0代入s=4sin,得s=4sin=2,所以小球开始振动时的位移是2 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和-4 cm. (3)因为函数s=4sin的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是π s. 【变式训练1】 单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的位移 s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数解析式为s=6sin. (2)因为当t=0时,s=6sin=3,所以此时单摆离开平衡位置的距离是3 cm. (3)当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是6 cm. (4)因为周期T==1,所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s. t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 (2)从拟合曲线可知,函数y=Asin ωt+b能描述时间与水深的 关系. 函数y=Asin ωt+b在一个周期内由最大变到最小需9-3=6(h), 此为半个周期,所以函数y的最小正周期为12 h.所以=12, 即ω=. 又当t=0时,y=10;当t=3时,ymax=13. 所以b=10,A=13-10=3. 所以所求函数的解析式为y=3sint+10(0≤t≤24). t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 可设f(t)=Acos ωt+b,并且周期T=12, 故ω=. 由t=0,y=1.5,得A+b=1.5; 由t=3,y=1.0,得b=1.故A=0.5,b=1. 所以y=cost+1. (2)由题知,当y>1时才可对冲浪爱好者开放,故cost+1>1, 解得cost>0,故2kπ-t<2kπ+(k∈Z), 即12k-3<t<12k+3(k∈Z).① 因为0≤t≤24,所以可令①中k分别取0,1,2, 得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24. f==2 Hz. =0.5 s 【变式训练】 已知正弦式交流电的电压E(单位:伏)与时间t(单位:秒)的关系可用E=220sin(100πt+)来表示,求: 解:(1)当t=0时,E=220伏, 即开始时的电压为220伏. (2)T=(秒),即时间间隔为0.02秒. (3)电压的最大值为220伏,当100πt+, 即t=秒时,第一次取得最大值. 1.将车流量定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为 辆/分,上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50+4sin (0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分,t的单位是分,则车流量是增 加的时间段是(　　) A.[0,5] B.[5,10] C.[10,15] D.[15,20] 解析:当10≤t≤15时,有<5≤, 此时F(t)=50+4sin单调递增,即车流量在增加. 3.已知简谐运动f(x)=2sin的图象经过点(0,1), 则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　) A.T=6,φ= B.T=6,φ= C.T=6π,φ= D.T=6π,φ= 解析:由题意可知T==6,f(0)=2sin φ=1, 又|φ|<,所以φ=.故选A. 解析:由题图知周期T=0.8-0=0.8(s),则频率f==1.25 Hz. 5.已知某地一天从4时~16时的温度变化曲线近似地满足函数 y=10sin+20,x∈[4,16]. (1)求该地这一段时间内温度的最大温差; (2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存,则在这段时间 内,该细菌最多能生存多长时间? 解:(1)当x=14时y取最大值,此时最高温度为30 ℃; 当x=6时y取最小值,此时最低温度为10 ℃. 所以最大温差为30 ℃-10 ℃=20 ℃. (2)由题意知,15≤10sin+20≤25, 即-≤sin. ∵x∈[4,16]∴x-. ∴-x-,∴≤x≤. 故该细菌最多能生存的时间为(小时). $$