1.1 第2课时 集合的表示 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.1　集合的概念 第2课时　集合的表示 课标定位 素养阐释 1.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合. 2.掌握集合的表示方法——列举法和描述法. 3.积累数学抽象的经验,提升逻辑推理与数学运算素养. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 思 想 方 法 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、列举法 1.设集合M是小于6的正整数组成的集合,集合M中的元素能一一列举出来吗? 提示:能.1,2,3,4,5. 2.上述集合M除了用自然语言描述外,还可以用什么方式表示呢?如何表示? 提示:列举法.{1,2,3,4,5}. 3.把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 4.方程x2-4x+3=0的所有实数根组成的集合为(　　) A.{1,3} B.{1} C.{x2-4x+3=0} D.{x=1,x=3} 解析:因为方程x2-4x+3=0的实数根为1,3,所以用列举法表示为{1,3},故选A. 答案:A 二、描述法 1.“大于-2且小于2的整数”组成的集合,能用列举法表示吗?如果能,如何表示? 提示:能.{-1,0,1}. 2.“大于-2且小于2的实数”组成的集合,能用列举法表示吗?为什么? 提示:不能.因为大于-2且小于2的实数有无数多个,用列举法是列举不完的,所以不能用列举法表示. 3.设x为“大于-2且小于2的实数”组成的集合的元素,x有何特征? 提示:x∈R,且-2<x<2. 4.一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法. 有时也用冒号或分号代替竖线,写成{x∈A:P(x)}或{x∈A;P(x)}. 5.下列用描述法表示的集合,错误的是(　　) A.奇数集可以表示为{x∈Z|x=2k+1,k∈Z} B.“小于10的整数”组成的集合可以表示为{x|x<10} C.“被3除余2的正整数”组成的集合可以表示为{x|x=3k+2,k∈N} 解析:项B,{x|x<10}表示“小于10的实数”组成的集合.“小于10的整数”组成的集合应该表示为{x∈Z|x<10}或{x|x<10,x∈Z}. 答案:B 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为{1,1}.( × ) (2)集合{(0,1)}中的元素是0和1.( × ) (3){x|x>3}与{y|y>3}是同一个集合.( √ ) (4)集合{x∈N|x<5}与集合{0,1,2,3,4}表示同一个集合.( √ ) 合作探究·释疑解惑 探究一 用列举法表示集合 【例1】 用列举法表示下列集合: (1)方程x2-4x+4=0的所有实数根组成的集合; (2)由单词“look”的字母组成的集合; (3)由不大于8的所有非负偶数组成的集合; (4)直线y=2x-1与y轴的交点组成的集合. 解:(1)方程x2-4x+4=0的实数根为x=2,所求集合为{2}. (2)单词“look”有三个互不相同的字母,分别为“l”“o”“k”,所求集合为{l,o,k}. (3)不大于8的非负偶数有0,2,4,6,8,所求集合为{0,2,4,6,8}. (4)直线y=2x-1与y轴的交点坐标为(0,-1),所求集合为{(0,-1)}. 反思感悟 1.用列举法表示集合,要分清是数集还是点集,如本例(1)是数集,本例(4)是点集. 2.使用列举法表示集合时应注意以下几点: (1)在元素个数较少或较多(无限)但有规律时用列举法表示集合,如集合:{1,2,3},{1,2,3,…,100},{1,2,3,…}等. (2)“{}”表示“所有”的含义,不能省略;元素之间用“,”隔开,而不能用“、”;元素无顺序,满足无序性. 【变式训练1】 用列举法表示下列集合: (1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合; (2)绝对值小于3的所有整数组成的集合; 解:(1)满足条件的数有3,5,7,所求集合为{3,5,7}. (2)绝对值小于3的整数有-2,-1,0,1,2,所求集合为{-2,-1,0,1,2}. 探究二 用描述法表示集合 【例2】 用描述法表示下列集合: (1)不等式3x-6≥0的解集; (2)所有偶数组成的集合; (3)函数y=2x-1的图象上的点组成的集合. 解:(1)不等式3x-6≥0的解是x≥2,所求集合用描述法表示为{x|x≥2}({x:x≥2}或{x;x≥2}). (2)因为x=2k(k∈Z)是所有偶数的一个共同特征,所以所有偶数组成的集合可以表示为{x|x=2k,k∈Z}. (3)函数y=2x-1的图象上的点的坐标为(x,y),所求集合为{(x,y)|y=2x-1}. 1.把本例(2)换成小于10的所有正偶数组成的集合,用描述法怎样表示? 解:小于10的正偶数有2,4,6,8,用式子表示为x=2k,1≤k<5,且k∈Z,所求集合用描述法表示为{x|x=2k,1≤k<5,且k∈Z}. 2.把本例(3)换成在平面直角坐标系中,第一、第三象限的点组成的集合,如何求解? 解:第一、第三象限中的点(x,y)满足xy>0,所求集合可以表示为{(x,y)|xy>0}. 反思感悟 用描述法表示集合的具体步骤如下 (1)写代表元素,分清楚集合中的元素是数还是点或是其他的元素. (2)明确元素的共同特征P(x),将P(x)写在竖线(冒号或分号)的后面. 【变式训练2】 用描述法表示下列集合: (1)直线y=x上去掉原点的所有点组成的集合; (2)被5除余2的所有正整数组成的集合; (3)所有的正方形组成的集合. 解:(1){(x,y)|y=x,x≠0}. (2)被5除余2的正整数可以表示为x=5k+2,k∈N,所求集合用描述法表示为{x|x=5k+2,k∈N}. (3)用描述法表示为{x|x是正方形}. 探究三 集合的表示 【例3】 用适当的方法表示下列集合: 故该集合用列举法表示为{(4,-2)}. (2)集合的代表元素是数x,共同特征是x∈R,|x|≤3,故该集合用描述法表示为{x∈R||x|≤3}. (3)反比例函数 的自变量x∈R,且x≠0,故该集合用描述法表示为{x∈R|x≠0}. (4)抛物线y=x2-2x与x轴相交于点(0,0)和(2,0),故该集合用列举法表示为{(0,0),(2,0)}. 反思感悟 当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时,常用列举法表示集合;当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时,常用描述法表示.对一些元素有规律的无限集,也可以用列举法表示,如正偶数集也可写成{2,4,6,8,10,…}. 【变式训练3】 用适当的方法表示下列集合: (1)24的所有正因数组成的集合; (2)在平面直角坐标系中,两坐标轴上的点组成的集合; (3)三角形的全体组成的集合. 解:(1)24的正因数有1,2,3,4,6,8,12,24,故该集合用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}. (2)集合的代表元素是(x,y),共同特征是x=0或y=0,即xy=0,故该集合用描述法表示为{(x,y)|xy=0}. (3)集合的代表元素是x,共同特征是x是三角形,故该集合用描述法表示为{x|x是三角形}. 思 想 方 法 分类讨论思想在集合表示中的应用 【典例】 若集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A. 审题视角:集合A中只有一个元素,说明关于x的方程kx2-8x+16=0只有一个或两个相等的实数根,此方程不确定为一元二次方程,需要对系数k分为k=0和k≠0讨论. 解:当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2. 此时集合A={2}. 当k≠0时,要使一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等的实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1. 此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意. 综上所述,实数k的值为0或1. 当k=0时,A={2}; 当k=1时,A={4}. 将本例改为“若集合A中至少有一个元素,求k的取值范围”,如何求解? 解:由集合A至少有一个元素可知,关于x的方程kx2-8x+16=0至少有一个根,分两种情况讨论: ①方程kx2-8x+16=0只有一个根,由例题的解答过程可知k=0或k=1; ②方程kx2-8x+16=0有两个不相等的根,需满足k≠0,且Δ=64-64k>0,解得k<1,且k≠0. 综上所述,k的取值范围是k≤1. 方法点睛 1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中的代表元素及其共同特征是解题的切入点. 2.本题因kx2-8x+16=0是不是一元二次方程分k=0和k≠0展开讨论,从而做到不重不漏. 3.集合与方程的综合问题,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用. 随 堂 练 习 1.使不等式x>2成立的实数x的集合可表示为(　　) A.{x>2} B.{x>2|x∈R} C.{3,4,5,…} D.{x∈R|x>2} 答案:D 2.集合A={(0,1),(2,3)}中元素的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:集合A中的元素是点,而不是数,故集合A中有2个元素. 答案:B 3.已知集合A={1,2,3,4},集合B={y|y=x-1,x∈A},则集合B用列举法表示为　　　　　.  解析:当x=1时,y=0;当x=2时,y=1;当x=3时,y=2;当x=4时,y=3. 故B={0,1,2,3}. 答案:B={0,1,2,3} 4.集合A={(x,y)|x+y=6,x,y∈N}用列举法表示为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.  答案:A={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)} 5.选择适当的方法表示下列集合: (1)被3整除的所有正整数组成的集合; (2)方程(3x-1)(x+2)=0的所有实数根组成的集合. 解:(1){x|x=3k,k∈N*}. D.有理数集Q= (3)方程组的解组成的集合. (3)解方程组 所求集合为. (1)方程组的解集; (2)绝对值不大于3的所有实数组成的集合; (3)反比例函数y=-的自变量组成的集合; (4)抛物线y=x2-2x与x轴的交点组成的集合. 解:(1)解方程组 y=- (2)解方程(3x-1)(x+2)=0,得x=或x=-2,所求集合为. $$