精品解析：浙江省湖州市普通高中2023-2024学年高一下学期6月学情调查数学试卷

2023-2024学年度高一年级第二学期学情调查 数学试卷 本卷满分为150分，考试时间为120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数， ，，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 2. 用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（　　） A. B. 2 C. 4 D. 3. “幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取10位某小区居民，他们的幸福感指数分别为3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的第80百分位数是（ ） A. 7.5 B. 8 C. 8.5 D. 9 4. 已知向量，若∥，则的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 5. 某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了C、D两点，在C、D处测得旗杆AB的仰角分别为、，在水平面上测得，且C，D的距离为12米，则旗杆的高度为（ ） A. 9米 B. 12米 C. 米 D. 15米 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在 中，已知 ，， ， 、 边上的两条中线， 相交于点，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是两条不相同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若是异面直线，，则. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 在 中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有（ ） A. 则 为等边三角形； B. 已知，则； C. 已知，，，则最小内角的度数为； D. 在，，，解三角形有两解． 11. 如图，圆台中，母线AB与下底面所成的角为60°，BC为上底面直径，O2A=6O1B=6，则（ ） A. 圆台的母线长为10 B. 圆台的侧面积为 C. 由点A出发沿侧面到达点C的最短距离是 D. 在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值是4 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据的平均数是2，方差是，那么另一组数据的方差为__________. 13. 已知，则______. 14. 如图，在正方体中，E. 分别为棱的中点.则过点的截面分正方体上下两部分的体积之比为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示． （1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？ （2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图2所示．请根据频率分布直方图计算下面的问题； （ⅰ）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点値作代表）； （ⅱ）若将平均日利润超过420元的商家成为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数． 16. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面 为直角梯形，，，，平面平面 . （1）求证：； （2）求 与平面所成角的正弦值. 17. 在锐角 中，记 的内角的对边分别为，点 为 的所在平面内一点，且满足. （1）若，求的值； （2）在（1）条件下，求的最小值； 18. 如图，在直三棱柱中，M为棱 的中点， ， ，. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由. 19. 已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且. （1）若为纯虚数，求； （2）若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点. ①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由； ②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度高一年级第二学期学情调查 数学试卷 本卷满分为150分，考试时间为120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数， ，，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数相等的充要条件，求出 、，进而求出. 【详解】，， ，. 故选：C. 2. 用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（　　） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积. 【详解】根据斜二测画法的原则可知， 所以对应直观图的面积为. 故选：D. 3. “幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取10位某小区居民，他们的幸福感指数分别为3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的第80百分位数是（ ） A. 7.5 B. 8 C. 8.5 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】计算得，然后由第8个数据和第9个数据求平均数可得. 【详解】因为， 所以第80百分位数是. 故选：C 4. 已知向量，若∥，则的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，且∥，由平面向量共线的坐标表示结合商数关系求解. 【详解】因为，且∥， 所以， 即， 所以. 故选：D 【点睛】本题主要考查平面向量共线的坐标表示以及同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 5. 某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了C、D两点，在C、D处测得旗杆AB的仰角分别为、，在水平面上测得，且C，D的距离为12米，则旗杆的高度为（ ） A. 9米 B. 12米 C. 米 D. 15米 【答案】B 【解析】 【分析】设旗杆的高度为 ，在中，利用余弦定理求解. 【详解】如图所示： 设旗杆的高度为 ， 所以， 在中，由余弦定理得， 即， 即， 解得或（舍去）， 故选：B 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，再表达出，从而根据诱导公式与二倍角公式求解即可 【详解】设，则，故，故，则 故选：D 7. 如图，在中，已知，， ， 、 边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，取为基底，利用向量数量积求出，再利用向量夹角公式求解作答. 【详解】在中，令，，则，， 因为 、 边上的两条中线，相交于点，则，， 于是， ， ， 所以. 故选：A 8. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若 平面，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行的条件构造面面平行从而得到点的轨迹，在根据平面几何知识求出的范围. 【详解】如图，取的中点 ，的中点，连接，显然，且， 所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面,所以平面，因为，平面， 平面,所以平面，又因为，所以平面平面， 因为平面，所以平面，点在侧面上，所以点位于线段上， 因为， ，所以当点位于点时，最大， 当点位于的中点 时，最小， 此时， 所以，所以线段长度的取值范围是. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是两条不相同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若是异面直线，，则. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据立体几何相关定理逐项分析. 【详解】对于A，，则 平面内必然存在一条直线，使得，并且 ， 同理，在平面内必然存在一条直线，使得，并且，由于是异面直线， 与是相交的，n与也是相交的， 即平面内存在两条相交的直线，分别与平面 平行，，正确； 设，并且，则有，显然是相交的，错误； 对于B，若，则不成立，错误； 对于C，若，则平面上必然存在一条直线l与n平行，，即，正确； 对于D，若，必然存在一个平面，使得，并且，，又，正确； 故选:ACD. 10. 在中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有（ ） A. 则为等边三角形； B. 已知，则； C. 已知，，，则最小内角的度数为； D. 在，，，解三角形有两解． 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理一一计算可得； 【详解】解：对于A：若，则，即，即，即是等边三角形，故A正确； 对于B：由，可得，余弦定理：．，，故B正确． 对于C：因为，，，所以，所以，所以，，，故C正确； 对于D：因为，，，所以，即解得，因为，所以，所以三角形只有1解； 故选：ABC 11. 如图，圆台中，母线AB与下底面所成的角为60°，BC为上底面直径，O2A=6O1B=6，则（ ） A. 圆台的母线长为10 B. 圆台的侧面积为 C. 由点A出发沿侧面到达点C的最短距离是 D. 在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值是4 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据轴截面分析即可； 对B，根据圆台的侧面积公式求解即可； 对C，将圆台侧面展开，再计算 即可； 对D，计算圆台内能放下的最大球的直径，再根据该球为此正方体外接球求解即可 【详解】对A，母线长为，故A正确； 对B，由A母线长为10，则根据圆台的侧面积公式，故B正确； 对C，由题意，侧面全展开的圆心角为，因为此时，但线段 有小部分不在扇环上，故由点A出发沿侧面到达点C的最短距离大于，故C错误； 对D，由题意，该圆台的轴截面可补全为一个边长为12的正三角形，故圆台中能放下的最大球的半径为，直径为，故在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体为该球的内接正方体，棱长为，故D正确； 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据的平均数是2，方差是，那么另一组数据的方差为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据方差的性质进行计算即可. 【详解】 一组数据的方差是， 另一组数据的方差为. 故答案为： 13. 已知，则______. 【答案】##0.8 【解析】 【分析】根据诱导公式化简可得，即可根据二倍角公式以及齐次式求解. 【详解】由可得， ， 故答案为： 14. 如图，在正方体中，E.分别为棱的中点.则过点的截面分正方体上下两部分的体积之比为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面的性质可得截面为多边形，即可利用锥体体积公式求解. 【详解】连接并延长交 于，连接并延长交 于于，连接交于， 设正方体的棱长为1, 根据相似可得, 则截面即为所求；连接，如图，则截面下部的体积 . ，则 ，于是， 因此截面上下两部分的体积之比为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示． （1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？ （2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图2所示．请根据频率分布直方图计算下面的问题； （ⅰ）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点値作代表）； （ⅱ）若将平均日利润超过420元的商家成为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数． 【答案】（1）小吃类16家，玩具类4家； （2）（i）中位数为342.9，平均数为352.5； （2）128. 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的定义计算即可； （2）（i）根据中位数和平均数的定义计算即可； （ii）根据样本中“优秀商家”的个数来估计总体中“优秀商家”的个数即可. 【小问1详解】 ，， 所以应抽取小吃类16家，玩具类4家. 【小问2详解】 （i）根据题意可得，解得， 设中位数为 ，因为，，所以，解得， 平均数为， 所以该直播平台商家平均日利润的中位数为342.9，平均数为352.5. （ii）, 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为128. 16. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面 为直角梯形，，，，平面平面 . （1）求证：； （2）求 与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为 ，通过证明平面，从而可证得； （2）用等体积法求出点 到平面距离，进而可得 与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 取中点为 ，连接 ，，.由侧面为正三角形知， 又∵平面平面 ，平面，平面平面， ∴平面 ，∵平面 ，∴. 在底面 中，，，∴，同理有， ，由勾股定理知，即， 又∵，平面，平面，， ∴平面，∵平面，∴. 【小问2详解】 在中，，，∴，， ，， ， 设 到平面距离为， ，∴. 设 与平面所成角为，则. 17. 在锐角中，记的内角的对边分别为，点 为的所在平面内一点，且满足. （1）若，求的值； （2）在（1）条件下，求的最小值； 【答案】（1）1 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式求出，再由数量积的运算律得到，即 为的外心，最后由正弦定理计算可得； （2）根据数量积的运算律得到，求出的范围，再结合余弦函数的性质求出最小值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 因为，可得，所以， 又因为，可得，所以，即， 因为，所以， 又由， 可得， 解得，即， 所以 为的外心，由正弦定理有，所以. 【小问2详解】 因为，所以，所以， 所以，外接圆的半径， 其中，且为锐角，故， 由，可得， 因为，解得，即， 则，则，且， 因为余弦函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为， 所以，所以， 所以. 18. 如图，在直三棱柱中，M为棱 的中点， ， ，. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）连接与，两线交于点 ，连接，利用三角形中位线性质得到，再利用线面平行的判定即可证. （2）应用线面垂直的性质、判定可得平面，从而得到，根据和得到，再利用线面垂直的判定即可证. （3）当点为的中点，设的中点为 ，连接，，易证四边形为平行四边形，从而得到，进而有平面，再利用面面垂直的判定即可证. 【小问1详解】 连接与，两线交于点 ，连接， 在中 ， 分别为 ，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为底面，平面，所以. 又 为棱 的中点， ，所以. 因为，，平面， 所以平面，平面，所以. 因为 ，所以.又， 在和中，， 所以，即， 所以，又，，平面， 所以平面. 【小问3详解】 当点为的中点，即时，平面平面. 证明如下：设的中点为 ，连接，， 因为 ， 分别为， 的中点， 所以且，又为的中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 由（2）知：平面，所以平面，又平面， 所以平面平面. 19. 已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且. （1）若为纯虚数，求； （2）若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点. ①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转 后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由； ②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值. 【答案】（1）或 （2）①存在，；②，最大值为2 【解析】 【分析】（1）计算，然后使其实部为零，虚部不为零，再结合可求出的值，从而可求出求； （2）①方法一：由题意可得，然后解关于的方程组可得结果，方法二：设则，再由题意得，从而可求得结果， ②设向量的夹角为θ，，设复数所对应的向量为则，化简后再利用可求得其最大值. 【小问1详解】 因为复数， 所以， 而为纯虚数，因此，即. 又因为，且，所以， 由，解得或， 所以或. 【小问2详解】 ①存在，理由如下： 法一：由题意知：，得， 解得或 ， 因为OB逆时针旋转 后与OA重合，所以； 法二：设是以x轴正半轴为始边，OB为终边的角，则， 所以即， 所以，所以 ， 且时，满足. 所以. ②因为复数，对应的向量分别是为坐标原点），且O，A，B三点不共线， 所以设向量的夹角为θ，，设复数所对应的向量为 则且， 因此的面积， ， 设，则， 当且仅当且，即或时等号成立， 所以，其最大值为2. 【点睛】关键点点睛：此题考查复数的运算，考查复数的有关概念的应用，考查复数的几何意义的综合应用，解题的关键是对复数的几何意义的正确理解，考查数学计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $