专题拓展：利用基本不等式求最值的基本方法（技巧解密+6考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

专题拓展：利用基本不等式求最值的基本方法 一、基本不等式常用的结论 1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 推论：（） 2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 推论：（，）； 3、 二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法 1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系 2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。 3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况 类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时 方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式， 如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。 5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。 考点一：直接法求最值 例1．（23-24高一下·安徽·开学考试）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 【变式1-1】（23-24高一上·新疆·期末）若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·湖南·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 【变式1-3】（23-24高一上·山西长治·期末）当时，的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 考点二：配凑法求最值 例2. （23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式2-1】（23-24高一上·广东潮州·期中）已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 考点三：消元法求最值 例3. （23-24高一上·广东东莞·期末）若、，且，则的最大值为 ． 【变式3-1】（23-24高一上·四川眉山·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 【变式3-2】（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，，则的最小值为（ ） A．8 B．4 C． D． 【变式3-3】（23-24高一上·重庆·期末）已加正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．10 D．11 考点四：乘“1”法求最值 例4.（23-24高一上·河北沧州·期末）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．3 D． 【变式4-2】（23-24高一下·湖北·月考）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 【变式4-3】（23-24高一上·江西新余·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 考点五：双换元法求最值 例5.（23-24高一上·浙江嘉兴·月考）已知且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式5-1】（23-24高一上·浙江·月考）已知实数x，y满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式5-2】（23-24高一上·全国·专题练习）已知，，，则的最大值为 ． 【变式5-3】（22-23高一下·浙江衢州·月考）设x，y是正实数，且，则的最大值是 . 考点六：构造法不等式求最值 例6.（23-24高一上·山东·月考）已知正实数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【变式6-1】（23-24高一上·甘肃·期末）若正数a，b满足，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·吉林四平·月考）已知，且满足，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．3 D．6 【变式6-3】（23-24高三上·陕西西安·月考）已知，且，则（    ） A．有最小值8 B．有最小值 C．有最大值8 D．有最大值 一、单选题 1．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 2．（23-24高一上·安徽·期末）若正数满足，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C． D． 3．（23-24高一下·重庆沙坪坝·月考）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 5．（23-24高一上·广西·期末）已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 6．（23-24高一上·湖南衡阳·月考）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（23-24高一下·湖南株洲·月考）已知，则的最小值为 ． 10．（23-24高一上·云南大理·月考）已知，则的最小值是 . 11．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 四、解答题 12．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 13．（23-24高一上·山东菏泽·月考）已知，，，求下列代数式的最小值 (1)； (2). 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题拓展：利用基本不等式求最值的基本方法 一、基本不等式常用的结论 1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 推论：（） 2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 推论：（，）； 3、 二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法 1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系 2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。 3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况 类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时 方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式， 如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。 5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。 考点一：直接法求最值 例1．（23-24高一下·安徽·开学考试）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【解析】，，， ，即，， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为8.故选：D. 【变式1-1】（23-24高一上·新疆·期末）若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为正实数、满足，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为.故选：B. 【变式1-2】（23-24高一上·湖南·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】由重要不等式得，当且仅当时取等， 解得，显然A正确，故选：A 【变式1-3】（23-24高一上·山西长治·期末）当时，的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】由，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值为2．故选：C． 考点二：配凑法求最值 例2. （23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即取等号，故C正确.故选：C. 【变式2-1】（23-24高一上·广东潮州·期中）已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知， 则. 当且仅当，即等号成立. 故的最大值是.故选：A 【变式2-2】（23-24高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 当且仅当，即时，等号成立.故选：D 【变式2-3】（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【解析】由，得， 因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是.故选：D. 考点三：消元法求最值 例3. （23-24高一上·广东东莞·期末）若、，且，则的最大值为 ． 【答案】/0.25 【解析】由题意，，所以， 所以等号成立当且仅当，即的最大值为. 故答案为：. 【变式3-1】（23-24高一上·四川眉山·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【解析】由题意，所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 【变式3-2】（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，，则的最小值为（ ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】由，，可得，则 则， 当，得时，等号成立， 所以的最小值为8.故选：A 【变式3-3】（23-24高一上·重庆·期末）已加正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．10 D．11 【答案】D 【解析】因为，显然，得到，所以， 又，为正实数，所以，得到，即， 所以， 当且仅当，即时取等号，故选：D. 考点四：乘“1”法求最值 例4.（23-24高一上·河北沧州·期末）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【解析】， 当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为.故选：B． 【变式4-1】（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．3 D． 【答案】C 【解析】， 当且仅当时取等号．故选:C． 【变式4-2】（23-24高一下·湖北·月考）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】D 【解析】因为，且，又， 所以， 当且仅当时取最小值，此时， 故所求为6.故选：D. 【变式4-3】（23-24高一上·江西新余·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以由变形可得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为，故选：D 考点五：双换元法求最值 例5.（23-24高一上·浙江嘉兴·月考）已知且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【解析】由题意得，， 令，则， 由得， 故， 当且仅当，结合，即时取等号， 也即，即时，等号成立， 故的最小值为9，故选：B 【变式5-1】（23-24高一上·浙江·月考）已知实数x，y满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】设，则， 则 由可得， 化简得， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立，即或时等号成立， 故，故选：D 【变式5-2】（23-24高一上·全国·专题练习）已知，，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】令，， 则，，，，，所以， 所以 ， 当且仅当，，即，时等号成立． 故答案为： 【变式5-3】（22-23高一下·浙江衢州·月考）设x，y是正实数，且，则的最大值是 . 【答案】 【解析】令，则， 可得，即， 且， ∵， 当且仅当，即时，等号成立， 可得， ∴， 即的最大值是. 故答案为：. 考点六：构造法不等式求最值 例6.（23-24高一上·山东·月考）已知正实数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】D 【解析】由，得， 因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为.故选：D. 【变式6-1】（23-24高一上·甘肃·期末）若正数a，b满足，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ，即. ，又因为a，b为正数，所以. ，即，当且仅当等号成立， 故的取值范围是.故选：C. 【变式6-2】（23-24高一上·吉林四平·月考）已知，且满足，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】B 【解析】，故，即，可得， 当且仅当取得等号，则的最小值为4.故选：B. 【变式6-3】（23-24高三上·陕西西安·月考）已知，且，则（    ） A．有最小值8 B．有最小值 C．有最大值8 D．有最大值 【答案】A 【解析】由可得，所以， 由于，且，则，故，当且仅当时取等号， 故，因此有最小值8，故选：A 一、单选题 1．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】若，则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为.故选：D. 2．（23-24高一上·安徽·期末）若正数满足，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 当且仅当时取等号．故选：C． 3．（23-24高一下·重庆沙坪坝·月考）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为，故，则， 当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为.故选：D. 4．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】因为，且，所以， 所以 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为．故选：C． 5．（23-24高一上·广西·期末）已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】B 【解析】，则有， 可得，即4，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为4.故选：B 6．（23-24高一上·湖南衡阳·月考）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为.故选：D. 二、多选题 7．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对A：，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对B：， 当且仅当，即，时，等号成立，故B正确； 对C：由A知，，故， 即，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对D：由，故，则， 由，，故，则， 即，故，故D正确.故选：BCD. 8．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A：因为，， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：因为，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C：因为，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D：因为， 所以，当且仅当，即时取等号，故D正确；故选：ACD. 三、填空题 9．（23-24高一下·湖南株洲·月考）已知，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：4 10．（23-24高一上·云南大理·月考）已知，则的最小值是 . 【答案】7 【解析】由， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是7. 故答案为：7 11．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题 12．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 令，则，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时等号成立； （2）由，得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. 13．（23-24高一上·山东菏泽·月考）已知，，，求下列代数式的最小值 (1)； (2). 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因，，，则， 于是得 当且仅当，即时取“”， 所以，当时，的最小值是； （2）因，，， 则， 当且仅当，即时取“”， 所以当时，的最小值是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$