第11讲 函数的奇偶性（思维导图+4知识点+6考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第11讲 函数的奇偶性 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解奇函数、偶函数的定义，了解奇函数、偶函数图象的特征； 2．掌握判断函数奇偶性的方法，会根据函数奇偶性求函数值或函数的解析式； 3．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的综合问题. 知识点 1 函数的奇偶性 1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称． 2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称．偶函数的性质：，可避免讨论． 3、奇函数、偶函数图象对称性的推广 在定义域内恒满足 的图象的对称轴（中心） 直线 直线 直线 点 点 点 知识点 2 判断奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 【注意】判断与的关系时，也可以使用如下结论： （1）如果或，则函数为偶函数； （2）如果或，则函数为奇函数． 2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． 3、性质法：设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论： 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 【注意】在中，的值域是定义域的子集． 4、分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 知识点 3 函数奇偶性的应用 函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用． 1、由函数的奇偶性求参数 若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数． 2、由函数的奇偶性求函数值 由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值． 3、由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤 （1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上； （2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得； （3）利用函数的奇偶性把改写成，从而求出． 知识点 函数奇偶性与单调性的综合应用 1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2、区间和关于原点对称 （1）若为奇函数，且在上有最大值，则在上最小值； （2）若为偶函数，且在上有最大值，则在上最大值． 3、利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较． 【注意】由或及函数的单调性列出不等式（组）时，要注意定义域对参数的影响． 考点一：判断函数的奇偶性 例1．（23-24高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·全国·课后作业）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【变式1-3】（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）设函数，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 考点二：利用奇偶性求函数值 例2. （23-24高一上·上海·月考）已知函数在R上是奇函数，且当时，，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【变式2-1】（23-24高一上·四川雅安·月考）已知是偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．7 D．5 【变式2-2】（22-23高一上·浙江台州·期中）已知，，则（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-5 【变式2-3】（23-24高一上·安徽亳州·期中）如果函数是奇函数，则（   ） A． B．2 C．3 D． 考点三：利用奇偶性求参数 例3. （23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 【变式3-1】（23-24高一上·山西长治·期末）若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式3-2】（23-24高一下·贵州贵阳·月考）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一上·浙江宁波·期末）若函数为偶函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 考点四：利用奇偶性求解析式 例4. （23-24高一上·北京·期中）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·广东深圳·月考）已知函数是奇函数且满足，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（22-23高一上·北京海淀·月考）设函数的定义域为，若在上单调递减，且为偶函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一下·湖南长沙·月考）已知函数是定义在上的偶函数，函数是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ） A． B． C． D． 考点五：利用奇偶性与单调性比大小 例5.（23-24高一下·云南·月考）已知偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·江苏徐州·期中）设为奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·云南昆明·月考）已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（    ） A． B． C．1 D．2 考点六：利用奇偶性与单调性解不等式 例6.（2024·江西·模拟预测）已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（22-23高一上·北京·月考）若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一上·重庆·期中）已知函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（22-23高一上·天津北辰·月考）下列函数中，为偶函数的是（        ） A．= B．= C．=+ D．=x+ 2．（23-24高一上·江苏镇江·月考）函数为定义在上的偶函数，则实数等于（    ） A． B．1 C．0 D．无法确定 3．（23-24高一下·安徽阜阳·月考）已知奇函数的定义域为，且当时，；当时，，则（    ） A．7 B．9 C．-7 D．-9 4．（23-24高一上·广东中山·月考）若偶函数在上单调递增，则（    ）． A． B． C． D． 5．（23-24高一上·贵州毕节·月考）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·北京·期中）已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·月考）是定义在上的奇函数，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一下·河南·月考）已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（    ） A． B． C． D．的单调递增区间为 三、填空题 9．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，且，则 ． 10．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，则 ． 11．（23-24高一上·陕西西安·月考）已知函数对一切实数都满足，且当时，，则 ． 四、解答题 12．（23-24高一上·重庆璧山·月考）已知是定义在上的奇函数，且；当时， . (1)求的值； (2)求函数在上的解析式； (3)解方程； 13．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 函数的奇偶性 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解奇函数、偶函数的定义，了解奇函数、偶函数图象的特征； 2．掌握判断函数奇偶性的方法，会根据函数奇偶性求函数值或函数的解析式； 3．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的综合问题. 知识点 1 函数的奇偶性 1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称． 2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称．偶函数的性质：，可避免讨论． 3、奇函数、偶函数图象对称性的推广 在定义域内恒满足 的图象的对称轴（中心） 直线 直线 直线 点 点 点 知识点 2 判断奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 【注意】判断与的关系时，也可以使用如下结论： （1）如果或，则函数为偶函数； （2）如果或，则函数为奇函数． 2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． 3、性质法：设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论： 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 【注意】在中，的值域是定义域的子集． 4、分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 知识点 3 函数奇偶性的应用 函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用． 1、由函数的奇偶性求参数 若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数． 2、由函数的奇偶性求函数值 由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值． 3、由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤 （1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上； （2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得； （3）利用函数的奇偶性把改写成，从而求出． 知识点 函数奇偶性与单调性的综合应用 1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2、区间和关于原点对称 （1）若为奇函数，且在上有最大值，则在上最小值； （2）若为偶函数，且在上有最大值，则在上最大值． 3、利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较． 【注意】由或及函数的单调性列出不等式（组）时，要注意定义域对参数的影响． 考点一：判断函数的奇偶性 例1．（23-24高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为的定义域为，且， 所以为偶函数； 对于B，因为的定义域为，且， 所以不是奇函数； 对于C，因为的定义域为， 且，所以为奇函数； 对于D，因为的定义域为，且， 所以为偶函数；故选：. 【变式1-1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，的定义域为，它不关于原点对称，故A不符合题意； 对于B，对于而言，，故B不符合题意； 对于C，对于而言，，故C不符合题意； 对于D，对于而言，其定义域为全体实数，关于原点对称， 且，故D符合题意.故选：D. 【变式1-2】（23-24高一上·全国·课后作业）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【答案】A 【解析】若，则，则； 若，则，则. 又，满足. 所以，又函数的定义域为，关于原点对称， 因此，函数为奇函数.故选：A. 【变式1-3】（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）设函数，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 对于A选项，， 令，该函数的定义域为， ，则为奇函数，A满足要求； 对于B选项，， 令，该函数的定义域为，则， 所以，函数不是奇函数，B不满足条件； 对于C选项，， 令，该函数的定义域为，则， 所以，函数不是奇函数，C不满足条件； 对于D选项，， 令，该函数的定义域为，则， 所以，函数不是奇函数，D不满足要求.故选：A. 考点二：利用奇偶性求函数值 例2. （23-24高一上·上海·月考）已知函数在R上是奇函数，且当时，，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【解析】，又在R上是奇函数，故.故选：B 【变式2-1】（23-24高一上·四川雅安·月考）已知是偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．7 D．5 【答案】B 【解析】是偶函数，当时，， 则.故选：B 【变式2-2】（22-23高一上·浙江台州·期中）已知，，则（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-5 【答案】B 【解析】设，定义域为， 则，故为奇函数， 又，则， 所以.故选：B 【变式2-3】（23-24高一上·安徽亳州·期中）如果函数是奇函数，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【解析】记， 因为为奇函数，所以， 又，， 所以.故选：D 考点三：利用奇偶性求参数 例3. （23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】因为函数是定义在上的偶函数， 所以且，则， 所以，则.故选：D． 【变式3-1】（23-24高一上·山西长治·期末）若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】由函数为奇函数，可得， 可得，解得， 经检验，当时，， 满足，符合题意，所以.故选：D. 【变式3-2】（23-24高一下·贵州贵阳·月考）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是定义在上的偶函数， 所以，得到， 显然，由图象关于轴对称，得到，解得， 所以，满足要求， 得到.故选：A. 【变式3-3】（23-24高一上·浙江宁波·期末）若函数为偶函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】函数为偶函数，的定义域为，且为偶函数， 在(或其子集)上为偶函数， 恒成立， 恒成立， 故选:A. 考点四：利用奇偶性求解析式 例4. （23-24高一上·北京·期中）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由是上的偶函数，得， 又在上单调递增，则， 所以.故选：A 【变式4-1】（23-24高一上·广东深圳·月考）已知函数是奇函数且满足，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，故在上单调递增， 因为为奇函数，所以在上单调递增， 因为，所以， ， 因为，所以，即.故选：B 【变式4-2】（22-23高一上·北京海淀·月考）设函数的定义域为，若在上单调递减，且为偶函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数为偶函数，所以函数的图像关于y轴对称， 故函数的图像关于直线对称，且， 又在上单调递减，故在上单调递增， ，， 即故选：C 【变式4-3】（23-24高一下·湖南长沙·月考）已知函数是定义在上的偶函数，函数是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，在上单调递减，是偶函数，是奇函数， 所以在上单调递减，在上单调递增， 对于A中，由，但无法判断的正负，所以A不正确； 对于B中，因为是定义在上的奇函数，可得， 又因为在上单调递减，可得， 因为在上单调递减，且为偶函数，所以在上为增函数， 所以，所以B不正确； 对于C中，由，在上单调递减，所以，所以C不正确； 对于D中，由，在上单调递减，，所以D正确.故选：D. 考点五：利用奇偶性与单调性比大小 例5.（23-24高一下·云南·月考）已知偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当，则，， 又为偶函数，所以，当时，．故选：D. 【变式5-1】（23-24高一上·江苏徐州·期中）设为奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】为奇函数，当时，， 则当时，，.故选：D 【变式5-2】（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，即， 所以当时，.故选：A. 【变式5-3】（23-24高一上·云南昆明·月考）已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】根据题意，由①得， 因为为奇函数，为偶函数，所以，， 所以②， 由①②得，所以，则.故选：A. 考点六：利用奇偶性与单调性解不等式 例6.（2024·江西·模拟预测）已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得， 因为是奇函数，且，所以， 因为在上单调递增，所以， 故不等式的解集为．故选：D 【变式6-1】（22-23高一上·北京·月考）若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】为上的奇函数，且在单调递减，， ，，且在上单调递减， 所以或，或， 可得，或， 即或，即，故选：B. 【变式6-2】（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是定义在上的偶函数，所以， 又因为是在区间单调递减， 所以，即，于是有，解得或， 故不等式的解集为.故选：A. 【变式6-3】（23-24高一上·重庆·期中）已知函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为R，令函数，则 显然， 函数在R上都单调递增，因此在R上单调递增， 不等式化为， 即，于是，即，解得， 所以实数的取值范围是.故选：A 一、单选题 1．（22-23高一上·天津北辰·月考）下列函数中，为偶函数的是（        ） A．= B．= C．=+ D．=x+ 【答案】B 【解析】选项A中，函数定义域是，函数没有奇偶性； 选项B中，函数定义域是，，是偶函数； 选项C中，函数定义域是，函数没有奇偶性； 选项D中，函数定义域是，，函数是奇函数．故选：B． 2．（23-24高一上·江苏镇江·月考）函数为定义在上的偶函数，则实数等于（    ） A． B．1 C．0 D．无法确定 【答案】C 【解析】因为为定义在上的偶函数， 所以，解得.故选：C. 3．（23-24高一下·安徽阜阳·月考）已知奇函数的定义域为，且当时，；当时，，则（    ） A．7 B．9 C．-7 D．-9 【答案】B 【解析】因为是定义域为的奇函数， 所以，，， 所以．故选：B． 4．（23-24高一上·广东中山·月考）若偶函数在上单调递增，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由偶函数知：，又在上单调递增且， 所以，即.故选：D 5．（23-24高一上·贵州毕节·月考）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为奇函数且在上单调递减，且，可得， 则不等式，等价于，解得， 所以实数的取值范围为.故选：A. 6．（23-24高一上·北京·期中）已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为定义在上的偶函数，且，可得， 且在上为减函数，则，解得， 所以实数的取值范围是.故选：C. 二、多选题 7．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·月考）是定义在上的奇函数，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由是定义在上的奇函数，得，且， 因此，A正确；，B错误； 又，C正确；而当时，， 此时式子无意义，D错误.故选：AC 8．（22-23高一下·河南·月考）已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（    ） A． B． C． D．的单调递增区间为 【答案】BC 【解析】因为函数为奇函数，，即，解得，故B正确，A错误； 因为，所以，故C正确； 作出的图象，如图，所以的单调递增区间为，， D选项形式错误，不能用并集的符号.故选：BC. 三、填空题 9．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，且，则 ． 【答案】 【解析】令，，， 则，， 所以为奇函数，为偶函数， 又，且，， 所以，， 又，所以. 故答案为： 10．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，则 ． 【答案】0 【解析】由题意得， 即恒成立，则，则， 故答案为：0. 11．（23-24高一上·陕西西安·月考）已知函数对一切实数都满足，且当时，，则 ． 【答案】 【解析】函数对一切实数都满足，所以， 设，则， ， 又因为，即， 所以 所以. 四、解答题 12．（23-24高一上·重庆璧山·月考）已知是定义在上的奇函数，且；当时， . (1)求的值； (2)求函数在上的解析式； (3)解方程； 【答案】(1)5；(2)；(3)解集为 【解析】（1）是定义在上的奇函数，，解得； （2）当时，，是定义在上的奇函数， 则当时，，则，时也满足， 所以. （3）方程，即或，解得或或， 所以方程的解集为. 13．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)为奇函数；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）由，且定义域关于原点对称，故为奇函数. （2）任取，且， ， 因为，且， 故，，，，， 所以，， 故函数在上单调递增； （3）由（1）（2）为奇函数，且在上单调递增， 变形为， 则要满足，解得：， 故不等式的解集为 ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$