第13讲 整式的加减（2个知识点+7个考点+易错分析）【暑假自学课】-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

第13讲 整式的加减（2个知识点+7个考点+易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握去括号法则,能准确地去括号 2.会通过去括号、合并同类项将整式化简 3.能进行简单的整式加法和减法运算: 4.会运用整式加减解决简单的实际问题 知识点1.去括号（难点） 去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 要点归纳： (1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘． （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号． (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号． （4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 知识点2.整式的加减（重点） 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 要点归纳： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来． (3)整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 易错点1.去括号时出现错误 去括号时,括号前面是“_”号时,常忘记改变括号内每一项的符号,出现错误;或者括号前有数字因数,去括号时没把数字因数与括号内的每一项相乘出现漏乘现象,只有严格按照去括号法则运算,才可能避免上述错误 易错点2.进行整式加减时忽略括号的作用 在多项式加法运算中，整式可以不加括号,在多项式减法运算中,被减式可以不加括号，但减式必须加上括号 考点1.去括号 【例1】下列去括号正确吗？如有错误，请改正． (1)＋(－a－b)＝a－b； (2)5x－(2x－1)－xy＝5x－2x＋1＋xy； (3)3xy－2(xy－y)＝3xy－2xy－2y； (4)(a＋b)－3(2a－3b)＝a＋b－6a＋3b. 解析：先判断括号外面的符号，再根据去括号法则选用适当的方法去括号． 解：(1)错误，括号外面是“＋”号，括号内不变号，应该是：＋(－a－b)＝－a－b； (2)错误，－xy没在括号内，不应变号，应该是：5x－(2x－1)－xy＝5x－2x＋1－xy； (3)错误，括号外是“－”号，括号内应该变号，应该是：3xy－2(xy－y)＝3xy－2xy＋2y； (4)错误，有乘法的分配律使用错误，应该是：(a＋b)－3(2a－3b)＝a＋b－6a＋9b. 方法总结：本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 【变式1-1】（2024•翔安区二模）去括号的结果是　　 A． B． C． D． 【分析】根据去括号的方法即可得出答案． 【解答】解： ． 故选：． 【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 【变式1-2】（2024•凉州区二模）下列去括号正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】应用去括号法则逐个计算得结论． 【解答】解：，故选项错误； ，故选项正确； ，故选项错误； ，故选项错误． 故选：． 【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．顺序为先大后小． 【变式1-3】去掉下列各式中的括号： (1). 8m-(3n+5)； (2). n-4(3-2m)；(3). 2(a-2b)-3(2m-n). 【答案】(1). 8m-(3n+5)＝8m-3n-5. (2). n-4(3-2m)＝n-(12-8m)＝n-12+8m. (3). 2(a-2b)-3(2m-n)＝2a-4b-(6m-3n)＝2a-4b-6m+3n. 考点2.去括号后进行整式的化简 【例2】先去括号，后合并同类项： (1)x＋[－x－2(x－2y)]； (2)a－(a＋b2)＋3(－a＋b2)； (3)2a－(5a－3b)＋3(2a－b)； (4)－3{－3[－3(2x＋x2)－3(x－x2)－3]}． 解析：去括号时注意去括号后符号的变化，然后找出同类项，根据合并同类项的法则，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变． 解：(1)x＋[－x－2(x－2y)]＝x－x－2x＋4y＝－2x＋4y； (2)原式＝a－a－b2－a＋b2＝－2a＋； (3)2a－(5a－3b)＋3(2a－b)＝2a－5a＋3b＋6a－3b＝3a； (4)－3{－3[－3(2x＋x2)－3(x－x2)－3]}＝－3{9(2x＋x2)＋9(x－x2)＋9}＝－27(2x＋x2)－27(x－x2)－27＝－54x－27x2－27x＋27x2－27＝－81x－27. 方法总结：解决本题是要注意去括号时符号的变化，并且不要漏乘．有多个括号时要注意去各个括号时的顺序． 【变式2-1】（2023秋·全国·七年级课堂例题）化简： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】（1）利用括号前是正号，去括号后，括号里的各项都不改变符号，进而得出答案； （2）利用括号前是负号，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，进而得出答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）， 故答案为：； 【点睛】此题主要考查了去括号法则，正确掌握去括号法则是解题关键． 【变式2-2】化简：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)． 解析：先运用去括号法则去括号，然后合并同类项．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变． 解：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)＝6x2－3y2－6y2＋4x2＝10x2－9y2. 方法总结：去括号时应注意：①不要漏乘；②括号前面是“－”，去括号后括号里面的各项都要变号． 【变式2-3】（2023秋•长葛市期中）先去括号，再合并同类项 （1） （2） 【分析】（1）根据括号前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，根据合并同类项，可得答案； （2）根据括号前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，根据合并同类项，可得答案； 【解答】解：（1）； （2）． 【点评】本题考查了去括号与添括号，合并同类项，括号前是正号去掉括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号． 考点3.整式的化简求值 【例3】化简求值：a－2(a－b2)－(a＋b2)＋1，其中a＝2，b＝－. 解析：原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值． 解：原式＝a－2a＋b2－a－b2＋1＝－3a＋b2＋1，当a＝2，b＝－时，原式＝－3×2＋×(－)2＋1＝－6＋＋1＝－4. 方法总结：化简求值时，一般先将整式进行化简，当代入求值时，要适当添上括号，否则容易发生计算错误，同时还要注意代数式中同一字母必须用同一数值代替，代数式中原有的数字和运算符号都不改变． 【变式3-1】先化简，再求值：已知x＝－4，y＝，求5xy2－[3xy2－(4xy2－2x2y)]＋2x2y－xy2. 解析：原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 解：原式＝5xy2－3xy2＋4xy2－2x2y＋2x2y－xy2＝5xy2，当x＝－4，y＝时，原式＝5×(－4)×()2＝－5. 方法总结：解决本题是要注意去括号，去括号要注意顺序，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．负数代入求值时，要加上括号． 【变式3-2】（2023秋•襄城区期末）先化简，再求值：，其中，． 【分析】根据整式的加减混合运算法则把原式化简，代入计算即可． 【解答】解： 当，时， 原式． 【点评】本题考查的是整式的加减混合运算，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键． 【变式3-3】（2024•望城区一模）先化简，再求值：，其中，． 【分析】先去括号，再合并同类项，化简后将，的值代入即可． 【解答】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【点评】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握去括号，合并同类项的法则把所求式子化简． 考点4.整体思想在整式求值中应用 【例4】已知式子x2－4x＋1的值是3，求式子3x2－12x－1的值． 解析：若从已知条件出发先求出x的值，再代入计算，目前来说是不可能的．因此可把x2－4x看作一个整体，采用整体代入法，则问题可迎刃而解． 解：因为x2－4x＋1＝3，所以x2－4x＝2，所以3x2－12x－1＝3(x2－4x)－1＝3×2－1＝5. 方法总结：在整式的加减运算中，运用整体思想对某些问题进行整体处理，常常能化繁为简，解决一些目前无法解决的问题． 【变式4-1】．（2024春•道里区校级期中）【知识呈现】我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为 　 　；（用含、的式子表示） （2）若代数式的值为3，求代数式的值为 　　； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （3）已知，的值为最大的负整数，求的值． 【分析】（1）令“” ，则原式化为，然后合并同类项，最后将代入即可； （2）将变形为，然后整体代入求值即可； （3）由题意得出，结合即可得出，将变形为，然后代入求值即可． 【解答】解：（1）令“” ， 则 ， 故答案为：； （2）由题意得，， ， ， 故答案为：； （3）的值为最大的负整数， ①， ②， ①②，得， ． 【点评】本题考查了整体思想，合并同类项，负整数，理解题意，熟练掌握整体思想是解题的关键． 【变式4-2】．（2023秋•南召县期末）【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第117页的部分内容． 代数式的值为7，则代数式的值为_____． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，则有，，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为11，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，．求的值． 【分析】（1）读懂题意，利用整体代入思想，化简求值即可得到答案； （2）将代入，得到；再将代入化简求值，整体代入即可得到答案； （3）分析所求代数式与条件之间的关系，化简，代值求解即可得到答案． 【解答】解：（1）， ， ； （2）当时，， ， 当时：； （3），， ． 【点评】本题考查整式的化简求值，涉及整式运算、整体代入求值等知识，熟练掌握整式运算及整体代入思想是解决问题的关键． 【变式4-3】数学中，运用整体思想在求代数式的值时非常重要．例如：已知，则代数式，． 请根据以上材料解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若整式的值是8，求整式的值； (3)当时，多项式的值是5，求当时，多项式的值． 【答案】(1)9 (2)1 (3) 【分析】（1）将变形为，再整体代入，进行计算即可； （2）先由整式的值是8得到，再将变形为，整体代入，进行计算即可； （3）先根据当时，多项式的值是5求出，再将代入得，最后整体代入，进行计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：整式的值是8， ， ， ； （3）解：当时，多项式的值是5， ， ， 当时， ． 【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握整体代入的思想，准确进行计算是解此题的关键． 考点5.利用“无关”进行说理或求值 【例5】有这样一道题“当a＝2，b＝－2时，求多项式3a3b3－a2b＋b－(4a3b3－a2b－b2)＋(a3b3＋a2b)－2b2＋3的值”，马小虎做题时把a＝2错抄成a＝－2，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由． 解析：先通过去括号、合并同类项对多项式进行化简，然后代入a，b的值进行计算． 解：3a3b3－a2b＋b－(4a3b3－a2b－b2)＋(a3b3＋a2b)－2b2＋3＝(3－4＋1)a3b3＋(－＋＋)a2b＋(1－2)b2＋b＋3＝b－b2＋3.因为它不含有字母a，所以代数式的值与a的取值无关． 方法总结：解答此类题的思路就是把原式化简，得到一个不含指定字母的结果，便可说明该式与指定字母的取值无关． 【变式5-1】（2023秋•斗门区期末）（1）已知两个多项式、，，，求的值． （2）某位同学做一道题：已知两个多项式、，求的值．他误将看成，求得结果为，已知，求的正确答案． 【分析】（1）把，代入计算即可； （2）先根据，求出的表达式，再求出的值即可． 【解答】解：（1），， ； （2），， ， ， ． 【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键． 【变式5-2】．（2023秋•广州期末）（1）已知，．当，时，求的值． （2）是否存在数，使化简关于，的多项式的结果中不含项？若不存在，说明理由；若存在，求出的值． 【分析】（1）先利用整式加减运算法则化简，再把，看作一个整体，代入求值可得； （2）直接利用整式的加减运算法则合并同类项，进而得出，即可得出答案． 【解答】解：（1） ， 当，时， ； （2） ， 关于，的多项式化简后结果中不含项， ， 解得：． 【点评】本题考查整式的加减—化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式5-3】．（2023秋•雨湖区期末）（1）数学赵老师布置了一道数学题：已知，求整式的值，小涵观察后提出：“已知是多余的．”你认为小涵的说法对吗？请说明理由． （2）已知整式，整式与整式之差是． ①求整式； ②若是常数，且的值与无关，求的值． 【分析】（1）将原式去括号，合并同类项后即可得出答案； （2）①根据题意列式计算即可； ②根据题意列式计算后得到关于的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）小涵的说法对，理由如下： ， 即整式的值与的取值无关， 故小涵的说法对； （2）① ， 即整式为； ② ， 的值与无关， ， 解得． 【点评】本题考查整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式5-4】．（2024春•铁西区期中）【典例展示】 若关于，的代数式的值与无关，求的值． 解：原式 代数式的值与无关， ， ． 【理解应用】 已知，，且的值与无关，求的值； 【拓展延伸】 用6张长为，宽为的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系． 【分析】【理解应用】先计算可得到，根据题意可知项的系数为0，据此即可作答； 【拓展延伸】设，由图可知，，则，根据当的长度发生变化时，的值始终保持不变，所以的值与的值无关，即，则问题得解． 【解答】解：【理解应用】，， ， 的值与无关， ， ； （2）设， 由图可知，， 则 ， 当的长度发生变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 【点评】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． 考点6.整式加减的应用 【例6】某商店有一种商品每件成本a元，原来按成本增加b元定出售价，售出40件后，由于库存积压，调整为按售价的80%出售，又销售了60件． (1)销售100件这种商品的总售价为多少元？ (2)销售100件这种商品共盈利多少元？ 解析：(1)求出40件的售价与60件的售价即可确定出总售价； (2)由利润＝售价－成本列出关系式即可得到结果． 解：(1)根据题意得40(a＋b)＋60(a＋b)×80%＝88a＋88b(元)，则销售100件这种商品的总售价为(88a＋88b)元； (2)根据题意得88a＋88b－100a＝－12a＋88b(元)，则销售100件这种商品共盈利(－12a＋88b)元． 方法总结：解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则． 【变式6-1】如图，小红家装饰新家，小红为自己的房间选择了一款窗帘(阴影部分表示窗帘)，请你帮她计算： (1)窗户的面积是多大？ (2)窗帘的面积是多大？ (3)挂上这种窗帘后，窗户上还有多少面积可以射进阳光． 解析：(1)窗户的宽为b＋＋＝2b，长为a＋，根据长方形的面积计算方法求得答案即可； (2)窗帘的面积是2个半径为的圆的面积和一个直径为b的半圆的面积的和，相当于一个半径为的圆的面积； (3)利用窗户的面积减去窗帘的面积即可． 解：(1)窗户的面积是(b＋＋)(a＋)＝2b(a＋)＝2ab＋b2； (2)窗帘的面积是π()2＝πb2； (3)射进阳光的面积是2ab＋b2－πb2＝2ab＋(1－π)b2. 方法总结：解决问题的关键是看清图意，正确利用面积计算公式列式即可． 【变式6-2】做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm）: 长 宽 高 小纸盒 a b c 大纸盒 1.5a 2b 2c （1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？ （2）做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？ 解：（1）做这两个纸盒共用料（单位：cm2）（2ab+2bc+2ac）+（6ab+8bc+6ca）=8ab+10bc+8ac. （2）做大纸盒比做小纸盒多用料（单位：cm2）（6ab+8bc+6ca）-（2ab+2bc+2ca）=4ab+6bc+4ac. 【变式6-3】．（2023秋•成武县期末）已知三角形的第一条边的长是，第二条边长是第一条边长的2倍少3，第三条边比第二条边短5． （1）用含、的式子表示这个三角形的周长； （2）当，时，求这个三角形的周长； （3）当，三角形的周长为39时，求各边长． 【分析】（1）根据题意表示出三角形的周长即可； （2）把与的值代入计算即可求出值； （3）根据周长求出各边长即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）当，时，原式； （3）当时，，， 则第一条边为10，第二条边为17，第三条边为12． 【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式6-4】．（2023秋•社旗县期末）如图，为了方便学生停放自行车，学校建了一块长边靠墙的长方形停车场，其他三面用护栏围起，其中停车场的长为米，宽比长少米． （1）用含、的代数式表示护栏的总长度； （2）若，，每米护栏造价80元，求建此停车场所需护栏的费用． 【分析】（1）先求出停车场的宽，然后再求出护栏的长度即可； （2）把，代入求值即可． 【解答】解：（1）停车场的宽为：米， 护栏的长度为：米． （2）当，时， （元， 故建此停车场所需护栏的费用是19600元． 【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号法则，合并同类项法则． 考点7.整式加减的拓展创新题 【例7】（2024春•高新区期末）对于一个三位自然数，若它的百位数字比个位数字多6，十位数字比个位数字多1，则称为“儿童数”．如：三位数721，，，是“儿童数”． （1）请你写出一个“儿童数”　 　；除外） （2）将721按照如下程序运算：721交换百位数字和个位数字127，用大数721减去小数127得到差为594，差594不为两位数，594交换百位数字和个位数字495，用大数594减去小数495得到差为99，请你用（1）中所写“儿童数”按照程序计算结果； （3）设任意一个“儿童数”，百位数字为，十位数字为，个位数字为，按照（2）的程序列式计算，并提出进一步的猜想． 【分析】（1）根据“儿童数”的定义进行求解即可； （2）根据所给的程序，对（1）的数进行运算即可； （3）结合（2）中的程序进行运算即可． 【解答】解：832， ，， 是“儿童数”， 故答案为：832（答案不唯一）； （2）， ； （3）猜想：任意一个“儿童数”根据（2）中的程序运算，最后的结果为99． ， ， 故猜想成立． 【点评】本题主要考查整式的加减，代数式求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【变式7-1】（2023秋•北流市期末）我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”． （1）下列数对中，是“和积等数对”的是　 　　；（填序号） ①； ②，； ③，． （2）若是“和积等数对”，求的值； （3）若是“和积等数对”，求代数式的值． 【分析】（1）根据“和积等数对”的定义即可得到结论； （2）根据“和积等数对”的定义列方程即可得到结论； （3）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值． 【解答】解：（1）， 数对是“和积等数对”， ， ，不是“和积等数对”， ， 数对，是“和积等数对”， 故答案为：①③； （2）是“和积等数对”， ， 解得：； （3） ， 是“和积等数对” ， 原式 ． 【点评】本题属于新定义内容，考查解一元一次方程，整式的加减—化简求值，理解“积差等数对”的定义，掌握解一元一次方程的步骤以及合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键． 【变式7-2】（2023秋•章贡区期末）给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数，为“相伴有理数对”，记为． 如：，，所以数对，都是“相伴有理数对”． （1）数对，，中，是“相伴有理数对”的是 　 　； （2）若是“相伴有理数对”，则的值是 　　 ； （3）若是“相伴有理数对”，求的值． 【分析】（1）根据题意，分别将，和，代入中即可求解； （2）将，代入中即可求解； （3）先将进行化简，再将变形后整体代入即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得： 当，时， ， ， 则， 所以不是“相伴有理数对”， 当，时， ， ， 则， 所以，是“相伴有理数对”， 所以数对，，中，是“相伴有理数对”的是，， 故答案为：，； （2）是“相伴有理数对”， ， 解得， 故答案为：； （3） ， ， 原式 ． 【点评】本题主要考查了整式的化简求值和有理数的混合运算，理解题意掌握去括号法则和合并同类项法则以及有理数的混合运算法则是解题的关键，应用了整体代入的数学思想． 【变式7-3】（2023秋•播州区期末）对于一个各数位上的数字均不为0的三位数，若它百位上的数字比十位上的数字大为正整数），十位上的数字比个位上的数字大，则称这个三位数为关于的“递差数”． 例如：三位数531，因为，，所以531是关于2的“递差数” 三位数987，因为，，所以987是关于1的“递差数” （1）判断三位数741是否为的“递差数”，若是，求出的值；若不是，请说明理由． （2）若有一个三位数是关于的“递差数”，其百位上的数字为，将其个位上的数字和百位上的数字交换，得到一个新的三位数，求原三位数与新三位数的和．（用含，的整式表示）． （3）若（2）中求得的和能被5整除，直接写出满足条件的关于的“递差数”． 【分析】（1）据新定义，三位数741，，，符合新定义， （2）写出原来的三位数，交换后的三位数，原三位数和新三位数之和，化简即可． （3）的取值1，2，3，4，5，6，7，8，9，其中是正整数，所以，逐个进行判断． 【解答】解：（1）根据新定义，三位数741， ，， 符合新定义，故741是关于3的“递差数”． 故为3． （2）原来的三位数： ． 交换后的三位数： ． 原三位数和新三位数之和： ． 答：原三位数和新三位数之和． （3）的取值1，2，3，4，5，6，7，8，9，其中是正整数，所以． ①当时， ，不符合题意． ②当时， ，不符合题意． ③当时， ，不符合题意． ④当时， ，当时，，符合题意． ⑤当时， ，当时，，符合题意． ⑥当时， ，当时，，符合题意． ⑦当时， ，当时，，符合题意． 答：综上所述： 当，时，递差数为654． 当，时，递差数为753． 当，时，递差数为852． 当，时，递差数为951． 【点评】本题考查了整式的加减以及乘除的概念结合的新定义问题，解决新定义题关键在于结合题意理清题意． 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•青龙县期末）化简正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．顺序为先大后小． 2．（2024•临夏州一模）如图，长方形的长是，宽是，则长方形的周长是　　 A． B． C． D． 【分析】直接根据长方形的周长公式进行解答即可． 【解答】解：长方形的长是，宽是， 长方形的周长． 故选：． 【点评】本题考查的是整式的加减及长方形的周长，熟知长方形的周长（长宽）是解答此题的关键． 3．（2023秋•玄武区校级期末）下列去括号所得结果正确的是 A． B． C． D． 【分析】根据去括号法则逐项进行判断即可． 【解答】解：．，因此选项不符合题意； ．，因此选项不符合题意； ．，因此选项符合题意； ．，因此选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查去括号，掌握去括号法则是正确解答的关键． 4．（2023秋•游仙区期末）若，则的值是　　 A． B．2 C．4 D． 【分析】直接利用合并同类项法则计算，再把已知数据代入得出答案． 【解答】解：， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了整式的加减化简求值，正确合并同类项是解题关键． 5．（2023秋•仙居县期末）若，，则　　 A．3 B．6 C． D． 【分析】先去括号，再合并同类项即可得到答案 【解答】解：，， ， 故选：． 【点评】本题考查整式加减运算，熟练掌握整式加减运算法则求解是解决问题的关键． 二．填空题（共7小题） 6．（2024•凉州区二模）多项式与相加后，不含二次项，则常数的值是 　　． 【分析】直接利用整式的加减运算法则合并，进而得出二次项系数为零，进而得出答案． 【解答】解：多项式与相加后，不含二次项， ， ， 解得：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． 7．（2023秋•炎陵县期末）去括号，合并同类项得：　1　． 【分析】将原式去括号后合并同类项即可． 【解答】解：原式， 故答案为：1． 【点评】本题考查整式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 8．（2023秋•曾都区期末）去括号应得　　． 【分析】直接利用去括号法则计算得出答案． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了去括号法则，正确去括号是解题关键． 9．（2023秋•阳新县期末）已知，，且满足，则　　． 【分析】根据绝对值的意义及，可得，的值，再根据有理数的减法法则，可得答案． 【解答】解：丨，， ，， 而， 时，；时，， 当，时，原式； 当，时，原式； 故． 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的混合运算、合并同类项以及去括号法则，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键． 10．（2024春•靖江市校级月考）化简：　　． 【分析】先去括号，再合并同类项即可得出答案． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的加减，先去括号，再合并同类项即可得出答案，熟练掌握整式的加减运算法则是解此题的关键． 11．（2023秋•高安市期末）已知，，则的值为 　6048　． 【分析】去括号，合并同类项后，利用整体代入法，求值即可． 【解答】解：，， ． 故答案为：6048． 【点评】本题考查代数式求值，掌握去括号，合并同类项法则是解决此题的关键． 12．（2024春•龙华区校级月考）多项式化简后不含项，则的值为 　　． 【分析】根据整式的加减运算法则将原式化简，然后根据化简后不含项，可知的系数为0即可得出答案． 【解答】解： ， 多项式化简后不含项， ， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 13．（2023秋•孝昌县期末）化简： （1）； （2）． 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查了整式的加减，整式加减的实质就是去括号、合并同类项．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 14．（2023秋•镇海区期末）先化简，再求值：，其中，． 【分析】先利用去括号法则、合并同类项法则化简整式，再代入求值． 【解答】解：， ． 当，时， 原式 ． 【点评】本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则是解决本题的关键． 15．（2023秋•青羊区校级期末）已知，． （1）求． （2）若的值与的取值无关，求的值． 【分析】（1）把已知条件中的，代入，利用去括号法则和合并同类项法则进行化简即可； （2）先把（1）中得到的写成，根据的值与的取值无关，列出关于的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）原式，， ； （2）由（1）得： 的值与的取值无关， ， 解得：． 【点评】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 16．（2023秋•同安区期末）下列四组整式组，将每组中的整式相加，再观察每组结果具有的共同特征． 第一组：，； 第二组：，； 第三组：，； 第四组：，，． （1）写出上述每组整式之和的共同特征：　所有单项式的系数和为0　，若满足此特征的整式组称为“系整式组”，则，，这一组整式组 　　（填“能”或“不能” 构成“系整式组”； （2）在（1）的条件下，若与，构成“系整式组”， ，为常数．探究与的数量关系，请写出结论，并说明理由． 【分析】（1）先根据整式的加减计算法则计算出每组的和，观察可得特征；再借助该特征判断是否能构成即可； （2）先根据整式的加减计算法则计算出结果，再借助特征得出与的数量关系． 【解答】解：（1）①四组整式之和分别为，，，， 这四组整式之和的共同特征是所有单项式的系数和为0； ② ， ， 不能构成“0系整式组”， 故答案为：所有单项式的系数和为0，不能； （2），理由如下： ， 根据题意得，即． 【点评】本题主要考查了新定义题型，根据整式的加减法则计算推理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 整式的加减（2个知识点+7个考点+易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握去括号法则,能准确地去括号 2.会通过去括号、合并同类项将整式化简 3.能进行简单的整式加法和减法运算: 4.会运用整式加减解决简单的实际问题 知识点1.去括号（难点） 去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 要点归纳： (1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘． （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号． (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号． （4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 知识点2.整式的加减（重点） 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 要点归纳： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来． (3)整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 易错点1.去括号时出现错误 去括号时,括号前面是“_”号时,常忘记改变括号内每一项的符号,出现错误;或者括号前有数字因数,去括号时没把数字因数与括号内的每一项相乘出现漏乘现象,只有严格按照去括号法则运算,才可能避免上述错误 易错点2.进行整式加减时忽略括号的作用 在多项式加法运算中，整式可以不加括号,在多项式减法运算中,被减式可以不加括号，但减式必须加上括号 考点1.去括号 【例1】下列去括号正确吗？如有错误，请改正． (1)＋(－a－b)＝a－b； (2)5x－(2x－1)－xy＝5x－2x＋1＋xy； (3)3xy－2(xy－y)＝3xy－2xy－2y； (4)(a＋b)－3(2a－3b)＝a＋b－6a＋3b. 【变式1-1】（2024•翔安区二模）去括号的结果是　　 A． B． C． D． 【变式1-2】（2024•凉州区二模）下列去括号正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1-3】去掉下列各式中的括号： (1). 8m-(3n+5)； (2). n-4(3-2m)；(3). 2(a-2b)-3(2m-n). 考点2.去括号后进行整式的化简 【例2】先去括号，后合并同类项： (1)x＋[－x－2(x－2y)]； (2)a－(a＋b2)＋3(－a＋b2)； (3)2a－(5a－3b)＋3(2a－b)； (4)－3{－3[－3(2x＋x2)－3(x－x2)－3]}． 【变式2-1】（2023秋·全国·七年级课堂例题）化简： （1） ； （2） ． 【变式2-2】化简：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)． 【变式2-3】（2023秋•长葛市期中）先去括号，再合并同类项 （1） （2） 考点3.整式的化简求值 【例3】化简求值：a－2(a－b2)－(a＋b2)＋1，其中a＝2，b＝－. 【变式3-1】先化简，再求值：已知x＝－4，y＝，求5xy2－[3xy2－(4xy2－2x2y)]＋2x2y－xy2. 【变式3-2】（2023秋•襄城区期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式3-3】（2024•望城区一模）先化简，再求值：，其中，． 考点4.整体思想在整式求值中应用 【例4】已知式子x2－4x＋1的值是3，求式子3x2－12x－1的值． 【变式4-1】．（2024春•道里区校级期中）【知识呈现】我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为 　 　；（用含、的式子表示） （2）若代数式的值为3，求代数式的值为 　　； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （3）已知，的值为最大的负整数，求的值． 【变式4-2】．（2023秋•南召县期末）【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第117页的部分内容． 代数式的值为7，则代数式的值为_____． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，则有，，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为11，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，．求的值． 【变式4-3】数学中，运用整体思想在求代数式的值时非常重要．例如：已知，则代数式，． 请根据以上材料解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若整式的值是8，求整式的值； (3)当时，多项式的值是5，求当时，多项式的值． 考点5.利用“无关”进行说理或求值 【例5】有这样一道题“当a＝2，b＝－2时，求多项式3a3b3－a2b＋b－(4a3b3－a2b－b2)＋(a3b3＋a2b)－2b2＋3的值”，马小虎做题时把a＝2错抄成a＝－2，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由． 【变式5-1】（2023秋•斗门区期末）（1）已知两个多项式、，，，求的值． （2）某位同学做一道题：已知两个多项式、，求的值．他误将看成，求得结果为，已知，求的正确答案． 【变式5-2】．（2023秋•广州期末）（1）已知，．当，时，求的值． （2）是否存在数，使化简关于，的多项式的结果中不含项？若不存在，说明理由；若存在，求出的值． 【变式5-3】．（2023秋•雨湖区期末）（1）数学赵老师布置了一道数学题：已知，求整式的值，小涵观察后提出：“已知是多余的．”你认为小涵的说法对吗？请说明理由． （2）已知整式，整式与整式之差是． ①求整式； ②若是常数，且的值与无关，求的值． 【变式5-4】．（2024春•铁西区期中）【典例展示】 若关于，的代数式的值与无关，求的值． 解：原式 代数式的值与无关， ， ． 【理解应用】 已知，，且的值与无关，求的值； 【拓展延伸】 用6张长为，宽为的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系． 考点6.整式加减的应用 【例6】某商店有一种商品每件成本a元，原来按成本增加b元定出售价，售出40件后，由于库存积压，调整为按售价的80%出售，又销售了60件． (1)销售100件这种商品的总售价为多少元？ (2)销售100件这种商品共盈利多少元？ 【变式6-1】如图，小红家装饰新家，小红为自己的房间选择了一款窗帘(阴影部分表示窗帘)，请你帮她计算： (1)窗户的面积是多大？ (2)窗帘的面积是多大？ (3)挂上这种窗帘后，窗户上还有多少面积可以射进阳光． 【变式6-2】做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm）: 长 宽 高 小纸盒 a b c 大纸盒 1.5a 2b 2c （1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？ （2）做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？ 【变式6-3】．（2023秋•成武县期末）已知三角形的第一条边的长是，第二条边长是第一条边长的2倍少3，第三条边比第二条边短5． （1）用含、的式子表示这个三角形的周长； （2）当，时，求这个三角形的周长； （3）当，三角形的周长为39时，求各边长． 【变式6-4】．（2023秋•社旗县期末）如图，为了方便学生停放自行车，学校建了一块长边靠墙的长方形停车场，其他三面用护栏围起，其中停车场的长为米，宽比长少米． （1）用含、的代数式表示护栏的总长度； （2）若，，每米护栏造价80元，求建此停车场所需护栏的费用． 考点7.整式加减的拓展创新题 【例7】（2024春•高新区期末）对于一个三位自然数，若它的百位数字比个位数字多6，十位数字比个位数字多1，则称为“儿童数”．如：三位数721，，，是“儿童数”． （1）请你写出一个“儿童数”　 　；除外） （2）将721按照如下程序运算：721交换百位数字和个位数字127，用大数721减去小数127得到差为594，差594不为两位数，594交换百位数字和个位数字495，用大数594减去小数495得到差为99，请你用（1）中所写“儿童数”按照程序计算结果； （3）设任意一个“儿童数”，百位数字为，十位数字为，个位数字为，按照（2）的程序列式计算，并提出进一步的猜想． 【变式7-1】（2023秋•北流市期末）我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”． （1）下列数对中，是“和积等数对”的是　 　　；（填序号） ①； ②，； ③，． （2）若是“和积等数对”，求的值； （3）若是“和积等数对”，求代数式的值． 【变式7-2】（2023秋•章贡区期末）给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数，为“相伴有理数对”，记为． 如：，，所以数对，都是“相伴有理数对”． （1）数对，，中，是“相伴有理数对”的是 　 　； （2）若是“相伴有理数对”，则的值是 　　 ； （3）若是“相伴有理数对”，求的值． 【变式7-3】（2023秋•播州区期末）对于一个各数位上的数字均不为0的三位数，若它百位上的数字比十位上的数字大为正整数），十位上的数字比个位上的数字大，则称这个三位数为关于的“递差数”． 例如：三位数531，因为，，所以531是关于2的“递差数” 三位数987，因为，，所以987是关于1的“递差数” （1）判断三位数741是否为的“递差数”，若是，求出的值；若不是，请说明理由． （2）若有一个三位数是关于的“递差数”，其百位上的数字为，将其个位上的数字和百位上的数字交换，得到一个新的三位数，求原三位数与新三位数的和．（用含，的整式表示）． （3）若（2）中求得的和能被5整除，直接写出满足条件的关于的“递差数”． 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•青龙县期末）化简正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•临夏州一模）如图，长方形的长是，宽是，则长方形的周长是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•玄武区校级期末）下列去括号所得结果正确的是 A． B． C． D． 4．（2023秋•游仙区期末）若，则的值是　　 A． B．2 C．4 D． 5．（2023秋•仙居县期末）若，，则　　 A．3 B．6 C． D． 二．填空题（共7小题） 6．（2024•凉州区二模）多项式与相加后，不含二次项，则常数的值是 　　． 7．（2023秋•炎陵县期末）去括号，合并同类项得：　　． 8．（2023秋•曾都区期末）去括号应得　　． 9．（2023秋•阳新县期末）已知，，且满足，则　　． 10．（2024春•靖江市校级月考）化简：　　． 11．（2023秋•高安市期末）已知，，则的值为 　　． 12．（2024春•龙华区校级月考）多项式化简后不含项，则的值为 　　． 三．解答题（共5小题） 13．（2023秋•孝昌县期末）化简： （1）； （2）． 14．（2023秋•镇海区期末）先化简，再求值：，其中，． 15．（2023秋•青羊区校级期末）已知，． （1）求． （2）若的值与的取值无关，求的值． 16．（2023秋•同安区期末）下列四组整式组，将每组中的整式相加，再观察每组结果具有的共同特征． 第一组：，； 第二组：，； 第三组：，； 第四组：，，． （1）写出上述每组整式之和的共同特征：　　，若满足此特征的整式组称为“系整式组”，则，，这一组整式组 　　（填“能”或“不能” 构成“系整式组”； （2）在（1）的条件下，若与，构成“系整式组”， ，为常数．探究与的数量关系，请写出结论，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$