1.2 一元二次方程的解法（第1课时 直接开平方法）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

1.2　一元二次方程的解法（1） 第1课时　直接开平方法 学习目标 1．能根据平方根的意义理解直接开平方法的含义； 2．会用直接开平方法解形如 (x＋h)2＝k (h、k为常数，k≥0)的方程. 2 知识回顾 什么叫做平方根? 平方根有哪些性质？ 问题情境 问题 正方形桌面的面积是2m2，你能求出正方形桌面的边长吗？ 如何解方程x2＝2呢？ 设正方形桌面的边长是xm，该桌面的边长与面积之间的数量关系为_________. x2＝2 4 问题情境 对于一元二次方程x2＝2， 根据平方根的意义，x是2的 平方根，即x= 5 问题情境 这样，一元二次方程x2＝2就转化为两个一元一次方程了. 6 尝试与交流 根据平方根的意义，你能解方程x2＝4吗？ 解： ∵x是4的平方根， ∴x＝±2. 即此一元二次方程的解(或根)为： x1=2，x2 =－2 我们常用x1、x2来表示未知数为x的一元二次方程的两个根. 7 获取新知 直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法． 例题讲解 (1) x2-4=0 (2) 4x2-1=0 解：移项，得：x2=4. ∵x是4的平方根， ∴x=±2， 即x1=2，x2=-2. 移项，得：4x2=1. ∵x是的平方根 ∴x=± 即x1= ，x2=- 两边都除以4，得： x2=. 例1 解下列方程： 新知巩固 1. 解下列方程： (1) x2 =16； (2) x2 -0.81=0； (3) y2 -144=0； (4) 9x2 =4. x1=4，x2=-4 x1=0.9，x2=-0.9 y1=12，y2=-12 x1=，x2=- 新知巩固 2. 若一个正方形的面积为2，则其边长为多少？周长呢？ 解： 设这个正方形的边长是x. 由题意，得x2=2， 解这个方程，得x1=，x2=-（不合题意，舍去） 这个正方形的周长为4. 答： 这个正方形的边长为，周长为4. 讨论与交流 方程x2=0， x2=-1有解吗？如果有，你能求出他们的解吗？ 解：根据平方根的意义,方程x2=0的解为x1=x2=0. 因为负数没有平方根，所以x2=-1无解. 12 归纳总结 (2)当p=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0； (3)当p<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程无实数根. 一般的，对于方程 x2 = p . (1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根x1=， x2=； 13 ( x+1 )2=2 例2 解方程： 只要把(x+1)看成是一个整体，就可以用直接开平方法求解. 解：∵ (x+1)是2的平方根， ∴ x+1 =±， ∴ x=-1±， 即x1=-1+ ，x2=-1- . 形如(x＋h)2＝k (h、k为常数，k≥0)的一元二次方程，可以用直接开平方法求解. 例题讲解 14 变式 解方程： 12( 2-x )2 -3=0 解：移项，得12(2-x)2=3 两边都除以12，得 (2-x)2 = 例题讲解 左边化为完全平方式，右边化为常数 ∵2-x是的平方根 ∴2-x=± 即x1= ，x2= 15 新知巩固 1. 解下列方程： (1) (x－1)2=4； (2) (x+2)2=3； (3) (x－4)2－25=0； (4) (2x+3)2－5=0. x1=3，x2=-1 x1=-2+，x2=-2- x1=9，x2=-1 x1=，x2= 16 新知巩固 (1) 2(x-1)2－5=0； 2. 解下列方程： x1=，x2= (2) (2y+3)2－16=0. y1=，y2= 17 讨论与交流 问题1 用直接开平方法解一元二次方程的主要步骤是什么？ 第一步：将方程化为(x+h)2=k(k≥0)的形式； 第二步：用平方根的意义求解. (x+h)2=k(k≥0) x+h= 变形 一元二次方程 两个一元一次方程 转化 降次 18 讨论与交流 问题2 任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？ 请举例说明. 解：不是，直接开平方法主要适用于没有一次项的一元二次方程. 如：x2+x=0. 19 讨论与交流 问题3 直接开平方法适用哪些类型的一元二次方程？ 适用类型 方程的解 x2 = p ( p≥0) x1=， x2= (x＋h)2＝k (h、k为常数，k≥0) x1=-h+，x2=-h- (ax＋b)2＝n (a、b、n为常数，a≠0、n≥0) x1=，x2= 20 思维提升 解方程： ( 2x-1 )2=( x-2 )2 把(2x-1)看成是(x-2)2的平方根，同样可以用直接开平方法求解. 解：2x-1= 即x1=-1，x2=1 即 2x-1=±(x-2) ∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2 21 直接开平方法的概念 直接开平方法的一般步骤 直接开平方法适用的类型 课堂总结 1. 方程x2－9＝0的解是 (　　) A. x＝3   B. x＝－3   C. x＝±9   D. x1＝3，x2＝－3 当堂检测 基础过关 D 2. 由平方根的定义，可将一元二次方程(x－1)2＝9转化为一元一次方程，正确的结果是 (　　) A. x－1＝3 B. x－1＝－3 C. x－1＝3或x－1＝－3 D. x－1＝3且x－1＝－3 C 23 当堂检测 基础过关 3. 方程2x2＝12的根为_______________________⁠； 方程(x＋1)2＝9的根为____　x1＝2，x2＝－4　⁠.  x1＝，x2＝－　 x1＝2，x2＝－4 4. 当x取____________时，代数式x2-5的值是2. ±　 24 当堂检测 基础过关 5. 用直接开平方法解下列方程： （1） ＝0； x1＝x2＝－ （2） (x－5)2－16＝0； x1＝－4＋5，x2＝4＋5 25 当堂检测 基础过关 6.一个球的表面积为100πcm2，求这个球的半径. (球的表面积S=4πR2，其中R为球的半径). 解：由题意得： 4πR2 =100π， 化简，得R2 =25， ∵R 取正值，∴R=5cm. 答：这个球的半径5cm. 26 当堂检测 A. x2=-2，解方程，得x=± D. (2x+3)2=25，解方程，得2x+3=±5； x1= 1，x2=-4 1. 下列解方程的过程中，正确的是( ) B. (x-2)2=4，解方程，得x-2=2，x=4 C. 4(x-1)2=9，解方程，得4(x-1)= ±3； x1=， x2= D 综合提升 27 当堂检测 综合提升 2. 下列方程能用直接开平方求解的是 (　　) A. 5x2+2=0 B. 4x2-2x+1=0 C. (x-2)2=4 D. 3x2+4=2 C 28 当堂检测 综合提升 3. 如果关于x的方程(x－9)2＝m＋3可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是 ( ) D A. m＞0 B. m≥0 C. m＞－3 D. m≥－3 29 当堂检测 综合提升 C 5. 若 <m></m> ，则 <m></m> ___. 3 4.用直接开平方的方法解方程(2x－1)2＝x2正确的是(　　) A.2x－1＝x B.2x－1＝－x C.2x－1＝±x D.2x－1＝±x2 30 当堂检测 综合提升 6.用直接开平方法解下列方程： (1)(3x－1)2＝1.96； x1＝，x2＝－ (2)2(x＋3)2－4＝0； x1＝－3＋，x2＝－3－. 31 当堂检测 综合提升 7.已知一个三角形其中两边的长分别为3和6，第三边的长是一元二次方程(x-5)2-4=0的根，试求该三角形的周长. 解：解方程(x-5)2-4=0得x1＝3，x2＝7. 根据三角形的三边关系，知3、6、3不能构成三角形，3、6、7能构成三角形， 故该三角形的周长为3+6+7=16. <m> 32 2021 Blues 4800.0 $$