第08讲 等边三角形的性质与判定【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第08讲 等边三角形的性质与判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1．掌握等边三角形的判定方法； 2．掌握等边三角形的性质； 3、掌握等边三角形与等腰三角形的区别与联系； 等边三角形 （1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3） 判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4） 推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 总结： 图形 等腰三角形 等边三角形 性  质 两条边都相等 三条边都相等 两个角都相等 三个角都相等，且都是60º 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合   每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 对称轴（1条） 对称轴（3条） 1 等腰三角形和等边三角形对比 ② 等腰三角形和等边三角形的判定 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是，面积是. 教材习题01 如图，AD，BE 是等边三角形 ABC 的两条角平分线，AD，BE 相交于点 O. 求∠AOB 的度数. 解题方法 求∠AOB的度数，根据题意，只要知道ΔAOB中∠ABO和∠BAO的度数，用三角形内角和等于180°的知识就可以计算要求的度数 【答案】 解：∵ΔABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠ABC=60° 又∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC ∴∠BAO=∠ABO= ×60°=30° ∴∠AOB=180°－∠BAO－∠ABO=180°－30°－30°=120° 考点一：等边三角形的判定 例1．若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，则这个三角形一定是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 变式1-1．满足下列条件的三角形中，不一定是等边三角形的是（　　　） A．有两个内角是的三角形 B．有两边相等且是轴对称图形的三角形 C．有一个内角是且有两边相等的三角形 D．三边都相等的三角形 变式1-2．已知，，是的三边长，满足，据此判断的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 考点二：等边三角形的性质 例2．如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 变式2-1．如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（    ） ①；②； A．① B．② C．①② D．都错 变式2-2．如图，直线，等边的顶点C在直线b上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点三：等边三角形的性质与判定 例3．如图，和均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD，CE交于点M，N．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3-1．如图，和均是等边三角形，分别与交于点，交于点，有如下结论：①；②；③；④． 其中，正确结论的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 变式3-2．如图，在边长为12的等边中，点E在边上自A向C运动点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接，交于P，连接，在运动过程中，线段扫过的面积为 ． 考点四：等边三角形的探究综合题 例4．以的边为边向外分别作等边、等边，连接，与交于O，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)请问线段与线段之间有什么数量关系？请说明理由． 变式4-1．某学习小组遇到了如下的数学题目： “在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由．”学习小组进行了如下探究： (1)特殊情况，探索结论： 当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论： （填“”“”或“”）； (2)特例启发，解答题目： 当点不是边的中点时，如图，可过点作，交于点，构造等边三角形和全等三角形，通过转化思想解决问题．请你判断与的大小关系，并完成解答过程； (3)总结方法，解决新题： 在等边中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为，，直接写出的长． 1．在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在等边中，点D在平面内，，，则的最大值为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，、是等边的边和边上的点，，与相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线，等边三角形的顶点C在直线b上，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，等边的顶点分别在直线上，且，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．如图，均是等边三角形，A，C，B三点在同一条直线上，分别与交于点M，N，连接，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④．其中结论正确的序号有（    ） A．③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 7．在中，，要使是等边三角形需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 8．如图，在中，，，分别是，的中垂线，，则 ． 9．如图，已知在等边中，，点E、F分别在边、上，将沿翻折，点A正好落在边上的点D处，如果的周长比的周长小，那么 ． 10．如图，等边三角形中，D、E分别在边上，且与交于点于点．下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中正确的结论是 ． 11．如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始，以为边长画正三角形，记为第1个正三角形；以为边长画正三角形，记为第2个正三角形；以为边长画正三角形，记为第3个正三角形；以为边长画正三角形，记为第4个正三角形，…按此规律，继续画正三角形，则第n个正三角形的面积为 ．    12．如图所示，在 中， ，点分别在上，且 与交于点 F． (1)求证： 是等边三角形； (2)求证： (3)求 的大小． 13．如图交于点．求证：是等边三角形 15．如图，点E在的外部，点D在上，交于点F，，，． (1)求证：． (2)若，猜想的形状并证明． 16．已知为等边三角形，，为上一点，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，在上取点，使，连接，，求证：； (3)如图3，已知，为射线上一点，连接，，，连接，若的面积为，的面积为，的面积为，求证： 17．【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． 【模型应用】 （2）如图，，，求证：； （3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ． 【拓展提高】 （4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 等边三角形的性质与判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1．掌握等边三角形的判定方法； 2．掌握等边三角形的性质； 3、掌握等边三角形与等腰三角形的区别与联系； 等边三角形 （1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3） 判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4） 推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 总结： 图形 等腰三角形 等边三角形 性  质 两条边都相等 三条边都相等 两个角都相等 三个角都相等，且都是60º 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合   每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 对称轴（1条） 对称轴（3条） 1 等腰三角形和等边三角形对比 ② 等腰三角形和等边三角形的判定 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是，面积是. 教材习题01 如图，AD，BE 是等边三角形 ABC 的两条角平分线，AD，BE 相交于点 O. 求∠AOB 的度数. 解题方法 求∠AOB的度数，根据题意，只要知道ΔAOB中∠ABO和∠BAO的度数，用三角形内角和等于180°的知识就可以计算要求的度数 【答案】 解：∵ΔABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠ABC=60° 又∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC ∴∠BAO=∠ABO= ×60°=30° ∴∠AOB=180°－∠BAO－∠ABO=180°－30°－30°=120° 考点一：等边三角形的判定 例1．若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，则这个三角形一定是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：∵一个三角形有两条边相等， ∴这个三角形是等腰三角形， 又∵这个三角形有一个内角为， ∴这个三角形一定为等边三角形. 故选：A ． 变式1-1．满足下列条件的三角形中，不一定是等边三角形的是（　　　） A．有两个内角是的三角形 B．有两边相等且是轴对称图形的三角形 C．有一个内角是且有两边相等的三角形 D．三边都相等的三角形 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定定理． 【详解】解：A、有两个内角是的三角形是等边三角形，不符合题意； B、有两边相等且是轴对称图形的三角形是等腰三角形，符合题意； C、有一个内角是且有两边相等的三角形是等边三角形，不符合题意； D、三边都相等的三角形是等边三角形，不符合题意； 故选：B． 变式1-2．已知，，是的三边长，满足，据此判断的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】将，进行因式分解，根据平方的非负性，即可得到，根据等边三角形的判定，即可求解； 本题考查了因式分解，平方的非负性，等边三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握因式分解． 【详解】解：∵ ∴，即：， ∴，且，即：，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：． 考点二：等边三角形的性质 例2．如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键．根据等边三角形性质得，再根据三角形外角定理得，则，然后根据平行线的性质得，据此可得的度数． 【详解】解：如下图所示： 为等边三角形， ， 是的一个外角，， ， ， ， 直线， ， ． 故选：C 变式2-1．如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（    ） ①；②； A．① B．② C．①② D．都错 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．由“”可证，根据全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可求． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， 故①②正确，符合题意； 故选：C 变式2-2．如图，直线，等边的顶点C在直线b上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边得，根据对等角相等，得，结合，得，解答即可． 本题考查了对等角相等，等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角性质，熟练掌握平行线性质，三角形外角性质是解题的关键． 【详解】∵是等边三角形， ∴， ∵对顶角相等，， ∴， ∵， ∴， 故选A． 考点三：等边三角形的性质与判定 例3．如图，和均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD，CE交于点M，N．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明，． 根据证明即可判断①正确；根据平行线的性质证明即可判断②正确；证明，得出，即可判断④正确；根据，，得出，根据，得出，即可判断③错误；根据，，求出为等边三角形，得出，即可判断⑤错误． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵A、C、B三点共线，， ∴，故②正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，故④正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵，， ∴为等边三角形， ∴，故⑤错误； 综上分析可知，正确的有3个． 故选：C． 变式3-1．如图，和均是等边三角形，分别与交于点，交于点，有如下结论：①；②；③；④． 其中，正确结论的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，角平分线性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据等边三角形的性质，角平分线性质，全等三角形的性质和判定逐一证明即可得到答案． 【详解】解： 和均是等边三角形， ， ， 在，中， ， ，故①正确； ， 在，中， ， ∴， ，故②正确； ， 在中．， ，故③错误； ， ， ∵ ∴，故④正确． 综上所述，正确结论的个数是3个． 故选：A． 变式3-2．如图，在边长为12的等边中，点E在边上自A向C运动点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接，交于P，连接，在运动过程中，线段扫过的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积，解直角三角形，动点P的运动轨迹等知识，如图，过点A作于A，作于B，连接，交于D，证明，得，再证明，可得，确定点P的运动路径是以点O为圆心，以为半径的弧，利用面积差可得线段扫过的面积，确定点P的运动轨迹是解本题的关键． 【详解】过点A作于A，作于B，两线交于点O，连接，交于D， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线，， 在中，， ∴， ∴， ∵点E在边上自A向C运动，点F在边上自C向B运动，且运动速度相同， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P的运动路径是以点O为圆心，以为半径的弧， ∴线段扫过的面积 ， 故答案为：． 考点四：等边三角形的探究综合题 例4．以的边为边向外分别作等边、等边，连接，与交于O，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)请问线段与线段之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、三角形内角和综合： （1）根据等边三角形的性质得 ， ，再利用证得，进而可求证结论； （2）过点分别作，，由（1）知：，，，进而可证，再根据角平分线的判定即可求证结论； （3）在上截取一点，使得，由（1）知：，可得，进而可得，则可得，由（2）知：，则可得是等边三角形，再利用可得，进而可得，根据即可求解； 熟练掌握相关的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ． （2）证明：过点分别作，，如图： 由（1）知：， ，， ， ， 点在的平分线上，即平分． （3），理由如下： 在上截取一点，使得，如图： 由（1）知：， ， ， ， 由（2）知：， ， 是等边三角形， ， ， ， 又， ， ， ． 变式4-1．某学习小组遇到了如下的数学题目： “在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由．”学习小组进行了如下探究： (1)特殊情况，探索结论： 当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论： （填“”“”或“”）； (2)特例启发，解答题目： 当点不是边的中点时，如图，可过点作，交于点，构造等边三角形和全等三角形，通过转化思想解决问题．请你判断与的大小关系，并完成解答过程； (3)总结方法，解决新题： 在等边中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为，，直接写出的长． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）根据等边三角形的性质可得，，进而得出，即可得出，进而等量代换即可得证； （2）过点 作 交于点 ，证明 是等边三角形，则，进而证明，根据得出则，即可证明，得出，等量代换，即可得证； （3）分为两种情况，当在的延长线上时，过点作，交的延长线于点， 证明，得出，进而根据即可求解；当在的延长线上时，过点作交的延长线于点，同理可得结论． 【详解】（1）解：∵在等边中，为的中点， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ （2）证明 过点 作 交于点 等边 ， ， 是等边三角形 又 ， ， ， 在 和 中                                                    ， ， ， （3）解：分为两种情况： ①当在的延长线上时，过点作，交的延长线于点， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴ ∴，，则为等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴; ②如图，当在的延长线上时，过点作交的延长线于点 同理可得 ∴ 综上，或 1．在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，等边对等角，掌握等边三角形的定义是解题关键．根据选项所给条件逐一判断即可． 【详解】解：A、，则，为等边三角形，不符合题意； B、，若不是的中点时，则不是等边三角形，符合题意； C、，为等边三角形，不符合题意； D、，则，为等边三角形，不符合题意； 故选：B． 2．如图，在等边中，点D在平面内，，，则的最大值为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 以为边作等边三角形，证明得，根据三角形三边的关系求出的最大值即可求解． 【详解】如图，以为边作等边三角形，则，．    ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∵， ∴当点E，D，C三点共线时，有最大值，即的长度为5． ∴的最大值是5． 故选：B． 3．如图，、是等边的边和边上的点，，与相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的外角与内角的关系，根据条件先可以得出，由全等三角形的性质就可以得出．由，就可以得出． 【详解】解：是等边三角形， ，． 在和中， ， ， ． ， ． ． ． 故选：C． 4．如图，直线，等边三角形的顶点C在直线b上，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，先由平行线的性质得到，再由等边三角形的性质得到，据此可利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵直线， ∴， 在等边中，， ∴， 故选：A． 5．如图，等边的顶点分别在直线上，且，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质、平行线的性质，由等边三角形的性质结合三角形外角的定义及性质得出，最后再由平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图：    ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．如图，均是等边三角形，A，C，B三点在同一条直线上，分别与交于点M，N，连接，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④．其中结论正确的序号有（    ） A．③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 可证明，得，可判定①；可证明，得可判定②；再由可证明为等边三角形，可判定③；根据现有条件无法证明，可判断④． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴ ∴．故①正确， ∵，三点在同一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形，故③正确． 根据现有条件无法证明，故④错误 ∴正确的有①②③， 故选：C． 7．在中，，要使是等边三角形需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定条件是解题关键．由等边三角形的定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形．据此即可获得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， 要使是等边三角形，只需添加、的夹角即可． 故答案为：（答案不唯一）． 8．如图，在中，，，分别是，的中垂线，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的性质和等边三角形的证明，熟练掌握垂直平分线的性质和等边三角形的判定是解题的关键，连接，，易证得为等边三角形，即可得到，进而得到答案． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵，， ∴， ∵，分别是，的中垂线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，已知在等边中，，点E、F分别在边、上，将沿翻折，点A正好落在边上的点D处，如果的周长比的周长小，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠性质和等边三角形性质．根据折叠性质可知：，，由等边性质可知，， 因为的周长比的周长小1cm，所以，结合即可求解． 【详解】解：由折叠性质可知：，， ∴的周长， 的周长， ∵在等边中，， ∴，， ∴，． 故答案为： 10．如图，等边三角形中，D、E分别在边上，且与交于点于点．下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中正确的结论是 ． 【答案】①② 【分析】对于①，根据等边三角形的性质，得，，然后利用“边角边”定理，证明和全等，根据全等三角形对应边相等，对①作出判断；对于②，根据全等三角形对应角相等，得，求出，利用三角形的内角和定理，求出的度数，可对②作出判断；对于③，由，计算得出的度数，结合，，判断三个内角的大小关系，结合等腰三角形的判定方法，即可对③作出判断；对于④，根据，求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，可得到与的数量关系，据此可对④作出判断． 【详解】解：为等边三角形， ，． 在和中， ， ， ，①正确． ， ， ． ， ，②正确． ，，， 的三个内角均不相等， 不是等腰三角形，③错误． ，， ， ， ， ∵， ∴，④错误． 综上所述，正确的结论有①②，共2个． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的判定与性质，并准确识图是解题的关键． 11．如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始，以为边长画正三角形，记为第1个正三角形；以为边长画正三角形，记为第2个正三角形；以为边长画正三角形，记为第3个正三角形；以为边长画正三角形，记为第4个正三角形，…按此规律，继续画正三角形，则第n个正三角形的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，根据条件得出第n个正三角形的边长为是解题的关键． 先根据已知条件归纳出第n个正三角形的边长为，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵第1个正三角形的边长为1，， 第2个正三角形的边长为2，， 第3个正三角形的边长为4，， 第4个正三角形的边长为8，， ∴第n个正三角形的边长为， ∴第n个正三角形的面积为：． 故答案为：． 12．如图所示，在 中， ，点分别在上，且 与交于点 F． (1)求证： 是等边三角形； (2)求证： (3)求 的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，三角形外角性质． （1）根据等边三角形的判定解答即可； （2）求出，根据证出即可； （3）根据全等三角形的性质得出，根据三角形外角性质推出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等边三角形； （2）∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∴． 13．如图交于点．求证：是等边三角形 【答案】见详解 【分析】根据平行线的性质和等角对等边，得出，然后根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可说明理由．本题考查等腰三角形的判定，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【详解】证明：， ， ， ， ； 又∵， ∴是等边三角形． 14．如图，在四边形中，，，连接，并过点作于点，求的长度． 【答案】1 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，证明为等边三角形，利用等边三角形的性质，即可解答，熟练利用相关性质是解题的关键． 【详解】解：，， 是等边三角形， ， ， ． 15．如图，点E在的外部，点D在上，交于点F，，，． (1)求证：． (2)若，猜想的形状并证明． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． （1）根据证明三角形全等即可； （2）根据，得出，，求出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 16．已知为等边三角形，，为上一点，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，在上取点，使，连接，，求证：； (3)如图3，已知，为射线上一点，连接，，，连接，若的面积为，的面积为，的面积为，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，，可证是等边三角形，可得，即可得结论； （3）由“”可证，可得，，，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）证明： 是等边三角形，， ，， 又， ， ； （2）， ， 又，， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ； （3）如图3，在上截取，连接， ，，， ， ，，， ， ， 在中，， 又， ， ， 又， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 17．【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． 【模型应用】 （2）如图，，，求证：； （3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ． 【拓展提高】 （4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）；（4）；（5）且；理由见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由和均为等边三角形，可证，可得，，由点、、在同一条直线上，可求即可； （2）延长到，使得，由，可证为等边三角形，可得，由，，可证为等边三角形，可证，可得即可； （3）由，由与都是等边三角形，可证，可得，，可证是直角三角形且即可； （4）将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、．先证，再证，最后证，可得； （5）由两个等腰直角三角形和中，，，，可证，可得，再求即可； 【详解】解：（1）如图， 和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ． ．， 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． 故答案为：，． （2）证明：如图中，延长到，使得． ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． ． （3）解：以为边构造等边，连接，如图3所示： 与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， 故答案为：； （4）解：如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、． 由（1）可知， ，， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ． （5）且； 理由如下：， ． ． 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上所述：且． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$