2023--2024学年人教版八年级数学上册（新初二暑假数学教材）讲义

目 录 第01讲：轴对称 1 第02讲：等腰三角形 9 第03讲：最短路径问题 18 第04讲：同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方 25 第05讲：整式的乘法 29 第06讲：整式的除法 34 第07讲：乘法公式--平方差公式 37 第08讲：乘法公式--完全平方公式 41 第09讲：因式分解--提公因式法和公式法 47 第10讲：因式分解--十字相乘法和分组分解法 54 第11讲：实数及平面直角坐标系 58 第12讲：二元一次方程（组）及应用 69 第13讲：一元一次不等式（组）及应用 81 第01讲：轴对称 【学习目标】 1、能够区分轴对称图形和轴对称两个概念； 2、知道什么是垂直平分线，知道作垂直平分线，并掌握垂直平分线的性质做题； 3、在平面直角坐标系中能够知道任意点关于 x 轴，y 轴和原点的对称点坐标； 能在平面直角坐标系中作出某图形的轴对称图形。 【知识要点】 1、轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴。 2、轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 两个图形关于直线对称也叫做轴对称。 3、图形轴对称的性质 如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 4、轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形； 轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称。 5、线段的垂直平分线 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（线段的中垂线）。 线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合。 6、关于坐标轴对称 点 P（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标是（x，－y）； 点 P（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标是（－x，y）。 7、关于原点对称 点 P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（－x，－y） 8、关于坐标轴夹角平分线对称 点 P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线 y＝x 对称的点的坐标是（y，x） 点 P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线 y＝－x 对称的点的坐标是（－y，－x） 【典型例题】 类型一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识 例1、下列几何图形中，①线段、②角、③直角三角形、④半圆，其中一定是轴对称图形的有（ ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 【变式1】图中，轴对称图形的个数是（ ） A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个 【变式2】下列图案属于轴对称图形的是（ ） A、 B、 C、 D、 例2、下面给出的每幅图中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一 对对称点。 【变式1】在图中标出A、B、C的对称点，∠A、∠B、∠C 的对应角。 【变式2】参照下图说明轴对称图形与两个图形成轴对称有什么区别与联系？ 【变式3】下列说法中错误的是（ ） A、两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴 B、关于某直线对称的两个图形全等 C、面积相等的两个三角形对称 D、轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后重合 例3、李芳同学球衣上的号码是253，当他把镜子放在号码的正左边时，镜子中的号码是（ ） A、 B、 C、 D、 【变式1】小强站在镜前，从镜中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的 实际时刻是____________。 【变式2】如图所示，一个算式在镜中所成的像构成的算式是正确的，但是在实际中是正确的吗? 实际中这个算式是什么? 类型二、线段垂直平分线的性质 例4、如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段 PB的长度为____________。 【变式】如图，直线PO与AB交于O 点，PA＝PB。则下列结论中正确的是（ ） A、AO＝BO B、PO⊥AB C、PO是AB的垂直平分线 D、P点在AB的垂直平分线上 例5、如图，△ABC 中，∠A＝90°，BD 为∠ABC 平分线，DE⊥BC，E 是 BC 的中点， 求∠C 的度数。 【变式】如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分∠BAC， 若∠B=30°，求∠C 的度数。 例6、如图，已知直线l和 l 异侧的两点A、B，在直线 l 上求作一点P，使 PA=PB。 【变式1】某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图所示（点M，N表示大学，AO、BO 表示公 路。现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也 相等。你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案； 并阐述你设计的理由。 【变式2】在某一地区有居民区A、B、C，如图，现想在此地区建造一牛奶站P，使P到A、B、C 三点的距离相等。请你作出P 点。 【变式3】如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物 超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A、在AC，BC两边高线的交点处 B、在AC，BC两边中线的交点处 C、在AC，BC两边垂直平分线的交点处 D、在∠A，∠B 两内角平分线的交点处 例7、如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABC的周长为19cm，求△ABD 的周长。 【变式1】如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8cm，AB＝10cm，则△EBC的周长 为____________。 【变式2】点P、P1关于OA对称，P、P2关于OB对称，P1 P2交OA、OB于M、N，若P1 P2=8， 则△MPN的周长是多少？ 类型三、用坐标表示轴对称 例8、点 P（a，b）关于x轴的对称点为P＇（1，－6），则A、B的值分别为（ ） A、1，6 B、－1，－6 C、－1，6 D、1，－6 【变式1】已知点 P（a－1，5）与 P（2，b－1）关于x 轴的对称，则（a + b）2011的值为（ ） A、0 B、－1 C、1 D、（－3）2011 【变式2】已知点M（1－a，2a+2），若点M关于x轴的对称点在第三象限，求a的取值范围？ 例9、点P关于x轴对称点P＇的坐标为（4，－5），那么点P关于y轴对称点P"的坐标为（ ） A、(－4，5) B、(4，－5) C、(－4，－5) D、(－5，－4) 【变式】若A（m－1，2n+3）与B（n－1，2m+1）关于y轴对称，则m =_______，n =_______。 例10、已知点A（m+2，3）、B（－5，n+6）关于原点对称，则m =_______，n =_______。 【变式1】若点P（a，3）和Q（2，b）关于原点对称，则方程ax+b=0的解为___________。 【变式2】已知点A(2m+1，m－3)关于原点的对称点在第四象限，则m的取值范围是__________。 类型四、作轴对称图形 例11、已知△ABC，直线l，画出△ABC关于直线l的对称图形。 【变式】把下列各图补成以a为对称轴的轴对称图形。 例12、如图，△ABC，求顶点A、B、C关于y轴对称点的坐标，并在坐标系中画出△ABC关于 x轴对称的△EDF，并求出△EDF 的面积。 【变式】 ①请画出△ABC关于y轴对称的△A＇B＇C＇； ②直接写出 A（ ），B（ ），C（ ）三点的坐标。 ③△ABC 的面积为？ 第02讲：等腰三角形 【学习目标】 1、知道等腰三角形具有的性质，并能够根据等腰三角形的性质解答出一些角度或线段长度问 题。能够根据等腰三角形的判定定理证明一个三角形是等腰三角形； 2、知道等边三角形具有的性质，并能够根据等边三角形的性质解答出一些角度或线段长度问 题。能够根据等边三角形的判定定理证明一个三角形是等边三角形； 3、掌握好30°角的性质，在直角三角形中可以运用该性质解答一些计算角度或边长题型； 【知识要点】 1、等腰三角形 有两条边相等的三角形是等腰三角形。 相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边。两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 2、等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角） 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一） 3、等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）； 特别的：①有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形； ②有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形； ③有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形； ④有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形。 4、等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形。 5、等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。 6、等边三角形的判定方法 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。 7、30°角的性质 在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半。 【典型例题】 类型一、等腰三角形的性质 例1、在等腰三角形中，有一个角为 80°，则另外两个角的度数为_________。 【变式 1】已知等腰三角形的顶角等于30∘，则这个等腰三角形的底角等于（ ） A、120∘ B、75∘ C、60∘ D、30∘ 【变式 2】等腰三角形的一个底角是30∘，则它的顶角是（ ） A、30∘ B、40∘ C、75∘ D、120∘ 例2、若一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 4，则这个等腰三角形的周长是为（ ） A、8 B、10 C、8 或 10 D、6 或 12 【变式1】已知等腰三角形两边长分别为 4 和 9，则第三边的长为_________。 【变式2】已知等腰三角形的其中二边长分别为 4，9，则这个等腰三角形的周长为（ ） A、17 B、22 C、17 或 22 D、无法确定 【变式3】等腰三角形两边a 、b 满足｜a－b + 2｜＋（2a + 3b－11）2＝0，此三角形的周长是（ ） A、7 B、5 C、8 D、7 或 5 例3、如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B、C在直线n上，AB=CB，∠1=70°，则∠BAC 等于（ ） A、40° B、55° C、70° D、110° 【变式】如图，已知 DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C 的度数是（ ） A、55° B、45° C、35° D、65° 例4、如图，在△ABC 中，AB=AC，D是BC中点，DE⊥AC，垂足为E，∠BAC=50°，则∠ADE 的度数是_________。 【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，D 为 BC 中点，∠BAD=35∘，则∠C 的度数为_________。 【变式2】如图，在△ABC中，若AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A 等于（ ） A、30° B、36° C、45° D、54° 例5、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40°，则它的一个底角的度数是_________。 【变式】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 20°，则顶角的度数为_________。 例6、如图，在等腰三角形△ABC 中，顶角∠A=50°，边AC的垂直平分线交AB边于E； 则①∠BCE 的度数为_________；②若 AB=10，BC=6，则△EBC 的周长＝_________。 【变式1】在△ABC 中，AB=AC，BD=BC=AD，则∠A 的度数是_________。 【变式2】如图，已知AB=A1B，在AA1的延长线上依次取A2、A3、A4、…、An，并依次在三角形 的外部作等腰三角形，使 A1C1=A1A2，A2C2=A2A3，A3C3=A3A4，…，An－1Cn－1=An﹣1An， 若∠B=30°，则∠An=_________°。 类型二、等腰三角形的判定 例7、下列条件中，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ） A、a=3，b=3，c=4 B、a:b:c=2:3:4 C、∠B=50°，∠C=80° D、∠A:∠B:∠C=1:1:2 【变式】在△ABC 中，其两个内角如下，则能判定△ABC 为等腰三角形的是（ ）。 A、∠A=40°，∠B=50 B、∠A=40°，∠B=60° C、∠A=40°，∠B=70 D、∠A=40°，∠B=80° 例8、如图，已知每个小方格的边长为 1，A，B 两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找 一个格点 C， 使△ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形，这样的格点 C 有（ ）。 A、4 个 B、5 个 C、6 个 D、7个 【变式1】如图，A、B 两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为 1 的正方形，点 C 也 在格点上， 且△ABC 是等腰三角形，则符合条件是点 C 共有（ ）个。 A、8 B、9 C、10 D、11 【变式2】如图，点 A 的坐标为 （5，0），试在第一象限内网格的格点（网格线的交点）上找一 点 B，使其与点 O、A 构成等腰三角形，请写出图中所有满足条件的点 B 的坐标。 例9、如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D、E、F 分别在 AB、BC、AC 边上，且 BE=CF，BD=CE。 （1）求证：△DEF 是等腰三角形； （2）当∠A=40°时，求∠DEF 的度数。 【变式】如图，在△ABC 中，AB=AC，CD 是∠ACB 的平分线，DE∥BC，交 AC 于点 E。 （1） 求证：DE=CE。 （2）若∠CDE=35°，求∠A 的度数。 类型三、等边三角形的性质 例10、如图所示，△ABC 是等边三角形，且 BD=CE，∠1=15°，则∠2 的度数为（ ） A、15° B、30° C、45° D、60° 【变式】如图，等边三角形 ABC 与互相平行的直线 a，b 相交，若∠1=25°，则∠2 的大小为（ ） A、25° B、35° C、45° D、55° 例11、已知△ABC是等边三角形，分别在 AC、BC 上取点 E、F，且 AE＝CF，BE、AF 交于点 D， 则∠BDF＝__________°。 【变式】如图，△ABC 是等边三角形，CD⊥BC，且BC=CD，求∠DAC 和∠ADB。 类型四、等边三角形的判定 例12、下面给出几种三角形：①有两个角为 60°的三角形；②三个外角都相等的三角形； ③一边上的高也是这边上的中线的三角形；④有一个角为 60°的等腰三角形。 其中是等边三角形的个数是（ ） A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个 【变式】在下列结论中： ①有一个外角是 120°的等腰三角形是等边三角形； ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形； ③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形； ④有一个角是 60°，且是轴对称的三角形是等边三角形。 其中正确的个数是（ ） A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个 例13、在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为 G，且 AD=AB。∠EDF=60°， 其两边分别交边 AB， AC 于点 E，F。 求证：①△ABD 是等边三角形； ②BE=AF。 【变式】如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，DE∥BC 交 AB 于点 E。 求证：①△ADE 是等边三角形； ②AE=1/2AB。 类型五、30°所对的直角边是斜边的一半 例14、Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，CD是斜边AB上的高，AD=2cm，则AB的长度是（ ） A、2cm B、4cm C、8cm D、16cm 【变式】如图，在△ABC 中，∠ACB=90∘，∠B=15∘，DE 垂直平分 AB，交 BC 于点 E，BE=6cm， 则AC等于（ ） A、6cm B、5cm C、4cm D、3cm 例15、如图，AB＝AC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∠BAC＝120°，BC＝6，则DE＋DF＝________。 【变式】在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线交BC于点F，交AB于点E。如果 EF=1，求BC的长。 第03讲：最短路径问题 【学习目标】 1、能掌握最短路径问题的几种基本模型； 2、掌握几种模型的几种作图方法； 3、利用这几种模型解决一些实际问题。 【知识要点】 类型一：定直线与两定点 【问题1】将军饮马 作法 作图 原理 当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使PA+PB最小。 作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P为所求作的点。 两点之间线段最短。 PA+PB 最小值为 A B＇。 【问题2】同侧差最大 作法 作图 原理 当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使最大。 连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点。 三角形任意两边之差小 于第三边； PA－PB≤AB 【问题3】同侧差最小 作法 作图 原理 当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使最小 连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P为所求作的点。 垂直平分上的点到线段两端点的距离相等。 │PA－PB│＝0。 【问题4】异侧差最大 作法 作图 原理 当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使最大。 作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。 三角形任意两边之差小 于第三边； │PA－PB│≤ AB＇ 【问题5】异侧和最小 作法 作图 原理 在直线l上求一点P， 使PA+PB值最小。 连 AB， 与 l 交点即为 P。 两点之间线段最短； PA+PB 最小值为AB。 类型二：角与定点 【问题6】 作法 作图 原理 点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得△PCD周长最小。 分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P"，连接P′P"，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。 单点双边 △PCD周长最小为P′P"。 △OP′P"为等直或者等边 【问题7】 作法 作图 原理 点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得PD+CD最小。 作点P关于OB的对称点P′，过点P′作P′C⊥OA交OB于点C，点C、D即为所求。 PC+CD的最小值=P′C。 【问题8】 作法 作图 原理 点P、Q在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC周长最小。 分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。 双点双边 PC+CD+DQ的最小值为P′Q′，所以四边形PQDC的周长的最小值为P′Q′+PQ。 类型三：两定点一定长 【问题9】 作法 作图 原理 如图，在直线l上找M、N两点（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=。 将点A向右平移个单位到A′，作A′关于直线l的对称点A"，连接A"B交直线l于点N，将点N向左平移个单位到M，点M、N即为所求。 【问题10】造桥选址 作法 作图 原理 如图，l1∥l2，l1，l2之间距离为，在l1，l2分别找M、N两点，使得MN⊥l1，且AM+MN+NB最小。 将点A向下平移个单位到A′，连接A′B交直线l2于点N，将点N向上平移个单位到M，点M、N即为所求。 （过桥选址） AM+MN+NB的最小值为A′B+。 类型四：费马点 【问题11】费马点 作法 作图 原理 △ABC 中每一内角都小于 120°，在△ABC 内求一点 P，使 PA+PB+PC 值最小。 以 AB、AC 为边向外作等边△ABD、△ACE，连 CD、BE 相交于 P， 点 P 即为所求。 所求点为“费马点”，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝ 120°。 【典型例题】 例1、已知点 A，点 B 都在直线 l 的上方，试用尺规作图在直线 l 上求作一点 P，使得 PA+PB 的值最小，则下列作法正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 【变式】如图，直线L是一条河，P、Q是两个村庄。欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ） A、 B、 C、 D、 例2、如图，点 P 是∠AOB 内的一点，且 OP=5，且∠AOB=30°，点 M、N 分别是射线 OA、 OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为（ ） A、5 B、6 C、8 D、10 【变式】如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点 P，且OP=12，在OA上有一动点Q，OB上有 一动点 R。若△PQR 周长最小，则最小周长是（ ） A、6 B、12 C、16 D、20 例3、如图，等边△ABC 的边长为 4，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 边上的动点，E 是 AC 边 上一点，若 AE=2，当 EF+CF 取得最小值时，则∠ECF 的度数为（ ） A、15° B、22.5° C、30° D、45° 【变式】如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长为 2，G、H分别是AF和CD的中点，P是GH上 的动点，连接AP、BP，则 AP+BP 的值最小时，BP 与 HG 的夹角（锐角）度数为_______。 例4、如图，在直线 l 的同侧有两点 A、B。 （1） 在图①的直线上找一点 P 使 PA+PB 最短； （2）在图②的直线上找一点 P 使 PA－PB 最长。 【变式1】如图均是由相同的小正方形组成的网格图，点A、B、C、D均落在格点上。请只用无刻 度的直尺在格线 CD 上确定一点 Q，使 QA 与 QB 的长度之和最小。 【变式2】如图，A，B 两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车从原点 O 出发在 x 轴 上行驶。 （1）汽车行驶到什么位置时离 A 村最近？写出这点的坐标。 （2）汽车行驶到什么位置时离 B 村最近？写出这点的坐标。 （3）汽车行驶到什么位置时，到两村距离和最短？请在图中画出这个位置。 例5、如图，在△ABC 的一边 AB 上有一点 P。 （1）能否在另外两边 AC 和 BC 上各找一点 M、N，使得△PMN 的周长最短?若能，请画出点 M、 N 的位置，若不能，请说明理由； （3）若∠ACB=52∘，在(1)的条件下，求出∠MPN 的度数。 【变式】如图，已知∠AOB，P 是∠AOB 内部的一个定点，点 E、F 分别是 OA、OB 上的动点， （1）要使得△PEF 的周长最小，试在图上确定点 E、F 的位置。 （2）若 OP=4，要使得△PEF 的周长为 4，则∠AOB=_________。 例6、已知 A（2，4）、B（4，2），C 在 y 轴上，D 在 x 轴上，则四边形 ABCD 的周长最小值 为__________，此时 C、D 两点的坐标分别为__________。 【变式】已知 A（1，1）、B（4，2）。 （1）P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标； （2）P为x轴上一动点，求│PA－PB│的值最大时P点的坐标； （3）CD为x轴上一条动线段，D在C点右边且CD＝1，求当 AC+CD+DB 的最小值和此 时C点的坐标； 第04讲：同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方 【学习目标】 1、能够掌握同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方三个公式，并且能够将这三个公式运用到一 些乘法的计算中； 2、能够逆向运用这三个公式解决一些技巧计算问题； 3、熟练运用公式进行计算各种类型的计算。 【知识要点】 1、同底数幂相乘 同底数幂相乘：底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 2、幂的乘方 幂的乘方：底数不变，指数相乘。 3、积的乘方 积的乘方：等于各因数乘方的积。 【典型例题】 类型一、同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数________，指数__________，用公式表示a m an =______________。 例1、计算： ①106×104=_______； ②=_______； ③b2·b3·b=_______； ④y2·____=y 5。 【变式1】计算(－x)2·x3 所得的结果是（ ） A、x 5 B、－x5 C、 x 6 D、－x6 【变式2】长方体的长为 4×103cm，宽为 2×102cm，高为 2.5×103cm，则体积为（ ）cm3。 A、2×109 B、20×108 C、20×1018 D、8.5×108 【变式3】计算：①(a－b)3·(b－a)2=_______； ②（－a）2·（－a）·（－a）6=_______； ③m·m2·m9==_________； ④－x3·x2=_______； 例2、当 m=________时，xm－2·xm+3=x9成立。 【变式1】已知m+n－2=0，则 3m×3n 的值为________。 【变式2】已知 22×29=2n+1，则 n 的值为________。 【变式3】计算：（a－b）2m-1·（b－a）2m·（a－b）2m+1，其中 m 为正整数。 例3、若52x+1=125 ，求（x－2）2009+x 的值。 【变式】若ma-2=6， mb+5=11，求m a+b+3的值。 类型二、幂的乘方 幂的乘方，底数_______，指数________；用公式表示(am )n=__________。（m，n 都是正整数） 例4、下列运算正确的是（ ） A、a3×a=a4 B、 (－a4 )=a4 C、 a2+a3=a5 D、 (a2 )3=a5 【变式1】计算(a2 )3 的结果是（ ） A、a5 B、a6 C、a8 D、3a2 【变式 2】下列计算不正确的是（ ） A、(a3 )3=a9 B、a6n=(a2n )3 C、 (xn+1)2=x2n+2 D、 x3·x 2=x 6 【变式3】计算：①(103)6＝__________； (a2)5＝__________； ③(mn)4＝__________； (a3)2·(a2)4＝__________； 例5、若2n=5 ，求82n=___________。 【变式1】已知：5x·25x=625 ，求 x 的值。 【变式2】已知2x=43，则 x 的值为__________。 【变式3】已知 4×22×84=2x，则 x=___________。 【变式4】已知a=255，b=344，c=433，d=522，则这四个数从大到小排列顺序是___________________。 例6、若2x+4y－5=0 ，求4 x·16 y 的值。 【变式1】若3a=6，27b=50 ，求33b+a的值。 【变式2】若10m=5，10n=3，求102m-3n的值。 类型三、积的乘方 积的幂，等于_______________。用公式表示： (ab)n =_____________（n为正整数） 例7、计 算 ： (2ab)3=_________；  (2a3 )4=_________； (－3anbm )2=_________；  【变式1】计算－（－3a2b3）4 的结果是（ ） A、81a8b12 B、12a6b7 C、－12a6b7 D、－81a8b12 【变式2】计算：（ab3）2=（ ） A、a2b2 B、a2b3 C、a2b6 D、ab6 【变式3】下列计算中，正确的是（ ） A、x3·y3 =（xy）6 B、(－2x2 )·(－3x3 )=6x6 C、x2 + x2=2x 2 D、 (a－1)2 = a2－12 例8、(0.25)2019×42019 【变式】(－8)2017×(－0.125)2017 例9、求0.125 2009×26030 的值。 【变式1】 【变式2】计算：(－1)2010×()2009× (－1.2)2010 【变式3】已知ax=－2，ay=3。求： ①ax+y 的值； ②a3x 的值； ③a3x+2y 的值。 类型三、综合运用三个公式 例10、化简求值：（－3a2b）3 －8（a2）2·（－b）2·（－a2b），其中a=1，b=－1。 【变式】计算：①（－3a 2 ）3·a 3 +（－4a）2·a7－（5a3）3 。 ②（－xy2z3）4(－x2y)3 ③（－3ab）(－a2c)26ab(c2)3 第05讲：整式的乘法 【学习目标】 1、学会单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式三种类型题目的计算方法，并且能够 熟练计算出整式乘法题； 2、能够解决关于整式乘法的一些应用性题目，如化简求值等。 【知识要点】 1、单项式的乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式。 要点诠释： ①单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用。 ②单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式。 ③运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成； ④三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则。 2、单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加； 即m(a + b + c) = ma + mb + mc。 要点诠释： ①单项式与多项式相乘，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题； ②单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同； ③计算要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号； ④对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果。 3、多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加； 即（a + b）（m + n）= am + an + bm + bn。 要点诠释： ①多项式与多项式相乘，仍得多项式； ②在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积； ③多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并； ④特殊的二项式相乘：（x + a）（x + b）= x2 +（a + b）x + ab 【典型例题】 类型一、单项式与单项式相乘 例1、计算：（－2xn+1yn）·（－3xy）·（x2z） 【变式】 ①3ab2·（a2b）·2abc； ②－6m2n·（x-y）3·mn2·（y-x）2； ③ (－xyz2)2·(－2xy2)2－(2x2y2z)2·(－3y2z2) ④3ab2·（a2b）2·abc 类型二、单项式与多项式相乘 例2、计算：①（－ab）（ab2－2ab+b） ②2a（a2+3a－2）－3（a3+2a2－a+1） 【变式】①x（x－2）－2x（x+1）－3x（x－5） ②（－xy +y2－x2）（－6xy2） ③（a2+ab－0.6b2）（a2b2） ④（2x3－3x2+4x－1）（－3x） ⑤如果x2 与－2 y2 的和为m，1＋y2与2x2 的差为n ，那么2m－4n 化简后为( ) A、－6x2－8y2－4 B、10x2－8y2－4 C、－6x2－8y2 + 4 D、10x2－8y2 + 4 类型三、多项式与多项式相乘例 例3、计算： ①(3a + 2b)(4a－5b) ； ②(x－1)(x + 1)(x2 + 1) ； 【变式】①(a + b)(a－2b)－(a + 2b)(a－b) ； ②5x(x2 + 2x + 1)－(2x + 3)(x－5) ③（ab2+3ab－b）（ab－1） ④（－2x2+1）（x2－x－1） 类型四、化简求值问题 例4、先化简，再求值 3a（2a2－4a+3）－2a2（3a+4），其中 a=－2。 【变式1】先化简，再求值：（2a+3b）（3a－2b）－5a（b+1）－6a2，其中a=－，b=2。 【变式2】先化简，再求值： x(x2－1)+2x2 (x + 1)－3x(2x－5)，其中 x=－。 【变式3】先化简，再求值： m2(m + 3) + 2m(m2－3)－3m(m2 + m－1)，其中 m=。 【变式4】先化简，再求值：4 ab(a2b－ab2 + ab)－2ab2 (2a2－3ab+2a)，其中 a=3，b=2。 类型五、多项式系数问题 例5、①若多项式ax2 + bx + 1 与2x2－3x + 1 的积不含 x3 项，也不含x 项，求a 和b 的值。 ②在（x2 + ax + b）（2x2－3x－1）的积中，x3项的系数是－5，x2项的系数是－6，求a 、b 的值。 【变式1】已知(x2＋px＋8)(x2－3x＋q)的展开式中不含x2 和 x3 项，求p、q 的值． 【变式 2】(4x3－2x2 y－3xy2 + 5y3 )(2x2－3xy + 3y2 ) 之积中含 x3 y2 项的系数为_____________。 第06讲：整式的除法 【学习目标】 1、会用同底数幂的除法性质进行计算； 2、会进行单项式除以单项式的计算； 3、会进行多项式除以单项式的计算。 【要点梳理】 1、同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减； 即am÷an=am-n （a≠0， m、n 都是正整数，并且m＞n ） 要点诠释：①同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算； ②被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0 不能作除式； ③当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质； ④底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式。 2、零指数幂 任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1。即a0=1（ a ≠0） 要点诠释：①底数a不能为 0，00 无意义； ②任何一个常数都可以看作与字母 0 次方的积。因此常数项也叫 0 次单项式。 3、单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 要点诠释：（1）法则包括三个方面： ①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的 字母，连同 它的指数作为商的一个因式. （2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单 项式除以单项式的结果仍为单项式。 4、多项式除以单项式法则 多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 即（am + bm + cm）÷m = am÷m + bm÷m + cm÷m = a + b + c 要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将 它分解成多个单项式除以单项式； （2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化。 【典型例题】 类型一、同底数幂的除法 例1、计算下列各题： ① x8÷x3=________； ② (－a)3÷a=________； ③ (2xy)5 ÷(2xy)2=_______； ④(x－y)5 ÷(x－y)=_______； ⑤(5a－2b)12(2b－5a)5=_______； 【变式】计算(－4x3)÷2x 的的结果正确的是（ ） A、2x2 B、2x2 C、2x3 D、8x4 例2、已知3m=2，3n=4，求9m+1-2n 的值。 【变式】若 3x＝15，3y＝5，则 3x-y 等于（ ） A、5 B、3 C、15 D、10 类型二、单项式除以单项式 例3、如果3a3b2÷A= ab ，那么 A 是（ ） A、a4b3 B、a2b C、3a4b3 D、9a2b 【变式】已知7a3bm÷14anb2 =b2，那么m、n的取值依次为（ ） A、2，3 B、4，3 C、1，3 D、4，1 例4、下列计算正确的是（ ） A、6a9÷(3a3) =2a3 B、4x3 y ÷(2x2 y)=－2x C、(x－y)3÷( y－x)=( y－x)2 D、am÷an÷ap=am－n+p 【变式】计算：①12x2 y3÷(－27xy2 ) ②(－2ab)3÷(－4ab2 ) 类型三、多项式除以单项式 例5、计算：[2(a + b)5－3(a +b)4 + (－a－b)3]÷[2(a +b)3] 【变式】先化简，再求值：[(x + 2y2 )2－(x + y2 )(x－y2 )－5y4 ]÷2y ，其中 x=－2， y=； 例6、与单项式－3a2b 的积是6a3b2－2a2b2 + 9a2b 的多项式是（ ） A、－2ab－3 B、－2ab+b－3 C、b－3 D、2ab－b + 3 【变式】下列运算中错误的是（ ） A、（8x3+4x2）÷x=16x2+8x B、（8x3－4x2+2x）÷2x=4x2－2x C、（9x9－3x6）÷（－x6）=－27x3+9 D、（x2+x）÷（－2x）=－x－ 拓展：已知一个多项式除以多项式a2 + 4a－3 所得的商式是2a + 1，余式是2a +8 ，求这个多项式。 例7、①已知（ambn）3÷（ab2）2=a4b5（a、b 均不等于 1 和－1），求 m、n 的值 ②小白在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以错抄成乘以，结果得到（3x2﹣5xy），则第一个多项式是多少？正确的结果又该是多少？ 【变式】已知多项式 6a2+mab－ab－10b2 除以 3a－2b，得商为 2a+5b，求 m 的值。 第07讲：乘法公式--平方差公式 【学习目标】 1、掌握平方差公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2、学会运用平方差公式进行计算；了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3、能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。 【要点梳理】 1、平方差公式 平方差公式： (a＋b)(a－b) = a2－b2 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 （两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式。） ①位置变化：如(a＋b)(－b＋a) 利用加法交换律可以转化为公式的标准型 ②系数变化：如(3x＋5y)(3x－5y) ③指数变化：如(m3＋n2 )(m3－n2 ) ④符号变化：如(－a－b)(a－b) ⑤增项变化：如(m＋n＋p)(m－n＋p) ⑥增因式变化：如(a－b)(a＋b)(a2＋b2 )(a4＋b4 ) 【典型例题】 类型一、平方差公式的应用 例1、下列各式中，能够运用平方差公式运算的是（ ） A、(－a－1) (－a＋1) B、(x－y) (y－x) C、(x－1) (x－2) D、(ab＋c)(－ab－c) 【变式】下列能用平方差公式计算的是（ ） A、(x－1)(－1－x) B、(－x＋y)(x－y) C、(2x＋y)(2y－x) D、(x－2)(x＋1) 例2、下列哪些可用平方差公式，哪些不能？能用平方差公式计算的，写出计算结果。 ①（2a－3b）（3b－2a）； ②（－2a＋3b）（2a＋3b）； ③（－2a－3b）（－2a＋3b）； ④（2a＋3b）（2a－3b）； ⑤（－2a－3b）（2a－3b）； ⑥（2a＋3b）（－2a－3b）． 【变式】计算：①= ②（－2＋x）（－2－x）= ③（－3x－2y）（2y－3x）= 例3、下列的多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ） A、(2x＋y)(2x－y) B、(2x－y)( y＋2x) C、(－2x－y)( y－2x) D、(2x－y)( y－2x) 【变式】①(3m－2n)(3m + 2n) =（___________）2－（___________）2=____________； ②(－3a2＋b2 )(b2＋3a2 ) = （____________）2－（____________）2=____________。 类型二 利用平方差公式简便运算 例4、计算：①59.9×60.1； ②102×98。 ③ (x－3)(x2＋9)(x＋3) ④( a＋b )( a－b )( a2＋b2 )( a4＋b4 ) 【变式】怎样简便就怎样计算： ①1232－124×122 ②1007×993 ③ ④（2a＋b）（4a2＋b2）（2a－b） 例5、若a＋b = 10，a2－b2 = 40，求a－b 的值。 【变式】若，，则等于（ ）。 A、21 B、－21 C、10 D、－18 拓展：计算(2＋1)( 22＋1)( 24＋1)( 28＋1 )( 216＋1)( 232＋1 )＋1。 【变式1】求值：(3＋1) (32＋1)(34＋1)(38＋1) 【变式2】 ①填空：（a－b）（a＋b）=____________________； （a－b）（a2＋ab＋b2）=____________________； （a－b）（a3＋a2b＋ab2＋b3）=____________________。 ②猜想：（a－b）（an-1＋an-2b＋…＋abn-2＋bn-1）=_________________；（其中n为正整数，且n≥2）。 ③利用②猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2。 类型三：平方差公式的几何意义 例6、如图，在边长为 a 的正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一矩形如图，通过计算两个图形 （阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ） A、(a－b)(a＋2b) = a2－2b2＋ab B、(a＋b)2 = a2＋2ab＋b2 C、(a－b)2 = a2－2ab＋b2 D、(a－b)(a＋b) = a2－b2 【变式1】如图，在边长为a的正方形中，减去一个边长为b的小正方形(a＞b) ，将余下部分拼 成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ） A、(a－b)2 = a2－2ab＋b2 B、(a＋b)2 = a2＋2ab＋b2 C、(a＋b)(a－b) = a2－b2 D、a2＋ab = a(a＋b) 【变式2】新实验中学校园正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加3米，面积 则增加了63 平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的面积又为多少？ 类型四：化简求值 例7、先化简，再求值：(x＋2 y)(x－2y)－(2x－y)(－2x－y) 其中x = 8，y = －8。 【变式】先化简，再求值：x2（x＋y）（x－y）－（2y－x2）（－2y－x2），其中，x=－2，y=－。 第08讲：乘法公式--完全平方公式 【学习目标】 1、掌握完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2、学会运用完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3、能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。 【要点梳理】 1、完全平方公式 （a＋b）2 = a2＋2ab＋b2 ；(a－b)2 = a 2－2ab＋b2 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍。 要点诠释： 公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或 减）这两数之积的 2 倍。 以下是常见的变形： a2＋b2 =（a＋b）2－2ab = (a－b)2＋2ab  （a＋b）2 = (a－b)2＋4ab 2、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号； 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。 要点诠释： 添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确。 3、补充公式 (x＋p)(x＋q) = x2＋ ( p＋q)x＋pq ； (a±b)(a2ab＋b2 ) = a3±b3 ； (a±b)3 = a3±3a2b＋3ab2±b3 ； (a＋b＋c)2 = a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc。 【典型例题】 类型一、完全平方公式的应用 例1、计算： ①（3a＋b）2 =________________；②（－3＋2a）2=________________； ③（x－2 y）2=_________________；④（－2x－3y）2=_______________。 【变式】①（x－3）2 =________________； ②（－x＋）2 =________________； ③（a－3b）2 =________________； ④（m＋3n）2 =________________； 【变式2】下列各式中，正确的是（ ） A、（a＋b）2 =a2＋b2 B、（a－b）2 =a2－b2 C、(2a－b)2 =4 a 2－2ab＋b2 D、(a＋5)2 = a 2＋5ab＋25 例2、若 x2＋6x＋k 是完全平方式，则 k 等于（ ） A、9 B、－9 C、±9 D、±3 例3、若 4x2－（a－1）xy＋9y2 是完全平方式，则 a =___________。 【变式】已知 x2＋16x＋k 是完全平方式，则常数k 等于（ ） A、64 B、48 C、32 D、16 【变式】关于 x 的二次三项式4x2－kx＋9 是一个完全平方式，则k 的值是（ ） A、12 B、±12 C、6 D、±6 类型二：完全平方公式的变形应用 例4、已知：(m－n)2 = 8，(m＋n)2 = 2，则m2＋n2 等于（ ） A、10 B、6 C、5 D、3 例5、已知：x＋y = 3， xy =－1，求： ①x2＋y2 ； ②x4＋y4 ； ③ (x2－1)( y2－1) 【变式1】若a2＋b2 = 2，a＋b = 1，则ab的值为（ ） A、－1 B、－ C、－ D、3 【变式2】若a＋b =－3，ab = 2，则2a2＋2b2 的值为（ ） A、8 B、6 C、5 D、10 例6、计算：1.23452＋0.76552＋2.469×0.7655 【变式】 计算：①232＋46×77＋772 ②1982 【变式】已知（2004－a）（2002－a）= 2003，求（2004－a）2＋（2002－a）2 的值。 类型四：完全平方公式的几何意义 例7、已知△ABC 的三边长a、b、c满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac = 0 ，试判断△ABC 的形状。 例8、多项式 x2－2xy＋2 y2＋2 y＋5 的最小值是_______________。 例9、图①是一个长为2a ，宽为2b(a＞b) 的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分 成 4 块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个小正方形，则中间空的部分 的面积是（ ） ① ② A、ab B、 (a＋b)2 C、(a－b) 2 D、a2－b2 【变式1】图 a 是由 4 个长为 m，宽为 n 的长方形拼成的，图 b 是由这四个长方形拼成的正方 形，中间的空隙，恰好是一个小正方形。 ①用 m、n 表示图 b 中小正方形的边长为____________。 ②用两种不同方法表示出图 b 中阴影部分的面积； ③观察图b，利用②中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m＋n）2， （m－n）2， mn； ④根据③中的等量关系，解决如下问题：已知 a＋b = 7，ab = 5，求（a－b）2的值。 图a 图b 【变式2】如图，有三种规格的卡片共 9 张，其中边长为 a 的正方形卡片 4 张，边长为 b 的正 方形卡片 1 张， 长，宽分别为 a，b 的长方形卡片 4 张．现使用这 9 张卡片拼成一 个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ） A、2a＋b B、4a＋b C、a＋2b D、a＋3b 类型五：乘法公式的综合应用 例10、计算：①(a＋2b－3)2 ； ②(a＋2b－3c)(a－2b＋3c)； ③（a－b＋c）（a＋b－c）； ④（2x－y＋1（y－1＋2x）； 【变式】计算：①（x－y＋z）2 ； ②（2a＋3b－1）（1－2a－3b）； 例11、化简求值：(2x＋5y)2＋(2x－5y)2－(2x＋5y)·(2x－5y) ，其中x = 2，y =。 【变式1】计算：① 2(m＋1)2－(2m＋1)(2m－1)； ② 992 【变式2】计算： ① （2a＋b＋1）（2a＋b－1）； ②（a－）2（a＋）2（a2＋）2； ③（a＋2b－c）2 例12、①已知 a＋b=－5，ab=－6，求（a－b）2 的值； ②已知a（a－1）－（a2﹣b）=－5，求（a2＋b2）－ab 的值； ③已知 a＋b = 3，ab =－2，求 a2＋b2 和 a2－ab＋b2 的值。 【变式1】阅读下列解答过程： 已知：x≠0，且满足 x2－3x=1。求：的值。 解：∵x2－3x = 1，∴x2－3x－1=0， ∴x－3－= 0，即x－= 3 ∴=（x－）2＋2 = 32＋2 = 11 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知 a≠0，且满足（2a＋1）（1－2a）－（3－2a）2＋9a2 = 14a－7 求：①的值； ②的值。 【变式2】阅读材料：把形如 ax2＋bx＋c 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫 做配方法。配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2 =（a±b）2。 例如：（x－1）2＋3、（x－2）2＋2x、（x－2）2＋x2 是 x2－2x＋4 的三种不同形式的配方 （即“余项”分别是常数项、一次项、二次项——见横线上的部分）。 请根据阅读材料解决下列问题： ①比照上面的例子，写出 x2－4x＋9 三种不同形式的配方； ②将 a2＋ab＋b2 配方（至少两种形式）； ③已知a2＋b2＋c2－ab－3b－2c＋4=0，求 a＋b＋c 的值。 第09讲：因式分解--提公因式法和公式法 【学习目标】 1、理解因式分解的概念及形式； 2、会用提公因式法因式分解，理解公因式的概念； 3、会用公式法因式分解。 【要点梳理】 1、因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式。 ma＋mb＋mc = m(a＋b＋c)，式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中 各项都含有的因式，称为公因式。 要点诠释：①因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部 分，因式分解的结果只能是整式的积的形式。 ②要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止。 ③因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而 整式乘法是一种运算。 注 意：在分解因式时，结果的形式要求。 要 求：①没有大括号和中括号； ②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式。 2、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式。 要点诠释：①公因式必须是每一项中都含有的因式； ②公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式； ③公因式的确定分为数字系数和字母两部分 公因式的系数是各项系数的最大公约数； 字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的。 3、提公因式法 把多项式ma＋mb＋mc 分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是(a＋b＋c)，即ma＋mb＋mc = m(a＋b＋c)，而(a＋b＋c)正好是ma＋mb＋mc除以m 所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法. 要点诠释： ①提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即ma＋mb＋mc = m(a＋b＋c)； ②用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式； ③当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号； ④用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是 0 而出现错误。 4、公式法--平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： a2－b2 =（a＋b）（a－b） 要点诠释：①逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式； ②平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数 （整式）的和与这两个数（整式）的差的积； ③套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义， a 、b 可以是字母，也可以是单项 式或多项。 5、公式法--完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即a2＋2ab＋b2 =（a＋b）2 ，a2－2ab＋b2 =（a－b）2。 形如a2＋2ab＋b2，a2－2ab＋b2 的式子叫做完全平方式。 6、因式分解步骤： ①如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； ②如果各项没有公因式那就尝试用公式法； ③如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解。 【典型例题】 类型一、因式分解的概念 例1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由。 ①a(x＋y) = ax＋ay ； ② x＋2xy＋y2－1 = x(x＋2 y)＋( y＋1)( y－1) ； ③ax2－4a = a(x＋2)(x－2) ； 【变式】下列变形是因式分解的是（ ） A、a2－4＋3a=（a－2）（a＋2）＋3a B、x2＋4x＋4 =（x＋2）2 C、x＋1 = x（1＋） D、（x＋1）（x－1）= x2－1 类型二、提公因式法分解因式 例2、下列因式分解变形中，正确的是（ ） A、ab（a－b）－a（b－a）= －a（b－a）（b＋1） B、6（m＋n）2－2（m＋n）= 2（m＋n）（3m＋n＋1） C、3（y－x）2＋2（x－y）=（y－x）（3y－3x＋2） D、3x（x＋y）2－（x＋y）=（x＋y）2（2x＋y） 【变式】下列分解因式结果正确的是（ ） A、a2 b＋7ab－b=b（a2＋7a） B、3x2 y－3xy＋6y = 3y（x2－x－2） C、8xyz－6x 2 y 2 = 2xyz（4－3xy） D、－2a 2 ＋4ab－6ac = －2a（a－2b＋3c） 类型三、提公因式法分解因式的应用 例3、已知 xy=－3，满足 x＋y=2，求代数式 x 2 y＋xy 2 的值。 【变式】若a、b、c为△ABC 的三边长，且（a－b）b＋a（b－a）=a（c－a）＋b（a－c），则、 △ABC 按边分类，应是什么三角形？ 类型四、公式法——平方差公式 例4、分解因式：①x2－4y2=____________________；②=___________________； ③－a2＋16=___________________；④=_________________； ⑤=_____________；⑥－1＋100n2=___________________。 【变式】下列多项式能用平方差公式分解的因式有（ ） ①a2＋b2； ②x2－y2； ③－m2＋n2； ④－a2b2； ⑤－a6＋4； A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个 类型五、平方差公式的应用 例5、 【变式】阅读下面的计算过程：（2＋1）（22＋1）（24＋1） =（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1） =（22－1）（22＋1）（24＋1） =（24－1）（24＋1） =（28－1）。 根据上式的计算方法，请计算： ①； ②； 类型六、公式法--完全平方公式 例6、分解因式：①a2＋2ab＋b2 =_________________；②a4－2a2b2＋b4 =_______________； ③1－4m＋4m2 =_________________；④=_________________； ⑤a2＋25b2－10ab =______________；⑥－4m4－9n2＋12mn=___________； 【变式】下列多项式①x2＋xy－y2；②－x2＋2xy－y2；③xy＋x2＋y2；④，其中能用完全 平方公式分解因式的是（ ） A、①② B、①③ C、①④ D、②④ 类型七、完全平方公式的应用 例7、不论x、y取何实数，代数式x2－4x＋y2－6y＋13 总是（ ） A、非实数 B、正数 C、负数 D、非正数 例8、已知 x2＋y2－2x＋6 y＋10 = 0 ，则x＋y =____________。 例9、已知△ABC的三边为a、b、c，并且a2＋b2＋c2 = ab＋bc＋ca，求证：此三角形为等边三角形。 【变式1】已知a、b、c是△ABC三边的长，且a 2＋2b2＋c2－2b(a＋c)= 0，你能判断△ABC的形 状吗？请说明理由。 【变式2】求证：不论为 x、y 何值，整式 x2 y 2－4xy＋5 总为正值。 类型八、公式法的综合应用 例10、分解因式：① (x＋y)2－4=______________；②16(a－b)2－25(a＋b)2=_________________； ③(x＋2)2－(2x－1)2=______________；④ (x－y)(3x＋y)2＋(x＋3y)2 ( y－x) =______________； ⑤(x2＋x＋1)2－1=________________； 【变式1】分解因式：①5(a＋b)2－9(a－b)2=________________； ②(2x－3y)2－4x2=___________________； 【变式2】先化简，再求值：（2a＋3b）2－（2a－3b）2，其中 a=。 例11、分解因式： ①－3ax2＋6axy－3ay2=________________；②a4－2a2b2＋b4=__________________； ③16x2 y2－(x2＋4 y2 )2=________________；④a4－8a2b2＋16b4=________________； 【变式1】分解因式：① 4(x＋a)2＋12(x＋a)(x＋b)＋9(x＋b)2=______________________； ②4(x＋y)2－4(x2－y2 )＋(x－y)2=____________________________。 【变式2】下面是某同学对多项式（x2－4x＋2）（x2－4x＋6）＋4 进行因式分解的过程。 解：设 x2－4x=y 原式=（y＋2）（y＋6）＋4 （第一步） = y2＋8y＋16 （第二步） =（y＋4）2 （第三步） =（x2－4x＋4）2 （第四步） 回答下列问题： ①该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________。 A、提取公因式 B、平方差公式 C、两数和的完全平方公式 D、两数差的完全平方公式 ②该同学因式分解的结果是否彻底？___________。（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______________________。 ③请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x＋2）＋1 进行因式分解。 类型九、配方法分解因式 例12、用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如： x2－2x－8 =（x2－2x＋1）－1－8   =（x－1）2－9   =（x－1＋3）（x－1－3）   =（x＋2）（x－4） 那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？ 我们先考虑二次项系数为 1 的情况：如 x2＋bx 添上什么就可以成为完全平方式？ 因此添加的项应为一次项系数的一半的平方。 那么二次项系数不是 1 的呢？当然是转化为二次项系数为 1 了。 分解因式： 3x2＋5x－2 类型十、配方法的应用 例13、先仔细阅读材料，再尝试解决问题： 完全平方公式x2±2xy＋y2=（x±y）2 及（x±y）2 的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用， 比如探求多项式 2x2＋12x－4 的最大（小）值时，我们可以这样处理： 解：原式=2（x2＋6x－2） =2（x2＋6x＋9－9－2） =2[（x＋3）2－11] =2（x＋3）2－22 因为无论 x 取什么数，都有（x＋3）2 的值为非负数， 所以（x＋3）2 的最小值为 0，此时 x=－3， 进而 2（x＋3）2－22 的最小值是 2×0－22=－22 所以当 x =－3 时，原多项式的最小值是－2。 解决问题： 请根据上面的解题思路，探求多项式 3x2－6x＋12 的最小值是多少，并写出对应的 x 的取值。 第10讲：因式分解--十字相乘法和分组分解法 【学习目标】 1、会用十字相乘法因式分解； 2、会用分组分解法因式分解。 【要点梳理】 1、十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 对于二次三项式 x2＋bx＋c，若存在，则x2＋bx＋c =（x＋p）（x＋q） 2、首项系数不为 1 的十字相乘法 在二次三项式ax2＋bx＋c (a≠0)中，如果二次项系数 a 可以分解成两个因数之积，即a = a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c = c1c2，把a1，a2，c1，c2 排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2＋a2c1，若它正好等于二次三项式ax2＋bx＋c的一次项系数b，即a1c2＋a2c1= b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x＋c1与a2x＋c2之积， 即ax2＋bx＋c =（a1x＋c1）（a2x＋c2）。 3、分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解--分组分解法。即先对题目进行分组，然后再分解因式。 4、添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法。 【典型例题】 类型一、十字相乘法（首项系数为一） 例1、将下列各式分解因式： ①x2－x－56； ②x2－10x＋16； ③10－3x－x2 【变式1】分解因式：①x2＋7x＋10； ②x2－2x－8； ③－x2－7x＋18 【变式2】分解因式：①x2＋x－； ②x2＋x＋ ③x2－16xy－16y2； ④10（x＋2）2－29（x＋2）＋10 【变式3】分解因式：①x2－＋x； ②a2－a－ ③x2y2－7xy＋10； ④（a＋b）2－4（a＋b）＋3 类型二：十字相乘法（首项系数不为一） 例2、分解因式： ①6y2＋19y＋15； ②6x2＋3x－27 【变式】分解因式：①3x2＋1－4x ； ②－3－4x＋4x2 ； 例3、仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2－4x＋m 有一个因式是（x＋3），求另一个因式以及 m 的值。 解：设另一个因式为（x＋n），得 x2－4x＋m=（x＋3）（x＋n），则 x2－4x＋m=x2＋（n＋3）x＋3n ∴ ，解得：n=－7，m=－21 ∴ 另一个因式为（x－7），m 的值为－21。 问题：①若二次三项式 x2－5x＋6 可分解为（x－2）（x＋a），则 a=__________； ②若二次三项式 2x2＋bx－5 可分解为（2x－1）（x＋5），则 b=__________； ③仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式 2x2＋5x－k 有一个因式是（2x－3），求另一个因式以及 k 的值。 类型三、分组分解法 例4、把3ax＋4by＋4ay＋3bx 分解因式。 【变式】分解因式： ①x2－1＋y2－2xy； ②9m2－6m＋2n－n2 ； ③a2－b2－2b－1 ④x2－y2－z2－2 yz； ⑤a2＋4b2－4ab－c2； ⑥a2－ab＋ac－bc 例5、先阅读下列材料，然后回答后面问题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法。能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2＋2”分法、“3＋1”分法、“3＋2”分法及“3＋3”分法等。 如“2＋2”分法： ax＋ay＋bx＋by =（ax＋ay）＋（bx＋by） =a（x＋y）＋b（x＋y） =（x＋y）（a＋b） 如“3＋1”分法： 2xy＋y2－1＋x2 =x2＋2xy＋y2－1 =（x＋y）2－1 =（x＋y＋1）（x＋y－1） 请你仿照以上方法，对下列式子进行分解因式： ①x2－y2－x－y； ②45am2－20ax2＋20axy－5ay2； ③4a2＋4a－4a2b－b－4ab＋1 第11讲：实数及平面直角坐标系 【学习目标】 1、复习实数的基本概念和分类，掌握平方根和立方根的概念和有关计算。 2、复习平面直角坐标系中的基本元素，掌握点和图形在坐标中的变化。 【要点梳理】 1、平方根和算术平方根的概念 ①如果一个正数x的平方等于a，即x2 = a ，那么这个正数x叫做a的算术平方根； 规定0的算术平方根还是 0； a的算术平方根记作，读作“a 的算术平方根”， a 叫做被开方数。 ②如果x2 = a，那么x叫做a的平方根； 求一个数的平方根的运算，叫做开平方；平方与开平方互为逆运算； a（a≥0）的平方根的符号表达为（a≥0），其中是a的算术平方根。 2、平方根的性质 3、算数平方根的非负性 是非负数，非负数的最小值为 0，当几个非负数的和为 0 时，这些非负数都是 0。 4、立方根的概念 如果一个数x的立方等于a，x3= a，那么这个数x叫做a 的立方根； a 的立方根记作，读作“a 的立方根”，a叫做被开方数。（注意：负数也有立方根） 5、立方根的性质 ； ； 6、实数 有理数和无理数统称为实数。 有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母 R 表示。 7、实数的分类 8、平面直角坐标系 （1）平面直角坐标系的要素： x 轴、y 轴、原点和四个象限。 注意：x 轴上的点，纵坐标为零；y 轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0，0）。 两坐标轴的点不属于任何象限。 （2）点的坐标 如图，由点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是3，垂足N在y轴上的坐标是4，我们说A点的横坐标是3，纵坐标是4，有序数对(3，4)就叫做点A的坐标，记作A(3，4)。 （3）点的性质 ①象限的角平分线上点坐标的特征 第1、 三象限角平分线上点的横、纵坐标相等； 第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数。 ②关于坐标轴对称的点的坐标特征 P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a，－b)； P(a，b)关于 y 轴对称的点的坐标为 (－a，b)； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (－a，－b)。 ③平行于坐标轴的直线上的点 平行于 x 轴的直线上的点的纵坐标相同； 平行于 y 轴的直线上的点的横坐标相同。 9、用坐标表示平移 （1）点的平移 在坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点________或 ________； 将点(x，y)向上或向下平移 b 个单位长度，可以得到对应点________或________。 （2）图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数 a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移 a 个单位长度； 如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数 a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移 a 个单位长度。 10、直角坐标系中利用坐标求图形面积的几种方法 ①直接求法； ②分割法； ③补缺法。 【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 例1、直接写出下列各数的平方 112=________； 122=________； 132=________； 142=________； 152=________； 162=________； 172=_________； 182=________； 192=________； 202=________； 【变式】的平方根等于___________； 的平方根是___________； 类型二、根据平方根求原数 例2、已知2a－1的平方根是，3a－2b－1的平方根是±3。求：5a－3b 的算术平方根。 【变式】已知2x－1的平方根是±6，2x＋y－1的算术平方根是5，求 2x－3y＋11 的立方根。 类型三、平方根的性质 例3、若，则a的取值范围是（ ） A、a>1 B、a≥1 C、a<1 D、a≤1 【变式】 类型四、平方根的非负性 例4、中x的取值范围是____________。 例5、若实数 a，b，c 满足关系式，则c的平方根是？ 类型五、平方根的整数、小数部分及估值 例6、因为 22 < (）＜32，所以的整数部分为 2，小数部分为－2。 请解答：①的整数部分是________，小数部分是________。 ②如果的小数部分为a，的整数部分为b，求 a＋b－的值。 【变式】1＋的整数部分为________，小数部分为________。 【变式】满足>0.99 的最小整数 n 的值是（ ） A、48 B、49 C、50 D、51 类型六、立方根的概念及性质 例8、______的算术平方根等于它本身，______的平方根等于它本身，______的立方根等于它本身。 【变式】下列说法中错误的是（ ） A、中的a可以是正数、负数或零 B、中的 a 不可能是负数 C、数a 的平方根有两个 D、数a 的立方根有一个 例9、计算：①； ② 【变式】已知x是1的平方根，求代数式（x2017－1）（x2018－712）（x2019＋1）（x2020＋712）＋1000x 的立方根。 类型七、利用平方根、立方根解方程 例10、求下列各式中的x值。 ①（x－1）2 = 49 ②－8（1－x）3 = 27 ③8x3＋125 = 0 ④(x＋1)3－5 = 59 ⑤5（x＋1）2－100 = 0 【变式】解下列方程。 ①2x3－6=； ②（2x＋1）3=54； ③（x－2）3＋=0 类型八、平方根、立方根小数点位数移动规律 例11、如下表：被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律符合一 定的规律，若=180，且=－1.8，则被开方数 a 的值为（ ） a … 0.000001 0.0001 0.01 1 100 10000 1000000 … … 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 … A、32.4 B、324 C、32400 D、-3240 【变式】观察下表，按你发现的规律填空 a … 0.0121 1.21 121 12100 … 0.11 1.1 11 110 已知3.873 ，则的值为____________。 类型九、实数的概念及计算 例12、下列各数中无理数有（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 【变式】在实数，其中无理数有（ ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 例13、计算： ①； ② 【变式】按图中程序计算，若输出的值为 9，则输入的数是__________。 类型十、实数的大小比较、规律探究 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大。 正实数大于 0，负实数小于 0，两个负数，绝对值大的反而小。 例14、下列判断正确的个数有（ ） ①不带根号的数一定是有理数；②若a2＞b2，则a＞b；③比大且比小的实数有无数个； ④两个无理数的和一定是无理数；⑤若a＞b＞0，则＞。 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D4 个 【变式】比较下列各组数的大小： ①与； ②与； ③与 例15、观察一组数据：2、4、7、11、16、22、29、…，它们有一定的规律，若记第一个数为a2，第二个数记为a2，…，第n个数记an。 ①请写出 29 后面的第一位数___________； ②通过计算a2－a1、a3－a2、a4－a3、……，由此推算a100－a99的值； ③根据你发现的规律求a100的值。 【变式】观察下列等式 31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187… 解答下列问题：3＋32＋33＋34＋…＋32020 的末位数字是__________。 类型十一、点的位置 例16、中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的 一部分， 如果用（2，－1）表示“炮”的位置，那么“将”的位置应表示为（ ） A、（－2，3） B、（0，－5） C、（－3，1） D、（－4，2） 【变式】如图，将正整数按下图所示规律排列下去，若用有序数对(n，m) 表示 n 排从左到右第m 个数。如(4，3)表示 9，则(10，3)表示（ ） A、46 B、47 C、48 D、49 例17、如果点P（2a－6，1－a）是第三象限的整数点，那么点 P 的坐标是_____________。 【变式】若点P在第二象限，且P点到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则P点坐标为（ ） A、（－3，5） B、（－5，3） C、（3，－5） D、（5，－3） 例18、已知点 P(2m－4，m＋1)，试分别根据下列条件，求出点 P 的坐标。 ①点 P 在 y 轴上； ②点 P 在 x 轴上； ③点 P 的纵坐标比横坐标大 5； ④点 P 在过点 A（－1，2），并且与 x 轴平行的直线上。 【变式】已知点A（m－3，5m＋3）在第一象限角平分线上，则m的值为_________。 类型十二、点的性质（平移、对称）及规律探究 例19、如图，A、B 的坐标为(2，0)、(0，1)，若将线段 AB 平移至A1B1，则a + b的值为（ ） A、3 B、2 C、5 D、4 【变式】在坐标中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A（－2，3），B（－4，－1），C（2，0），将 △ABC 平移至△A1B1C1 的位置，点A，B，C 的对应点分别是 A1，B1，C1，若点A1 的坐 标为（3，1），则点C1的坐标为____________。 例20、已知 P1 （a－1，5）和 P2 （2，b－1）， ①若点P1和P2关于 x 轴对称，求 a＋b 的值。 ②若点P1和P2关于 y 轴对称，求 a＋b 的值。 ③若点P1和P2关于原点对称，求 a＋b 的值。 【变式】已知点A（－1，5），请分别求出它关于 x 轴，y 轴和原点对称的点的坐标。 例21、如图，在坐标系中有若干个整数点，其顺序按“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)， (2，1)， (3，2)，(3，1)，(3，0)，(4，0)．根据这个规律探索可得，第 100 个点的坐标为（ ） A、(14，8) B、(13，0) C、(100，99) D、(15，14) 【变式】如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与 x 轴或 y 轴平行，从内到外，它们的边长依次为 2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4…表示，则顶点A2018的坐标是______。 类型十三、直角坐标系中求面积 例22、如图，在平面直角坐标系中，点 A、C 分别在x 轴上、y 轴上，CB//OA，OA=8，若点 B 的 坐标为(a，b)， 且 b=＋＋4。 ①直接写出点A、B、C 的坐标； ②若动点 P 从原点 O 出发沿 x 轴以每秒 2 个单位长度的速度向右运动，当直线 PC 把四边形 OABC 分成面积相等的两部分停止运动，求 P 点运动时间； ③在②的条件下，在 y 轴上是否存在一点Q，连接 PQ，使三角形 CPQ 的面积与四边形 OABC 的面积相等？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 【变式】如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中 a，b，c 满足关系式＋(b－3)2 ＋ |c－4| = 0。 ①求 a，b，c 的值； ②如果在第二象限内有一点 P（m，1），使四边形 ABOP 的面积与三角形 ABC 的面积相等？若存在，求出2点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 第12讲：二元一次方程（组）及应用 【学习目标】 1、理解二元一次方程、二元一次方 程组及它们的解的含义，能熟练、正确、灵活掌握代入法和 解二元一次方程组。 2、熟练掌握用方程组解决和差倍分，配套，工程等实际问题，进一步研究用二元一次方程组解决 实际问题。 【要点梳理】 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫做二元一次方程。 要点诠释：二元一次方程满足的三个条件： ①在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数； ②“未知数的次数为 1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1； ③二元一次方程的左边和右边都必须是整式。 2、二元一次方程的解。 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解。 要点诠释： ①二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如； ②一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程。 3、 二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程。 要点诠释： ①二元一次方程组的解是一组数对，必须同时满足方程组中的每一个方程，写成的形式； ②一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，二方程组的解有无数个。 4、选择适当的方法解二元一次方程组 ①代入消元法； ②加减消元法 解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选法，快速消元。 5、二元一次方程的实际应用 （1）行程问题：路程=速度×时间； 速度=路程÷时间； 时间=路程÷速度 航行问题： ①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度； ②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度； ③顺水速度－逆水速度＝2×水速。 （2）工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量。 （3）经济问题 ①销售利润问题：利润＝售价－成本(进价)； 利润率=； 利润＝成本（进价）×利润率； 标价＝成本(进价)×(1＋利润率)； 实际售价＝标价×折扣； 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。 打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。 （例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十） ②存贷款问题：利息=本金×利率×期数； 本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) 。 （4）和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率；较大量＝较小量＋多余量；总量＝倍数×倍量。 （5）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例。 （6）数字问题：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数； 如：若一个两位数的个位数字为 a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为 10b+a。 （7）方案问题 （8）几何问题 【典型例题】 类型一、二元一次方程的定义 例1、已知下列方程，其中是二元一次方程的有________________； ①－2x－5＝y； ②2x－3＝4； ③xy＝－3； ④x－y＝6； ⑤2x－y＝4； ⑥x－=0； ⑦5x－=1； ⑧y－； ⑨x2+3y=4； ⑩。 【变式】已知方程3x2m-n-4－5y3m+4n-1 =8是关于x、y的二元一次方程，则 m=________，n=________。 类型二、二元一次方程及方程组的解 例2、若方程组的解也是 3x+ay=10 的一个解，则 a=________。 【变式】已知关于x，y 的方程组的解满足 x＋y＝－10，求式子 m2－2m＋1 的值。 例3、若方程组的解是，则方程组的解是（ ） A、 B、 C、 D、 【变式】若方程组的解是，则方程组的解是（ ） A、 B、 C、 D、 例4、已知：甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得， 乙看错了②中的b，解得，试求 a+b 的平方根。 【变式】一个被墨水污染了的方程组，小明回忆道：“这个方程组的解是，而我求的解是，经检验后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的系数所致”根据小明的回忆，你能求出原方程组吗？ 类型三、二元一次方程及方程组解的情况 例6、若关于x、y的二元一次方程组无解，则a=_________________。 例7、若关于x、y的二元一次方程组的解满足不等式组，求出整数a的 所有值。 【变式1】二元一次方程 4x+y=20 的正整数解是____________。 【变式2】方程组的解的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 类型四、解二元一次方程组 例8、解方程组：① ② 【变式】解方程组：① ② 类型五、解三元一次方程组 例9、解方程组，并求 mx＋2y－z1994＝10 中 m 的值。 【变式1】若，则______________。 【变式2】为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文―→密文(加密)，接收方由密文―→ 明文(解密)。已知加密规则为明文x、y、z对应密文 2x＋3y，3x＋4y，3z。 例如：明文1、2、3对应密文8、11、9。当接收方收到密文 12，17，27 时，请你求出解密得到的明文。 类型六、二元一次方程组的实际应用 1、行程问题 例10、A、B 两地相距 20 千米，甲从 A 地向 B 地匀速行进，同时乙从 B 地向 A 地匀速行进， 两个小时后两人在途中相遇，相遇后甲立即以原速返回 A 地，乙继续以原速向 A 地行进， 回到 A 地时乙离 A 地还有 4 千米，求甲、乙两人的速度。 【变式1】两地相距 280 千米，一艘船在其间航行，顺流航行了 14 小时，逆流航行了 20 小时， 求这艘轮船在静水中的速度和水的流速。 【变式2】某景区游船码头派车原定于8点整准时到达景区入口接工作人员，由于汽车在路上因故 障导致8:10时车还未到达景区入口，于是工作人员步行前往码头.走了一段时间后遇到了 前来接他的汽车，他上车后汽车立即掉头继续前进。到达码头时已经比原计划迟到了20min。 已知汽车的速度是工作人员步行速度的6倍，则汽车在路上因故障耽误的时间为______min。 2、工程问题 例11、第一工程队承包甲工程，晴天需要 12 天完成，雨天工作效率下降 40%，第二工程队承包 乙工程，晴天需要 15 天完成，雨天工作效率下降 10%，实际上两个工程队同时开工，同时 完工、两工程队各工作了多少天，在施工期间有多少天在下雨？ 【变式1】一批机器零件共 840 个，如果甲先做 4 天，乙加入合做，那么再做 8 天才能完成； 如果乙先做 4天，甲加入合做，那么再做 9 天才能完成，问：两人每天各做多少个零件? 【变式2】绵阳中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍。拆除旧 校舍每平方米需 80 元，建造新校舍每平方米需要 800 元，计划在年内拆除旧校舍与建 造新校舍共 9 000 平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的 90%而 拆除旧校舍则超过了计划的 10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积。 ①求原计划拆、建面积各是多少平方米？ ②若绿化 1 平方米需要 200 元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可 绿化多少平方米？ 3、经济问题 例12、某种商品 A 的零售价为每件 900 元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折优惠后， 再让利 4 元销售， 仍可获利 10%。 ①这种商品 A 的进价为多少元？ ②现有另一种商品 B 进价为 600 元，每件商品 B 也可获利 10%．对商品 A 和 B 共进货 100 件，要使这 100 件商品共获纯利 6670 元，则需对商品 A、B 分别进货多少件？ 【变式1】某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了 10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了 5%， 已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费 7 元，调价后买上述碳酸饮料 3 瓶和果汁饮料 2 瓶 共花费 17.5 元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？ 【变式 2】小明的妈妈在菜市场买回 3 斤萝卜，2 斤排骨，准备做萝卜排骨汤，妈妈：“今天买这 两样菜共花了 45 元，上月买同重量的这两样菜只要 36 元”；爸爸：“报纸上说了萝卜 的单价上涨 50%，排骨单价上涨 20%”，根据上述情景，设今天萝卜的单价为 x 元/斤， 排骨的单价为y 元/斤，列出方程组求解。 4、和差倍分问题 例13、10 年前，小明妈妈的年龄是小明的 6 倍，10 年后，小明妈妈的年龄是小明的 2 倍，小明 和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在分别是 x 岁和 y 岁，根据题意 可列方程组并求解。 【变式】胜利中学组织一批学生参加社会实践活动，活动中男生戴白色安全帽，女生戴红色安全帽， 大家发现一个有趣的现象：每位男生看到的白色安全帽比红色多 6 顶，而每位女生看到 的白色安全帽是红色的 2 倍。设男生有 x 人，女生有 y 人，列出方程并求解。 5、配套问题 例14、某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装 240 辆。由于抽调不出足够的 熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人:他们经过培训后上岗，也能 独立进行电动汽车的安装。生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和 2名新工人每月可安 装 8 辆电动汽车；2 名熟练工和 3 名新工人每月可安装 14 辆电动汽车。 ①每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ ②如果工厂招聘新工人若干名(新工人人数少于 10 人)和抽调的熟练工合作，刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案? 【变式】某车间有 56 名工人，每人每天能生产螺栓 16 个或螺母 24 个，一个螺栓配两个螺母， 怎样安排工人生产才能使每天生产的螺栓和螺母恰好配套？ 6、数字问题 例15、一个两位数，数字之和为 11，若原数加 45，等于此两位数字交换位置，求原数是多少。 若设原数十位数字为 x，个位数字为y。 【变式】篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分。某队在 10 场比赛中得到 16 分，设这个队胜x 场，负 y 场，列方程解应用题。 7、方案选择问题 例16、某中学计划购买A 型和 B 型课桌凳共 200 套。经招标，购买一套A 型课桌凳比购买一套 B 型课桌凳少用 40 元，且购买 4 套A 型和 5 套 B 型课桌凳共需 1820 元。 ①求购买一套A 型课桌凳和一套 B 型课桌凳各需多少元？ ②学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过 40880 元，并且购买 A 型课桌 凳的数量不能超过 B 型课桌凳数量的，求该校本次购买 A 型和 B 型课桌凳共有几种 方案？哪种方案的总费用最低？ 【变式】某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售， 每吨利润可达 4500 元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元。当地一家农工商公司收 获这种蔬菜 140 吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工 16 吨；如果进行细加工，每天可加工 6吨。但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制， 公司必须在 15 天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在 15 天完成你认为选择哪种方案获利最多？为什么？ 8、几何问题 例17、小东将书折过来，该角顶点 A 落在 F 处，BC 为折痕，如图所示，若 DB 平分∠FBE， ∠DBE 比∠CBA 大 30°，设∠CBA 和∠DBE 分别为 x°、y°，求出这两个角的度数。 【变式】如图，长方形 ABCD 中放置 9 个形状、大小都相同的小长方形，相关数据图中所示， 设小长方形长为 x，宽为y，列方程组解应用题。 第13讲：一元一次不等式（组）及应用 【学习目标】 1、掌握好一元一次不等式（组）的定义，理解不等式（组）的解，学会如何求解不等式（组）。 2、掌握好不等式（组）的几类应用题型，学会列不等式求解。 【要点梳理】 1、不等式 用不等号连接起来的式子叫做不等式。常见的不等号有五种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”。 2、不等式的解与解集 ①不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解； ②不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集； 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。 解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈； 再确定方向：大向右，小向左。 ③说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围， 而一元一次方程的解则是一个具体的数值。 3、不等式的基本性质（重点） （1）不等式的两边都加上( 或减去) 同一个数或同一个整式，不等号的方向不变； 如果a＞b，那么a±c__________b±c； （2）不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变； 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或）； （3）不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变； 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或）； 说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有： ①若a－b＞0，则a＞b； ②若a－b＜0，则a＜b； ③若a－b≥0，则a≥b； ④若a－b≤0，则a≤b； ⑤若 ab＞0 或，则a、b 同号； ⑥若 ab＜0 或，则 a、b 异号。 任意两个实数 a、b 的大小关系：①a－b>0a>b；②a－b=0a=b；③a－b<0a<b； 不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但 a＜b 可转换为b＞a，c≥d 可转换为 d≤c。 4、一元一次不等式（重点） 只含有一个未知数，且未知数的次数是 1，系数不等于 0 的不等式叫做一元一次不等式 注：其标准形式：ax＋b＜0 或 ax＋b≤0，ax＋b＞0 或 ax＋b≥0(a≠0)； 5、解一元一次不等式的一般步骤（重难点） 步骤：①去分母；②去括号；③移项；④并同类项；⑤化系数为 1 6、一元一次不等式组及解集 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组； 说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件： ①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同； ②不等式组中不等式的个数至少是 2 个，也就是说，可以是 2 个、3 个、4 个或更多。 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 7、 不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设 a>b）（重难点） 不等式组 图示 解集 8、解一元一次不等式组的步骤 ①分别求出不等式组中各个不等式的解集； ②利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集； 9、不等式（组）的应用 一般结合二元一次方程组结合出题，题目中存在“不超过、不多于、大于、小于”等字眼，需要利用不等式求解。 【典型例题】 类型一、不等式的解和解集 例1、下面说法正确的是（ ） A、 x=3 是不等式 2x＞3 的一个解 B、x=3 是不等式 2x＞3 的解集 C、x=3 是不等式 2x＞3 的唯一解 D、x=3 不是不等式 2x＞3 的解 【变式1】不等式 2x－6＞0 的解集在数轴上表示正确的是( ) 【变式2】下列说法中，错误的是（ ） A、不等式x＜5 的整数解有无数多个 B、不等式x＞－5 的负整数解集有限个 C、不等式－2x＜8 的解集是 x＜－4 D、－40 是不等式 2x＜－8 的一个解 例2、已知－1＜x＜0，则x2、x、的大小关系是（ ） A、 B、 C、 D、 【变式】下列说法不一定成立的是（ ） A、若a＞b，则 a＋c＞b＋c B、若 a＋c＞b＋c，则 a＞b C、若a＞b，则 ac2＞bc2 D、若 ac2＞bc2，则 a＞b 类型三、一元一次不等式（组）的概念 例3、下列各式是一元一次不等式的有__________________(填序号)。 ① －2x>5； ②3x－4y⩾0； ③13x＋12x－x<－1； ④32x－5⩾x。 【变式】下列是一元一次不等式组的是（ ） A、 B、 C、 D、 类型四、解一元一次不等式（组） 例4、利用不等式的性质解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． ①3(x＋2)－8⩾1－2(x－1)； ②； ③|x－1|＋|x－3|＞4 【变式1】解不等式：①； ② 【变式2】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A、 B、 C、D、 例5、对于任意有理数 x，我们用表示不大于[x]的最大整数，则。如[2.7]=2，[2018]=2018， [－3.14]=－4，请根据以上信息，回答下列问题 填空：[7.4]=__________，[－5.12]=__________； 【变式】设 x 是正实数，我们用{x}表示不小于 x 的最小正整数，如{0.7}=1，{2}=2，{3.1}=4， 在此规定下任一正实数都能写成如下形式：x={x}－m，其中 0≤m<l。 ①直接写出{x}与 x，x＋1 的大小关系： ②根据①中的关系式，求满足{2x－1}=3 的x 的取值范围. 类型六、不等式的特殊解 例6、求不等式的正整数解。 【变式】满足不等式 2(x＋1)＞1－x 的最小整数解是________________。 类型七、根据不等式（组）的解求解字母的取值范围 例7、 ①已知关于 x 的不等式(3a－2)x＜2－3a 的解集是 x＞－1，则 a 的取值范围是__________。 ②已知不等式(k－1)x＋2k＞x－8 的解集是 x＜2，则 k 的值为__________。 【变式】不等式 3x﹣3m≤－2m 的正整数解为 1，2，3，4，则 m 的取值范围是__________。 例8、已知关于x 的不等式组恰有 3 个整数解，则a 的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 【变式】若关于 x 的不等式 整数解共有 2 个，则 m 的取值范围是（ ） A、3≤m＜4 B、3＜m＜4 C、3＜m≤4 D、3≤m≤4 类型八、不等式于方程（组）的综合应用 例9、已知关于x、y的二元一次方程组的解满足不等式组， ①则m的取值范围是多少？ ②化简。 【变式】已知关于x、y的二元一次方程组的解满足不等式组，求m的 取值范围。 类型九、列一元一次不等式组解决实际问题 例10、我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住 4 人，则还有 19 人无宿舍住； 若每间住 7 人，则有一间宿舍不空但所住的人数不足 5 人．若设宿舍间数为 x，根据题意 x 应满足的不等式（组）为（ ） A、4x＋19－7（x－1）＞0 B、4x＋19－7（x－1）＜5 C、 D、 【变式1】一堆玩具分给x 个小朋友，若每人分 3 件，则剩余 4 件；若前面每人分 4 件，则最 后一人分得的玩具不足 3 件。则 x 应满足的不等式组为_______________________。 【变式2】用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素 C 含量及购买这 两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料 10kg，要求至少含有 4200 单位的维生素 C， 且购买原料的费用不超过 72 元．设所需甲种原料 x（kg），则可列不等式组为（ ） 原料 甲 乙 维生素 600单位 100单位 原料价格 8元 4元 A、 B、 C、 D、 类型十、不等式（组）的应用 1、行程问题 例 11、抗洪抢险，向险段运送物资，共有 120 公里原路程，需要 1 小时送到，前半小时已经走了 50 公里后， 后半小时速度多大才能保证及时送到？ 【变式】爆破施工时，导火索燃烧的速度是 0.8cm/s，人跑开的速度是 5m/s，为了使点火的战士在施工时， 能跑到 100m 以外的安全地区，导火索至少需要多长？ 2、工程问题 例 12、一个工程队规定要在 6 天内完成 300 土方的工程，第一天完成了 60 土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土？ 【变式】用每分钟抽 1.1 吨水的 A 型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果改用 B 型抽水机，估计 20 分钟到 22 分可以抽完。B 型抽水机比 A 型抽水机每分钟约多抽多少吨水？ 3、 销售问题 例 13、甲、乙两家公司共有 150 名工人，甲公司每名工人月工资为 1200 元，乙公司每名工人月工资为 1500 元，两家公司每月需付给工人工资共计 19.5 万元． （1）求甲、乙公司分别有多少名工人； （2）经营一段时间后发现，乙公司工人人均月产值是甲公司工人的 3.2 倍，于是甲公司决定内部调整，选 拔了本公司部分工人到新岗位工作．调整后，原岗位工人和新岗位工人的人均月产值分别为调整前的 1.2 倍和 4 倍，且甲公司新岗位工人的月生产总值不超过乙公司月生产总值的 40%，甲公司的月生产总值不少于乙公司的月生产总值，求甲公司选拔到新岗位有多少人？（甲公司调整前人均月产值设定为 p 元） 【变式 1】今年 3 月 12 日植树节期间，学校预购进A、B 两种树苗，若购进A 种树苗 3 棵，B 种树苗 5 棵， 需 2100 元，若购进A 种树苗 4 棵，B 种树苗 10 棵，需 3800 元． （1）求购进A、B 两种树苗的单价； （2）若该单位准备用不多于 8000 元的钱购进这两种树苗共 30 棵，求 A 种树苗至少需购进多少棵？ 【变式 2】为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了 A、B 两种型号家用净水器 160 台，A 型号家用净水器进价是 1500 元/台，售价 2100 元/台，B 型号家用净水器进价是 3500 元/台，售价是 4300 元/台．为保证售完这 160 台家用净水器的毛利润不低于 116000 元，求 A 型号家用净水器最多能购进多少台？(注：毛利润＝售价－进价) 4、方案选择问题 例 14、某商场计划经销A、B 两种新型节能台灯共 50 盏，这两种台灯的进价、售价如下表所示． A 型 B 型 进价（元/盏） 40 65 售价（元/盏） 60 100 （1）若该商场购进这批台灯共用去 2500 元，问这两种台灯各购进多少盏？ （2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场销售这批台灯的总利润不少于 1400 元，问至少需购进B种台灯多少盏？ （3）若该商场预计用不少于 2500 元且不多于 2600 元的资金购进这批台灯，为了打开 B 种台灯的销路，商场决定每售出一盏 B 种台灯，返还顾客现金 a 元（10＜a＜20），问该商场该如何进货，才能获得最大的利润？ 【变式 1】小华看中的文化用品在甲、乙两商场以相同的价格销售，两商场采用的促销方式不同： 甲商场一次性购物超过 100 元，超过的部分 8 折优惠；乙商场一次性购物超过 50 元，超过部分 9 折优惠， 那么她在甲商场购物超过多少元就比在乙商场购物优惠。 【变式 2】2017 年遂宁市吹响了全国文明城市创建决胜“集结号”．为了加快创建步伐，某运输公司承担了某标段的土方运输任务，公司已派出大小两种型号的渣土运输车运输土方．已知一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次共运 15 吨；3 辆大型渣土运输车和 8 辆小型渣土运输车每次共运 70 吨． （1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次各运土方多少吨？ （2）该渣土运输公司决定派出大小两种型号渣土运输车共 20 辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小 于 148 吨，且小型渣土运输车至少派出 7 辆，问该渣土运输公司有几种派出方案？ （3）在（2）的条件下，已知一辆大型渣土运输车运输话费 500 元/次，一辆小型渣土运输车运输花费 300 元/次，为了节约开支，该公司应选择哪种方案划算？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$