2023-2024学年人教版七年级数学上册期末专题练习

期末复习 专题01 a除以a的绝对值 类型一 分类讨论字母的取值范围 1、若有理数a，b满足ab＞0，则＝___． 2、如果，则化简=________ ． 3、已知ab＞0，则＝___． 4、若，则__________． 5、已知、为有理数，且，则________． 6、若，则_______． 7、若n＝，abc＜0，则n的值为 _____． 8、已知，，则的值等于_________． 9、已知a，b，c为三个不等于0的数，且满足abc＞0，a+b+c＜0，则的值为_________________． 10、已知，则的值是_____ 11、若（均不为0），则的值是__________． 12、设a，b，c为不为零的实数，且，那么，则x的值为________． 13、若abc＞0，a+b+c=0，则=____． 类型二 综合解答 14、在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”. 【提出问题】三个有理数a、b、c满足abc>0，求的值. 【解决问题】由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数. ①当a，b，c都是正数，即a>0，b>0，c>0时， 则：==1+1+1=3； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a>0，b<0，c<0， 即：==1+(−1)+(−1)=−1，所以的值为3或−1. 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知a<0，b>0，c>0，则 ， ， ； （2）三个有理数a，b，c满足abc<0，求的值； （3）已知|a|=3，|b|=1，且a<b，求a+b的值. 23．在解决数学问题的过程中，我们常用到"分类讨论"的数学思想，下面是运用"分类讨论"的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】已知有理数a，b，c满足abc＞0，求的值． 【解决问题】解∶由题意，得 a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都为正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，＝＝1＋1＋1＝3 ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则＝＝1＋（－1）＋（－1）＝－1 综上所述，的值为3或－1 【探究拓展】 请根据上面的解题思路解答下面的问题； （1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝－ab时，＝ （2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求＋＝ （3）已知a，b，c是有理数，a＋b＋c＝0，abc＜0，求＝ 专题02 绝对值的化简 类型一 绝对值之间是加号的化简 1．计算： ________． 2．a、b两个有理数在数轴上的位置如图所示，则|a+b|＝____． 3．若有理数在数轴上的位置如图：则=____________ ． 4．已知，化简_____． 5．数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：|b﹣a|+|b|＝______． 6．已知a，b，c是△ABC的三边，化简：|a＋b－c|＋|b－a－c|＝________． 7．若a 、b 、 c 为整数，且 | a b |19 | c a |99 1，则| c a | | a b | | b c |=________． 8．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|c﹣a|+|c﹣b|+|a+b|＝_____． 类型二 绝对值之间是减号的化简 9．在数轴上数a、b、c所对应的点如图所示，化简：__________． 10．若<1，化简：__________． 11．、两个数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是________． 12．a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：__________． 13．若有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则可化简为__． 14．若2＜x＜5，则|x﹣2|﹣|5﹣x|＝_______． 15．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简代数式：|a|﹣|﹣b|+|c|＝_____． 16． 若0＜a＜1，－2＜b＜－1，则=_____． 类型三 绝对值之间有加有减的化简 17．有理数，，在数轴上表示的点如图所示，化简__________． 18．已知a，b，c是有理数，它们在数轴上的对应点如图所示，化简：|a﹣c|﹣|a﹣b|+|b﹣c|＝_____． 19．若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简：_________． 20．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简代数式：=_______ ． 21．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，若m＝|a＋b|﹣|b﹣1|﹣|a﹣c|，则m＝____． 22．已知a＜0，b＜0，c＞0，化简：________． 23．有理数、、在数轴上的位置如下图所示则________． 24．已知a，b，c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则式子|c﹣b|﹣|b﹣a|﹣|a﹣c|＝______． 25．已知点A、B在数轴上表示的数分别是a和b：化简__________． 专题03 有理数运算中的规律探究 1．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式：…… 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：_______________ (2)用含有n的式子表示第n个等式：（n为正整数）_____________ (3)求的值． 2．先阅读下列式子的变形规律： ； ； ； 然后再解答下列问题：【注：第（1）小题直接写结果，不用写过程】 (1)类比计算：______，______， 归纳猜想：若为正整数，那么猜想______． (2)知识运用，选用上面的知识计算的结果． (3)知识拓展：试着写出的结果． 3．（1）观察下列各式： 根据你发现的规律回答下列问题： ①的个位数字是___________；的个位数字是___________； ②的个位数字是___________；的个位数字是___________； （2）自主探究回答问题： ①的个位数字是___________，的个位数字是___________； ②的个位数字是___________，的个位数字是___________． （3）若n是自然数，则的个位上的数字（       ） A．恒为0                 B．有时为0，有时非0            C．与n的末位数字相同          D．无法确定 4．观察下列各式： ，而； ，而； ，而； (1)猜想并填空： ______________； (2)根据以上规律填空： ______________； (3)求解：． 5．爱读书的乐乐在读一本古书典籍上有这么一段记载：相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方，三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1、2、3，4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5． (1)如图2所示，则幻和＝______； (2)若b＝4，c＝6，求a的值； (3)通过研究问题（1）和（2），利用你发现的规律，将5，7，-5，3，9，-1，11，-3，1这九个数字分别填入图3的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等． 6．探究规律，完成相关题目． 将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等，则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”．中国古代称“幻方”为“河图”“洛书”等．如图所示的三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的方格中得到的，其每一行，每一列，每一条对角线上的三个数字之和都相等． （1）设下面的三阶幻方中间的数字是（其中为正整数），请用含的代数式将下面的幻方填充完整； ______ ______ ______ ______ （2）若设（1）幻方中9个数的和为，则与中间的数字之间的数量关系为______； （3）现要用9个数：－40，－30，－20，－10，0，10，20，30，40构造一个三阶幻方，请将构造的幻方填写在下面的方格中． 7．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 　 A.（＋3）＋（＋2）＝＋5；B．（＋3）＋（﹣2）＝＋1；C．（﹣3）﹣（＋2）＝﹣5；D．（﹣3）＋（＋2）＝﹣1 ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是 　 ． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2017的点与表示 　 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 　 B点表示 　 ． ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为 　 ．（用含有a，b的式子表示） 8．观察下面三行数： 2，，8，，32，，……；                  ① 0，，6，，30，，……；                  ② ，2，，8，，32，……；                    ③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． （1）第①行的第8个数是________，第个数是________； （2）第②行的第个数是________，第③行的第个数是________； （3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 9．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①|7＋2|＝ ； ②|－＋|＝ ； （2）用简单的方法计算：|－|＋|－|＋|－|＋……＋|－|． 10．给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（n为正整数）．例如下面这列数1，3，5，7，9中，，，，，．规定运算，即从这列数的第一个数开始依次加到第个数，如在上面这列数中：． （1）已知一列数-1，2，-3，4，-5，6，-7，8，-9，10．则______． （2）已知一列有规律的数：，，，，，按照规律，这列数可以无限的写下去． ①求的值． ②是否有正整数满足等式成立？如果有，请直接写出的值．如果没有，请说明理由． 11．细心观察下面三个图形，按下述方法找出规律． （1）分别写出前面三个图形四角中四个数的积分别是 、 、 ； （2）分别写出前面三个图形四角中四个数的和分别是 、 、 ； （3）请你说明你发现的规律找出第四个正方形中的数，并说明理由． 12．一跳蚤P从数轴上表示﹣2的点A1开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点A2；第二次从点A2向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点A3；第三次从点A3向左移动5个单位，再向右移动6个单位到达点A4，…，点P按此规律移动，那么： （1）第一次移动后这个点P在数轴上表示的数是　 　； （2）第二次移动后这个点P在数轴上表示的数是　 　； （3）第五次移动后这个点P在数轴上表示的数是　 　； （4）这个点P移动到点An时，点An在数轴上表示的数是　 　． 13．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题： 1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52 （1）请写出满足上述规律的第6行等式：__________； （2）请猜想1+3+5+7+9+…+39=_____；（写出具体数值） （3）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）=_____；（用含n的式子表示） （4）请用上述规律计算：51+53+55+…+87+89．（写出计算过程） 14．下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，如图所示，，……按此规律排列下去，第n个图形中实心圆的个数表示为． （1）______（用n表示）：_______ （2）我们在用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和正整数n． 规定， 例如：． ①计算：的值； ②比较：与的大小． 专题04 某点恰好为中点 1．动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3s后．两点相距15cm（单位长度为1cm）．已知动点A、B的速度比是1：4 （速度单位：cm/s）． （1）求出3s后，A、B两点在数轴上对应的数分别是多少？ （2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，经过几秒，原点恰好处在两个动点的正中间？ 2．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣2，0，4，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x． （1）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是多少； （2）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是7？如果存在，求出x的值；如果不存在，请说明理由； （3）如果点P以每秒钟6个单位长度的速度从点O向右运动时，点M和点N分别以每秒钟1个单位长度和每秒钟3个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么经过几秒钟，点P到点M、点N的距离相等． 3．如图，已知A、B、C是数轴上的三点，点C表示的数为6，BC=4，AB=14，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位的速度沿数轴向左匀速运动，M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CQ=3CN．设运动的时间为t（t＞0）秒． （1）写出点A表示的数，点B表示的数； （2）求MN的长（用含t的式子表示）； （3）t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点． 4．如图，点，，在数轴上对应的数分别为，1，9．它们分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左做匀速运动，设同时运动的时间为秒．若，，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点，则的值为______． 5．如图，数轴上有三个点A、B、C，它们可以沿着数轴左右移动，请回答： （1）将点B向右移动三个单位长度后到达点D，点D表示的数是 ； （2）移动点A到达点E，使B、C、E三点的其中任意一点为连接另外两点之间线段的中点，请你直接写出所有点A移动的距离和方向； （3）若A、B、C三个点移动后得到三个互不相等的有理数，它们既可以表示为1，，的形式，又可以表示为0，，的形式，试求，的值. 6．如图，A、B、C是数轴上的三点，O是原点，BO＝3，AB＝2BO，5AO＝3CO．点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN＝CQ．设运动的时间为t秒． (1)当点M、N在数轴上相遇时，求t的值； (2)t为何值时，M、N两点到原点O的距离相等？ 7．如图，数轴上，两点对应的数分别是和10，，两点同时从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点到达点后立即返回，以相同的速度沿数轴向左运动．点到达点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒． （1）当时，线段________； （2）当时，求的值； （3）在，两点运动的过程中，若点，点，点三点中的一个点是另外两个点为端点的线段的中点，直接写出的值． 8．如图，在数轴上点A表示的数为﹣30，点B表示的数为80．动点C从点A出发以每秒6个单位的速度沿正方向运动，动点D从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点E从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，设运动的时间为t（单位：秒）． （1）当t＝7秒时，C、D、E三点在数轴上所表示的数分别为 ， ， ； （2）当点D与点E的距离为56个单位时，求t的值； （3）若点E回到点B时，三点停止运动，在三个动点运动过程中，是否存在某一时刻，这三点中有一点（除点D外）恰好在另外两点之间，且与两点的距离相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 9．已知数轴上两点A、B对应的数分别为1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． （1）若点P到点A、点B的距离相等，则点P对应的数x=_______； （2）①数轴上存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6，则x=_______． ②数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为3？若存在，请直接写出x的值．若不存在，请说明理由？ （3）当点P以每分钟一个单位长度的速度从原点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？ 10．已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。 ⑴若点P到点A、点B的距离相等，P对应的数为 。 ⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。若不存在，请说明理由？ ⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？ 11．定义：若线段AB上有一点P，当PA=PB时，则称点P为线段AB的中点． 已知数轴上A，B两点对应数分别为a和b，，P为数轴上一动点，对应数为x． （1）a=______，b=_______； （2）若点P为线段AB的中点，则P点对应的数为______________．若B为线段AP的中点时则P点对应的数为______________． （3）若点A、点B同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点P从-16处以2个单位长度/秒向右运动． ①设运动的时间为t秒，直接用含t的式子填空 AP=____________；BP=______________． ②经过多长时间后，点A、点B、点P三点中其中一点是另外两点的中点？ 12．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上A点左侧的一点，且A、B两点之间的距离AB=14个单位长度．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）点B表示的数为　 　，点P表示的数为　 　（用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q； （3）点P在运动的过程中，如果点P、点O和点B三个点中，在不重合的情况下，其中一个点到其他两个点的距离相等，那么请求出所有满足要求的时间t． 专题05 已知式子的值求代数式的值 1．已知：x2﹣5x=6，请你求出代数式10x﹣2x2+5的值． 2．已知，求的值． 3．已知、互为相反数，、互为倒数，，且，求的值． 4．已知代数式 5a+3b的值为 -4． （1）求代数式 8a- 3（a-b-3）-9 的值； （2）求代数式 2（a+b-5）- （7a+5b-10） 的值; （3）求代数式 -6（3a-2b -1）+3（2a-5b-2）+（2a-3b+10） 的值． 5．整体思想是数学学习中的一种重要的思想方法，认真阅读下面的探究过程，然后解决问题： 探究：已知x满足，求代数式的值． 解：由可得，， 将看作一个整体，代入得： 原式， ∴代数式的值为2022． (1)若x满足，求代数式的值； (2)若，且，求代数式的值． 6．已知a﹣2b＝﹣5，b﹣c＝﹣2，3c+d＝6，求（a+3c）﹣（2b+c）+（b+d）的值． 7．先化简，再求值：已知，，若的值为-8，求的值． 8．已知代数式 (1)已知当时，该代数式的值为，试求的值： (2)已知当时，该代数式的值为9，试求当时该代数式的值． 9．阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成是一个整体，则． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是____________． (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 10．阅读理解：已知，求代数式的值． 解：因为，所以原式． 仿照以上解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值． 11．如下表，给出了在的不同取值时，三个代数式所得到的代数式的值，回答问题： … －2 －1 0 1 2 … … 5 3 1 －1 … … －11 －8 －5 －2 … … 1 2 3 … (1)根据表中信息可知：_____________；____________；____________；_____________； (2)表中代数式的值的变化规律是：的值每增加1，的值就都减少2.类似地，代数式的值的变化规律是：__________________； (3)请直接写出一个含的代数式，要求的值每增加1，代数式的值就都减少5； (4)已知，，是三个连续偶数；当时，；当时，；当时，；且．求的值． 12．整体思想是中学数学解题中一种重要思想方法． 有这样一道题：“如果整式a+b的值为-4，那么整式2(a+2b)+3a+b”的值是多少？” 爱动脑筋的小明同学把a+b作为一个整体进行求解，解题过程为： 原式=2a+4b+3a+b=5a+5b=5(a+b)=5×(-4)=-20． 请仿照以上解题方法，解决下面的问题： (1)已知a2+a=3，求2a2+2a+2022的值； (2)已知a-2b=-3，求3(a-b)-4a+5b+5的值． 13．我们知道，．类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)若把看成一个整体，则合并的结果是 ． (2)已知，求的值． 14．A、B、C、D四个车站的位置如图所示，A、B两站之间的距离AB=a-b，B、C两站之间的距离BC=2a-b，B、D两站之间的距离BD=a-2b-1．求： (1)A、C两站之间的距离AC； (2)若A、C两站之间的距离AC=90km，求C、D两站之间的距离CD． 15．数学中，运用整体思想方法在求整式的值时非常重要． 例如：已知m2＋3m＝1，则2m2＋6m＋1＝2（m2＋3m）＋1＝2×1＋1＝3 请你根据上面材料解答以下问题： (1)若n2﹣2n＝3，求2﹣n2＋2n的值； (2)当x＝1时，px3＋qx﹣1＝4，当x＝﹣1时，求px3＋qx﹣1的值； (3)当x＝2021时，ax5＋bx3＋cx＋2＝k，当x＝﹣2021时，直接写出ax5＋bx3＋cx＋2的值（用含k的式子表示）． 16．【阅读理解】“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛． 比如，，类似地，我们把看成一个整体， 则． (1)化简的结果是______． (2)化简求值，，其中． (3)若，请直接写出的值． 专题06 整式加减中的无关型问题 1．有这样一道题：“求的值，其中，”，小马虎把“”错抄成“”，但他计算的结果却是正确的，你觉得可能吗？请用具体过程说明为什么？并求出正确答案． 2．已知，． （1）求A－B； （2）若2A－mB中不含x项，求m的值． 3．已知A＝4x²＋ax＋b，B＝2bx²－3x－1，且A－2B的值与x的取值无关． （1）求a，b的值； （2）求代数式a²－2ab＋（－b）2021的值． 4．已知：与的和不含关于的一次项． 求的值，并写出它们的和； 请你说明不论取什么值，这两个多项式的和总是正数的理由. 5．已知多项式的值与字母的取值无关，求，的值． 6．已知A＝3a2b﹣2ab2+abc，B＝﹣2a2b+ab2+2abc． （1）求2A﹣B； （2）小强同学说：“当c＝﹣2018时和c＝2018时，（1）中的结果都是一样的”，你认为对吗？说明理由； （3）若a＝，b＝，求2A﹣B的值． 7．已知：A＝ax2﹣x﹣1，B＝3x2﹣2x+2（a为常数） (1)当a＝时，化简：B﹣2A； (2)在（1）的条件下，若B﹣2A﹣2C＝0，求C； (3)若A与B的和中不含x2项，求a的值． 8．老师写出一个整式（ax2+bx-1）-（4x2+3x）（其中a、b为常数，且表示为系数），然后让同学给a、b赋予不同的数值进行计算， (1)甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为2x2-3x-1，则甲同学给出a、b的值分别是a=_______，b=_______； (2)乙同学给出了a=5，b=-1，请按照乙同学给出的数值化简整式； (3)丙同学给出一组数，计算的最后结果与x的取值无关，请直接写出丙同学的计算结果． 9．已知：，，且当取任意数值，的值是一个定值，求的值. 10．试说明：不论x取何值，代数式的值恒不变． 11．已知．；求： (1)3A+6B； (2)若3A+6B的值与x无关，求y的值． 12．已知多项式化简后不含项． (1)求m的值； (2)化简并求多项式的值． 13．已知代数式 (1)若， ①求； ②当时，求的值； (2)若（a为常数），且A与B的和不含项，求整式的值． 14．一个多项式的次数为，项数为，我们称这个多项式为次多项式或者次项式，例如：为五次三项式，为二次四项式． （1）为________次________项式． （2）若关于、的多项式，，已知中不含二次项，求a+b的值． （3）已知关于的二次多项式，在时，值是，求当时，该多项式的值． 15．（1）已知，若，求的值； （2）已知多项式与 多项式的差中不含有，求的值． 16．关于x，y的多项式6mx2＋4nxy＋2x＋2xy－x2＋y＋4不含二次项，求多项式2m2n＋10m－4n＋2－2m2n－4m＋2n的值． 17．按照下面的步骤计算： 任意写一个三位数，百位数字比个数数字大3交换差的百位数字与个位数字用大数减去小数交换它的百位数字与个位数字做加法 问题：(1)用不同的三位数再做两次，结果都是1089吗？ (2)你能解释其中的道理吗？ 专题07 一元一次方程有整数解 1．若整数使关于的一元一次方程有非正整数解，则符合条件的所有整数之和为　　 A． B． C．0 D．3 2．为整数，关于的一元一次方程的解也为整数，则所有满足条件的数的和为　　 A．0 B．24 C．36 D．48 3．为正整数，且关于的一元一次方程解为整数，则满足条件的所有的值之和为　　 A．36 B．10 C．8 D．4 4．若为整数，则使关于的一元一次方程的解也是整数的的值有　　 A．8 B．10 C．12 D．14 5．已知关于的一元一次方程的解为偶数，则整数的值不可能是　　 A．4 B．2 C．1 D．0 6．已知关于的一元一次方程中，为整数．若方程的解是整数，则所有满足条件的取值之和为　　 A． B．0 C． D．4 7．若关于的一元一次方程的解是整数，则所有满足条件的整数取值之和是　　 A． B． C． D． 8．已知关于的一元一次方程的解是偶数，则符合条件的所有整数的和为　　 A． B． C． D． 9．已知关于的一元一次方程的解是整数，则符合条件的所有整数的和为　　 A． B． C．2 D．6 10．关于的一元一次方程的解是整数，则符合条件的所有整数的值的和是　　 A．0 B．4 C．6 D．10 11．已知关于的一元一次方程的解为正整数，则所有满足条件的整数有　　个． A．3 B．4 C．6 D．8 12．关于的一元一次方程的解是正整数，整数的值是 　　． 13．关于的一元一次方程的解是正整数，则整数的值为　　． 14．已知关于的整式，整式，若是常数，且的值与无关． （1）求的值； （2）若为整数，关于的一元一次方程的解是正整数，求的值． 15．设为整数，且关于的一元一次方程． （1）当时，求方程的解； （2）若该方程有整数解，求的值． 16．已知关于的一元一次方程①的根为正实数，实数，，，满足． （1）若方程①的根为正整数，求整数的值； （2）求代数式的值． 17．若关于的一元一次方程有一个正整数解，则可取的最小正数是多少？并求出相应的解． 18．关于的一元一次方程，其中是正整数． （1）当时，求方程的解； （2）若方程有正整数解，求的值． 19．若关于的一元一次方程的解是正整数，求整数的值． 20．已知方程是关于的一元一次方程． （1）求，满足的条件． （2）若为整数，且方程的解为正整数，求的值． 21．已知关于的一元一次方程． （1）若该方程的解为，求的值； （2）若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数的值. 专题08 一元一次方程应用题 1．操场环形跑道周长为，东东和乐乐一起去跑步，乐乐的速度为，东东的速度是． （1）若他们俩同时同地背向跑，则多少秒后两人第一次相遇？ （2）若他们俩同地同向跑，东东先跑，则经过多少秒后两人第一次相遇？ （3）若他们俩同时同向跑，乐乐在东东前面，经过多少秒后两人第一次相遇？ 2．甲、乙两人在一条的环形跑道上跑步．已知甲的速度是，乙的速度是． （1）若两人同时同地反向跑，何时两人第一次相遇？ （2）若两人同时同地同向跑，多长时间两人第一次相遇．此时两人一共跑了几圈？ （3）若两人同地同向跑，甲先跑，经过多长时间两人第一次相遇？ 3．甲、乙两人在400米环形跑道上练习长跑，两人速度分别是200米分和160米分． （1）若两人从同一地点同时向相反方向跑，多少分钟后两人第一次相遇？ （2）若两人从同一地点同时同向起跑，多少分钟后两人第一次相遇？ 4．甲乙两人在一长800米的环形跑道上练习长跑，甲的速度是120米分，乙的速度是100米分． （1）若甲乙两人从相距140米的两地背向而行，问几分钟后两人首次相遇？ （2）若甲乙两人同时同地同向出发，问几分钟两人首次相遇？ 5．甲、乙两人在300米的环形跑道上练习长跑，甲的速度是6米秒，乙的速度是7米秒． （1）如果甲、乙两人同地背向跑，乙先跑2秒，那么再经过多少秒两人相遇？ （2）如果甲、乙两人同时同地同向跑，乙跑几圈后能首次追上甲？ （3）如果甲、乙两人同时同向跑，乙在甲前面6米，经过多少秒后两人第二次相遇？ 6．小明与哥哥在环形跑道上练习长跑，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒相遇一次．现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑20圈． 求（1）若哥哥的速度为8米秒，小明的速度为4米秒，环形跑道的长度为多少米？ （2）若哥哥的速度为6米秒，则小明的速度为多少？ （3）哥哥的速度是小明的多少倍？ （4）哥哥追上小明时，小明跑了 　　圈（直接写出答案） 7．甲、乙两人在周长400米的环形跑道上竞走，已知乙的速度是平均每分钟80米，甲的速度是乙的1.25倍，甲在乙前100米，现在两人同时同向出发，问多少分钟后，甲可以追上乙？ 8．甲、乙两人参加环形跑道竞走比赛，跑道一周长400米，乙的速度是80米分钟，甲的速度是乙的速度的倍．若甲现在在乙的前面100米处，多少分钟后，两人第一次相遇？ 9．一条环形跑道长400米，甲练习自行车平均每分钟行驶550米，乙练习赛跑，平均每分钟跑250米．两人同时同地相背出发，经过多长时间，两人首次相遇？ 10．甲、乙两人在400米环形跑道上练习跑步，已知甲的速度为每分钟200米，乙的速度为每分钟120米，且两人都是同时出发，同向而行的， （1）如果甲、乙两人从同一个地点出发，那么几分钟后两人第一次相遇？ （2）如果甲在乙前方80米处，那么几分钟后两人第一次相遇？ 1．一件商品在进价基础上提价后，又以9折销售，获利20元，则进价是多少元？（列方程解答） 2．某玩具厂出售一种玩具，其成本价每件28元，现有两种方式销售． 方式1：直接由玩具厂的门市部销售，每件产品售价为40元，同时每月还要支出其他费用3600元； 方式2：委托某一商场销售，出厂价定为每件35元． （1）若每个月销售件，则方式1可获得利润为 　　，方式2可获得利润为 　　； （2）若每个月销售量达到2000件时，采用哪种销售方式获得利润较多？ （3）请列一元一次方程求解：每个月销售多少件时，两种销售方式所得利润相等？ 3．某水果店老板分别以22元箱购进长泰芦柑、30元箱购进天宝香蕉两种水果，共花费6000元．其中购进天宝香蕉的箱数比长泰芦柑的箱数的多15箱，请你帮老板补充完成以下信息表，并帮他算算购进的这两种水果全部卖完后一共可获得多少利润．（注：利润售价进价） 长泰芦柑 天宝香蕉 进价（元箱） 售价（元箱） 29 40 利润（元箱） 4．某超市为了回馈顾客，若一次性购物不超过300元不优惠，超过300元时按全额9折优惠．一位顾客第一次购物付款180元，第二次购物付款288元，若这两次购物付款合并成一次性购物付款可节省多少元？ 5．一件服装标价300元，打6折出售仍可获得的利润，求这件服装的进价（要求列一元一次方程方法求解）． 6．“沙场点兵”是汉城景区的一个特色节目，“电动马玩具”在景区非常畅销，小李在某网店选中、两款电动马玩具，决定从该网店进货并销售，两款玩具的进货价和销售价如下表： 类别 价格 款玩具 款玩具 进货价（元个） 40 30 销售价（元个） 56 45 （1）第一次小李用1100元购进了，两款玩具共30个，求两款玩具分别购进多少个？ （2）第二次小李进货时，款玩具的进货量是款玩具的一半，将进货的玩具全部售出，共获利润920元．求两款玩具分别购进多少个？ 7．今年某网购商城在元旦期间做促销活动，其活动规则如下：①购物不大于100元不给优惠；②购物大于100元且不大于500元的部分打9折；③购物大于500元的部分打8折． （1）小聪第1次购物300元，按活动规则实际应付 　　元； （2）小聪第2次购物元，且实际付款大于460元，求小聪第2次购物节省了多少元（用含的代数式表示）？ （3）若小聪将这两次的购物量合为一次性购买，比分两次购买节省了多少元？ 8．阳光超市从厂家购进甲、乙两种型号的水杯，已知一只乙种型号水杯比一只甲种型号水杯贵10元．现一次性购进甲种型号水杯200只，乙种型号水杯300只，共花去13000元． （1）求甲、乙两种型号的水杯进价各是多少元？ （2）第二次进货用10000元钱又购进这两种型号水杯，如果每销售出一个甲种型号水杯可获利10元，售出一个乙种型号水杯可获利9元，超市决定每售出一个甲种型号水杯就为当地“新冠疫情防控”捐元用于购买防控物资．若甲、乙两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时为多少？利润为多少？ 9．元旦期间，某超市将甲种商品降价，乙种商品降价开展优惠促销活动，已知甲乙两种商品的原销售单价之和为1400元，李叔叔参加活动购买甲乙各一件，共支付1000元． （1）甲乙两种商品的原销售单价分别为多少？ （2）如果超市在这次促销活动中甲商品亏损了，乙商品盈利了，那么商场在这次促销多动中是盈利了还是亏损了？ 10．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． （1）甲种商品每件售价为 　　元，每件乙种商品利润率为 　　； （2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 17．某商场从厂家购进了、两种品牌的运动裤共100件，已知购买品牌运动裤比购买品牌运动裤多花6000元，其中品牌运动裤每件进价是150元，品牌运动裤每件进价是200元． （1）求购进、两种品牌运动裤各多少件？ （2）在销售过程中，品牌运动裤每件售价是230元，很快全部售出；品牌运动裤每件按进价加价销售，售出一部分后，出现滞销，商场决定打七折出售剩余的品牌运动裤，两种品牌运动裤全部售出后共获利14000元，有多少件品牌运动裤打七折出售？ 18．甲乙两家店，在双十一期间的优惠活动方案如下表： 甲 乙 一次性购买不足200元 打标价的9折 无优惠 一次性购买满200元不满500元 打标价的8折 共减30元 一次性购买满500元不满1000元 打标价的7折 共减元 （1）当天在甲乙两店分别购买标价300元的商品，问：共支付多少元？ （2）已知两次在乙店购买标价均为400元的商品，发现比在该店一次性购买这两件商品要多支付30元． ①求的值． ②若小明当天在甲乙两店各购买一件商品，两件商品总标价合计700元，且在甲店购买的商品标价小于乙店，实际共支付605元，问小明在甲乙两店购买的商品标价分别是多少？ 1．某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少工人生产螺钉，多少工人生产螺母？ 2．某中学七年级（一班共有学生52人，其中女生比男生多4人，在社会实践课上用硬纸板制作茶盒子的盒身和盒底，在规定的时间内每个同学剪盒身40个或剪盒底50个． （1）该班分别有男生、女生各多少人． （2）如果一个盒身配2个盒底，要使在规定的时间中制作的盒身和盒底刚好配套，应该怎样分配学生． 3．现用21张纸板制作盒子，每张纸板可制作盒身（侧面）2个或盒底3个，一个盒身配两个盒底． （1）为不浪费纸板，若设用张纸板制作盒身，剩下　　张制作盒底，使得盒身与盒底刚好配套，列出方程并求解出． （2）若有63张一样的纸板，问一共可制作多少个盒子？ 4．某车间有50名工人，每人平均每天可加工螺栓9个或螺母12个，要使每天加工的螺母数是螺栓数的2倍，应如何分配加工螺栓和螺母的工人？ 5．用白铁皮做罐头盒．每张铁皮做盒身10个或盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有100张白铁皮，用多少张做盒身，多少张做盒底既可以充分利用白铁皮又能使作出的盒身与盒底配套？ 6．一张学生课桌由一个桌面和四条桌腿组成．若1立方米木料可制作桌面50个或桌腿300条，现有15立方米木料，请你设计一下用多少木料制作桌面，用多少木料制作桌腿恰好配套． 7．有蓝色和黑色两种布料，其中蓝布料每米30元，黑布料每米50元． （1）若花了5400元买两种布料共136米，两种布料各买了多少米？ （2）用蓝布料做上衣，每件上衣需要布料1.5米，用黑布料做裤子，每条裤子需要布料1.2米，一件上衣和一条裤子配成一套．购买这两种布料共162米做上衣和裤子，布料全部用完，且做的上衣和裤子刚好完全配套，购买这162米布料花了多少元？ 8．某车间有技术工人56人，平均每天每人可加工甲种部件18个或乙种部件15个，2个甲种部件和3个乙种部件配成一套，问加工甲、乙两种部件各安排多少人才能使每天加工的两种部件刚好配套？并求出加工了多少套？ 9．一车间加工轴杆和轴承，每名工人每天平均可以加工轴杆12根或者轴承16个，1根轴杆与2个轴承为一套，该车间共有90名工人； （1）应该怎样调配，多少名工人加工轴杆，多少名工人加工轴承，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套？ （2）由于急需，又从二车间抽调12名具有相同能力的工人来一车间；问能安排这些新来的工人加工轴杆、轴承，使每天生产的轴承和轴杆正好配套？ 专题09 和线段有关的计算 1．已知：如图1，是定长线段上一定点，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示在线段上，在线段上） （1）若，当点、运动了，求的值． （2）若点、运动时，总有，直接填空：　　． （3）在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 2．已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧， （1）若，，线段在线段上移动， ①如图1，当为中点时，求的长； ②当点是线段的三等分点时，求的长； （2）若，线段在直线上移动，且满足关系式，则　　． 3．已知点在线段上，，点，在直线上，点在点的左侧． （1）若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②点（异于，，点）在线段上，，，求的长； （2）若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 4．已知：如图1，点是线段上一定点，，、两点分别从、同时出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示在线段上，在线段上） （1）若，当点、运动了，此时　　，　　；（直接填空） （2）当点、运动了，求的值； （3）若点、运动时，总有，则　　（填空）； （4）在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 5．如图，已知是线段上一点，，，两点从，同时出发，分别以每秒2厘米，每秒1厘米的速度沿方向运动，当点到达终点时，点也停止运动，设（厘米），点，的运动时间为（秒． （1）用含和的代数式表示线段的长度； （2）当时，，求线段的长； （3）当时，求的值． 6．已知：如图1，是定长线段上一定点，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示在线段上，在线段上） （1）若，当点、运动了，求的值． （2）若点、运动时，总有，直接填空：　　． （3）在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 7．如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如果点是折线的“折中点”，请解答以下问题： （1）已知，． 当时，点在线段　 　上； 当时，点与　 　重合； 当时，点在线段　 　上； （2）若为线段中点，，，求的长度． 8．如图，是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点运动时间为秒． （1）当时，①　 　．②求线段的长度． （2）①点沿点运动时，　 　； ②点沿点运动时，　 　．（用含的代数式表示的长） （3）在运动过程中，若中点为，则的长是否变化，若不变，求出的长；若发生变化，请说明理由． 9．如图，点、在线段上，． （1）若点是线段的中点，求的值； （2）若，求的值； （3）若线段上有一点（不与点重合），，求的长． 10．如图，点、是线段上的两点，点和点分别在线段和线段上． （1）当，，，时，　 　； （2）若， ①当，时，求的长度（用含和的代数式表示） ②当，是正整数）时，直接写出　 　．（用含、、的代数式表示） 11．如图，为线段延长线上一点，为线段上一点，，为线段上一点， （1）若，，求的长； （2）若，求的长；（用含的代数式表示） （3）若图中所有线段的长度之和是线段长度的7倍，则的值为　 　． 12．如图，是线段上一点，，． （1）　　； （2）动点、分别从、同时出发，点以的速度沿向右运动，终点为；点以的速度沿向左运动，终点为．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．求运动多少秒时，、、三点，有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？ 专题10 和角平分线有关的计算 1．已知， （1）如图1，、分别平分和，若，则是 　　； （2）如图2，、分别平分和，若，求的度数（写推理过程）． （3）若、分别平分和，，则的度数是 　　（在稿纸上画图分析，直接填空）． 2．我们学过角的平分线的概念．类比给出新概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条，例如：如图1，若，则是的一条三分线． （1）如图1，若，若，求的度数； （2）如图2，若，若，是的两条三分线． ①求的度数； ②现以为中心，将顺时针旋转度得到，当恰好是的三分线时，则求的值． （3）如图3，若，是的一条三分线，，分别是与的平分线，将绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若射线恰好是的三分线，则此时绕点旋转的时间是多少秒？（直接写出答案即可，不必说明理由） 3．如图，已知内部有三条射线，平分，平分． （1）若，，求的度数； （2）若，求的度数（写出求解过程）； （3）若将条件中“平分，平分．平分”改为“，”，且，求的度数（写出求解过程）． 4．如图，已知，． （1）求的度数； （2）若射线绕点以每秒旋转的速度顺时针旋转，同时射线以每秒旋转的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，试求当时的值； （3）若绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，平分，平分，在旋转的过程中，的度数是否发生改变？若不变，求出其值：若改变，说明理由． 5．根据阅读材料，回答问题． 材料：如图所示，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．如果一条射线把一个角分成两个相等的角和，这条射线叫做这个角的平分线．这时，（或． 问题：平面内一定点在直线的上方，点为直线上一动点，作射线，，．当点在直线上运动时，始终保持，，将射线绕点顺时针旋转得到射线． （1）如图1，当点运动到使点在射线的左侧时，若平分，求的度数； （2）当点运动到使点在射线的左侧，时，求的值； （3）当点运动到某一时刻时，，直接写出此时的度数． 6．我们已学习了角平分线的概念，那么你会用它们解决有关问题吗？ （1）如图1所示，将长方形笔记本活页纸片的一角折过去，使角的顶点落在处，为折痕．若，求的度数． （2）在（1）条件下，如果又将它的另一个角也斜折过去，并使边与重合，折痕为，如图2所示，求的度数． 7．如图，已知，以为顶点，为一边画，若，与的平分线分别为，． （1）如图1，若射线在的内部，求的度数． （2）如图2，若射线在的外部，求的度数． （3）由（1）、（2）题结果中的规律，若把“改为为锐角）”，其余条件不变，的度数会发生变化吗？若变化，请求的度数；若不变，请说明理由． 8．如图1，，，平分 （1）若，则　 　 （2）将绕点旋转至如图2位置，求和的数量关系 （3）在（2）的条件下，在内部是否存在射线，使，且？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 9．如图1，已知，，是内部的一条射线，且平分． （1）若，则　 　； （2）若，则　 　； （3）若，则　 　（用含的式子表示）． （4）当射线绕点逆时针旋转到如图2的位置时，请把图补充完整；此时，与有怎样的数量关系？请说明理由． 10．已知，，若射线绕点在内部旋转，平分． （1）如图1，当时，请直接写出和的度数：　 　；　 　； （2）请分别求出当和时，的度数（利用备用图，画出图形并写出简要的过程）； （3）若，请用含的式子表示的度数（直接写出结果）． 学科网（北京）股份有限公司 $$