精品解析：河南省驻马店市上蔡中学等校2023-2024学年高二下学期第二次月考（4月）数学试题

河南省驻马店市上蔡中学等校2023-2024学年高二下学期第二次月考（4月）数学试题 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容:北师大版选择性必修第一册占，选择性必修第二册第一章，第二章前4节占. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 15 B. 35 C. 75 D. 105 3. 由5对数据绘制散点图，其样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 4. 已知函数在处可导，若，则（ ） A. 22 B. 11 C. -22 D. -11 5. 泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即.现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率不超过的概率约为（参考数据:）（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，的大致图象如图所示，的导函数为，的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 无法判断与的大小 7. 高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为，则随机变量的期望与方差分别为（ ） A. B. 2，1 C. 3，1 D. 8. 某地区是典型的盐碱地区，面对盐碱地改造成本高、维护难的现实，农技人员从“以种适地”角度入手，近年来相继培育出“捷麦”和“捷麦”等自主研发的旱碱麦品种，亩产量大幅提高，有力促进农民收入增长，带动农村经济发展现有，，，四块盐碱地，计划种植“捷麦”和“捷麦”这两种旱碱麦，若要求这两种旱碱麦都要种植，每块盐碱地种植一种旱碱麦，则不同的种植方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，随机变量，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 在空间直角坐标系中，已知，则（ ） A. B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 从这6个点中选2个点确定一条直线，则有13条不同的直线 D. 从这6个点中选3个点确定一个平面，则有20个不同的平面 11. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. 是递增数列 B. 使成立的最大正整数的值为5 C. D. 若数列的前项和为，则 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为______. 13. 设等比数列的前项和为，若，则_________________. 14. 最优化原理是要求在目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答:若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为_____________. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的课程，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校统计了学生的选课情况，得到如下的表格. 选择课程A 选择课程 男生 40 60 女生 20 80 （1）根据上表，能否有的把握认为选择的课程与性别有关? （2）现从男生的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，再从这5名男生中抽取3人做问卷调查，求这3人中选择课程的人数比选择课程的人数多的概率. 附:. 当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的; 当时，有的把握判断变量A，B有关联; 当时，有的把握判断变量A，B有关联; 当时，有的把握判断变量A，B有关联. 16. 已知数列 的首项 且 （1）证明: 是等比数列； （2）求数列 的前项和. 17. 已知函数. （1）求的图象在点处的切线方程; （2）求过点且与曲线相切的切线方程. 18. 已知正项数列的前项和为，且. （1）证明：是单调递减数列. （2）求数列的前项和. 19. 已知椭圆的上、下顶点分别为，左、右顶点分别为，四边形的面积为，且椭圆上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6. （1）求椭圆的方程. （2）过的直线分别与椭圆另交于两点（PQ与轴不平行），与直线交于两点，且，过坐标原点作直线PQ的垂线，垂足为，试问平面内是否存在定点，使得|HR|为定值?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省驻马店市上蔡中学等校2023-2024学年高二下学期第二次月考（4月）数学试题 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容:北师大版选择性必修第一册占，选择性必修第二册第一章，第二章前4节占. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再代入原函数进而求出. 【详解】因为，，所以， 所以，即，所以. 故选：A. 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 15 B. 35 C. 75 D. 105 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质计算即得. 【详解】在等差数列中，，则， 所以. 故选：B 3. 由5对数据绘制散点图，其样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用线性回归方程过样本中心即可求解． 【详解】由题意可得，， 又经过点,，所以，解得． 故选：C． 4. 已知函数在处可导，若，则（ ） A. 22 B. 11 C. -22 D. -11 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的定义分析求解即可. 【详解】因为 ,又， 所以. 故选：A. 5. 泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即.现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率不超过的概率约为（参考数据:）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】100个元件，次品率不超过，即次品数为0或1，根据题干公式，求即可. 【详解】由题意知，则，所以. 因为， 所以次品率不超过的概率约为. 故选：B 6. 已知函数，的大致图象如图所示，的导函数为，的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 无法判断与的大小 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义分析判断. 【详解】由图可知：函数在处的切线斜率大于函数在处的切线斜率， 所以. 故选：B. 7. 高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为，则随机变量的期望与方差分别为（ ） A. B. 2，1 C. 3，1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项分布的概率公式及离散型随机变量的期望公式、方差公式一一计算即可. 【详解】白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均为， 则向左的次数服从二项分布. 因为，， 所以，. 故选：C 8. 某地区是典型的盐碱地区，面对盐碱地改造成本高、维护难的现实，农技人员从“以种适地”角度入手，近年来相继培育出“捷麦”和“捷麦”等自主研发的旱碱麦品种，亩产量大幅提高，有力促进农民收入增长，带动农村经济发展现有，，，四块盐碱地，计划种植“捷麦”和“捷麦”这两种旱碱麦，若要求这两种旱碱麦都要种植，每块盐碱地种植一种旱碱麦，则不同的种植方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意，由分类加法和分步乘法原理，第一类，先选一块地种植一种旱碱麦，剩下的三块地种植另外一种旱碱麦；第二类，先选两块地种植一种旱碱麦，剩下的两块地种植另外一种旱碱麦，再利用排列组合计算可得. 【详解】第一类，先选一块地种植一种旱碱麦，剩下的三块地种植另外一种旱碱麦，则不同的种植方案有种； 第二类，先选两块地种植一种旱碱麦，剩下的两块地种植另外一种旱碱麦，则不同的种植方案有种． 故不同的种植方案共有种， 故选：C． 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，随机变量，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】首先根据二项分布求和，再结合正态分布的对称性，即可判断选项. 【详解】因为， 所以，故错误，正确； 因为， 所以， 因为，所以错误； 因为，所以，所以，故D正确. 故选：BD 10. 在空间直角坐标系中，已知，则（ ） A. B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 从这6个点中选2个点确定一条直线，则有13条不同的直线 D. 从这6个点中选3个点确定一个平面，则有20个不同的平面 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：利用空间向量的数量积证明线线垂直；对于B：求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角；对于C：注意到三点共线，结合组合数分析求解；对于D：注意五点共面四点共面，结合组合数运算求解. 【详解】根据题意可得图形，如图所示： 对于选项A：因为， 则，则，即，故A正确； 对于选项B：因为，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设直线与平面所成的角为， 则，故B错误； 对于选项C：因为三点共线，所以从这6个点中选2个点确定一条直线， 则有条不同的直线，故C正确； 对于选项D：因为五点共面四点共面， 所以从这6个点中选3个点确定一个平面， 则有个不同的平面，故D错误. 故选：AC. 11. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. 是递增数列 B. 使成立的最大正整数的值为5 C. D. 若数列的前项和为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合数列的递推关系及数列单调性判断A；计算数列的前几项和结合单调性判断B；直接计算判断C；结合数列的裂项相消法求和和不等式的性质判断D. 【详解】由，可得， 由，得，，，，，...， 显然，则，所以是递增数列，，故AB正确； 当时，，，故C错误； ，可得， 所以， 则， 由，所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和，还有一类隔一项的裂项求和. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题可知可根据二项式定理求的系数，然后去括号合并同类项即可. 【详解】的展开式的通项， 又， 令， 所以的系数为， 故答案为：. 13. 设等比数列的前项和为，若，则_________________. 【答案】21 【解析】 【分析】根据等比数列前项和的性质可得结果. 【详解】设，则. 因为为等比数列，所以仍成等比数列. 又，所以，即， 所以， 故答案为：21. 14. 最优化原理是要求在目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答:若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】将函数求导，然后令导数为，即可求得点的坐标，再由点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】对函数求导可得， 其中直线的斜率为2， 则令，即，解得或（舍）， 当时，， 则曲线上一点到直线的距离最小， 由点到直线的距离公式可得最小值为. 故答案为： 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的课程，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校统计了学生的选课情况，得到如下的表格. 选择课程A 选择课程 男生 40 60 女生 20 80 （1）根据上表，能否有的把握认为选择的课程与性别有关? （2）现从男生的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，再从这5名男生中抽取3人做问卷调查，求这3人中选择课程的人数比选择课程的人数多的概率. 附:. 当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的; 当时，有的把握判断变量A，B有关联; 当时，有的把握判断变量A，B有关联; 当时，有的把握判断变量A，B有关联. 【答案】（1）有的把握认为选择的课程与性别有关 （2） 【解析】 【分析】（1）由列联表可得的值可得结论； （2）先求得选择两种课程的人数，进而利用古典概型概率公式可求概率. 【小问1详解】 由列联表可得， 所以有的把握认为选择的课程与性别有关； 【小问2详解】 根据男性选择课程与课程的人数之比为， 所以分层抽样的方法选出的5人中选择课程与课程的人数分别为2人与3人， 从5人中选择3人的选法有种， 这3人中选择课程的人数比选择课程的人数多的选法有， 所以这3人中选择课程的人数比选择课程的人数多的选法的概率为. 16. 已知数列 的首项 且 （1）证明: 是等比数列； （2）求数列 的前项和. 【答案】（1）证明：因为，， 所以，， 显然，则， 故是首项为，公比为的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可； （2）结合（1）中结论求得的通项公式，再利用错位相减法及分组求和法即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 则， 令， 故， 上两式相减得，， 所以， 所以. 17. 已知函数. （1）求的图象在点处的切线方程; （2）求过点且与曲线相切的切线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求导可得，又，可求切线方程； （2）设曲线在点处的切线过点，求得曲线在点处的切线方程，利用过点，可求解得切线方程. 【小问1详解】 由函数，可得， 所以，又， 所以的图象在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 设曲线在点处的切线过点， 由（1）可得，又， 所以曲线在的切线方程为， 又曲线过点，所以， 解得或， 当时，，化简为， 当时，，化简为, 所以过点且与曲线相切的切线方程为.或. 18. 已知正项数列的前项和为，且. （1）证明：是单调递减数列. （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明：当时，，得. 因为，所以. 当时，由， 得，即. 因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以. 当时，也适合该式，所以. 因为，且，所以是单调递减数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系可得，即可求证为等差，即可求解，进而可得，利用作商法即可求解， （2）根据为奇数和偶数，即可裂项求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为. 所以当为偶数时，， 当为奇数时，， 故 19. 已知椭圆的上、下顶点分别为，左、右顶点分别为，四边形的面积为，且椭圆上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6. （1）求椭圆的方程. （2）过的直线分别与椭圆另交于两点（PQ与轴不平行），与直线交于两点，且，过坐标原点作直线PQ的垂线，垂足为，试问平面内是否存在定点，使得|HR|为定值?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在定点，使得为定值 【解析】 【分析】（1）根据题意结合椭圆的性质列式求解，即可得结果； （2）求得点，进而可得，设直线的方程为，与椭圆联立方程，由根与系数的关系可得，运算可得或，可得直线过定点，可求结论. 【小问1详解】 由题意可知：，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 存在定点，使得为定值，理由如下： 由（1）可知， 直线的方程为，令，可得， 所以，同理可得， 由，所以，所以， 显然斜率不为0，设直线的方程为， 联立，消去可得， 整理可得，需满足， 所以， 由，可得， 所以， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以或， 当，直线过定点，不符合题意， 当，可得直线过定点， 又直线，所以在以为直径的圆上， 所以为圆心可满足题意，即. 【点睛】方法点睛：对于直线与圆锥曲线的题目，基本方法是联立直线方程与曲线方程，化成关于横坐标或纵坐标有关的一元二次方程，结合韦达定理进行运算解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $