专题14 整式-2024年小升初数学无忧衔接（2024新教材通用版）

专题14 整式 1. 掌握单项式和多项式、整式的定义； 2. 掌握单项式的系数和次数的概念； 3. 掌握多项式的项、项数和次数的概念； 4. 培养观察、归纳、概括和语言表达的能力。 题型探究 题型1、单项式的概念辨析 3 题型2、单项式的系数与次数 4 题型3、多项式的概念辨析 5 题型4、多项式的项与次数 6 题型5、整式的概念辨析 7 题型6、书写符合条件的单项式或多项式 8 题型7、根据单项式（多项式）的次数、项数求参数 9 培优精练 A组（能力提升） 11 B组（培优拓展） 16 【思考1】（1）观察下列式子，他们都有哪些共同特点？ a；；；﹣x2y2；2ab； （2）观察下列式子，他们都有哪些共同特点？与单项式有什么联系？ ；；；；2ab+6；-x3﹣2x2y+3π 1. 单项式的概念 单项式：数或字母的积（单独的一个数或一个字母也是单项式）。例：5x；100；x；10ab等。 注：分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式。例：不是单项式。 单项式的系数：单项式中的数字叫做单项式的系数。例：的系数为。 单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和。例： 的次数为3次。 2. 多项式的有关概念 多项式：几个单项式的和。 项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。 常数项：不含字母的项。 多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n次，就叫做n次式）。 3. 整式的概念 整式：单项式与多项式统称为整式。 注：①多项式是由多个单项式构成的；②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算； ③分母中含有字母的式子不是整式（故不是单项式或多项式） 题型1、单项式的概念辨析 【解题技巧】单项式：数或字母的积。（单独的一个数或一个字母也是单项式）。 例1．（2023·黑龙江·七年级校考期中）代数式：，，，t，，，，其中单项式的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 变式1．（2023·广东惠州·七年级统考期中）下列代数式 ，0， ，  ， ， ， 中，单项式共有（     ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 变式2．（2023·河北唐山·七年级统考期中）代数式，，，a，20，，中单项式的个数是（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 题型2、单项式的系数与次数 【解题技巧】单项式的系数：单项式中的数字叫做单项式的系数。 单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和。。 例1．（2023·福建三明·七年级校考期中）下面的说法中，正确的是（    ） A．单项式的次数是2次 B．中底数是2 C．的系数是3 D．3是单项式 变式1．（2023·江西赣州·七年级统考期末）若单项式的次数为 ． 变式2．（2023·四川成都·七年级校考阶段练习）单项式的系数是 ． 变式3．（2023·浙江七年级期中）下列说法正确的是（    ） A．单项式既没有系数，也没有次数 B．单项式的系数是 C．式子是单项式 D．有理数是单项式 题型3、多项式的概念辨析 【解题技巧】多项式：几个单项式的和。 例1．（2023·江西赣州·七年级统考期末）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦，多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．（2023·河南·七年级统考期中）下列代数式中，不是多项式的是（    ）． A． B． C． D． 变式2．（2023秋·浙江·七年级专题练习）下列式子：，，，4，，，，其中是多项式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型4、多项式的项与次数 【解题技巧】多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。 常数项：不含字母的项。 多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n次，就叫做n次式）。 例1．（2023·江西吉安·七年级统考期中）多项式是（   ） A．三次四项式 B．三次三项式 C．四次四项式 D．四次三项式 变式1．（2023·安徽合肥·七年级校考阶段练习）对于多项式，下列说法正确的是（     ） A．最高次项是 B．二次项系数是 C．常数项是 D．是三次四项式 变式2．（2023·福建·七年级校考期中）关于多项式，下列说法错误的是（    ） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．按y降幂排列为 D．四次项的系数是3 题型5、整式的概念辨析 【解题技巧】整式：单项式与多项式统称为整式。 例5．（2023·上海浦东新·七年级校考期中）在代数式；；；；；中整式的个数有（      ）个． A． B． C． D． 变式1．（2023·福建漳州·七年级漳州实验中学校考期中）在代数式：中，整式有（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式2．（2023·河北唐山·模拟预测）在，，，，等五个代数式中整式一共有（ ）个． A． B． C． D． 题型6、书写符合条件的单项式或多项式 【解题技巧】根据题设要求写出相应的单项式（多项式）即可，注意此类问题一般具有开放性，答案不唯一等特点，只要符合要求都可以得分。 例1．（2023秋·安徽亳州·七年级统考期中）请写出一个系数是负数，次数是5的单项式： ． 例2．（2023·上海·七年级统考期末）写一个只含有字母x，且一次项系数为的二次三项式： ． 变式1．（2023·河南鹤壁·七年级统考期中）写一个含有3个字母，系数是，次数是4的单项式，则这个单项式可以是 ．（写一个即可） 变式2. （2023•无锡七年级期末）写出一个次数是3，且只含有x，y的二项式：　 　． 题型7、根据单项式（多项式）的次数、项数求参数 【解题技巧】根据单项式和多项式的相关概念，找到适当的等量关系，建立方程求解即可。 例1．（2023·陕西榆林·七年级统考期中）已知单项式的次数与多项式的次数相同，求的值． 变式1．（2023秋·浙江七年级课时练习）已知多项式是五次多项式，单项式与该多项式的次数相同，则 ． 变式2．（2023秋·浙江七年级课时练习）已知多项式是五次四项式，最高次项的系数为，且单项式与该多项式的次数相同，求三次项系数． A组（能力提升） 1．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列各式中，不是单项式的是（    ） A． B． C．5 D． 2．（2023·河北沧州·七年级校考期中）下列代数式：，，，，，，a，其中整式有（　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 3．（2023·黑龙江佳木斯·七年级校考期中）下列说法正确的是（    ） A．的系数是，次数是3 B．的系数是，次数是8 C．的系数是，次数是5 D．的系数是5，次数是2 4．（2023·黑龙江·七年级校考期中）下列结论正确的序号是（    ） ①是一个二次多项式；②多项式的系数是；③多项式是整式；④多项式的次数是4；⑤是多项式． A．①②③④ B．①③ C．②③⑤ D．①④⑤ 5．（2023·福建南平·七年级统考期中）一组按规律排列的式子：，，，，，则第个式子是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考开学考试）下列各式中，是二次三项式的是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·广西七年级期末）下列说法错误的是（ ） A．是单项式也是整式 B．是多项式也是整式 C．整式一定是单项式 D．整式不一定是多项式 8．（2023·内蒙古·七年级统考期末）写出一个系数为，次数为4的单项式，这个单项式可以是 ． 9．（2023·黑龙江鸡西·七年级校考期中）多项式是 次 项式，它的常数项是 ． 10．（2023·安徽宣城·七年级校考期中）已知单项式的次数与多项式的次数相同，则 ． 11．（2023·安徽六安·七年级校考阶段练习）对下列式子进行分类． ． 单项式：（                       ）；多项式：（                       ）；整式：（                         ）． 12.（2023•双流区校级期中）已知（m+1）x3﹣（n﹣2）x2+（2m+5n）x﹣6是关于x的多项式． （1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？ （2）当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？ 13．（2022秋·河南周口·七年级校考阶段练习）有一列式子：①，②，③r，④，⑤，⑥，⑦，⑧1 (1)请把上述各式的序号分别填入如图所示的相应圆圈内： (2)填空：单项式中__________的次数最高，次数是__________． B组（培优拓展） 1.（2023·河南鹤壁·七年级期末）多项式是关于的四次三项式，则的值是（    ） A．4 B． C． D．4或 2．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期中）如果一个多项式的各项的次数都相同，那么这个多项式叫做齐次多项式，如：是3次齐次多项式，若是齐次多项式，则x的值是 ． 3．（2022秋·北京朝阳·七年级校考期中）观察下列图形及图形所对应的算式，               根据你发现的规律计算：（1）的结果为 ； （2）（是正整数）的结果为 ． 4．（2023秋·河北廊坊·七年级校考阶段练习）已知多项式，，该多项式的第12项为________，用字母、和表示多项式第项________．（为正整数） 5．（2022秋·吉林·七年级统考期末）任意写出一个含有字母m，n的三次四项式，其中最高次项的系数为6，常数项为-8的式子为___________． 6．（2022秋·陕西渭南·七年级统考期末）已知多项式中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，且a，b分别是点A、B在数轴上对应的有理数．(1)点A表示的数为________；点B表示的数为________； (2)一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，设运动的时间为t（秒），则用含t的式子表示甲、乙小球所在的点表示的数； (3)在（2）的条件下，求经过多长时间甲、乙小球相距2个单位长度？ 7．（2022秋·吉林松原·七年级校联考期中）若多项式是关于x的三次三项式，其中二次项系数为．(1)直接写出a与b之间的关系；(2)求的值． 8．（2022秋·湖南长沙·七年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“青一多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“青一和”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“青一多项式”，它的“青一和”为．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“青一多项式”的是 ；（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若关于x的“青一多项式”的“青一和”为7，且均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“青一多项式”，则多项式也是关于x，y的“青一多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 9．（2023·陕西咸阳·七年级校考期中）18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单的多面体模型，解答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 ________ 六面体 8 ________ 八面体 ________ 8 你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是_______； (2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有条棱，则这个多面体的面数多少？ 10．（2023·福建三明·七年级校考期中）（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空： 第1个点阵：    第2个点阵：    ______＋______ 第3个点阵：    ______＋______ （2）观察猜想，写出第个点阵相对应的等式． （3）根据以上猜想，求出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 第 3 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 整式 1. 掌握单项式和多项式、整式的定义； 2. 掌握单项式的系数和次数的概念； 3. 掌握多项式的项、项数和次数的概念； 4. 培养观察、归纳、概括和语言表达的能力。 题型探究 题型1、单项式的概念辨析 3 题型2、单项式的系数与次数 4 题型3、多项式的概念辨析 5 题型4、多项式的项与次数 6 题型5、整式的概念辨析 7 题型6、书写符合条件的单项式或多项式 8 题型7、根据单项式（多项式）的次数、项数求参数 9 培优精练 A组（能力提升） 11 B组（培优拓展） 16 【思考1】（1）观察下列式子，他们都有哪些共同特点？ a；；；﹣x2y2；2ab； （2）观察下列式子，他们都有哪些共同特点？与单项式有什么联系？ ；；；；2ab+6；-x3﹣2x2y+3π 1. 单项式的概念 单项式：数或字母的积（单独的一个数或一个字母也是单项式）。例：5x；100；x；10ab等。 注：分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式。例：不是单项式。 单项式的系数：单项式中的数字叫做单项式的系数。例：的系数为。 单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和。例： 的次数为3次。 2. 多项式的有关概念 多项式：几个单项式的和。 项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。 常数项：不含字母的项。 多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n次，就叫做n次式）。 3. 整式的概念 整式：单项式与多项式统称为整式。 注：①多项式是由多个单项式构成的；②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算； ③分母中含有字母的式子不是整式（故不是单项式或多项式） 题型1、单项式的概念辨析 【解题技巧】单项式：数或字母的积。（单独的一个数或一个字母也是单项式）。 例1．（2023·黑龙江·七年级校考期中）代数式：，，，t，，，，其中单项式的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】单项式就是数与字母的乘积，单独的数或字母是单项式，根据定义即可判断． 【详解】解：单项式就是数与字母的乘积，单独的数或字母是单项式， 所以是单项式的是：，，t，，所以单项式的个数是4个．故选：B． 【点睛】本题考查了单项式的定义，正确理解定义是关键． 变式1．（2023·广东惠州·七年级统考期中）下列代数式 ，0， ，  ， ， ， 中，单项式共有（     ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】据单项式的定义：数字和字母的乘积的形式，单个数字和字母，也是单项式，进行判断即可． 【详解】解： ，0， ，  ， ， ， 中，属于单项式的有 ，0， ，共4个；故选B． 【点睛】本题考查单项式．熟练掌握单项式的定义，是解题的关键． 变式2．（2023·河北唐山·七年级统考期中）代数式，，，a，20，，中单项式的个数是（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】根据单项式的定义：数字与字母的乘积叫做单项式，单独的一个数或单独的一个字母也是单项式，求解即可． 【详解】解：单项式有：，a，20，，共有5个，故选：B． 【点睛】本题主要考查了单项式的定义，熟悉相关性质是解题的关键，注意单独的一个数或单独的一个字母也是单项式． 题型2、单项式的系数与次数 【解题技巧】单项式的系数：单项式中的数字叫做单项式的系数。 单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和。。 例1．（2023·福建三明·七年级校考期中）下面的说法中，正确的是（    ） A．单项式的次数是2次 B．中底数是2 C．的系数是3 D．3是单项式 【答案】D 【分析】根据单项式的相关概念逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、单项式的次数是3次，故此选项错误，不符合题意； B、中底数是，故此选项错误，不符合题意； C、的系数是，故此选项错误，不符合题意； D、3是单项式，故此选项正确，符合题意；故选：D． 【点睛】本题考查了单项式的相关概念，由数与字母的积和字母与字母的积组成的代数式叫做单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，熟练掌握相关概念是解题的关键． 变式1．（2023·江西赣州·七年级统考期末）若单项式的次数为 ． 【答案】3 【分析】根据单项式的次数的定义得出即可． 【详解】单项式的次数为 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式的次数的定义，能熟记单项式的次数的定义的内容是解此题的关键，注意：单项式中的字母的指数的和，叫单项式的次数． 变式2．（2023·四川成都·七年级校考阶段练习）单项式的系数是 ． 【答案】 【分析】根据单项式中的数字因数叫做单项式的的系数解答即可． 【详解】解：单项式的系数是．故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式的概念，只含加、减、乘、乘方的代数式叫做整式，不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． 变式3．（2023·浙江七年级期中）下列说法正确的是（    ） A．单项式既没有系数，也没有次数 B．单项式的系数是 C．式子是单项式 D．有理数是单项式 【答案】D 【分析】根据单项式及其系数、次数的定义：只含有数与字母的积的整式叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．判断选择即可． 【详解】A、单项式系数是，次数是，故原说法错误； B、单项式的系数是，故原说法错误； C、式子是分式，不是单项式，故原说法错误； D、有理数是单独的一个数，也是单项式，故原说法正确．故选：D． 【点睛】本题考查单项式及其系数、次数的定义，熟练掌握单项式及其系数、次数的定义是解题关键． 题型3、多项式的概念辨析 【解题技巧】多项式：几个单项式的和。 例1．（2023·江西赣州·七年级统考期末）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦，多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】多项式是几个单项式和的形式． 【详解】解：多项式有：、共2个 故选：B． 【点睛】本题考了多项式的概念，抓住多项式是几个单项式的和． 变式1．（2023·河南·七年级统考期中）下列代数式中，不是多项式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多项式是几个单项式的和去判断即可． 【详解】A. 是多项式，不符合题意；B. 是多项式，不符合题意；     C. 不是多项式，符合题意；    D. 是多项式，不符合题意；故选B． 【点睛】本题考查了多项式，熟练掌握定义是解题的关键． 变式2．（2023秋·浙江·七年级专题练习）下列式子：，，，4，，，，其中是多项式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据多项式的定义解答即可． 【详解】解：由题意得，，均是多项式，共三个； 的分母含字母，不是整式；，4，是单项式；故选：B． 【点睛】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项． 题型4、多项式的项与次数 【解题技巧】多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。 常数项：不含字母的项。 多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n次，就叫做n次式）。 例1．（2023·江西吉安·七年级统考期中）多项式是（   ） A．三次四项式 B．三次三项式 C．四次四项式 D．四次三项式 【答案】C 【分析】根据多项式的定义解答即可． 【详解】解：项式是四次四项式．故选C． 【点睛】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 变式1．（2023·安徽合肥·七年级校考阶段练习）对于多项式，下列说法正确的是（     ） A．最高次项是 B．二次项系数是 C．常数项是 D．是三次四项式 【答案】D 【分析】根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫作多项式的次数进行分析即可． 【详解】解：多项式最高次项是，二次项系数是，常数项是，是三次四项式，故D选项正确， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了多项式的定义，关键是掌握和多项式有关的定义． 变式2．（2023·福建·七年级校考期中）关于多项式，下列说法错误的是（    ） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．按y降幂排列为 D．四次项的系数是3 【答案】D 【分析】根据多项式的概念和降幂排序的方法进行判断即可． 【详解】解：A、这个多项式是五次四项式，故此项不符合题意； B、常数项是1，故此项不符合题意； C、按y降幂排列为，故此不项符合题意； D、四次项的系数是，故此项符合题意；故选：D． 【点睛】本题考查多项式的定义及多项式的降幂排序，熟练掌握多项式的相关定义是解题的关键． 题型5、整式的概念辨析 【解题技巧】整式：单项式与多项式统称为整式。 例5．（2023·上海浦东新·七年级校考期中）在代数式；；；；；中整式的个数有（      ）个． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单项式和多项式统称为整式，利用整式的定义即可判断． 【详解】、分母中含字母，不是整式， 是多项式、、、是单项式，属于整式， 故整式有，共4个，故选：． 【点睛】此题考查了整式，单项式和多项式统称为整式，解答题的关键是正确理解：单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法；多项式是若干个单项式的和，有加减法． 变式1．（2023·福建漳州·七年级漳州实验中学校考期中）在代数式：中，整式有（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据整式的定义，单项式和多项式统称为整式解决此题． 【详解】解：根据整式的定义，整式有，共4个．故选：C． 【点睛】本题主要考查整式，熟练掌握整式的定义是解决本题的关键． 变式2．（2023·河北唐山·模拟预测）在，，，，等五个代数式中整式一共有（ ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法． 【详解】解：是不是整式，、、、是整式，故整式的个数有4个，故选：B． 【点睛】本题主要考查的是整式的定义，属于基础题型．正确理解整式的定义是解决这个问题的关键． 题型6、书写符合条件的单项式或多项式 【解题技巧】根据题设要求写出相应的单项式（多项式）即可，注意此类问题一般具有开放性，答案不唯一等特点，只要符合要求都可以得分。 例1．（2023秋·安徽亳州·七年级统考期中）请写出一个系数是负数，次数是5的单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据单项式定义直接求解即可得到答案． 【详解】解：由单项式定义可得满足条件的一个单项式为，故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查单项式定义，熟记单项式定义是解决问题的关键． 例2．（2023·上海·七年级统考期末）写一个只含有字母x，且一次项系数为的二次三项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据多项式的次数和项数的概念解答即可．二次三项式是指最高次为2次，并含有三项，而一次系数为． 【详解】解：由题意得：满足题意的可为：，答案不唯一． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题考查的是对多项式的性质的理解，此题答案不唯一，只要满足条件即可． 变式1．（2023·河南鹤壁·七年级统考期中）写一个含有3个字母，系数是，次数是4的单项式，则这个单项式可以是 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据单项式的次数和系数的定义构造单项式即可． 【详解】解：由题意可得：这个单项式可以是，故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查单项式的次数和系数，熟记概念是关键． 变式2. （2023•无锡期末）写出一个次数是3，且只含有x，y的二项式：　 　． 【解题思路】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合已知条件的即可． 【解答过程】解：次数是3，且只含有x，y的二项式是x2y+x， 故答案为：x2y+x（答案不唯一）． 题型7、根据单项式（多项式）的次数、项数求参数 【解题技巧】根据单项式和多项式的相关概念，找到适当的等量关系，建立方程求解即可。 例1．（2023·陕西榆林·七年级统考期中）已知单项式的次数与多项式的次数相同，求的值． 【答案】 【分析】根据多项式的次数和项数以及单项式的次数的定义，即可求解． 【详解】解：因为多项式的次数是6， 所以单项式的次数也是6，所以，所以． 【点睛】本题考查了多项式的次数和单项式的次数的定义，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键． 变式1．（2023秋·浙江七年级课时练习）已知多项式是五次多项式，单项式与该多项式的次数相同，则 ． 【答案】 【分析】根据多项式的次数和单项式的次数的定义即可得出答案，单项式的次数是所有变量次数的和，多项式次数是其所有单项式次数最高的次数． 【详解】解：∵多项式是五次多项式，，解得：， ∵单项式与该多项式的次数相同，，解得：，故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式的次数和单项式的次数的定义，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键． 变式2．（2023秋·浙江七年级课时练习）已知多项式是五次四项式，最高次项的系数为，且单项式与该多项式的次数相同，求三次项系数． 【答案】1和 【分析】根据多项式是五次四项式，最高次项的系数为，且单项式与该多项式的次数相同，求出的值，从而即可得到答案． 【详解】解：多项式是五次四项式，最高次项的系数为， 或，解得：或， 单项式与该多项式的次数相同，， 把代入得：，解得：，， 多项式为，三次项系数为1和． 【点睛】本题主要考查了单项式与多项式的相关概念，根据题意正确求出的值，熟练掌握单项式与多项式的相关概念是解题的关键． A组（能力提升） 1．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列各式中，不是单项式的是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式解答即可． 【详解】解：x，5，都是单项式，不是整式，不是单项式，故选：A． 【点睛】本题考查的是单项式，即数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 2．（2023·河北沧州·七年级校考期中）下列代数式：，，，，，，a，其中整式有（　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】根据单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法，可得答案． 【详解】解：整式有，，，，，共有5个；故选：B． 【点睛】本题考查了整式，单项式和多项式统称为整式，注意分母中含有字母的式子是分式不是整式． 3．（2023·黑龙江佳木斯·七年级校考期中）下列说法正确的是（    ） A．的系数是，次数是3 B．的系数是，次数是8 C．的系数是，次数是5 D．的系数是5，次数是2 【答案】C 【分析】根据单项式的系数和次数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．的系数是，次数是2，故选项错误，不符合题意； B．的系数是，次数是，故选项错误，不符合题意； C．的系数是，次数是5，故选项正确，符合题意； D．的系数是，次数是2，故选项错误，不符合题意．故选：C． 【点睛】此题考查了单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数，熟练掌握单项式的系数和次数的定义是解题的关键． 4．（2023·黑龙江·七年级校考期中）下列结论正确的序号是（    ） ①是一个二次多项式；②多项式的系数是；③多项式是整式；④多项式的次数是4；⑤是多项式． A．①②③④ B．①③ C．②③⑤ D．①④⑤ 【答案】B 【分析】根据单项式与多项式的系数与次数的定义进行求解即可． 【详解】①是一个二次多项式，故正确；②多项式没有系数，故错误； ③多项式是整式，正确；④多项式的次数是2，故错误；⑤不是整式，故错误． 故选：B 【点睛】本题主要考查多项式与单项式，解答的关键是对多项式与单项式的次数与系数的掌握． 5．（2023·福建南平·七年级统考期中）一组按规律排列的式子：，，，，，则第个式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据上述式子，找到规律，进行解答，即可 【详解】∵，，，，， 通过观察，第一个式子的分子为：，第二个式子的分子为：，第三个式子的分子为：，第四个式子的分子为：，∴第个式子的分子为：； 第一个式子的分母为：，第二个式子的分子为：，第三个式子的分子为：，第四个式子的分子为：，∴第个式子的分母为：，∴上述式子的规律为：， ∴第个式子为：．故选：C． 【点睛】本题考查整式的知识，解题的关键根据题意，找到式子的规律． 6．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考开学考试）下列各式中，是二次三项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多项式的相关概念逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、是二次二项式，故此选项不符合题意； B、是一次三项式，故此选项不符合题意；C、是三次二项式，故此选项不符合题意； D、是二次三项式，故此选项符合题意；故选：D． 【点睛】本题考查了多项式的相关概念，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项，熟练掌握多项式的有关概念是解题的关键． 7．（2023·广西七年级期末）下列说法错误的是（ ） A．是单项式也是整式 B．是多项式也是整式 C．整式一定是单项式 D．整式不一定是多项式 【答案】C 【分析】整式包括单项式和多项式；表示数与字母的积的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式． 【详解】解：A. 是单独一个字母，是单项式也是整式，此选项正确，不符合题意； B. 表示为5m-5n，是两个单项式的和，是多项式也是整式，此选项正确，不符合题意； C. 整式可能是单项式，也可能是多项式，此选项不正确，符合题意； D. 整式可能是单项式，也可能是多项式，整式不一定是多项式，此选项正确，不符合题意． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了整式的定义，掌握概念是解题的关键． 8．（2023·内蒙古·七年级统考期末）写出一个系数为，次数为4的单项式，这个单项式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据单项式的系数、次数的定义即可得． 【详解】解：由题意，这个单项式可以为，故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了单项式的系数、次数的定义，熟记定义是解题关键． 9．（2023·黑龙江鸡西·七年级校考期中）多项式是 次 项式，它的常数项是 ． 【答案】 二 三 【分析】多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数；多项式中的每一个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，根据定义可得答案． 【详解】解：多项式二次三项式，常数项是，故答案为：二、三， 【点睛】本题考查的是多项式的次数与项，常数项的含义，熟记基础概念是解本题的关键． 10．（2023·安徽宣城·七年级校考期中）已知单项式的次数与多项式的次数相同，则 ． 【答案】5 【分析】根据单项式次数的定义：各字母指数的和；多项式中次数的定义：组成多项式的各单项式中次数最高的项，得出相应方程求解即可． 【详解】解：单项式的次数是7， ∴多项式的次数也是7，∴，∴．故答案为：5 【点睛】题目主要考查单项式与多项式中次数的定义，理解次数的定义是解题关键． 11．（2023·安徽六安·七年级校考阶段练习）对下列式子进行分类． ． 单项式：（                       ）；多项式：（                       ）；整式：（                         ）． 【答案】，，，；，，；，，，，，， 【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式． 多项式：若干个单项式的代数和组成的式子．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．不含字母的项叫做常数；整式：单项式和多项式统称为整式． 【详解】单项式：（，，，） 多项式：（，，） 是整式：（，，，，，，） 【点睛】本题考查整式、单项式、多项式的概念，熟练掌握相关的概念是解题的关键． 12.（2023•双流区校级期中）已知（m+1）x3﹣（n﹣2）x2+（2m+5n）x﹣6是关于x的多项式． （1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？ （2）当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？ 【解题思路】（1）根据二次多项式的定义得出m+1＝0，且n﹣2≠0，然后求解即可；（2）根据多项式是关于x的三次二项式得出m+1≠0，n﹣2＝0，且2m+5n＝0，然后求解即可得出答案． 【解答过程】解：（1）由题意得：m+1＝0，且n﹣2≠0，解得：m＝﹣1，n≠2， 则m＝﹣1，n≠2时，该多项式是关于x的二次多项式； （2）由题意得：m+1≠0，n﹣2＝0，且2m+5n＝0，解得：m≠﹣1，n＝2， 把n＝2代入2m+5n＝0得：m＝﹣5，则m＝﹣5，n＝2时该多项式是关于x的三次二项式． 13．（2022秋·河南周口·七年级校考阶段练习）有一列式子：①，②，③r，④，⑤，⑥，⑦，⑧1 (1)请把上述各式的序号分别填入如图所示的相应圆圈内： (2)填空：单项式中__________的次数最高，次数是__________． 【答案】(1)代数式：①③④⑤⑥⑦⑧；单项式：③④⑦⑧；多项式：①⑥(2)⑦，5 【分析】（1）根据代数式、单项式和多项式的定义进行求解即可； （2）根据单项式次数的定义进行求解即可． 【详解】（1）填入的序号如图所示： （2）单项式的有：③④⑦⑧，③的次数为，④的次数为， ⑦的次数为，⑧的次数为， ∴单项式中⑦的次数最高，次数是．故答案为：⑦，． 【点睛】本题考查了代数式、单项式和多项式，熟知其相关概念定义是解题的关键． B组（培优拓展） 1.（2023·河南鹤壁·七年级期末）多项式是关于的四次三项式，则的值是（    ） A．4 B． C． D．4或 【答案】C 【分析】根据四次三项式的定义可知，该多项式的最高次数为4，项数是3，所以可确定m的值． 【详解】解：∵多项式是关于x的四次三项式， ∴|m|=4，m-4≠0，∴m=-4，故C正确．故选：C． 【点睛】本题考查了与多项式有关的概念，解题的关键理解四次三项式的概念，多项式中每个单项式叫做多项式的项，有几项叫几项式，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数． 2．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期中）如果一个多项式的各项的次数都相同，那么这个多项式叫做齐次多项式，如：是3次齐次多项式，若是齐次多项式，则x的值是 ． 【答案】1 【分析】根据题意，得到，计算即可． 【详解】根据题意，得到，解得，故答案为：1． 【点睛】本题考查了多项式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． 3．（2022秋·北京朝阳·七年级校考期中）观察下列图形及图形所对应的算式，               根据你发现的规律计算：（1）的结果为 ； （2）（是正整数）的结果为 ． 【答案】 49 【分析】算式与正方形的面积有关，分别列出前三个图形的面积，找出规律，从而得到第个图形的面积． 【详解】解：第（1）个图形的面积； 第（2）个图形的面积； 第（3）个图形的面积； 第个图形的面积是正整数），故答案为：49；． 【点睛】本题考查探索规律，体现了数形结合的数学思想，发现算式与正方形的面积有关是解题关键． 4．（2023秋·河北廊坊·七年级校考阶段练习）已知多项式，，该多项式的第12项为________，用字母、和表示多项式第项________．（为正整数） 【答案】 【分析】根据已知多项式分别得出第1项、第2项、第3项的关系式，即可得到规律，从而得到结论． 【详解】解：已知多项式……，， 则可知该多项式的第1项为，则可知该多项式的第2项为， 则可知该多项式的第3项为，……，则可知该多项式的第n项为， ∴可知该多项式的第12项为；故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了与多项式有关的规律题型，准确分析，找出变化规律是解题的关键． 5．（2022秋·吉林·七年级统考期末）任意写出一个含有字母m，n的三次四项式，其中最高次项的系数为6，常数项为-8的式子为___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，结合三次四项式、最高次项的系数为6，常数项可写出所求多项式，只要符合题意即可． 【详解】解：∵一个含有字母三次四项式，其中最高次项的系数为6，常数项为， 此多项式是：．故答案是：． 【点睛】本题考查了列代数式，多项式，解题的关键是熟练掌握多项式中系数、最高次项、常数项的概念． 6．（2022秋·陕西渭南·七年级统考期末）已知多项式中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，且a，b分别是点A、B在数轴上对应的有理数．(1)点A表示的数为________；点B表示的数为________； (2)一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，设运动的时间为t（秒），则用含t的式子表示甲、乙小球所在的点表示的数； (3)在（2）的条件下，求经过多长时间甲、乙小球相距2个单位长度？ 【答案】(1)，6(2)小球甲表示的数为，小球乙表示的数为(3)或 【分析】（1）根据多项式次数和单项式系数的定义求解即可 （2）根据数轴上两点距离公式进行求解即可；（3）根据数轴上两点距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵多项式中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，∴， ∵a，b分别是点A、B在数轴上对应的有理数， ∴点A表示的数为 ；点B表示的数为6，故答案为：，6； （2）解：由题意得，小球甲表示的数为，小球乙表示的数为； （3）解：由题意得，或，解得或． 【点睛】本题考查数轴上两点距离公式，多项式的次数和单项式的系数，灵活运用所学知识是解题的关键． 7．（2022秋·吉林松原·七年级校联考期中）若多项式是关于x的三次三项式，其中二次项系数为．(1)直接写出a与b之间的关系；(2)求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意可得即可求解； （2）根据题意可得，求出m，n的值即可求解． 【详解】（1）解：∵多项式是关于x的三次三项式，其中二次项系数为， ∴，∴a与b之间的关系是； （2）解：由（1）可得：，解得，∴＝． 【点睛】本题主要考查了多项式的项、系数和次数的定义，熟知几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数是解题的关键． 8．（2022秋·湖南长沙·七年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“青一多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“青一和”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“青一多项式”，它的“青一和”为．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“青一多项式”的是 ；（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若关于x的“青一多项式”的“青一和”为7，且均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“青一多项式”，则多项式也是关于x，y的“青一多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)①③(2)(3)是，理由见解析 【分析】（1）根据“青一多项式”的定义进行解答即可；（2）根据题意可得，整理为，因为均为正整数，则也为正整数，则分和进行讨论即可；（3）根据题意可得（为整数），即，将之代入中分析即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，∴属于青一多项式”； ∵（为整数），∴不属于青一多项式”； ∵，∴属于青一多项式”； 故属于“青一多项式”的是①③，故答案为：①③． （2）∵关于x的“青一多项式”的“青一和”为7，∴，即， ∵均为正整数，∴也为正整数， 当时，则，即，则； 当时，则，即，则；综上：的值为； （3）是，理由如下： ∵项式是关于x，y的“青一多项式”， ∴（为整数），∴， ∴，∴是的整数倍， ∴多项式也是关于x，y的“青一多项式”． 【点睛】本题考查了多项式的系数，整倍数的分析，读懂题意，理解题目所给出的定义进行解答是关键． 9．（2023·陕西咸阳·七年级校考期中）18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单的多面体模型，解答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 ________ 六面体 8 ________ 八面体 ________ 8 你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是_______； (2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有条棱，则这个多面体的面数多少？ 【答案】(1)6；6；6； (2) 【分析】（1）观察图形，结合多面体的顶点、面和棱的定义进行填空即可．根据多面体的顶点数，面数和棱数，总结规律可得V、F、E之间的数量关系式． （2）根据（1）中，顶点数，面数和棱数之间的关系式，代入求解即可． 【详解】（1）解：四面体的棱数为6；长方体的面数为6；正八面体的顶点数为6； 关系式为：；故答案为：； （2）解：由题意得：，解得．故答案为：． 【点睛】本题考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用，得出欧拉公式是解题关键． 10．（2023·福建三明·七年级校考期中）（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空： 第1个点阵：    第2个点阵：    ______＋______ 第3个点阵：    ______＋______ （2）观察猜想，写出第个点阵相对应的等式． （3）根据以上猜想，求出的值． 【答案】（1），，，；（2）；（3）20201 【分析】（1）根据点阵图即可求解；（2）根据（1）中的3个等式得出规律，进而写出第个点阵相对应的等式；（3）根据（2）中得出的规律，进行计算即可． 【详解】解：（1）由图可得：，， 故答案为：，，，； （2）第1个点阵：    第2个点阵：    第3个点阵： 第个点阵相对应的等式为： ； （3）由（2）可得：， ，， ． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过观察、分析、归纳，得出规律第个点阵相对应的等式为：，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 第 4 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $$