8.3 列联表与独立性检验 教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

教学设计 课程基本信息 课题 分类变量与列联表 教学目标 1. 通过对典型案例的探究,了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及初步应用。 2. 通过对数据的收集、整理和分析,增强学生的社会实践能力,培养学生分析问题、解决问题的能力。 教学内容 教学重点： 1. 了解独立性检验(只要求2×2列联表)的应用。 教学难点： 1. 独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法。 教学过程 1、 情境引入 吸烟已成为全球范围内严重危害健康、危害人类生存环境、降低人们的生活质量、缩短人类寿命的紧迫问题．为此，联合国固定每年5月31日为全球戒烟日． 吸烟是否会增加患肺癌的风险？ 在现实生活中，人们经常需要回答一定范围内的两种现象或性质之间是否存在关联性或互相影响的问题.又例如“名师出高徒”、“虎父无犬子”等等. 二、问题探究 问题. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性,某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响,为此对学生是否经常锻炼的情况进行了普查,全校学生的普查数据如下:523名女生中有331名经常锻炼;601名男生中有473名经常锻炼.你能利用这些数据,说明该校女生和男生在体育锻炼的经常性方面是否存在差异吗? 设f0=经常锻炼的女生数/女生总数=331/523≈0.633, f1=经常锻炼的男生数/男生总数=473/601≈0.787, f1-f0 ≈ 0.787-0.633=0.154, 男生经常锻炼的比率比女生高出15.4个百分点. 所以该校的女生和男生在体育锻等的经常性方面有差异,而且男生更经常锻炼. 在讨论上述问题时, 为了表述方便, 我们经常会使用一种特殊的随机变量, 以区别不同的现象或性质.即分类变量. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性,某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响,为此对学生是否经常锻炼的情况进行了普查,全校学生的普查数据如下:523名女生中有331名经常锻炼;601名男生中有473名经常锻炼。你能利用这些数据,说明该校女生和男生在体育锻炼的经常性方面是否存在差异吗? 这是一个简单的统计问题,最直接的解答方法是,比较经常锻炼的学生在女生和男生中的比率,为了方便,我们设=, = 那么,只要求出f0和f1的值,通过比较这两个值的大小,就可以知道女生和男生在锻炼的经常性方面是否有差异,由所给的数据,经计算得到=≈0.633, =.由f1-f0 0.787-0.633=0.154可知,男生经常锻炼的比率比女生高出15.4个百分点. 所以该校的女生和男生在体育锻等的经常性方面有差异,而且男生更经常锻炼. 用n表示该校全体学生构成的集合,这是我们所关心的对象的总体,考虑以n为样本空间的古典概型,并定义一对分类变量X和Y如下:对于Ω中的每一名学生,分别令， , “性别对体育锻炼的经常性没有影响”可以描述为P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1); “性别对体育锻炼的经常性有影响”可以描述为P(Y=1|X=0)≠P(Y=1|X=1). 我们希望通过比较条件概率P(Y=1|X=0)和P(Y=1|X=1)回答上面的问题.按照条件本概率的直观解释, 如果从该校女生和男生中各随机选取一名学生,那么该女生属于经常锻炼群体的概率是P(Y=1|X=0), 而该男生属于经常锻炼群体的概率是P(Y=1|X=1). 为了清楚起见,我们用表格整理数据 我们用{X=0,Y=1}表示事件{X=0}和{Y=1}的积事件,用{X=1,Y=1}表示事件{X=1}和{Y=1}的积事件,根据古典概型和条件概率的计算公式,我们有 P(Y=1|X=0)==≈0.633；P(Y=1|X=1)==≈0.787 由P(Y=1|X=1)>P(Y=1|X=0) 可以作出判断,在该校的学生中,性别对体育锻炼的经常性有影响,即该校的女生和男生在体育锻炼的经常性方面存在差异,而且男生更经常锻炼。 在实践中,由于保存原始数据的成本较高,人们经常按研究问题的需要,将数据分类统计,并做成表格加以保存,我们将下表这种形式的数据统计表称为2×2列联表(contingency table). 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数,以右表为例,它包含了X和Y的如下信息:最后一行的前两个数分别是事件{Y=0}和{Y=1}中样本点的个数;最后一列的前两个数分别是事件{X=0}和{X=1}中样本点的个数; 中间的四个格中的数是表格的核心部分,给出了事件{X=x,Y=y}(x,y=0,1)中样本点的个数;右下角格中的数是样本空间中样本点的总数. 例.为比较甲、乙两所学校学生的数学水平,采用简单随机抽样的方法抽取88名学生.通过测验得到了如下数据:甲校43名学生中有10名数学成绩优秀;乙校45名学生中有7名数学成绩优秀,试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异. 解:用Ω表示两所学校的全体学生构成的集合.考虑以Ω为样本空间的古典概型.对于Ω中每一名学生,定义分类变量X和Y如下:， 我们将所给数据整理成表 表是关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表:最后一行的前两个数分别是事件(Y=0)和(Y=1)的频数;最后一列的前两个数分别是事件(X=0)和(X=1)的频数;中间的四个格中的数是事件(X=x,Y=y)(x,y=0,1)的频数; 甲校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为≈0.7674和≈ 0.2326; 乙校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为≈ 0.8444和≈ 0.1556 我们可以用等高堆积条形图直观地展示上述计算结果,如图所示 左边的蓝色和红色条的高度分别是甲校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率;右边的蓝色和红色条的高度分别是乙校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率,通过比较发现,两个学校学生抽样数据中数学成绩优秀的频率存在差异,甲校的频率明显高于乙校的频率,依据频率稳定于概率的原理,我们可以推断P(Y=1|X=0)>P(Y=1|X=1). 也就是说,如果从甲校和乙校各随机选取一名学生,那么甲校学生数学成绩优秀的概率大于乙校学生数学成绩优秀的概率,因此,可以认为两校学生的数学成绩优秀率存在差异,甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高。 应用探究：为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，其中，不吸烟的7817人中42人患肺癌，吸烟的2148人中91人患肺癌，试分析吸烟是否对患肺癌有影响？ 解：方法一（概率）：用Ω表示所有被调查的人构成的集合．考虑以Ω为 样本空间的古典概型．对于Ω中每一个人，定义分类变量X和Y如下： ． 不患肺癌（Y=0） 患肺癌（Y=1） 总计 不吸烟（X=0） 7775 42 7817 吸烟（X=1） 2099 49 2148 总计 9874 91 9965 在不吸烟者中患肺癌的比重是：0.54%； 在吸烟者中患肺癌的比重是：2.28%； 方法二（等高堆积条形图）： ； 在不吸烟者中患肺癌的比重是0.54%.在吸烟者中患肺癌的比重是2.28%. 吸烟者中患肺癌的概率更高一些哦！ 课堂小结：两个分类变量之间关联关系的定性分析的方法： (1)频率分析法：通过列联表中a/a+b与c/c+d值的大小粗略地判断分类变量x和Y之间有无关系.一般其值相差越大,分类变量有关系的可能性越大. (2)图形分析法：与表格相比，图形更能直观地反映 出两个分类变量间是否互相影响.等高堆积条形图可 以展示列联表数据的频率特征，能够直观地反映出 两个分类变量间是否相互影响. 依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断：P(Y=1|X=0)>P(Y=1|X=1) . 也就是说，如果从甲校和乙校各随机选取一名学生，那么甲校学生数学成绩优秀的概率大于乙校学生数学成绩优秀的概率，因此，可以认为两校学生的数学成绩优秀率存在差异，甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高. 反思一个现象： 学生提出：“我很有能力，我只是没有考上一个好的大学，而那些好的企业却只去名校招聘，这是不是不公平？” 结合刚才例题的启发，尝试从一个企业的角度去想想，为什么他们“更偏向于去好学校招聘” 思考：你认为“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这一结论是否有可能是错误的？ 有可能 “两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这个结论是根据两个频率间存在差异推断出来的.有可能出现这种情况：在随机抽取的这个样本中，两个频率间确实存在差异，但两校学生的数学成绩优秀率实际上是没有差别的.对于随机样本而言，因为频率具有随机性，频率与概率之间存在误差. 学科网（北京）股份有限公司 $$