8.3.2独立性检验 2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第三册)

第八章 成对数据的统计分析 8.3 列联表与独立性检验 8.3.2 独立性检验 1. 分类变量 用以区别不同的现象或性质的一种特殊的随机变量，称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示，例如，学生所在的班级可以用1，2，3等表示，男性、女性可以用1，0表示，等等． 2. 列联表 将形如下表这种形式的数据统计表称为2×2列联表. 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. 组别 甲(Y＝0) 乙(Y＝1) 合计 A(X＝0) a b a＋b B(X＝1) c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 复习回顾 新课导入 组别 甲(Y＝0) 乙(Y＝1) 合计 A(X＝0) a b a＋b B(X＝1) c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 前面我们通过2×2列联表整理成对分类变量的样本观测数据，并根据随机事件频率的稳定性推断两个分类变量之间是否有关联. 对于随机样本而言，因为频率具有随机性，频率与概率之间存在误差，所以我们的推断可能犯错误，而且在样本容量较小时，犯错误的可能性会较大. 因此，需要找到一种更为合理的推断方法，同时也希望能对出现错误推断的概率有一定的控制或估算. 问题情景 问题1 你知道法官是如何凭证据进行判案的吗？ 先做一个无罪假设 找无罪假设下不可能出现的物证和人证。 找到了，假设不成立，嫌疑人有罪。 没找到，没有充分证据证明假设不成立，暂且认为无罪。 零假设：假设X，Y相互独立，无关联。 找零假设下不可能发生的事件。（利用小概率原理） 发生了，假设不成立，X，Y不独立，从而证明二者有关联。 没发生，没有充分证据证明假设不成立，暂且认为X，Y相互独立。 类比 追问1 我们是否可以类比法官判案的方式去判断两个分类变量X,Y是否有关联？ 新知探究 问题2 设X和Y为定义在以Ω为样本空间上，且取值于{0, 1} 的成对分类变量，如何判断事件{X=1}和{Y=1}之间是否有关联？ X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 由条件概率的定义可知，零假设H0等价于： A与B相互独立 P(AB)=P(A)P(B) A B 事件A 事件B 事件AB 由此，零假设H0等价于{X=1}和{Y=1}独立. 我们需要判断下面的假定关系是否成立 H0: P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1) 通常称H0为零假设或原假设 新知探究 问题2 设X和Y为定义在以Ω为样本空间上，且取值于{0, 1} 的成对分类变量，如何判断事件{X=1}和{Y=1}之间是否有关联？ 根据已经学过的概率知识，下面的四条性质彼此等价: 零假设 如果这4个性质成立， 则称分类变量X和Y独立. 零假设H0：分类变量X和Y独立 ② 我们可以用概率语言，将零假设改述为 新知探究 假定我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据的2×2列联表，如下表所示. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d ② 对于随机样本，表中的频数a, b, c, d 都是随机变量，而表中的相应数据是这些随机变量的一次观测结果. 问题3 如何基于②中的四个等式及列联表中的数据，构造适当的统计量，对成对分类变量X和Y是否相互独立作出推断? 新知探究 问题3 如何基于②中的四个等式及列联表中的数据，构造适当的统计量，对成对分类变量X和Y是否相互独立作出推断? ② 在零假设H0成立的条件下，根据频率稳定于概率的原理, 由②中的第一个等式,可以得到 由频率估计概率，可以得到： 零假设H0：分类变量X和Y独立 {X=0,Y=0}发生的频数的期望值(预期值):E(a) 如果零假设成立， 与 a应该比较接近. 即： 的值应该不大 频数的观测值 新知探究 综合②中的四个式子，如果零假设H0成立，下面四个量的取值都不应该太大: 零假设H0：分类变量X和Y独立 为了平衡各式的差值的变化，构造一个方便科学的统计量： 概念生成 卡方统计量 X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 追问1 卡方统计量有什么用呢？ 统计学家建议，用随机变量 χ2取值 的大小作为判断零假设H0是否成立的依据。 如果零假设成立，则应该很小. 如果零假设不成立，则应该很大. 追问2 怎样确定判断大小的标准呢？ 根据小概率事