专题06 圆-2024年暑假九年级升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题06 圆 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：直线与圆的位置关系 设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？ 图1 观察图1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线. 图2 在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有. 图3 当直线与圆相切时，如图3，为圆的切线，可得，，且在中，. 图4 如图4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而. 知识点2：点的轨迹 在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹. 我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上. 下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹. 从上面对圆的讨论，可以得出： 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆. 我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹： 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线. 由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹： 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线. 【典例例题】 题型一：垂径定理 【典例1-1】（2024·四川泸州·二模）如图，是的直径，点D在延长线上，切于点E，交于点F，且点E平分． (1)求证：． (2)作，交于点G，交于点P．若，，求的长度． 【典例1-2】（2024·宁夏石嘴山·一模）如图，是⊙的直径，弦于点，点在⊙上，． (1)求证：； (2)若，，求的直径． 【变式1-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图1，是的内接三角形，过圆心作于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，延长交于点，点在线段上，过点作于点，若时，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，，连接，，的周长为，求的半径的长． 【变式1-2】（2024·陕西榆林·三模）如图，以为直径的上有C，D两点，过点C作的切线，连接并延长交于点E，连接，平分． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 题型二：点和圆的位置关系 【典例2-1】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”． (1)如图，点，． ①在点，，中，点___________是弦的“可及点”，其中____________； ②若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为__________； (2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“可及点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围． 【典例2-2】（23-24九年级下·北京·阶段练习）给出坐标平面上的一个定点与一动点，，给出如下定义：连结，线段的上有一点，若，则称点为点，的“分圆伴点”． 如图点为点，的“2分圆伴点”的示意图． (1)已知点的坐标为，，下列给出四个点中，是点，的 “2分圆伴点”． ，，， (2)已知点的坐标为，，若直线上至少有一个点是，的“2分圆伴点”，求解的取值范围； (3)已知点在以为圆心，以为半径的圆上运动， ．若，，三点围成的的三边上的点都是点，的“2分圆伴点”，直接写出的取值范围． 【变式2-1】（2024·山东淄博·二模）如图，二次函数的图象与轴分别交于点，（点在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为． (1)求点，的坐标； (2)四边形能是一个菱形吗？若能，求出点的坐标；若不能，说明理由； (3)若以为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求的取值范围． 【变式2-2】（2024·浙江绍兴·二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 题型三：直线与圆的位置关系 【典例3-1】（2024·河北石家庄·三模）如图，点B为线段上一点，，，过B作于B，且，以为邻边作矩形，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，优弧交于N，交于M，设旋转角为． (1)若扇形的面积为，则________； (2)连接，判断与扇形所在圆的位置关系，并说明理由； (3)设P为直线上一点，沿所在直线折叠矩形，若折叠后所在的直线与扇形所在的相切，直接写出的长． 【典例3-2】（2024·江苏常州·二模）已知二次函数，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为P，与y轴交于点D． (1)点A的坐标为___________，点B的坐标为___________； (2)如图，点M是在x轴下方抛物线上一点，面积为3m，求点M的横坐标； (3)的圆心C在x轴上，且经过A、B两点，若直线PD与相交，则m的取值范围是___________． 【变式3-1】（2024·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、（在的左边），与轴交于，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，直线交抛物线于、两点，点在抛物线上，且在直线下方，若以为圆心作，当与直线相切时，求最大半径及此时坐标； (3)如图2，是抛物线上一点，连接交轴于，作关于轴对称的直线交抛物线于，连接、，点是的中点，若、的纵坐标分别是、．直接写出，的数量关系． 【变式3-2】（2024·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中对于已知的点C和图形W，给出如下定义：若存在过点C的直线l，使之与图形W有两个公共点P，Q，且C，P，Q三点中，某一点恰为另两点所连线段的中点，则称点C是图形W的“相合点”． (1)已知点，线段与线段组成的图形记为W； ①点中，图形W的“相合点”是　　　　　　； ②点M在直线上，且点M为图形W的“相合点”，求点M的横坐标m的取值范围； (2)的半径为r，直线与x轴，y轴分别交于点E，F，若在线段上存在外的一点P，使得点P为的相合点，直接写出r的取值范围． 题型四：切线问题 【典例4-1】（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，已知是的外接圆，是的直径，，，延长到E，使得． (1)求证：与相切； (2)求的半径； (3)直接写出的长为 ． 【典例4-2】（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）如图1，四边形中，，点E是边上一点，且平分，作的外接圆，点D在圆上． (1)求证：是的切线； (2)如图2，，点H是上一点，满足，连接，分别交于点M、N． ①猜想之间的数量关系，并说明理由； ②求的面积． 【变式4-1】（2024·北京·中考真题）如图，是的直径，点，在上，平分.    (1)求证：； (2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 【变式4-2】（2024·广东梅州·模拟预测）如图，P为外一点，为的切线，切点分别为A、B，直线交于点D、E，交于点C． (1)求证∶． (2)若，连接，求证：四边形是菱形． 题型五：圆的综合问题 【典例5-1】（2024·广东汕头·二模）如图，在中，，点P是斜边上一个动点，以为直径作，交于点D，与的另一个交点为E，连接． (1)当时，求证：； (2)探究之间的数量关系并给予证明； (3)当，是否存在点P，使得是等腰三角形，若存在，求出符合条件的的长；若不存在，请说明理由． 【典例5-2】（2024·河北邯郸·模拟预测）是半圆O的直径，，C为弧上的一个动点． (1)连接，，如图1，求阴影部分面积和的最小值（结果保留π）； (2)如图2，在半圆O的右侧有一，点P在射线上，，，，当与半圆O切于点Q时，求点H到射线的距离； (3)如图3，在点C的运动过程中，将半圆O沿折叠，弧与交于点D，连接．若，直接写出的度数． 【变式5-1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知：内接于，，延长交于点，过点作交于，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，过点作，垂足为，交于点，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，点为弧上一点，若，，，求的长． 【变式5-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：四边形内接于，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，作的直径，交于点，交于点，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，切于点，连接，，分别交，于点，，若，，，求线段的长． 题型六：点的轨迹问题 【典例6-1】（2024·青海·中考真题）综合与实践 车轮设计成圆形的数学道理 小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动： 将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.      (1)探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图2中计算C到的距离. (2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图4中计算C到的距离（结果保留根号）. (3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角______.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），在图6中计算C到的距离______（结果保留根号）. (4)归纳推理：比较，，大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离______（填“越大”或“越小”）. (5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离______.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形. 【典例6-2】（2024·云南楚雄·一模）如图1，在矩形中，对角线，相交于点O，过点A，B分别作，的平行线，相交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的面积是24，，求矩形的周长； (3)如图2，在（2）的条件下，点P是线段上的一动点，连接，作点B关于直线的对称点Q，若点P从点B开始向右运动了6个单位，求点Q运动的轨迹的长． 【变式6-1】（23-24九年级上·广西百色·期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 【变式6-2】（22-23九年级上·广东广州·期中）已知为等腰直角三角形，，点为平面内的一动点，满足，将线段绕点按逆时针方向旋转90°得到线段，连接． (1)当点在内部时． ①如图，求证：； ②如图，当点，，在同一直线上时，若，求的长． (2)阅读材料：如图，已知线段为定长，若以为斜边作，其中，根据直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹是：以线段中点为圆心，长为半径的圆（，两点除外）．如图，已知．若直线与直线相交于点．点为线段上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转90°得到，连接，求长度的取值范围． 【过关测试】 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的直径，是弦，与相交于点M，点A是的中点，连接，N为延长线上一点，连接并延长，交的延长线于点P，连接，． (1)求证：为的切线； (2)若M为的中点，，求的长． 2．（2024·河南郑州·三模）小刚所在的数学兴趣小组剪了一张圆形纸片，并将直角三角板的角的顶点A放在圆形纸片的边缘上，进行如下实践探究活动． (1)如图（1），小刚将直角三角板的直角顶点C放在圆形纸片的边缘上，请你利用尺规作出圆形纸片的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法） (2)小亮将直角三角板摆放成如图（2）所示的情形，其中边分别与交于点E，F，连接，若的半径为r，试判断与r之间的数量关系，并加以证明． (3)小刚将直角三角板摆放成如图（3）所示的情形，其中边与相切于点M，且边恰好经过圆心O．若，求半径r的值． 3．（2024·陕西西安·三模）如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 4．（2024·广东佛山·三模）综合与运用：如图，为的切线，为切点，直线交于点，，过点作的垂线，垂足为点，交于点，延长与交于点，连接，． (1)求证：直线为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 5．（2024·北京门头沟·二模）对于关于的一次函数，我们称函数为一次函数的级衍生函数（其中为常数）． 例如，的级衍生函数为：当时，；当时，． (1)如果的级衍生函数为， ①当时，______； ②当时，______． (2)如果的级衍生函数为，求双曲线与的图像的交点坐标； (3)如果以点为圆心，为半径的与的级衍生函数的图像有交点，直接写出的取值范围． 6．（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，已知菱形，对角线、相交于点，，．点从点A出发，以每秒4个单位的速度沿线段向点运动，同付，点从点出发，以每秒3个单位的速度沿折线向点运动，当点P、Q中有一个点达到终点时，两点同时停止运动．连接、、，设点的运动时间为秒． (1)求线段的长； (2)在整个运动过程中，能否成为直角三角形？若能，请求出符合题意的t的值；若不能，请说明理由； (3)以为圆心，为半径作，当与线段只有一个公共点时，求的值或的取值范围． 7．（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，点P、Q是平面内的点，如果点P关于点Q的中心对称点在上，我们称圆上的点为点P关于点Q的“等距点”． (1)已知如图1点． ①如图1，在点 中，上存在点P关于点Q的“等距点”的是________； ②如图2，点 ，上存在点P关于点Q的“等距点”，则m的取值范围是________； (2)如图3，已知点，点P在的图象上，若上存在点P关于点Q的“等距点”，求b的取值范围． 8．（2024·广东广州·三模）如图，已知正方形，，以顶点为直角顶点的等腰在正方形外部绕点旋转，． (1)求点与点之间的最大距离； (2)当最大时，连接，求的面积； (3)在旋转过程中，线段与线段存在交点，连接，若是的中点，是线段上的一个动点，当的值最小时，求的值． 9．（23-24九年级下·广东佛山·阶段练习）综合探究 如图，在矩形中，，，点E是射线上的动点，连接，将沿折叠，点B落在点F处，连接，． (1)当点E是的中点时，求证：； (2)若，求的长； (3)当的度数最大时，求的面积． 10．（2024·浙江宁波·三模）如图1，已知，，，，点为边上的任意点（不与点，点重合），以为直径的交边于点，点，半径为，连结交于点，连结．设． (1)请用含有的代数式表示出； (2)若，，求的长（用含有的代数式表示）； (3)若，如图，若与边相交，求的取值范围； (4)若为中点，是以为腰的等腰三角形，求的半径． 11．（2024·上海黄浦·三模）如图，半径为的经过的顶点，与边相交于点，，． (1)求的长； (2)如果，判断直线与以点为圆心、为半径的圆的位置关系，并说明理由． 12．（2024·天津·中考真题）已知中，为的弦，直线与相切于点． (1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长． 13．（2024·广东深圳·三模）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点．A、B、C、D四点是格点且在圆上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图中，画出经过A、B、C这三点的圆的圆心O； (2)在图中，过点C作的切线． (3)在图中，每个小正方形边长等于1，求阴影部分的面积 14．（2024·湖北咸宁·二模）已知为的直径，与相切于点A，弦于点M，． (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分面积． 15．（2024·江苏南京·三模）如图，已知和，求作点，使得分别是的两条切线，且．（要求：用两种方法作图．保留作图痕迹） 16．（2024·陕西西安·模拟预测）如国，在中，，点是边的中点，点在边上，经过点，且与边相切于点，与相切于点． (1)求证：； (2)若，，求的直径． 17．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于线段，点和图形定义如下：线段绕点逆时针旋转得到线段（和分别是和的对应点），若线段和均在图形的内部（包括边界），则称图形为线段关于点的旋垂闭图． (1)点． ①：半径为3的； ：以为中心且边长为6的正方形； ：以线段为边的等边三角形． 在、、中，线段关于点的旋垂闭图是　　　　　． ②若半径为5的是线段关于点的旋垂闭图，求的取值范围； (2)已知线段在轴的负半轴和原点组成的射线上运动，且，若存在点，使得对于半径为2的上任意一点，都存在线段满足半径为的是该线段关于点的旋垂闭图，直接写出的最小值． 18．（2024·江苏盐城·三模）如图，在直角坐标系中， 的圆心为，半径为，点在上，点在轴的负半轴上，为等边三角形． (1)点的坐标为 ； (2)求证：是的切线； (3)若将沿水平方向平移至 且直线是的切线，求的坐标． 19．（2024·福建厦门·模拟预测）如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，为半圆O的切线，为切点，，交延长线于点E，已知，．如图2，P为线段上一点，过点P作的平行线分别交，于点，，过点P作于点H．设，． (1)求的长； (2)求y关于x的函数表达式； (3)延长交半圆O于点Q，当时，求的长． 20．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段，给出如下定义：若将线段沿着某条直线对称可以得到的弦，分别为，的对应点），则称线段是的以直线为对称轴的对称的“反射线段”，直线称为“反射轴”． (1)如图1，线段、、中是的以直线为对称轴的“反射线段”______； (2)如图2，已知点的坐标为，点坐标为．若线段是以直线为对称轴的“反射线段”，画出图形，反射轴与轴的交点的坐标； (3)已知点、是在以为圆心，半径为的圆上的两个动点，且满足，若是的以直线为对称轴的“反射线段”，当点在圆上运动一周时，请你直接写出反射轴与轴的交点的纵坐标的取值范围． 21．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）定义1：如图1，把平面内一条数轴绕原点逆时针旋转得到另一条数轴，轴和轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，若点在轴上对应的实数为，点在轴上对应的实数为，则称有序实数对为点的斜坐标，实数为点的横坐标． 定义2：在平面斜坐标系中，若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为点，另一个公共点在边上（不与点重合），则称为的“点关联三角形”． (1)已知的半径为，为的“点关联三角形”． ①如图2，点，，点的横坐标的最小值为 ，在，这两个点中，点可以与点 重合； ②若点，点，，，，点在轴下方．求满足条件的点轨迹长度； (2)已知的半径为，点，点．若平面斜坐标系中存在点，使得是等边三角形，且为的“点关联三角形”，直接写出的取值范围． 22．（22-23九年级下·北京西城·阶段练习）已知：图形和图形，以及点，给出如下定义：在图形上存在点，图形上的点关于直线的对称点记为点，则称点是图形与图形的相对点，符号表示为：【图形，图形，】． (1)在平面直角坐标系中，点，点，若【点，直线，】则求点的坐标；为了解决此问题小洋同学做了如图所示的操作：在直线上取了不与重合的点，找到了点关于直线的对称点．    ①请你根据小洋同学的做法，若【点，直线，】，则此时点的坐标为______； ②已知圆的半径为，若【圆，直线，】，请你在图中画出所有满足要求的点的轨迹；    (2)在平面直角坐标系中，已知点，．    ①已知，圆的半径为1，【圆，线段，】，当点在线段上时，求的取值范围； ②当，，圆的半径为，【线段，圆，】，点在圆上时，直接写出的最大值与最小值的差． 23．（23-24九年级下·福建厦门·期中）已知，正方形，边长为4，点是边、上一动点，以为直径作， (1)当点在边上时， ①如图1，若与边相切，请用尺规作图，确定圆心的位置，（不写作法，保留作图痕迹），并求出的长； ②如图2，点从点A运动到点的过程中，若始终是的中点，写出点运动的轨迹并求出路径长； (2)当点在边上时（如图3，若始终是的中点，连接，，连接，求：的面积． 24．（22-23九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图①是一个边长为的等边三角形，点、分别是边、上的动点（点从点向点运动，点从点向点运动），且．连接、，线段、相交于点．    (1)线段、有怎样的大小关系？请证明你的结论； (2)我们发现：点不是一个定点，随着点、的运动，交点的位置也在改变． 请完成下面两个问题： 问题：观察、测量、猜想是否为定值？如果是请直接写出的度数； 问题：尺规作图，在图②作出点运动的轨迹（包括点与点）； (3)过点作的垂线（如图③），垂足为点，当点从点运动到点，点从点运动到点时，求出点运动的路径长； (4)再过点作的垂线（如图④），垂足为点，根据以上证明、作图、猜想，请探究的最小值（直接写出结论，不必说明理由）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 圆 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：直线与圆的位置关系 设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？ 图1 观察图1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线. 图2 在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有. 图3 当直线与圆相切时，如图3，为圆的切线，可得，，且在中，. 图4 如图4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而. 知识点2：点的轨迹 在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹. 我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上. 下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹. 从上面对圆的讨论，可以得出： 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆. 我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹： 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线. 由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹： 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线. 【典例例题】 题型一：垂径定理 【典例1-1】（2024·四川泸州·二模）如图，是的直径，点D在延长线上，切于点E，交于点F，且点E平分． (1)求证：． (2)作，交于点G，交于点P．若，，求的长度． 【解析】（1）证明：连接与交于点H，如图， ∵切于点E， ∴， ∵点E平分， ∴， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （2）∵，，是的直径， ∴， 设，则， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，即， ∴， ∴． ∵，即， ∴（负数不合题意，舍去）． ∴，，，． ∴， ∴， ∴， ∴． 由（1）知：四边形为矩形， ∴． 【典例1-2】（2024·宁夏石嘴山·一模）如图，是⊙的直径，弦于点，点在⊙上，． (1)求证：； (2)若，，求的直径． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴． （2）连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图1，是的内接三角形，过圆心作于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，延长交于点，点在线段上，过点作于点，若时，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，，连接，，的周长为，求的半径的长． 【解析】（1）证明：连接，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作交于点，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）连接，过点作交于点，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， 又∵， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∵的周长为， 即， 在中，，在中，， ∴， 即， 解得：，， ∵， ∴， 故舍去， 则． 【变式1-2】（2024·陕西榆林·三模）如图，以为直径的上有C，D两点，过点C作的切线，连接并延长交于点E，连接，平分． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【解析】（1）证明：如图，连接． 切于点， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ； （2）如图，连接，设与交于点． 为的直径， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ． 在中，，， ， 的半径为． 题型二：点和圆的位置关系 【典例2-1】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”． (1)如图，点，． ①在点，，中，点___________是弦的“可及点”，其中____________； ②若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为__________； (2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“可及点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围． 【解析】（1）①：反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆， ∵若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”， ∴点C应在的圆内或圆上， ∵点，， ∴， 而， ∴, 由对称得：， ∴为等腰直角三角形， ∴, 设半径为， 则,故在外，不符合题意； ，故在上，符合题意； ，故在外，不符合题意， ∴点是弦的“可及点”， 可知三点共线， ∵， ∴， 故答案为：，45； ②取中点为H，连接， ∵则， ∴， ∴点D在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B）， ∴当点轴时，点D横坐标最大， ∵，， ∴， ∴， ∵点，， ∴， ∴此时， ∴点的横坐标的最大值为， 故答案为：； （2）反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆， ∵若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”， ∴点C应在的圆内或圆上， 故点P需要在的圆内或圆上， 作出的外接圆，连接， ∴点P在以为圆心，为半径的上运动（不包括端点M、N）， ∴， ∴， 由对称得点在的垂直平分线上， ∵的外接圆为， ∴点也在的垂直平分线上，记与交于点Q， ∴， ∴， 随着的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大，， 连接， ∵， ∴当最大,时，此时为等边三角形， 由上述过程知 ∴， ∴当，的最大值为2， 设，则， 解得：， 而记直线与交于，与y轴交于点K，过点S作轴， 当，当时，， 解得， ∴与x轴交于点， ∴，而 ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴t的取值范围是或． 【典例2-2】（23-24九年级下·北京·阶段练习）给出坐标平面上的一个定点与一动点，，给出如下定义：连结，线段的上有一点，若，则称点为点，的“分圆伴点”． 如图点为点，的“2分圆伴点”的示意图． (1)已知点的坐标为，，下列给出四个点中，是点，的 “2分圆伴点”． ，，， (2)已知点的坐标为，，若直线上至少有一个点是，的“2分圆伴点”，求解的取值范围； (3)已知点在以为圆心，以为半径的圆上运动， ．若，，三点围成的的三边上的点都是点，的“2分圆伴点”，直接写出的取值范围． 【解析】（1）如图所示，取的中点，连接， ∵，， ∴， 当，则， ∴以为圆心为半径的圆上的点为点，的 “2分圆伴点” ∴点的坐标为，，则以为圆心，为半径的圆上的点为点，的 “2分圆伴点” 如图所示，设， ∵，，，， ∴，，， ∴是点，的 “2分圆伴点”． （2）∵点的坐标为，，直线上至少有一个点是，的“2分圆伴点”， 由（1）可得直线与有交点是符合题意，则直线经过，设 如图所示，当与相切于点时，设交轴于点， ∵， ∴，， ∴， 由， 在中， ∴ ∴ ∴ 设，则 在中， 解得： ∴ 将代入直线 ∴， 当经过点，则，即 根据图象可得，直线上至少有一个点是，的“2分圆伴点”，则 （3）∵，， ∴轴，， ∴ ∴是等边三角形， 又轴，则 又 ∴是的内心， ∴内切圆的半径为，外接圆的半径为 ∵的三边上的点都是点，的“2分圆伴点”， ∴点，的“2分圆伴点”，在的内切圆与外接圆组成的圆环内， ∵点在以为圆心，以为半径的圆上运动， ∴点，的“2分圆伴点”组成的点的圆心为的中点，半径为， 如图所示，当点，的“2分圆伴点”组成的点的圆与的外接圆内切时，则 解得：， 同理可得当点，的“2分圆伴点”组成的点的圆与的内切圆外切时，如图所示， 则 解得： 综上所述，符合题意的的取值范围为：． 【变式2-1】（2024·山东淄博·二模）如图，二次函数的图象与轴分别交于点，（点在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为． (1)求点，的坐标； (2)四边形能是一个菱形吗？若能，求出点的坐标；若不能，说明理由； (3)若以为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求的取值范围． 【解析】（1）令，则， 解得，， ，． 答：点的坐标为，点的坐标为． （2） 不能． 理由如下：由（1）知抛物线对称轴为 假设四边形是菱形，则 由，得， 即 过点作轴，垂足为，则， 由勾股定理得： 这与相矛盾 四边形不能是一个菱形． （3）， 对称轴为． 设， ， ， 连接，则， ， 即以切线长为边长的正方形的面积为， 过点作轴，垂足为， 则，， ， ． 假设经过点，则有两种情况： ①如图，当点在点的上方， ， ，解得或1， ， ． ②如图，当点在点的下方， ， 解得， ， ， 综上所述，或， 当不经过点时，长的取值范围为：或或． 答：长的取值范围为：或或． 【变式2-2】（2024·浙江绍兴·二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 【解析】（1）如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点， 是过，，三点的圆的圆心， ． （2），，， ，， ， 点在的外部． 题型三：直线与圆的位置关系 【典例3-1】（2024·河北石家庄·三模）如图，点B为线段上一点，，，过B作于B，且，以为邻边作矩形，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，优弧交于N，交于M，设旋转角为． (1)若扇形的面积为，则________； (2)连接，判断与扇形所在圆的位置关系，并说明理由； (3)设P为直线上一点，沿所在直线折叠矩形，若折叠后所在的直线与扇形所在的相切，直接写出的长． 【解析】（1）由题意知，， 解得，， ∴， 故答案为：； （2）相离，理由如下； 如图1，连接，作于， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得，， ∴，即， 解得，， ∵， ∴与扇形所在圆相离； （3）①当折叠后所在的直线与扇形所在的圆B相切时，切点为Q，如图2，当点Q在的左侧时，连接，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，当点Q在右侧时，同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． ③当与圆相切时，如图3， 由折叠知：， 同理，， 又∵， ∴， ∴， ∴； ④当在左侧与圆相切时，如图4， 同理可得：，； 综上，的长为或或或． 【典例3-2】（2024·江苏常州·二模）已知二次函数，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为P，与y轴交于点D． (1)点A的坐标为___________，点B的坐标为___________； (2)如图，点M是在x轴下方抛物线上一点，面积为3m，求点M的横坐标； (3)的圆心C在x轴上，且经过A、B两点，若直线PD与相交，则m的取值范围是___________． 【解析】（1）令，则， 解得：，， ∴，； （2）过点M作轴于N， 设， ∵， ∴， 化简整理，得 解得：，， ∴点M的横坐标为1或2； （3）连接，作直线，过点C作于E，过点D作于F，如图， ∵，， ∴， ∵的圆心C在x轴上，且经过A、B两点， ∴， ∵， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 若直线PD与相交，则， 即， ∴ 又∵， ∴． 【变式3-1】（2024·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、（在的左边），与轴交于，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，直线交抛物线于、两点，点在抛物线上，且在直线下方，若以为圆心作，当与直线相切时，求最大半径及此时坐标； (3)如图2，是抛物线上一点，连接交轴于，作关于轴对称的直线交抛物线于，连接、，点是的中点，若、的纵坐标分别是、．直接写出，的数量关系． 【解析】（1）∵， ， ， ， 将点、点的坐标代入， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）联立， 解得或， ， ， 设与相切于，连接，过点作轴交于， 设点的坐标为， ， ， ∵为定值，， ∴当的面积最大时，最大，即最大， 而 ， ， ∴当时，最大，其最大值为， 此时，点的坐标为； （3）设与轴交于点， 由题意可知，点的坐标为， 由对称的性质可知，点的坐标为， 设直线的解析式为：， 将的坐标代入，得， 解得， ∴直线的解析为：， 同理可求得，直线的解析式为：， 联立， 解得或， ∴点的坐标为， 同理可得点的坐标为， ∴点的纵坐标为， 即． 【变式3-2】（2024·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中对于已知的点C和图形W，给出如下定义：若存在过点C的直线l，使之与图形W有两个公共点P，Q，且C，P，Q三点中，某一点恰为另两点所连线段的中点，则称点C是图形W的“相合点”． (1)已知点，线段与线段组成的图形记为W； ①点中，图形W的“相合点”是　　　　　　； ②点M在直线上，且点M为图形W的“相合点”，求点M的横坐标m的取值范围； (2)的半径为r，直线与x轴，y轴分别交于点E，F，若在线段上存在外的一点P，使得点P为的相合点，直接写出r的取值范围． 【解析】（1）①如图，观察图象可知是的中点，Q是的中点．是的中点，故图形W的“相合点”是，，． 故答案为：． ②如图，图形W的“相合点”的分布情形： ①在第一象限，矩形上或内部． ②在第二象限，矩形上或内部． ③第四象限，矩形上或内部． 结合图形可知，直线上图形W的“相合点”M的横坐标为或． （2）如图，以O为圆心，为半径作圆，当直线与图中圆环有交点时，满足条件． 当直线在第一象限与大圆相切时，则， 解得，， 当直线经过时，，解得， 观察图象可知，满足条件的r的值为：， 当直线经过时，，解得， 结合图象可知，满足条件的的值为：． 题型四：切线问题 【典例4-1】（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，已知是的外接圆，是的直径，，，延长到E，使得． (1)求证：与相切； (2)求的半径； (3)直接写出的长为 ． 【解析】（1）连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴与相切； （2）连接交于点F，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴． 设的半径为r，则， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴的半径为6； （3）∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例4-2】（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）如图1，四边形中，，点E是边上一点，且平分，作的外接圆，点D在圆上． (1)求证：是的切线； (2)如图2，，点H是上一点，满足，连接，分别交于点M、N． ①猜想之间的数量关系，并说明理由； ②求的面积． 【解析】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 如图 ①猜想：．理由如下： ∵，， ∴， 又∵且 ， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴； ②如图，延长相交于点F， 连接， ∵，且， ∴， ∵平分且， ∴， 在和中 ， ， ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【变式4-1】（2024·北京·中考真题）如图，是的直径，点，在上，平分.    (1)求证：； (2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 【解析】（1）根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， 不妨设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得， 取的中点M，连接， 则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 解得， 故半径的长为. 【变式4-2】（2024·广东梅州·模拟预测）如图，P为外一点，为的切线，切点分别为A、B，直线交于点D、E，交于点C． (1)求证∶． (2)若，连接，求证：四边形是菱形． 【解析】（1）证明：如图，连接， ∵是直径， ∴ 即 ∵为的切线， ∴， 即． ∴， ∵ ∴， ∴． （2）连接，连接，如图， ∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴ ∵为的切线， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴四边形是菱形． 题型五：圆的综合问题 【典例5-1】（2024·广东汕头·二模）如图，在中，，点P是斜边上一个动点，以为直径作，交于点D，与的另一个交点为E，连接． (1)当时，求证：； (2)探究之间的数量关系并给予证明； (3)当，是否存在点P，使得是等腰三角形，若存在，求出符合条件的的长；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：∵， ； 为的直径，且， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图， 连接； 是的直径， ， ； ， ， ， ； （3）存在； 在中， ， ，，； ， ， ， ； 在中， ； 设，则； ①当时， ， ∴， ； ②当时，则， ， ， ， ， 即， ， ； ③当时，如图，作于点F， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ． 综上，的长为或或． 【典例5-2】（2024·河北邯郸·模拟预测）是半圆O的直径，，C为弧上的一个动点． (1)连接，，如图1，求阴影部分面积和的最小值（结果保留π）； (2)如图2，在半圆O的右侧有一，点P在射线上，，，，当与半圆O切于点Q时，求点H到射线的距离； (3)如图3，在点C的运动过程中，将半圆O沿折叠，弧与交于点D，连接．若，直接写出的度数． 【解析】（1）设，， 是半圆的直径， ， ， ， ，即， ， 即， 阴影部分面积和的最小值为； （2）过点作于，连接， 是切线， ， ， ，， ，， ∴， ， ， 即， ， 故点H到射线AB的距离为； （3）如图，设点在弧上的对应点为，连接，，， ，， ， ， 折叠， ， ； 【变式5-1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知：内接于，，延长交于点，过点作交于，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，过点作，垂足为，交于点，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，点为弧上一点，若，，，求的长． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵经过圆心， ∴， ∴， 连接，如图： ∵， 即， ∴是的直径， ∴， 即， ∴， 即． （2）证明：连接，如图： ∵， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴． （3）设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 过点作交于点，在上取点，使得，如图： 则， ∴， 在中，， 即， ∴， 即， ∴， 即， ∴， 故，， 在中，， 在中，． 【变式5-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：四边形内接于，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，作的直径，交于点，交于点，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，切于点，连接，，分别交，于点，，若，，，求线段的长． 【解析】（1）证明：连接，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）连接、、，如图： ∵， ∴， ∵， ∴，， 即垂直平分， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3）连接、，过点作交于点，过点作交于点，如图： 则， ∴，，，，，， ∵， ∴， ∵， 设，则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由（2）可得， ∴， 在中，， 即， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 设，则，，，， 结合（2）可得， 在中，，在中，， 故， 即， 解得，（舍去）， ∴． 题型六：点的轨迹问题 【典例6-1】（2024·青海·中考真题）综合与实践 车轮设计成圆形的数学道理 小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动： 将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.      (1)探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图2中计算C到的距离. (2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图4中计算C到的距离（结果保留根号）. (3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角______.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），在图6中计算C到的距离______（结果保留根号）. (4)归纳推理：比较，，大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离______（填“越大”或“越小”）. (5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离______.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形. 【解析】（1）图1， ，， ， ， 是等边三角形， ， ∵C为的中点，为半径， ∴， ； （2）如图2，   ，，， ， ， ； （3）如图3，   ，， 是等边三角形， ， 在中， ， ， 故答案为：，； （4）， ，则其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离越小； 故答案为：；越小． （5）圆的半径相等， ， 故答案为：0． 【典例6-2】（2024·云南楚雄·一模）如图1，在矩形中，对角线，相交于点O，过点A，B分别作，的平行线，相交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的面积是24，，求矩形的周长； (3)如图2，在（2）的条件下，点P是线段上的一动点，连接，作点B关于直线的对称点Q，若点P从点B开始向右运动了6个单位，求点Q运动的轨迹的长． 【解析】（1）证明：， 四边形是平行四边形； 四边形是矩形， ，， ， 是菱形； （2）连接，交于点，如图： 四边形是菱形，面积是24， ， 点，分别是，的中点， ， 在中，， 或（舍去） 矩形的周长为：； （3）由（2）知，，； 将①式代入②式得：， 解得：， ∵点B关于直线的对称点Q， ∴ ∴点运动的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 当时， ∴ ∴ ∴ ∴点Q在上 ∴点运动的轨迹是弧， ． 【变式6-1】（23-24九年级上·广西百色·期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 【解析】（1）过O作于点C，交于点D，则， ∴（米） 设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，， 即， 解得， ∴该圆的半径为5米； （2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点， ∴（米）， ∵的半径为5米， ∴米 ∴在中，（米）， ∴（米）， ∴水面上涨的高度为（米）． 【变式6-2】（22-23九年级上·广东广州·期中）已知为等腰直角三角形，，点为平面内的一动点，满足，将线段绕点按逆时针方向旋转90°得到线段，连接． (1)当点在内部时． ①如图，求证：； ②如图，当点，，在同一直线上时，若，求的长． (2)阅读材料：如图，已知线段为定长，若以为斜边作，其中，根据直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹是：以线段中点为圆心，长为半径的圆（，两点除外）．如图，已知．若直线与直线相交于点．点为线段上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转90°得到，连接，求长度的取值范围． 【解析】（1）①证明：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵将线段绕点按逆时针方向旋转90°得到线段， ∴， ∴， ∴． ②由①得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 如图，过作于， ∴， 设 ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． （2）如图，由（1）同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点， ∴， ∴在以为圆心，为半径的的圆弧上运动， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴， 延长交过且垂直于的直线于， ∴在线段上运动， 当点与重合，三点共线时，最长，即的长， ∵， ∴， ∴， 过作于，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过作于， 当重合，重合时，最短，即的长， 此时， ∴， ∴． 【过关测试】 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的直径，是弦，与相交于点M，点A是的中点，连接，N为延长线上一点，连接并延长，交的延长线于点P，连接，． (1)求证：为的切线； (2)若M为的中点，，求的长． 【解析】（1）证明：点A是的中点， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵是半径， 为的切线． （2）M为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得，． 2．（2024·河南郑州·三模）小刚所在的数学兴趣小组剪了一张圆形纸片，并将直角三角板的角的顶点A放在圆形纸片的边缘上，进行如下实践探究活动． (1)如图（1），小刚将直角三角板的直角顶点C放在圆形纸片的边缘上，请你利用尺规作出圆形纸片的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法） (2)小亮将直角三角板摆放成如图（2）所示的情形，其中边分别与交于点E，F，连接，若的半径为r，试判断与r之间的数量关系，并加以证明． (3)小刚将直角三角板摆放成如图（3）所示的情形，其中边与相切于点M，且边恰好经过圆心O．若，求半径r的值． 【解析】（1）如图，点O即为所求． （2），证明如下： 如图，连接， 则， 过点O作于点G， 则，， ∴， ∴． （3）如图，连接，过点O作于点N， ∵边与相切于点M， ∴, 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得． 3．（2024·陕西西安·三模）如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【解析】（1）证明：如图，连接， 于E，于F， 又， ， ∵， ， ， ， ， 又， ， ； （2）如图，连接，设，则， ∴， ∴， 于E，， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）． 即的半径为． 4．（2024·广东佛山·三模）综合与运用：如图，为的切线，为切点，直线交于点，，过点作的垂线，垂足为点，交于点，延长与交于点，连接，． (1)求证：直线为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【解析】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ． 于D ． 又， ． , ， 为的半径， ∴直线为的切线． （2）， ． ， ， 即． 又， ； （3）， ． 设 ． 在中，由勾股定理，得． 解得，（不合题意，舍去）． ． 是的直径， ． 5．（2024·北京门头沟·二模）对于关于的一次函数，我们称函数为一次函数的级衍生函数（其中为常数）． 例如，的级衍生函数为：当时，；当时，． (1)如果的级衍生函数为， ①当时，______； ②当时，______． (2)如果的级衍生函数为，求双曲线与的图像的交点坐标； (3)如果以点为圆心，为半径的与的级衍生函数的图像有交点，直接写出的取值范围． 【解析】（1）∵的级衍生函数为， ∴， ①当时，， 故答案为：； ②当时， 当时，得：，解得：， 当时，得：，解得：（舍去）， 故答案为：； （2）∵的级衍生函数为， ∴ 当时， 联立方程组， ∴， ∵， ∴方程无解，即方程组无解， 此时两个函数图像之间没有交点； 当时， 联立方程组， 解得：或， ∴双曲线与的图像的交点坐标是和； （3）∵的级衍生函数为， ∴ 如图，直线与轴于点，与轴于点， 当时，得：；当时，得：；当时，得：， ∴，，， 当时，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵以点为圆心，为半径的与的级衍生函数的图像有交点， 设沿轴正方向移动， ①当时， 如图，当点刚好在上时，过点作轴于点，连接， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时； 如图，当与直线相切时，设切点为，连接， ∴，， 在中，， ∴， ∴此时， ∴的取值范围是； ②时， 如图，当点刚好在上时，过点作轴于点，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴此时； 如图，当与直线相切时，设切点为，连接，设直线交轴于点， ∴，， 对于直线， 当时，得：；当时，得：， ∴，且在直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴此时， ∴的取值范围是； 综上所述，的取值范围是或． 6．（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，已知菱形，对角线、相交于点，，．点从点A出发，以每秒4个单位的速度沿线段向点运动，同付，点从点出发，以每秒3个单位的速度沿折线向点运动，当点P、Q中有一个点达到终点时，两点同时停止运动．连接、、，设点的运动时间为秒． (1)求线段的长； (2)在整个运动过程中，能否成为直角三角形？若能，请求出符合题意的t的值；若不能，请说明理由； (3)以为圆心，为半径作，当与线段只有一个公共点时，求的值或的取值范围． 【解析】（1） 四边形是菱形， ，，， ， ， 在中，，， ． （2）能．理由如下： 如图1，当时，， ，， ， ， ， ， ， 或不合题意舍弃） ． 如图2，当时，，作垂足为， ， ， ， ，，，， ，， ， ， ， ， ， 解得或不合题意舍弃） 综上所述或时是直角三角形． （3）①如图3，当点在线段上时，与线段相切于，连接， 此时与线段只有一个交点， 在中，，， ， ，， ， ， ，解得或不合题意舍弃）． ②如图4，当时，作垂足为， ，， ， ， ，解得． 时与线段只有一个交点． 综上所述或时与线段只有一个交点． 7．（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，点P、Q是平面内的点，如果点P关于点Q的中心对称点在上，我们称圆上的点为点P关于点Q的“等距点”． (1)已知如图1点． ①如图1，在点 中，上存在点P关于点Q的“等距点”的是________； ②如图2，点 ，上存在点P关于点Q的“等距点”，则m的取值范围是________； (2)如图3，已知点，点P在的图象上，若上存在点P关于点Q的“等距点”，求b的取值范围． 【解析】（1）①如图，点P关于的对称点分别为，则，， ∴在上， ∴点P关于点Q的“等距点”的是 故答案为：； ②在上任取一点点P关于点Q的“等距点”M，连接，取的中点即为点Q，连接，取其中点，连接， ∴， ∴点Q的在以为圆心，半径为1的上， ∵与轴交于点， ∴， 故答案为：． （2）过点O作点Q的对称点，则点为， ∴上所有的点关于点Q的对称点都在以为圆心，半径为2的上， ∵点P在的图象上， ∴当直线与相交即可， 当直线与第一次相切时，设切点为点E，直线与y轴交点G，当直线与第二次相切时，设切点为点F， ∵， ∴， ∴， ∵点， ∴其点Q与点O的水平距离与铅锤距离均是1， ∴， 由相切得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理可求当直线与第二次相切时，， 综上：． 8．（2024·广东广州·三模）如图，已知正方形，，以顶点为直角顶点的等腰在正方形外部绕点旋转，． (1)求点与点之间的最大距离； (2)当最大时，连接，求的面积； (3)在旋转过程中，线段与线段存在交点，连接，若是的中点，是线段上的一个动点，当的值最小时，求的值． 【解析】（1）如图所示，连接，． 根据题意可知． 当点，点，点共线时，可以取得最大值，． （2）以点为圆心，以为半径作圆，可知当为圆的切线时，最大． 根据题意可知． 过点作直线的垂线，交直线于点N． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）如图所示，过点作于点． ∵，,, ∴． 在和中 ∴． ∵, ∴． ∴． ∵， ∴点，点，点，点四点共圆． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴当点，点，点三点共线时，且点，点重合时，值最小． 如图所示，过点作于． ∵，，， ∴，． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∵是的中点， ∴． ∴． 9．（23-24九年级下·广东佛山·阶段练习）综合探究 如图，在矩形中，，，点E是射线上的动点，连接，将沿折叠，点B落在点F处，连接，． (1)当点E是的中点时，求证：； (2)若，求的长； (3)当的度数最大时，求的面积． 【解析】（1）如图， 根据折叠有，， 即有， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过F点作直线于点M，交于点N，如图， ∵在矩形中，， ∴四边形、四边形都是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 根据折叠有：，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 且， ∴， 解得：； （3）根据折叠有：，， 即可知点F在以A为圆心，为半径的圆上，如图， 当直线与圆A相切时，可知的度数最大，如下图， 此时 则有点F、点D、点E共线， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴． 10．（2024·浙江宁波·三模）如图1，已知，，，，点为边上的任意点（不与点，点重合），以为直径的交边于点，点，半径为，连结交于点，连结．设． (1)请用含有的代数式表示出； (2)若，，求的长（用含有的代数式表示）； (3)若，如图，若与边相交，求的取值范围； (4)若为中点，是以为腰的等腰三角形，求的半径． 【解析】（1）连结，如图， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）连接，过点作于点，过点作于点，如图， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）过点作于点，过点作于点，如图， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与边相交， ∴， ∴， ∴； （4）当时， 连结，如图， ∵，， ∴在线段的垂直平分线上， 即垂直平分， ∵为中点，为中点， ∴，为中点，， ∴， ∴， ∴； 当时， 过点作于，延长交于，连结，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∵，， ∴四边形为矩形， 设，则， ∴，， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∵为的中位线， ∴， ∴， ∴即； 不存在的情形； ∴综上所述，若为中点，是以为腰的等腰三角形，的半径或． 11．（2024·上海黄浦·三模）如图，半径为的经过的顶点，与边相交于点，，． (1)求的长； (2)如果，判断直线与以点为圆心、为半径的圆的位置关系，并说明理由． 【解析】（1）连接并延长交于点，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）直线与相交，理由如下： 过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线与相交． 12．（2024·天津·中考真题）已知中，为的弦，直线与相切于点． (1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长． 【解析】（1）为的弦， ．得． 中，， 又， ． 直线与相切于点为的直径， ．即． 又， ． 在中，． ， ． （2）如图，连接． ∵  直线 与 相切于点 为的直径， ∴ ∵ ∴． ，得． 在中，由， 得． ． 在中，， ． 13．（2024·广东深圳·三模）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点．A、B、C、D四点是格点且在圆上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图中，画出经过A、B、C这三点的圆的圆心O； (2)在图中，过点C作的切线． (3)在图中，每个小正方形边长等于1，求阴影部分的面积 【解析】（1）如图，点O即为所求； （2）如图，直线CD即为所求． （3）∵由勾股定理得 ， ∴的面积． ， ． 14．（2024·湖北咸宁·二模）已知为的直径，与相切于点A，弦于点M，． (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分面积． 【解析】（1）证明：连接，． 与相切于点A， ， ，，， ． ， 为半径， 为的切线． （2）与相切于点A， ， ，， ， ， ， 在中，， ∴ 于点M， ， 在利中， ，，， ． ， ． 15．（2024·江苏南京·三模）如图，已知和，求作点，使得分别是的两条切线，且．（要求：用两种方法作图．保留作图痕迹） 【解析】方法一：如图，点即为所求； 方法二：如图，点即为所求． 16．（2024·陕西西安·模拟预测）如国，在中，，点是边的中点，点在边上，经过点，且与边相切于点，与相切于点． (1)求证：； (2)若，，求的直径． 【解析】（1）证明：∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∵，是的切线， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵，，与相切于点， ∴，， 设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设的半径为，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的直径为． 17．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于线段，点和图形定义如下：线段绕点逆时针旋转得到线段（和分别是和的对应点），若线段和均在图形的内部（包括边界），则称图形为线段关于点的旋垂闭图． (1)点． ①：半径为3的； ：以为中心且边长为6的正方形； ：以线段为边的等边三角形． 在、、中，线段关于点的旋垂闭图是　　　　　． ②若半径为5的是线段关于点的旋垂闭图，求的取值范围； (2)已知线段在轴的负半轴和原点组成的射线上运动，且，若存在点，使得对于半径为2的上任意一点，都存在线段满足半径为的是该线段关于点的旋垂闭图，直接写出的最小值． 【解析】（1）①由下图可知，在，，中，线段关于点的旋垂闭图是，， 故答案为：，； ②如图1所示，当点在点左侧，且此时刚好点落在上时， 由旋转的性质可得，， ，， ， ， 在上， ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）； 如图2所示，当点在点右侧，且此时刚好点落在上时， 由旋转的性质可得，， ，， ， ， 在上， ， ， ， 解得或（不符合题意的值舍去）； 当时，半径为5的是线段关于点的旋垂闭图； （2）， ， ， 点在直线上运动； 长度为4的线段在轴负半轴和原点组成的射线上， 不妨设点在点的左侧， 如图所示，连接并延长交于P，点绕点P逆时针旋转后的对应点为， 由旋转的性质可得，， ， 点到上任意一点的距离的最大值是， 由于A、Q都是动点， 只需要找到值最小时，则此时半径有最小值； 点到直线的距离，垂线段最短， 当与直线垂直时，有最小值，即有最小值， 如图所示，当点的坐标为且与直线垂直时，有最小值，即有最小值， 此时，， ， ， ， 则 ∴ ∴． ∴， 即的最小值为 18．（2024·江苏盐城·三模）如图，在直角坐标系中， 的圆心为，半径为，点在上，点在轴的负半轴上，为等边三角形． (1)点的坐标为 ； (2)求证：是的切线； (3)若将沿水平方向平移至 且直线是的切线，求的坐标． 【解析】（1）如图，连接，过点作于点，过点作于点， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：由（1）知，， ， 为等边三角形， ， ， 是的切线； （3）如图2，当沿水平方向向右平移至时，设与相切于点，与轴相切于点，连接、、， 为等边三角形， ， ， 与均为的切线， ， ， ， ； 如图3，沿水平方向向左平移至时，连接、， 由（2）知，是的切线， 当过点、时，是的切线， 为等边三角形， ， 是的切线， ， 又 ， ， ， 综上所述，或． 19．（2024·福建厦门·模拟预测）如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，为半圆O的切线，为切点，，交延长线于点E，已知，．如图2，P为线段上一点，过点P作的平行线分别交，于点，，过点P作于点H．设，． (1)求的长； (2)求y关于x的函数表达式； (3)延长交半圆O于点Q，当时，求的长． 【解析】（1）连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴； （2）如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （3）过Q作于R，连接和， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段，给出如下定义：若将线段沿着某条直线对称可以得到的弦，分别为，的对应点），则称线段是的以直线为对称轴的对称的“反射线段”，直线称为“反射轴”． (1)如图1，线段、、中是的以直线为对称轴的“反射线段”______； (2)如图2，已知点的坐标为，点坐标为．若线段是以直线为对称轴的“反射线段”，画出图形，反射轴与轴的交点的坐标； (3)已知点、是在以为圆心，半径为的圆上的两个动点，且满足，若是的以直线为对称轴的“反射线段”，当点在圆上运动一周时，请你直接写出反射轴与轴的交点的纵坐标的取值范围． 【解析】（1）如图， 是关于直线的对称的弦， 是的以直线为对称轴的“反射线段”， 是关于直线的对称的弦， 线段是的以直线为对称轴的“反射线段”， ，的直径，， 线段不是的以直线为对称轴的“反射线段”， 故答案为：、； （2）由“反射线段”的定义，作出图形，如图所示： 当关于直线的对称弦是时，直线过的中点，即直线：，则直线与轴交点； 当关于直线的对称弦是时，，设，则由中垂线性质可知， ，解得，则直线与轴交点； （3）以为斜边构造等腰直角三角形，以为圆心、为半径作圆，设与x轴的交点为L，如图所示： 设，则， ，是等腰直角三角形， ， ， ， 当点在圆上运动一周时，取的中点，的中点，如图所示： 是的中位线， ，，即的中点，在以为圆心，半径为的圆上运动， 若是的以直线为对称轴的反射线段，则为的切线， 设与轴交于点，， ，， ， 反射轴与轴交点的纵坐标的取值范围为或． 21．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）定义1：如图1，把平面内一条数轴绕原点逆时针旋转得到另一条数轴，轴和轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，若点在轴上对应的实数为，点在轴上对应的实数为，则称有序实数对为点的斜坐标，实数为点的横坐标． 定义2：在平面斜坐标系中，若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为点，另一个公共点在边上（不与点重合），则称为的“点关联三角形”． (1)已知的半径为，为的“点关联三角形”． ①如图2，点，，点的横坐标的最小值为 ，在，这两个点中，点可以与点 重合； ②若点，点，，，，点在轴下方．求满足条件的点轨迹长度； (2)已知的半径为，点，点．若平面斜坐标系中存在点，使得是等边三角形，且为的“点关联三角形”，直接写出的取值范围． 【解析】（1）①根据题意，结合图形与轴交点横坐标为，故点的横坐标的最小值为； 如图所示， 当点与重合时，与有三个交点，不符合题意，故点可以与点重合； ②如图，没有为的“点A关联三角形”， 为的“点A关联三角形”， ∴线段和除过点A外，不能与有交点， 当线段除点A外不与有交点，与相切， 如图，当线段除点A外不与有交点， 过点作轴的垂线段，交轴于点， ，， ， ， ， ， ， 根据勾股定理可得，， ， 可得方程， 解得， ， 当线段AB除点A外不与⊙O有交点，此时， ， 即， ， ， ， ， （2）如图，符合等边三角形的B点有个，当r较小时，没有符合题意的B点，如下图1所示， 随着r增大，当与圆O有交点，直到落在圆O上，如图2所示， ， ，且平分 所在直线为四边形的对称轴，即， 此时，与相切， ，此时仍不满足题意， ①当时， 与有两个交点，不符题意，如图3所示； ②当时，如图4所示，延长至，使得，连接，并延长交轴于点， ， ，   ，， 在中，，， 即在外部，在内部，与必有一个交点，符合题意 符合题意 综上所述，的取值范围是：． 22．（22-23九年级下·北京西城·阶段练习）已知：图形和图形，以及点，给出如下定义：在图形上存在点，图形上的点关于直线的对称点记为点，则称点是图形与图形的相对点，符号表示为：【图形，图形，】． (1)在平面直角坐标系中，点，点，若【点，直线，】则求点的坐标；为了解决此问题小洋同学做了如图所示的操作：在直线上取了不与重合的点，找到了点关于直线的对称点．    ①请你根据小洋同学的做法，若【点，直线，】，则此时点的坐标为______； ②已知圆的半径为，若【圆，直线，】，请你在图中画出所有满足要求的点的轨迹；    (2)在平面直角坐标系中，已知点，．    ①已知，圆的半径为1，【圆，线段，】，当点在线段上时，求的取值范围； ②当，，圆的半径为，【线段，圆，】，点在圆上时，直接写出的最大值与最小值的差． 【解析】（1）①如图所示，在直线上取了不与重合的点，找到了点关于直线的对称点． 故答案为：． ②已知圆的半径为，若【圆，直线，】，找到点关于直线的对称点，以为圆心为半径的作圆，则即为点的轨迹，如图所示， （2）①如图所示，∵【圆，线段，】， ∴，则在以为圆心为半径的圆上运动， 则在以为圆心,，为半径的两圆之间， ∴当在线段上且在第一象限时，即与以为半径的相切时，取得最大值，即取得最大值，当在第三象限时，取得最小值， ∵，． ∴， ∴， ∴， 当时， ∴中，， 则 ∴ 同理可得当在第三象限时， 综上所述，当； ②如图所示，同①可得的轨迹为为圆心为半径的圆，当，即与相切与第一象限时可得的最大值，此时如图， ∴， 则， ∴的最大值为， 如图所示，当在轴负半轴时，当时，如图所示，的最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 23．（23-24九年级下·福建厦门·期中）已知，正方形，边长为4，点是边、上一动点，以为直径作， (1)当点在边上时， ①如图1，若与边相切，请用尺规作图，确定圆心的位置，（不写作法，保留作图痕迹），并求出的长； ②如图2，点从点A运动到点的过程中，若始终是的中点，写出点运动的轨迹并求出路径长； (2)当点在边上时（如图3，若始终是的中点，连接，，连接，求：的面积． 【解析】（1）①如图2， 作的垂直平分线，交于，交于，连接，作的垂直平分线，交于， 则点就是求作的圆心， 设，则， ， ， ， ； ②如图3， 作的垂直平分线，交于，在上截取，连接，， 是的中点， ，，， ， ∴， ， 、在直线上，点运动轨迹是线段， 是正方形的中心， ， 故点的运动路径长为； （2）如图4， 连接，作，交的延长线于， 是的中点， 是等腰直角三角形， ， ， 设，则，， ， ， ， ， 即， ， ． 24．（22-23九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图①是一个边长为的等边三角形，点、分别是边、上的动点（点从点向点运动，点从点向点运动），且．连接、，线段、相交于点．    (1)线段、有怎样的大小关系？请证明你的结论； (2)我们发现：点不是一个定点，随着点、的运动，交点的位置也在改变． 请完成下面两个问题： 问题：观察、测量、猜想是否为定值？如果是请直接写出的度数； 问题：尺规作图，在图②作出点运动的轨迹（包括点与点）； (3)过点作的垂线（如图③），垂足为点，当点从点运动到点，点从点运动到点时，求出点运动的路径长； (4)再过点作的垂线（如图④），垂足为点，根据以上证明、作图、猜想，请探究的最小值（直接写出结论，不必说明理由）． 【解析】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）问题：观察、测量、猜想得出； ∵ ∴， ∴ ； 问题：如图所示，以为边作等边三角形，作出的外心，以为圆心，为半径，作出，则即为点的轨迹； （3）由（2）可得在上运动， 如图所示， 过点作， ∵， ∴， 当在点时，与点重合，当与点重合时，与点重合， ∵，则， 当时，则四边形是矩形，则点到的距离等于 即时，取得最大值， 又∵ ∴四边形是正方形， ∴ ∴点运动的路径长为 （4）如图所示，过点作， ∵ 则， 过点作于点 ∴ ∴ ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵，则当取得最小值时，取得最小值，即取得最小值， 由（3）可得的最小值为， ∴的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$