专题1.3 集合的基本运算【讲义：4大题型7大角度】--【课堂助手】2024-2025学年高一数学讲与练（人教A版·必修一）

专题1.3 集合的基本运算（原卷版） 目录 知识点1：并集与交集 2 知识点2：补集与全集 2 知识点3：Venn图表达集合的关系和运算 2 题型1：集合的混合运算 3 角度1：交并补的混合运算 3 角度2：涉及Venn图的混合运算 3 题型2：集合运算中的参数问题 4 角度1：已知运算结果求参数值 5 角度2：已知运算结果求参数的范围 5 角度3：利用补集思想求参数 7 题型3：集合运算在实际问题中的应用 8 题型4：集合创新题型 10 学习目标导航 关键词 1. 通过实例，了解集合的含义、体会元素与几何的“属于”关系； 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用 （1）集合元素 （2）数集 知识点1：并集与交集 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A，或x∈ B} 2.交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B") A∩B={x|x∈ A，且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 知识点2：补集与全集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U，且x∉A} 图形语言 性质 (1) (2) 知识点3：Venn图表达集合的关系和运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 题型1：集合的混合运算 角度1：交并补的混合运算 【典例1】设集合.求： (1)A∩B； (2)(CUA)∪(CUB). 方法总结：集合混合运算的一般思路 (1)明确题中含有哪些运算，依据三种运算的定义列出算式；(2)明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算；(3)注意对运算结果进行检验 【变式1-1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】集合. (1)求； (2)求. 角度2：涉及Venn图的混合运算 【典例2】已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 方法总结：混合运算的2种技巧 (1)活“性”减“量”：灵活运用交集与并集以及补集的运算性质，特别是德·摩根定律，即 CU(M∩N)=(CUM)∪(CUN)，CU(M∪N)=(CUM)∩(CUN)等简化运算，减少运算量. (2)借“形”助“数”：在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn图和数轴使抽象问题直观化，用数轴表示时要注意端点值的取舍 【变式2-1】已知：设，，，求： (1) ； (2) ； (3) 【变式2-2】（多选）若全集，，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（多选）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 题型2：集合运算中的参数问题 角度1：已知运算结果求参数值 【典例3】已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 方法总结： 若集合中的元素能列举出来，则一般先用观察法得到两集合中元素之间的关系，再列出方程(组)求解，求出参数后，要注意对结果进行检验. 【变式3-1】已知全集 . (1)求集合； (2)若集合，求实数的值. 【变式3-2】已知全集，， (1)用列举法写出集合，，； (2)若，求，的值. 【变式3-3】已知全集，，，且． (1)求集合，； (2)若集合，求实数的值． 角度2：已知运算结果求参数的范围 【典例4】已知全集，集合或. (1)求; (2)若，求实数的取值范围. 【变式4-1】已知集合，． (1)当时，求； (2)若且，求实数m的值． 方法总结： 1.与不等式有关的集合中的参数问题，可利用数轴解决 2.一般步骤：(1)转化：将集合中的运算关系转化为两集合之间的关系.即①A∪B=BAB，②A∩B=BBA，③A∩B=AUBA=B. (2)列不等式(组)：利用数轴表示出两个集合之间的关系，进而列出不等式(组) (3)解不等式(组)确定出参数的取值范围 3.求参问题四注意： (1)注意两个转化.A∩B=AAB；A∪B=ABA. (2)注意空集的特殊性. ①若BA(A≠Ø)，则应分成B=Ø和B≠Ø两类情况进行讨论 ②若A∩B=Ø，则集合A，B可能的情况有： a. A，B均为空集； b. A与B中只有一个是空集； c. A，B虽然均为非空集合但无公共元素. (3)注意结合数轴分析端点值的大小 (4)注意对结果进行检验，以避免违背集合中元素的互异性 【变式4-2】已知集合，集合. (1)当时，求 (2)若，求的取值范围. 【变式4-3】已知集合， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 角度3：利用补集思想求参数 【典例5】已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 方法总结：由集合的补集求解参数的方法 1.对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确、难以从正面入手的问题，在解题时，应及时调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，化难为易，化隐为显，从而将问题解决，我们把这种解决问题的方法称为“正难则反”的解题策略，也是“补集思想”的运用. 2.一般步骤：①否定已知条件，考虑反面问题：②求解反面问题对应参数的范围；③对反面问题对应参数的范围取补集 【变式5-1】设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【变式5-2】已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【变式5-3】已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 题型3：集合运算在实际问题中的应用 【典例6】某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（    ） A．29 B．27 C．26 D．28 方法总结 1.与集合运算相关的实际应用问题主要是涉及集合中元素个数的问题 一般思路为： (1)对实际问题进行分析、抽象建立集合模型，转化为集合问题； (2)运用集合知识进行求解； (3)将数学问题的解翻译成实际问题的解并进行检验. 2.用 Venn 图进行分析是常用方法，其一般步骤为：(1)将属性相同的对象用集合表示；(2)用Venn 图表示集合间的关系；(3)借助Venn图求解. 【变式6-1】高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 【变式6-2】学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 【变式6-3】学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 题型4：集合创新题型 【典例7】已知集合，. (1)求； (2)定义且，求. 方法总结：新定义型集合问题的解题思路 1.紧扣“断”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚并能够应用到具体的解题过程之中，这是解决新定义型集合问题的关键所在 2. 把握“新”性质： 集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质. 3.遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集并集与补集的运算即可 【变式7-1】已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 【变式7-2】对于集合和集合，若满足，则集合中的运算“”可以是（    ）． A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 【变式7-3】（多选）当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合，，若M与N“相交”，则a等于（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 集合的基本运算（解析版） 知识点1：并集与交集 2 知识点2：补集与全集 2 知识点3：Venn图表达集合的关系和运算 2 题型1：集合的混合运算 3 角度1：交并补的混合运算 3 角度2：涉及Venn图的混合运算 3 题型2：集合运算中的参数问题 5 角度1：已知运算结果求参数值 6 角度2：已知运算结果求参数的范围 7 角度3：利用补集思想求参数 10 题型3：集合运算在实际问题中的应用 12 题型4：集合创新题型 15 学习目标导航 关键词 1. 通过实例，了解集合的含义、体会元素与几何的“属于”关系； 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用 （1）集合元素 （2）数集 知识点1：并集与交集 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A，或x∈ B} 2.交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B") A∩B={x|x∈ A，且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 知识点2：补集与全集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA 符号语言 CUA={x|x∈U，且x∉A} 图形语言 性质 (1) (2) 知识点3：Venn图表达集合的关系和运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 题型1：集合的混合运算 角度1：交并补的混合运算 【典例1】设集合.求： (1)A∩B； (2)(CUA)∪(CUB). 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用集合的交集运算即可得解； （2）利用集合的交并补混合运算即可得解. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以或，或. 故或. 方法总结：集合混合运算的一般思路 (1)明确题中含有哪些运算，依据三种运算的定义列出算式；(2)明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算；(3)注意对运算结果进行检验 【变式1-1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用交集定义直接求解． 【详解】∵集合， ∴. 故选：A． 【变式1-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合的基本运算计算即可. 【详解】由， , 所以. 故选：B. 【变式1-3】集合. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由并集定义求解； （2）根据补集和交集定义求解. 【详解】（1）， 所以； （2）或， 所以. 角度2：涉及Venn图的混合运算 【典例2】已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图确定阴影部分所表示的集合为，再根据集合的补集以及交集的运算，即可得答案. 【详解】由图可知图中阴影部分所表示的集合为， 由于全集，集合， 故，则， 故选：C 方法总结：混合运算的2种技巧 (1)活“性”减“量”：灵活运用交集与并集以及补集的运算性质，特别是德·摩根定律，即 CU(M∩N)=(CUM)∪(CUN)，CU(M∪N)=(CUM)∩(CUN)等简化运算，减少运算量. (2)借“形”助“数”：在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn图和数轴使抽象问题直观化，用数轴表示时要注意端点值的取舍 【变式2-1】已知：设，，，求： (1) ； (2) ； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由交集的定义求解 ； （2）由补集的定义求解 ； （3）由补集和并集的定义求解. 【详解】（1），，， 则有 ； （2）； （3），. 【变式2-2】（多选）若全集，，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据交并补的混合运算逐个选项判断即可. 【详解】对A，，，故，故A错误； 对B，，故，故B正确； 对C，，故，故C正确； 对D，，故，故D正确. 故选：BCD 【变式2-3】（多选）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系，即可得出合适的选项. 【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且， 所以阴影部分可表示为，A对； 且，阴影部分可表示为，而，故C错误； 且，阴影部分可表示为，D对； 显然，阴影部分区域所表示的集合为的真子集，B选项不合乎要求. 故选：AD. 题型2：集合运算中的参数问题 角度1：已知运算结果求参数值 【典例3】已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【答案】D 【分析】求出集合中方程的解确定，即可求出，根据，分两种情况和讨论即可． 【详解】由题可知，，则或， 因为， 所以当时，，则，符合题意； 当时，， 由知，或，即或， 综上所述，实数为0或1或， 故选：D． 方法总结： 若集合中的元素能列举出来，则一般先用观察法得到两集合中元素之间的关系，再列出方程(组)求解，求出参数后，要注意对结果进行检验. 【变式3-1】已知全集 . (1)求集合； (2)若集合，求实数的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）解一元二次方程及整数的概念化简即可求解； （2）先求出，再求，利用集合相等建立方程组求解即可. 【详解】（1）， 所以，； （2）由（1）得， 又，所以， 所以，得. 【变式3-2】已知全集，， (1)用列举法写出集合，，； (2)若，求，的值. 【答案】(1)，， (2)、 【分析】（1）直接用列举法表示，，再由补集、交集的结果得到，，，，利用反证法说明，，，，即可求出集合； （2）依题意可得、为关于方程的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可. 【详解】（1）因为， 又，所以，，，， ，，，， 若，则且，则，矛盾，所以， 同理可证，，，所以， . （2）因为， 所以、为关于方程的两根， ∴，解得. 【变式3-3】已知全集，，，且． (1)求集合，； (2)若集合，求实数的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由得，，将2代入等式，解出a，b的值，得M，N； （2）由的结果列出方程组，解得m的值. 【详解】（1）因为，所以，且， 又因为，所以，得，， 因为，所以，得，， 综上，，. （2）由（1）得， 所以，得. 角度2：已知运算结果求参数的范围 【典例4】已知全集，集合或. (1)求; (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再利用交集运算求解； （2）根据题意得，求得的取值范围. 【详解】（1）由题意得，， . （2），， . 【变式4-1】已知集合，． (1)当时，求； (2)若且，求实数m的值． 【答案】(1) (2)或1 【分析】（1）根据集合的并集定义求解即可； （2）由集合对两端点的距离要求，可分三类情况考虑并验证即得. 【详解】（1）当时，，则； （2）因为，，，且， ①当时，则，解得， 此时，此时，满足题意； ②当时，有，解得， 则，此时，不满足题意，舍去； ③当时，有，解得， 此时，，满足题意． 综上，实数m的值为或1． 方法总结： 1.与不等式有关的集合中的参数问题，可利用数轴解决 2.一般步骤：(1)转化：将集合中的运算关系转化为两集合之间的关系.即①A∪B=BAB，②A∩B=BBA，③A∩B=AUBA=B. (2)列不等式(组)：利用数轴表示出两个集合之间的关系，进而列出不等式(组) (3)解不等式(组)确定出参数的取值范围 3.求参问题四注意： (1)注意两个转化.A∩B=AAB；A∪B=ABA. (2)注意空集的特殊性. ①若BA(A≠Ø)，则应分成B=Ø和B≠Ø两类情况进行讨论 ②若A∩B=Ø，则集合A，B可能的情况有： a. A，B均为空集； b. A与B中只有一个是空集； c. A，B虽然均为非空集合但无公共元素. (3)注意结合数轴分析端点值的大小 (4)注意对结果进行检验，以避免违背集合中元素的互异性 【变式4-2】已知集合，集合. (1)当时，求 (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的并运算即可求解， （2）根据集合间的关系，分类讨论为空集和非空集两种情况即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）当时，，解得. 当时，或 解得， 综上，或. 所以的取值范围是或. 【变式4-3】已知集合， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． 【分析】（1）因为，所以，将代入，求出即可得出答案； （2）利用得到，分和四种情况讨论即可得出结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以将代入，整理得， 解得：或， 当时，，所以； 当时，，所以； 经检验，或都满足条件． （2）因为由可得： 当时，，解得或； 当时，是方程的两个相等的根， 所以，所以，所以无解． 当时，是方程的两个相等的根， 所以，所以，所以无解． 当时，是方程的两个不相等的根， 所以，所以，所以无解． 综上：或． 角度3：利用补集思想求参数 【典例5】已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案. （2）判断出是的子集，根据是否是空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，∴. （2），则是的子集，， 当，即时，，满足题意； 当时，或解得： 综上得的取值范围是：. 方法总结：由集合的补集求解参数的方法 1.对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确、难以从正面入手的问题，在解题时，应及时调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，化难为易，化隐为显，从而将问题解决，我们把这种解决问题的方法称为“正难则反”的解题策略，也是“补集思想”的运用. 2.一般步骤：①否定已知条件，考虑反面问题：②求解反面问题对应参数的范围；③对反面问题对应参数的范围取补集 【变式5-1】设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且，+ 解得，所以实数m的取值范围是． 【变式5-2】已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集的定义求解； （2）分类讨论，利用补集和并集的定义可求得结果. 【详解】（1）集合，，， 则由交集的定义可知，且，解得. （2）当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，或， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 【变式5-3】已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由集合的交、并运算即可得解. （2）由得列出不等式组，求解即得. 【详解】（1）因为，所以，， 所以， （2）由得，得解得， 所以，故实数的取值范围为 题型3：集合运算在实际问题中的应用 【典例6】某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（    ） A．29 B．27 C．26 D．28 【答案】B 【分析】由题意得，根据Venn图求出参加数理化的人数，即可求出需要预订多少张火车票. 【详解】该班学生参加竞赛情况如图所示，集合A，B，C，D，E，F，G中的任意两个集合无公共元素， 其中G表示三科都参加的学生集合，G中的学生数为2． 因为既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，所以D中的学生数为， 同理，得E中的学生数为，F中的学生数为． 又因为参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为21，17，10， 所以A中的学生数为， B中的学生数为， C中的学生数为， 故置预订火车票的张数为． 故选：B. 方法总结 1.与集合运算相关的实际应用问题主要是涉及集合中元素个数的问题 一般思路为： (1)对实际问题进行分析、抽象建立集合模型，转化为集合问题； (2)运用集合知识进行求解； (3)将数学问题的解翻译成实际问题的解并进行检验. 2.用 Venn 图进行分析是常用方法，其一般步骤为：(1)将属性相同的对象用集合表示；(2)用Venn 图表示集合间的关系；(3)借助Venn图求解. 【变式6-1】高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 【答案】D 【分析】利用韦恩图法即可快速求解. 【详解】设同时学习必修二和选修一的有x人， 则，解得， 即同时学习必修二和选修一的有3人， 则只学习必修一的有（人）， 故选：D. . 【变式6-2】学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 【答案】B 【分析】利用容斥原理可得. 【详解】设参加田径运动的同学构成集合，参加球类运动会的同学构成集合， 则参加田径运动的同学人数， 参加球类运动会的同学人数， 两次运动会都参赛的同学人数， 则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为 . 故选：B. 【变式6-3】学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 【答案】6 【分析】根据韦恩图计算得到答案. 【详解】如图所示，设同时参加田径和球类比赛有人， 可得，解得． 易知只参加趣味比赛一项的有6人， 故答案为：6 题型4：集合创新题型 【典例7】已知集合，. (1)求； (2)定义且，求. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由并集的概念即可得解. （2）由集合与元素的关系以及集合新定义即可得解. 【详解】（1）由题意集合，，所以. （2）由题意若，则，所以或. 方法总结：新定义型集合问题的解题思路 1.紧扣“断”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚并能够应用到具体的解题过程之中，这是解决新定义型集合问题的关键所在 2. 把握“新”性质： 集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质. 3.遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集并集与补集的运算即可 【变式7-1】已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，再由可知，分类讨论的归属，从而得到集合的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合的子集的个数. 【详解】由题设可知，， 又因为，所以， 而， 因为的解为或，的两根满足， 所以分属方程与的根， 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 所以不管如何归属方程与，集合总是有4个元素， 故由子集个数公式可得集合的子集的个数为. 故选：C 【变式7-2】对于集合和集合，若满足，则集合中的运算“”可以是（    ）． A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 【答案】C 【分析】由集合S是由正奇数构成的集合和两个奇数的和与差为偶数判断. 【详解】解：因为集合S表示的是由正奇数构成的集合，而两个奇数的和与差为偶数， 所以A，B不满足，两个奇数的除法不一定为整数，所以D不满足， 故选：C． 【变式7-3】（多选）当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合，，若M与N“相交”，则a等于（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】AC 【分析】由集合新定义把中的元素代入解出即可. 【详解】由M与N“相交”，可知有一个属于集合M， 若，则； 若，则， 故选：AC. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$