专题1.4 充分条件与必要条件【练习：8大题型】--【课堂助手】2024-2025学年高一数学讲与练（人教A版2019·必修第一册）

专题1.4 充分条件与必要条件（练习） 内容概览 01：命题的概念及真假判断 1 02：充分条件和必要条件的判定及性质 2 03：判断命题的充分不必要条件和必要不充分条件 2 04：根据充分不必要条件和必要不充分条件求参数 3 05：充要条件的证明 5 06：命题的探索问题 7 07：根据充要条件求参数 8 08：既不充分也不必要条件 10 题组训练 01：命题的概念及真假判断 1．下列语句中，为真命题的是（    ） A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补 C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角 2．（23-24高一上·江苏·课后作业）有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 3．下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（23-24高一上·广东·阶段练习）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 02：充分条件和必要条件的判定及性质 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）已知，若，则是的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 7．（多选）（23-24高一上·广东佛山·期中）已知命题p：，q：，则下列说法正确的有（    ） A．p是q的必要条件 B．p是q的充分条件 C．p是q的充要条件 D．q是p的必要条件 8．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）一次函数的图像不过第一象限的一个充分条件是 （答案不唯一）. 03：判断命题的充分不必要条件和必要不充分条件 9．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 11．（23-24高一上·浙江·期末）若，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2023·湖南岳阳·模拟预测）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（多选）（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．p是q的充分条件 B．p是s的必要条件 C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件 04：根据充分不必要条件和必要不充分条件求参数 14．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围. 15．已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 17．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 05：充要条件的证明 19．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 20．设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 21．（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 22．已知集合，． (1)若“，”为假命题，求的取值范围； (2)求证：至少有2个子集的充要条件是，或． 23．求证：对任意实数，，，成立，等号成立的充分必要条件． 06：命题的探索问题 24．已知方程，求使方程有两个大于的实数根的充要条件． 25．记关于x的方程的解集为M，其中． (1)求M恰有3个元素的充要条件； (2)在（1）的条件下，试求：以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件． 26．已知集合，，其中，是关于x的方程的两个不同的实数根. (1)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由. (2)若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围. 27．设集合或，或. (1)设，，且是的充分而不必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 07：根据充要条件求参数 28．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上. 已知集合，，存在实数使得“”是“”的 条件. 29．（22-23高一上·云南大理·期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 30．请在“①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合，，若是成立的________条件，判断实数是否存在？ 31．设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 32．已知命题，命题. （1）若是的充分条件，求实数的取值范围. （2）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 33．已知非空集合，集合，命题，命题． （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）当实数为何值时，是的充要条件． 08：既不充分也不必要条件 34．“x，y为无理数”是“xy为无理数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 35．（23-24高一上·湖南·阶段练习）已知，为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 36．（23-24高一上·北京·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 37．（多选）对任意实数、、，在下列命题中，真命题是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充要条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“，”是“”的既不充分也不必要条件 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 充分条件与必要条件（练习） 内容概览 01：命题的概念及真假判断 1 02：充分条件和必要条件的判定及性质 3 03：判断命题的充分不必要条件和必要不充分条件 4 04：根据充分不必要条件和必要不充分条件求参数 6 05：充要条件的证明 9 06：命题的探索问题 12 07：根据充要条件求参数 15 08：既不充分也不必要条件 19 题组训练 01：命题的概念及真假判断 1．下列语句中，为真命题的是（    ） A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补 C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角 【答案】A 【分析】命题是可以判断真假的陈述句，判断为真的语句是真命题.依次对各选项分析，先判断是否为陈述句，再判断是否为真. 【详解】对选项A，直角的补角是直角，所以A选项为真命题； 对选项B，缺少两直线平行条件，结论不成立. 如三角形内任意两内角都是同旁内角，但两角和必小于，所以B选项为假命题； 对选项C ，是祈使句，不是陈述句.所以不是命题； 对选项D， 与的和为锐角，所以D选项为假命题． 故选：A. 2．（23-24高一上·江苏·课后作业）有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据命题的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题； （6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题. 所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题． 故选：A 3．下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式性质知ABC正确，当时，恒成立，D错误，得到答案. 【详解】对选项A：若，则，正确； 对选项B：若，则，正确； 对选项C：若，则，正确； 对选项D：当时，恒成立，不能得到，错误； 故选：D 4．（23-24高一上·广东·阶段练习）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 【答案】C 【分析】根据四人的描述可知，甲和丙的说法要么同时成立，要么同时不成立；若同时成立则可知丁的说法也对，这不合题意；所以甲和丙的说法都不成立，据此分情况讨论即可得出结论. 【详解】由“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”． 所以甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符． 若甲和丙的说法要么同时与结果相符，则丁的说法也对， 这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，”相矛盾，故错误； 若甲和丙的说法与结果不符，则乙､丁的预测成立 所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖､乙不获奖或者乙获奖､丙不获奖． 即获奖的两人为甲和丙，或者甲和乙. 故选：C 02：充分条件和必要条件的判定及性质 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由不等式的性质，分别判断充分性和必要性是否满足. 【详解】由等价于， 由等价于， 由推不出，由可以推出， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）已知，若，则是的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】时，有，满足，则是的充分条件； 时，有或，不能得到，则不是的必要条件. 所以是的充分非必要条件. 故选：A 7．（多选）（23-24高一上·广东佛山·期中）已知命题p：，q：，则下列说法正确的有（    ） A．p是q的必要条件 B．p是q的充分条件 C．p是q的充要条件 D．q是p的必要条件 【答案】BD 【分析】根据充分条件和必要条件的定义直接得到答案. 【详解】命题p：，q：，则p是q的充分条件，q是p的必要条件. 故选：BD 8．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）一次函数的图像不过第一象限的一个充分条件是 （答案不唯一）. 【答案】且 【分析】根据题意，由一次函数的意义，即可得到结果. 【详解】由一次函数可知，，图像过一，三象限，过二，四象限， 且，一次函数图像交于轴正半轴，，一次函数图像交于轴负半轴，，一次函数图像过原点，所以一次函数的图像不过第一象限的充分条件是，取且即可. 故答案为：且 03：判断命题的充分不必要条件和必要不充分条件 9．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据集合关系考查充分性及必要性即可求解. 【详解】 若，则，， 则“”是“”的充分条件； 若，则， 则时，不一定成立， 则“”是“”的充分不必要条件, 故选：A. 10．“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据得或，故“”是“”的充分不必要条件. 【详解】由得或， 故“”是“”的充分不必要条件 故选：A 11．（23-24高一上·浙江·期末）若，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，则，即由推不出且，故充分性不成立； 若且，则，即由且推得出， 即必要性成立， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 12．（2023·湖南岳阳·模拟预测）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解一元一次不等式结合必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】由题意， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 13．（多选）（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．p是q的充分条件 B．p是s的必要条件 C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件 【答案】AD 【分析】根据题意，结合间的推出关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件， 可得， 对于A中，由，所以是的充分条件，所以A正确； 对于B中，由，所以是的充分条件，所以B不正确； 对于C中，由，所以是的充要条件，所以C不正确； 对于D中，由，所以是的充要条件，所以D正确. 故选：AD. 04：根据充分不必要条件和必要不充分条件求参数 14．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解指数不等式，一元二次不等式化简集合，然后由交集定义计算； （2）根据充分不必要条件的定义得不等式组求解； 【详解】（1） 因，则. 当时，，所以. （2）因“”是“”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集. 所以，经检验“=”满足. 所以实数m的取值范围是. 15．已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）当时，求得，结合集合的交集的运算，即可求解； （2）根据题意，转化为，根据集合之间的包含关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当时，集合， 因为集合或，所以或. （2）解：由集合或，可得， 因为，且 “”是“”充分不必要条件， 可得，则，解得，即实数的取值范围是. 16．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合间的基本关系及必要不充分条件的定义计算即可； （2）利用集合间的基本关系计算即可. 【详解】（1）∵是的必要不充分条件， ∴是A的真子集. ①当时，， ②当时，∴，解得. ∴实数的取值范围为. （2）由， 则①当时，， ②当时，可得或， 解得或. ∴实数的取值范围为. 17．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用并集概念求解，先求出，然后再求解即可； （2）根据题意知集合是集合的真子集，分和讨论求解即可. 【详解】（1）因为集合，，所以； 又或，则. （2）因为是的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 当时，，解得，满足题意； 当时，由题意或，所以； 综上所述：的取值范围为. 18．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式可得集合，由交集结果可求得的取值范围为； （2）根据必要非充分条件可知集合是集合的真子集，解不等式可得的取值范围为； 【详解】（1）解不等式可得，显然 若，可得或， 解得或， 即实数的取值范围为； （2）若“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集； 可得，解得， 因为不等式两端等号不会同时成立， 所以实数的取值范围为. 05：充要条件的证明 19．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，结合充分性和必要性的证明方法，结合多项式的化简、运算，即可求解. 【详解】证明：充分性： 当时，多项式可化为， 即，所以， 则，所以， 即，为等边三角形，即充分性成立； 必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是． 20．设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 【答案】证明见解析 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合一元二次方程的性质证明即可. 【详解】充分性： ，， 代入方程得，即． 关于的方程有一个根为； 必要性：方程有一个根为， 满足方程， ，即． 故关于的方程有一个根是的充要条件为． 21．（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【答案】答案见解析 【分析】先证明充分性，即由，得是方程的一个根；再证必要性，由是方程的一个根，得. 【详解】证明：①充分性：即证明关于x的方程的系数满足方程有一个根为－1； 由，得， 代入方程得，得， 所以，是方程的一个根. ②必要性：即证明若是方程的根； 将代入方程，即有. 综上由①②可知，故关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 22．已知集合，． (1)若“，”为假命题，求的取值范围； (2)求证：至少有2个子集的充要条件是，或． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知，先求解出集合，然后根据，将集合分为和两种情况讨论，分别列式求解即可； （2）由已知，先有或，证明至少有2个子集，即证明充分性，然后再根据至少有2个子集，求解参数的范围与或比较即可证明其必要性. 【详解】（1）由已知，集合，所以集合． 因为“，”为假命题，所以． 当时，，解得； 当时，要使，则，，且，， 即，解得或或或． 综上，实数m的取值范围为． （2）证明：充分性：若，或，则至少有2个子集． 当，或时，，方程有解， 集合至少有1个元素，至少有2个子集，充分性得证； 必要性：若至少有2个子集，则或． 若至少有2个子集，则至少有1个元素， 方程有解，，解得或， 必要性得证． 综上，至少有2个子集的充要条件是或． 23．求证：对任意实数，，，成立，等号成立的充分必要条件． 【答案】见解析 【分析】化简可得，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出结论. 【详解】证明： ， 当且仅当时，取等号， 所以当时，对任意实数，，，成立，等号成立， 当对任意实数，，，成立，等号成立时，， 所以对任意实数，，，成立，等号成立的充分必要条件． 06：命题的探索问题 24．已知方程，求使方程有两个大于的实数根的充要条件． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个大于个实数根列不等式，由此求得正确答案. 【详解】方程，有两个大于的实数根， ， ⇔⇔ ⇔⇔. 由于上述变型过程是等价的，所以使方程有两个大于1的实根的充要条件是. 25．记关于x的方程的解集为M，其中． (1)求M恰有3个元素的充要条件； (2)在（1）的条件下，试求：以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件． 【答案】(1)； (2)为所求的充要条件． 【分析】（1）等价于或，，M恰有3个元素，即得解； （2）先考虑必要性，得到；再考虑充分性，即得解. 【详解】（1）原方程等价于或， 所以或， 由于， 所以当时，M恰有3个元素，即． （2）必要性：由（1）知，两个方程或， 两个方程的三个根分别为， 若它们是直角三角形的三边，则， 解得． 充分性：若，可解得，以6，8，10为边长的三角形恰为直角三角形． 所以为所求的充要条件． 26．已知集合，，其中，是关于x的方程的两个不同的实数根. (1)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由. (2)若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围. 【答案】(1)存在， (2)或 【分析】（1）假设存在，即，根据根与系数的关系求解即可； （2）由题意转化为B A，根据集合的包含关系列出不等式组求解即可. 【详解】（1）假设存在满足条件的实数a，则，即，. 因为，是关于x的方程的两个不同的实数根，所以， 即，解得，即当时，“”是“”的充要条件. （2）由题意可知，关于x的方程的两根分别为和. 因为“”是“”的必要不充分条件，所以B A . 当，即时，， 则解得； 当，即时，， 则解得. 综上，a的取值范围是或. 27．设集合或，或. (1)设，，且是的充分而不必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】(1)根据给定条件求出与所对集合，再借助集合的包含关系列式求解即得. (2)根据充要条件的定义直接分析判断作答. 【详解】（1）因集合或，或，且，， 则中的取值构成的集合为，中的取值构成的集合为， 又是的充分而不必要条件，于是得，则有，解得：， 所以实数的取值范围为. （2）根据充要条件的定义知，“”是“”的充要条件当且仅当， 而集合A中可以取到端点值-2，3，集合B中不能取到端点值2a，-a， 于是得无论取何值，都有， 所以不存在实数，使得“”是“”的充要条件. 07：根据充要条件求参数 28．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上. 已知集合，，存在实数使得“”是“”的 条件. 【答案】②，③ 【分析】分别根据充要条件及充分不必要条件，必要不充分条件计算求解即可. 【详解】①“”是“”的充要条件，则，，此方程无解，故不存在实数，则不符合题意； ②“”是“”的充分不必要条件时，，，；解得，符合题意； ③“”是“”的必要不充分条件时，当，，得； 当，需满足，，，解集为； 综上所述，实数的取值范围. 故答案为：②，③. 29．（22-23高一上·云南大理·期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 【答案】 【分析】解不等式，根据充要条件的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】解不等式得， 因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得， 所以，. 故答案为：. 30．请在“①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合，，若是成立的________条件，判断实数是否存在？ 【答案】答案见解析 【分析】若选择条件①，可得集合A是集合B的真子集，列出不等式组可得实数m的取值范围；若选择条件②，可得集合B是集合A的真子集，列出不等式组可得实数的取值范围；若选择条件③，列出方程组可得集合A等于集合B可得答案. 【详解】若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，则有，解得， 所以，实数m的取值范围是； 若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集， 则有，解得， 所以，实数的取值范围是； 若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合A等于集合B则有，方程组无解， 所以，不存在满足条件的实数. 31．设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接解方程即可； （2）根据条件得，可得是方程的根，进而可得实数的值. 【详解】（1）集合， 即； （2）由已知，， 若是的充要条件，则， ， . 32．已知命题，命题. （1）若是的充分条件，求实数的取值范围. （2）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析. 【分析】（1）由已知得，分为或两种情况来讨论，建立不等式（组），求解可得出实数的取值范围. （2）由已知可得，根据集合相等建立不等式组可得结论. 【详解】（1）集合，集合. 因为是的充分条件，所以， ∴集合可以分为或两种情况来讨论： 当时，满足题意，此时，解得：； 当时，要使成立， 需满足， 综上所得，实数的取值范围. （2）假设存在实数，使得是的充要条件，那么， 则必有，解得，综合得无解. 故不存在实数，使得， 即不存在实数，使得是的充要条件. 【点睛】本题考查充分必要条件，集合间的关系，根据集合间的关系求参数的范围，属于中档题. 33．已知非空集合，集合，命题，命题． （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）当实数为何值时，是的充要条件． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求解二次不等式以及分式不等式解得集合，根据，分类讨论，即可列出不等式求得参数范围； （2）根据（1）中所求，结合是的充要条件，即可容易求得结果. 【详解】（1）解不等式，即，解得，则. 由于是的充分不必要条件，则A，又， ①当时，即当或时，，满足题意； ②当时，即当或时，， 因为A，则，解得， 又当，，不合乎题意.所以； ③当时，即当时，因为A，则，此时. 综上所述，实数的取值范围是； （2）由于是的充要条件，则， 所以，和1是方程的两根， 由韦达定理得，解得. 故. 【点睛】本题考查利用充分不必要条件、充要条件求参数，考查运算求解能力，属于中等题. （1）解出集合，由题意得出，可得出关于实数的不等式组，即可求得实数的取值范围； （2）由题意，进而可得出和是方程的两根，利用韦达定理可求得实数的值. 08：既不充分也不必要条件 34．“x，y为无理数”是“xy为无理数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】对充分性和必要性分别取特殊值进行否定即可. 【详解】充分性：取符合“x，y为无理数”，但是不符合“xy为无理数”，故充分性不满足； 必要性：当“xy为无理数”时，可以取，但是不符合“x，y为无理数”，故必要性不满足. 故“x，y为无理数”是“xy为无理数”的既不充分也不必要条件. 故选：D 35．（23-24高一上·湖南·阶段练习）已知，为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】可以推出；但，则不一定为0. 故选：A. 36．（23-24高一上·北京·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】分别从充分性和必要性角度去判断即可. 【详解】由得，由得， 当，时，满足，但不满足； 当，时，满足，但不满足； 故“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D 37．（多选）对任意实数、、，在下列命题中，真命题是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充要条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“，”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】BCD 【分析】利用不等式的性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用函数的单调性可判断B选项；由得出，利用集合的包含关系可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项，充分性：由可得，两边除以可得，故充分性成立； 必要性：当时，则，故必要性不成立． 故“”是“”的充分不必要条件，故A是假命题； 对于B选项，由函数单调性可知，函数在上是增函数， 所以“”是“”的充要条件，故B是真命题； 对于C选项，，由可得， 由于，故“”是“”的充分不必要条件，故C是真命题； 对于D选项，充分性：当，，，满足，，但，故充分性不成立； 必要性：当，，，此时，，故必要性不成立． 故“，”是“”的既不充分也不必要条件，故D是真命题． 故选：BCD． 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查了不等式的基本性质以及特殊值法的应用，考查推理能力，属于基础题. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$