第05讲 一元二次方程的概念（一）（2个知识点+2种经典题型+习题试卷）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第05讲 一元二次方程的概念（一）（2个知识点+2种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【例1】（2022秋•宝山区期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值为 　　． 【变式1】（2023秋•闵行区期中）下列方程中一定是一元二次方程的是　　 A． B． C． D．为常数） 【变式2】（2023秋•黄浦区期中）下列方程中，是一元二次方程的有　　个． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】（2022秋•虹口区校级期中）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 　　． 知识点2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式 【例2】（2020秋•宝山区校级月考）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为　　 A．3，， B．3，2， C．3，， D．2，，0 【变式1】（2022秋•黄浦区校级月考）方程化为一般形式是 　　． 【变式2】（2021秋•普陀区期末）如果关于的一元二次方程的常数项为0，那么的值等于　　 A．1 或 B．1 C． D．0 【变式3】（2023秋•青浦区校级期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则　　． 经典题型汇编 题型一.一元二次方程的定义 1．（23-24八年级上·上海青浦·期中）下列方程一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海闵行·期末）若关于的一元二次方程的常数项为，则 ． 3．（20-21八年级上·上海静安·课后作业）关于x的方程是一元二次方程，m应满足什么条件？ 题型二.一元二次方程的一般形式 4．（19-20八年级上·上海·课后作业）方程化成一般式后，二次项系数与一次项系数的积为（        ） A．5 B．﹣10 C．0 D．10 5．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数是 ． 6．（19-20八年级上·上海·课后作业）把下列方程先化为一元二次方程的一般式，再写出它的二次项、一次项和常数项． （1）；               （2）． 练习试卷 一．选择题 1．把方程化成一般式，则、、的值分别是　　 A．1，，10 B．1，7， C．1，，12 D．1，3，2 2．（金山区校级月考）下列方程中，常数项为1的一元二次方程是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•长宁区校级期末）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•黄浦区期末）下列方程是关于的一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 5．（2020秋•浦东新区校级月考）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为　　 A．1 B．3 C．1或3 D．0 6．（2023秋•浦东新区校级期末）下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 二．填空题 7．（2020秋•浦东新区月考）若关于的方程是一元二次方程，则　　． 8．（2023秋•闵行区期末）若关于的一元二次方程的常数项为0，则　　． 9．（2022秋•浦东新区校级月考）一元二次方程的一次项系数为 　　． 10．（2020秋•浦东新区校级月考）把一元二次方程化为一般式为 　　． 11．（2020秋•宝山区校级月考）方程的一次项系数是 　　． 12．（2021秋•浦东新区校级月考）关于的方程是一个一元二次方程，那么的取值范围是 　　． 13．（2021秋•浦东新区校级月考）已知关于的一元二次方程的常数项是0，则　　． 14．（2021秋•浦东新区校级月考）一元二次方程化为一般形式后二次项系数是 　3　，一次项是 　　． 15．（2020秋•青浦区期中）当　　时，关于的方程是一元二次方程． 16．（2022秋•黄浦区校级月考）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为 　　． 17．（2022秋•闵行区期中）已知是关于的一元二次方程，那么的取值范围为 　　． 18．（2021秋•浦东新区校级月考）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 　　． 三．解答题 19．将一元二次方程，化为一般形式是 　　一次项系数是 　　，常数项是 　　． 20．（2021秋•浦东新区校级月考）已知方程是关于的一元二次方程，求的值． 21．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）； （2）． 22．（2021秋•宝山区校级月考）已知关于的方程是一元二次方程． （1）求的值； （2）解该一元二次方程． 23．将一元二次方程化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 24．（上海月考）试说明关于的方程无论取何值，该方程都是一元二次方程． 25．（浦东新区月考）方程 （1）为何值时，方程是一元二次方程； （2）为何值时，方程是一元一次方程． 26．我们有公式：． 反过来，就得到可以作为因式分解的公式：． 如果有一个关于的二次项系数是1的二次三项式，它的常数项可以看作两个数与的积，而它的一次项的系数恰是与的和，它就可以分解为，也就是说：当，时，有． 例如：；； ；． 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式． （1）该同学因式分解的结果是否彻底？　否　（填“是”或“否” ．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 　　； （2）请你运用上述公式并模仿以上方法，尝试对多项式进行因式分解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一元二次方程的概念（一）（2个知识点+2种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【例1】（2022秋•宝山区期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值为 　6　． 【分析】只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；先找出2次项的系数，再根据一元二次方程的定义，列出满足的不等式，解不等式求出的取值． 【解答】解：方程是关于的一元二次方程， 且． 解得． 故答案为：6． 【点评】本题考查根据一元二次方程的定义求字母的范围，掌握一元二次方程的定义是解决此题的关键． 【变式1】（2023秋•闵行区期中）下列方程中一定是一元二次方程的是　　 A． B． C． D．为常数） 【分析】根据一元二次方程的一般形式：形如，，为常数且，逐一判断即可解答． 【解答】解：、，是一元二次方程，故符合题意； 、，不是一元二次方程，故不符合题意； 、，整理得：，是一元一次方程，故不符合题意； 、为常数，，是一元二次方程，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【变式2】（2023秋•黄浦区期中）下列方程中，是一元二次方程的有　　个． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据一元二次方程的定义分别判断即可．一元二次方程的定义是：化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是，其中、、分别是二次项系数、一次项系数和常数项． 【解答】解：（1）符合一元二次方程的定义， 是一元二次方程； （2）中含有2个未知数，不符合一元二次方程的定义， 不是一元二次方程； （3）虽然化简后得，但是分式方程，而不是整式方程，不符合一元二次方程的定义， 不是一元二次方程； （4）符合一元二次方程的定义， 是一元二次方程； （5）将化简，得，为一元一次方程， 不是一元二次方程； （6）将化简，得，符合一元二次方程的定义， 是一元二次方程． 综上，一元二次方程有（1）（4）（6）3个． 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程的定义．判断一个方程是否为一元二次方程要抓住5个方面，缺一不可：“化简后”，“一个未知数”，“未知数的最高次数是2”，“二次项的系数不等于0”，“整式方程”． 【变式3】（2022秋•虹口区校级期中）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 　且　． 【分析】根据一元二次方程的定义，二次根式的性质，解一元一次不等式求解集，即可求解． 【解答】解：根据题意得，，且， 且， 且． 故答案为：且． 【点评】本题主要考查根据一元二次方程的定义，二次根式的性质求参数，掌握一元二次方程的定义，二次根式的性质，解一元一次不等式是解题的关键． 知识点2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式 【例2】（2020秋•宝山区校级月考）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为　　 A．3，， B．3，2， C．3，， D．2，，0 【分析】一元二次方程的一般形式是：，，是常数且．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【解答】解：方程可变形为方程， 二次项系数是3、一次项系数是2、常数项是， 故选：． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是首先把所给的方程化为的形式，再找二次项系数、一次项系数、常数项． 【变式1】（2022秋•黄浦区校级月考）方程化为一般形式是 　　． 【分析】根据一元二次方程的一般形式，，为常数且，进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【变式2】（2021秋•普陀区期末）如果关于的一元二次方程的常数项为0，那么的值等于　　 A．1 或 B．1 C． D．0 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：关于的一元二次方程的常数项为0， 且， 解得：， 故选：． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解本题的关键． 【变式3】（2023秋•青浦区校级期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则　　． 【分析】方程整理为一般形式，根据常数项为0确定出的值即可． 【解答】解：方程整理得：， 由常数项为0，得到， 解得：（舍去）或， 则， 故答案为： 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，其一般形式为． 经典题型汇编 题型一.一元二次方程的定义 1．（23-24八年级上·上海青浦·期中）下列方程一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】因为是二元方程，所以A不符合题意； 因为是一元二次方程，所以B符合题意； 因为当时不是一元二次方程，所以C不符合题意； 因为整理得，即，所以D不符合题意． 故选：B． 2．（23-24八年级上·上海闵行·期末）若关于的一元二次方程的常数项为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的有关概念，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】由得， ∵常数项为， ∴且， 解得：， 故答案为：． 3．（20-21八年级上·上海静安·课后作业）关于x的方程是一元二次方程，m应满足什么条件？ 【答案】 【分析】先把方程整理为一元二次方程的一般形式，根据二次项系数不为零可得答案． 【详解】解：， 结合题意得： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 题型二.一元二次方程的一般形式 4．（19-20八年级上·上海·课后作业）方程化成一般式后，二次项系数与一次项系数的积为（        ） A．5 B．﹣10 C．0 D．10 【答案】C 【分析】先把方程化为一般形式，分别求出二次项系数与一次项系数，再求出其积即可． 【详解】∵原方程可化为：5x2﹣2=0，∴其二次项系数为5，一次项系数为0，∴二次项系数与一次项系数的积为0． 故选C． 【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 5．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一次项系数．熟练掌握一元二次方程，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项是解题的关键． 【详解】解：由题意知，一次项系数是， 故答案为：． 6．（19-20八年级上·上海·课后作业）把下列方程先化为一元二次方程的一般式，再写出它的二次项、一次项和常数项． （1）；               （2）． 【答案】答案见解析 【分析】（1）首先移项，把等号右边化为0，再确定二次项、一次项和常数项即可； （2）首先去括号，移项、合并同类项，把等号右边化为0，再确定二次项、一次项和常数项即可． 【详解】（1），，二次项是，一次项是－5x，常数项是﹣3； （2），，，，二次项是，一次项是x，常数项是﹣5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；b叫做一次项系数；c叫做常数项． 练习试卷 一．选择题 1．把方程化成一般式，则、、的值分别是　　 A．1，，10 B．1，7， C．1，，12 D．1，3，2 【分析】、、分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项． 【解答】解：由方程，得 ， 、、的值分别是1、、10； 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2．（金山区校级月考）下列方程中，常数项为1的一元二次方程是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程的定义可对、进行判断；把方程化为一元二次方程的一般形式后可对、进行判断． 【解答】解：、，含有两个未知数，所以选项不正确； 、，化为一般式为，常数项为，所以选项不正确； 、，展开得，所以选项正确； 、方程不是一元二次方程，所以选项不正确． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项．也考查一元二次方程的定义． 3．（2023秋•长宁区校级期末）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：．中含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．，不是整式方程，故本选项不符合题意； ．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 4．（2023秋•黄浦区期末）下列方程是关于的一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【解答】解：、不是整式方程，是分式方程，故本选项不合题意； 、由原方程化简得，未知数的最高次数是1，故本选项不合题意； 、由原方程可得，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意． 、方程二次项系数可能为0，故本选项不合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 5．（2020秋•浦东新区校级月考）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为　　 A．1 B．3 C．1或3 D．0 【分析】常数项为零即，再根据二次项系数不等于0，即可求得的值． 【解答】解：根据题意得：，且， 解得：， 即的值为3， 故选：． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 6．（2023秋•浦东新区校级期末）下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【解答】解：．等号左边是分式，不属于一元二次方程，不符合题意； ．化简以后不含二次项，不属于二元二次方程，不符合题意； ．是一元二次方程，符合题意； ．含有两个未知数，不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的定义，一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 二．填空题 7．（2020秋•浦东新区月考）若关于的方程是一元二次方程，则　　． 【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，列出方程且，继而即可得出的值． 【解答】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，属于基础题，关键是掌握一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 8．（2023秋•闵行区期末）若关于的一元二次方程的常数项为0，则　　． 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可确定出的值． 【解答】解：由已知方程得到：． 根据题意得：， 解得：或， 当时，方程为，不合题意， 则的值为， 故答案为：． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 9．（2022秋•浦东新区校级月考）一元二次方程的一次项系数为 　　． 【分析】根据方程的一般形式，即可找出该方程的一次项系数． 【解答】解：， ， ， 故一元二次方程的一次项系数为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：找项和项的系数时，带着前面的符号． 10．（2020秋•浦东新区校级月考）把一元二次方程化为一般式为 　　． 【分析】分别利用去括号法则以及完全平方公式化简后，再移项，合并同类项即可． 【解答】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：一元二次方程的一般形式是、、为常数，． 11．（2020秋•宝山区校级月考）方程的一次项系数是 　0　． 【分析】一元二次方程的一般形式是：，其中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据以上知识点得出即可． 【解答】解：一元二次方程的一次项系数是0， 故答案为：0． 【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，由一般形式确定一次项系数即可． 12．（2021秋•浦东新区校级月考）关于的方程是一个一元二次方程，那么的取值范围是 　　． 【分析】根据一元二次方程的定义可得，再解不等式即可． 【解答】解：由关于的方程是一个一元二次方程， 得， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 13．（2021秋•浦东新区校级月考）已知关于的一元二次方程的常数项是0，则　　． 【分析】由方程常数项为0求出的值，检验即可． 【解答】解：关于的一元二次方程的常数项是0， ，即或， 当时，方程为，不符合题意， 则． 故答案为：． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 14．（2021秋•浦东新区校级月考）一元二次方程化为一般形式后二次项系数是 　3　，一次项是 　　． 【分析】先整理成一般式，再根据一元二次方程一般式有关概念可得答案． 【解答】解：将方程整理为一般式，得：， 所以二次项系数是3，一次项是， 故答案为：3、． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 15．（2020秋•青浦区期中）当　　时，关于的方程是一元二次方程． 【分析】根据一元二次方程的定义可得，再解即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 16．（2022秋•黄浦区校级月考）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为 　　． 【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，列出方程，且，继而即可得出的值． 【解答】解：由一元二次方程的定义得：，且， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，属于基础题，关键是掌握一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 17．（2022秋•闵行区期中）已知是关于的一元二次方程，那么的取值范围为 　　． 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：因为是关于的一元二次方程， 所以的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件． 18．（2021秋•浦东新区校级月考）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 　且　． 【分析】根据一元二次方程的定义和算术平方根的非负性得出且，再求出的范围即可． 【解答】解：方程是关于的一元二次方程， 且， 解得：且， 故答案为：且． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义和算术平方根的非负性等知识点，能根据一元二次方程的定义得出和是解此题的关键． 三．解答题 19．将一元二次方程，化为一般形式是 　　一次项系数是 　　，常数项是 　　． 【分析】本题需要去括号，移项，合并同类项，然后得到方程的一般形式． 【解答】解：， 去括号 得： 移项 得： 合并同类项 得：， 所以一般形式为：， 一次项系数是：， 常数项是：2， 故答案为：；；2． 【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式：，，是常数且，在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 20．（2021秋•浦东新区校级月考）已知方程是关于的一元二次方程，求的值． 【分析】根据一元二次方程的定义得出且，再求出答案即可． 【解答】解：方程是关于的一元二次方程， 且， 解得：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 21．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）； （2）． 【分析】（1）首先去括号、移项、合并同类项，进而整理为一元二次方程的一般形式得出各项系数； （2）首先去括号、移项、合并同类项，进而整理为一元二次方程的一般形式得出各项系数． 【解答】解：（1）一元二次方程的一般形式是：，二次项系数是1、一次项系数是，常数项是； （2）一元二次方程的一般形式是：，二次项系数3、一次项系数是1，常数项是． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 22．（2021秋•宝山区校级月考）已知关于的方程是一元二次方程． （1）求的值； （2）解该一元二次方程． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行解答即可； （2）利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）关于的方程是一元二次方程， ， 解得； （2）方程为， 即， ，，， ， 故原方程无解． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是． 23．将一元二次方程化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【分析】先把变为一般形式，然后得出答案即可． 【解答】解：由得， 二次项系数为，一次项系数为8，常数项为． 【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，形如，把式子化为一元二次方程的一般形式是解题关键． 24．（上海月考）试说明关于的方程无论取何值，该方程都是一元二次方程． 【分析】只要证明二次项系数不为零即可． 【解答】解： 又， ， 关于的方程无论取何值，该方程都是一元二次方程． 【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，证得二次项系数不为零是解题的关键． 25．（浦东新区月考）方程 （1）为何值时，方程是一元二次方程； （2）为何值时，方程是一元一次方程． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到：且，由此可以求得的值； （2）由一元一次方程的定义得到：且或或，由此可以求得的值． 【解答】解：（1）关于方程是一元二次方程， 且， 解得． 故为时，方程是一元二次方程； （2）关于是一元一次方程， 且或或， 解得或或 故为3或或时，方程是一元一次方程． 【点评】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义．注意，一元一次方程的未知数的系数不等于零，一元二次方程的二次项系数不等于零． 26．我们有公式：． 反过来，就得到可以作为因式分解的公式：． 如果有一个关于的二次项系数是1的二次三项式，它的常数项可以看作两个数与的积，而它的一次项的系数恰是与的和，它就可以分解为，也就是说：当，时，有． 例如：；； ；． 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式． （1）该同学因式分解的结果是否彻底？　否　（填“是”或“否” ．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 　　； （2）请你运用上述公式并模仿以上方法，尝试对多项式进行因式分解． 【分析】（1）根据分解因式的方法得出答案即可； （2）设，则原式，去括号后分解因式，再代入，最后再分解因式即可． 【解答】解：（1）该同学因式分解的结果不彻底，因式分解的最后结果是． 故答案为：否，； （2）， 设，则原式 ． 【点评】本题考查了分解因式，能选择适当的方法求解是解此题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$