2024-2025学年初高中数学衔接集训综合测试（二）

2024—2025学年度初高中数学衔接集训 综合测试（二） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设实数满足 ，若 ，则 的值为 　　 A． B．14 C． D．6 2．现有一列数： ， ， ， ， ， ， 为正整数），规定 ， ， ， ， ，若 ，则 的值为 　　 A．97 B．98 C．99 D．100 3．若实数 使关于 的不等式组 有解且至多有3个整数解，且使关于 的分式方程 有整数解，则满足条件的整数 有 EMBED Equation.DSMT4 个 A．5 B．4 C．3 D．2 4．如图1，在 中，动点 从点 出发沿折线 方向匀速运动至点 停止，设点 的运动路程为 ，线段 的长度为 ，图2是表示 与 的函数关系的图象，其中点 为曲线 的最低点，下列结论① ，② ，③ 的面积为 ，④ 中 边上的高为4，其中正确的个数为 　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图， 是等腰直角三角形， ， ，点 ， 分别在 ， 边上运动，连结 ， 交于点 ，且始终满足 ，则下列结论：① ；② ；③ 面积的最大值是 ；④ 的最小值是 ．其中正确的是 　　 A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 6．王老师昨天按时间顺序先后收到了 、 、 、 、 共5封电子邮件，如果他每次都是先回复最新收到的一封电子邮件，那么在下面的排列中，王老师可能回复邮件的顺序是 　　 A． B． C． D． E． 7．设 、 、 是两两不等的实数，且满足下列等式： ，则 的值是 　　 A．0 B．1 C．3 D．条件不足，无法计算 8．如图，边长为4的正方形 中，对角线 ， 交于点 ， 在 上，连接 ，作 交 于点 ，连接 交 于点 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④若 ，则 ，正确的是 　　 A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若 为实数，在“ □ ”的“□”中添上一种运算符号（在“ ”、“ ”、“ ”、“ ”中选择），其运算结果是有理数，则 可能是 　　 A． B． C． D． 10．已知关于 ， 的方程组 下列结论正确的是 　　 A．当 时，该方程组的解也是方程 的解 B．存在实数 ，使得 C．当 时， D．不论 取什么实数， 的值始终不变 11．如图，已知 ，按以下步骤作图：①在射线 上取一点 ，以点 为圆心， 长为半径作 ，交射线 于点 ；②连接 ，分别以点 、 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 、 ；③连接 ， ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是 　　 A． B．点 与点 关于直线 对称 C．若 ，则 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图， ， 分别为 的外心和垂心， 到 边的距离为2， 到 边的距离为 ，则 边上的高为　　． 13．已知 ， 满足 ．若 的最小值为 ，则 　　． 14．求值： 　　． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．先化简，后求值： ，其中 ． 16．解方程组： 17．观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ， ， ， （1）观察上面的规律，计算下列式子的值： ． （2）利用上面的规律，试比较 与 的大小． 18．在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ， ，若图形 上存在一点 ， ，且满足当 时， ，则称点 为图形 的一个“垂近点”． （1）如图1，图形 为线段 ，点 ， ． ①判断点 是否是线段 的“垂近点”？说明理由； ②请在图中画出点 所有可能的位置．（用阴影部分表示） （2）如图2，若图形 为双曲线 ，点 ， 为大于1的整数）为图形 的“垂近点”，求 的值； （3）若图形 为直线 ，在二次函数 图象上仅有一个图形 的“垂近点”，求 的值； （4）如图3，若图形 为抛物线 ，正方形 中， ， ， ， ，如果正方形 上存在此图形 的“垂近点”，求出 的取值范围． 19．综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在 中， ，垂足为 ， 为 的中点，连接 ， ． 独立思考：（1）试猜想 与 的数量关系：　　； 实践探究：（2）希望小组将 沿着 为 的中点）所在直线折叠，如图②，点 的对应点为 ，连接 并延长交 于点 ，请判断 与 的数量关系，并加以证明； 问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将 沿过点 的直线折叠，如图③， 的对应点为 ，使 于点 ，折痕交 于点 ，连接 ，交 于点 ．该小组提出一个问题：若此 的面积为20，边长 ， ，求图中阴影部分（四边形 的面积．请你解答此问题． 参考答案 1．【答案】 解：根据题意，设 ， ， ， ， ， ， ， 2．【答案】 由已知可得： ， ， ， ， ， 以上各式左右两边分别相加， ， 化简后可得： ， EMBED Equation.DSMT4 ． EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， ． EMBED Equation.DSMT4 ， 可化简为： 即 ， ， 解得： ， 经检验， 是原方程的解， ． 3．【答案】 解： ， 解不等式①得： ， ， 不等式组有解且至多3个整数解， ， ， 分式方程两边都乘以 得： ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 方程有整数解， ， ， 解得： ，1，5， ， ， ， ，1， ， 4．【答案】 解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， 从图2看， ， 点 为曲线 的最低点，即 ，即 ， 则 ，即 ， 在 中， ， 则 ， 故①正确，符合题意； 则 ， 故④错误，不符合题意； 则 ，则 ， 则 ， 故②正确，符合题意； ， 故③正确，符合题意. 5．【答案】 解：① 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 由勾股定理得： ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 又 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 故结论①正确； ② ， ， ， ， 故结论②正确； ③以 为斜边在 外侧构造等腰 ，作 的外接圆 ，过点 作 于 ， 的延长线交 于 ，连接 ， ，过点 作 交 的延长线于 ，连接 交 于 ，如下图所示： ， ， ， 点 在 上运动， ， 当点 与点 重合时， 的面积为最大，最大值为 的面积， 根据等腰直角三角形的性质得： ， ， ， 在 中，由勾股定理得： ， ， ， ， 故结论③正确； ④ 点 在 上运动， 当点 与点 重合时， 为最小，最小值为线段 的长， ， ， ， 四边形 为矩形， ， ， ， 在 中，由勾股定理得： ， ， 即 的最小值是 ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④． 6．【答案】 解： 选项的顺序是 ，王老师最先回复 ，证明王老师刚开始回复邮件时只收到了 邮件，回复 时收到了 邮件，回复完 后除了 没有其他未回复的邮件，接下来回复 ，证明王老师在回复 邮件时收到了 三封．这样才会先回复最新收到 ，既然王老师 都收到了，那回复完 ，应该先回复 ，而不是先 后 ，故不符合题意． 选项的顺序是 ，王老师最先回复 ，证明王老师刚开始回复邮件时已经收到了 两封邮件，回复完 后没有收到新邮件，只能回复 ，接下来回复 ，证明王老师在回复 邮件时收到了 三封．这样才会先回复最新收到 ，既然王老师 都收到了，那回复完 ，应该先回复 ，而不是先 后 ，故不符合题意． 选项的顺序是 ，王老师最先回复 ，证明王老师刚开始回复邮件时已经收到了 三封邮件，回复完 后，王老师没有回复 ，证明他又收到了新邮件，发现王老师接下来回复 ，证明王老师在回复 邮件时收到了 两封．这样才会先回复最新收到 ，既然王老师 都收到了，那回复完 ，应该先回复 ，回复完 ，回复 ，故符合题意． 选项的顺序是 ，王老师最先回复 ，证明王老师刚开始回复邮件时已经收到了 四封邮件，回复完 后，王老师回复 ，证明他没有收到新邮件，回复完 后没有回复 证明王老师还没有收到邮件 ，那他就应该先回复 而不是 ，故不符合题意． 选项的顺序是 ，王老师最先回复 ，证明王老师刚开始回复邮件时已经收到了 五封邮寄邮件，按照先回复最新收到的一封电子邮件的要求，那回复完 ，应该先回复 ，而不是先 后 ，故不符合题意． 7．【解答】解：依题意得： ， 解得 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 把 ， 代入 得：原式 8．【答案】 解：如图，连接 ， 四边形 是正方形， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， 又 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ，故②正确； ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ，故③正确； ， ， ， ， ， ， 又 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ，故④正确， 9．【答案】 解： 当 时， ，故 可能是 ； 当 时， ，故 可能是 ； 当 时， ，故 可能是 ； 当 时， ， ， ， ，故 不可能是 ． 10．【答案】 解：当 时，方程组为 ． 将①的左右两边同时乘以2，得 ③． ③ ②得 ． 将 代入①，得 ，解得 ． 当 ， 时， ． 当 时，该方程组的解不是方程 的解． 故 不符合题意． 将各方程左右两边分别相减，得 ． 当 时，有 ，解得 ． 故 符合题意． 将各方程左右两边分别相加，得 ． 当 时，有 ，解得 ． 故 不符合题意． 将方程 左右两边同时乘以 ，得 ， 将它与方程 左右两边分别相加，得 ，即 ． 故 符合题意． 11．【答案】 解：由作法得 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ，所以 选项的结论正确； 连接 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ，所以 选项的结论正确； ， ， 垂直平分 ， 点 与点 关于 对称，所以 选项的结论正确； ， ， ， 为等边三角形， ，所以 选项的结论错误． 正确的是 ． 12．【解答】解：如图， 连接 并延长交 于 ，连接 ， ， ， ， ， 点 是 的垂心， ， 点 ， ， 三点共线，连接 并延长交 于 ， 点 是 的垂心， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 点 是 的中点， 是 的中位线， ， ． 13．【答案】4． 解： ， ． 设 ， ， 则 ． ， ，即 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ． 14．【答案】3． 解： 分子 ， 原式 ． 四．解答题（共5小题） 15． 解：原式 ， 当 时，原式 ． 16． 解： 由①得： ， ， 由②得： ， ， ， 即原方程组化为： ， ， ， ， 解得： ， ， ， ， 所以原方程组的解为： ， ， ， ． 17． 解：（1）由题意可得 ， 原式 ； （2） ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ． 18． 解：（1）①是，理由如下： 图形 为线段 ，点 ， ， ， ， ， 点 是线段 的“垂近点”； ② 所有可能的位置，如图所示， （2） 图形 为双曲线 ，点 ， ， 为大于1的整数， ， ， 或 ； （3）将 化成顶点式为 ， 二次函数 图象上仅有一个图形 的“垂近点”， 当 时， ， 当 时， ， EMBED Equation.DSMT4 或 ； （4）设正方形上点 是抛物线 的“垂近点”，抛物线上存在点 ， ，使得当 时， ， ， ， ， ， 当 时，如图，当点 与点 重合时， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得 或 （舍 ， 如图，当点 与点 重合时， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得 或 （舍 ， 当 时， 如图，当点 与点 重合时， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得 或 （舍 ， 如图，当点 与点 重合时， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得 或 （舍 ， 当 或 时，正方形上存在抛物线 的“垂近点”． 19． 解：（1）结论： ． 理由：如图①中，作 交 于 ． 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， ， ． 解法二：分别延长 ， 相交于点 ，类似于倍长中线法，直角三角形斜边中线性质解决问题． （2）结论： ． 理由：如图②中，连接 ． 是由 翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ． （3）如图③中，过点 作 于 ，过点 作 于 ． ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． $$