2024年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形问题

2024年中考数学高频压轴题突破—— 二次函数与相似三角形问题 1．如图，直线与坐标轴的交点分别为点B和点C，抛物线经过B，C两点，且与x轴交于另一点A，点P是线段上的动点，连接，在上方作，交抛物线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当平分时，求的长； (3)已知点D在x轴上，且，连接DC交PE于点F，若，求点P的坐标． 2．如图，已知抛物线与轴交于，C两点，与轴交于点，点D在轴正半轴上，且，连接CD并延长交抛物线于点E，连接BE，BC． （1）求抛物线的解析式及点E的坐标； （2）点P是线段BC上方抛物线上一动点，当时，求点P的坐标； （3）设抛物线的对称轴与轴交于点F，点是对称轴上一点，若以点Q，O，F为顶点的三角形与相似，求的值. 3．如图，已知二次函数的图像交x轴于点，，交y轴于点C． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒（0<t<5）．当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)求t为何值时，是等腰三角形？ 4．矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（10，0）、C（0，3），直线与BC相交于点D，抛物线y=ax2+bx经过A、D两点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AD，试判断△OAD的形状，并说明理由． （3）若点P是抛物线的对称轴上的一个动点，对称轴与OD、x轴分别交于点M、N，问：是否存在点P，使得以点P、O、M为顶点的三角形与△OAD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交点为、，与y轴交于点C，P为抛物线上一动点且在上方，过点P作于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)过P作轴于E，交于F．求： ①的值； ②的最大值； (3)连接，是否存在一点P，使得与相似，若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图像过B，C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交于点F、交二次函数的图像于点E． (1)求二次函数的表达式； (2)当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段的长度． 7．已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点． （1）点的坐标为 ，点的坐标为 ； （2）在轴的正半轴上是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 8．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P且与y轴平行的直线与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标和四边形AECP的最大面积； （3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值． (3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标． 10．如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）． （1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标； （2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号） （3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图1，平面直角坐标系中，O是坐标原点，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，点B坐标是，点P是抛物线的顶点． (1)请直接写出二次函数的表达式及顶点P的坐标； (2)如图2，设二次函数图象的对称轴与x轴交于点H， ①连接，点D为对称轴上的一点，且与相似，求点D的坐标； ②点M为对称轴PH上一点且在x轴下方，在x轴负半轴上有一点E，在y轴负半轴上有一点F，且满足，已知点N在抛物线上，以E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点E的坐标． 12．如图，已知抛物线经过和两点，直线与轴相交于点，是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点，抛物线与轴的交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)当时，求点的坐标： (3)若轴交于点且点是直线上方，求的最大值； (4)若以，，为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点，点的坐标． 13．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点Q是线段AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由； (3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 14．综合与实践 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1，0)，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C(0，−4)． (1)求抛物线的解析式及顶点E的坐标； (2)如图，点H是抛物线上的动点，且△OCH的面积是8，求点H的坐标； (3)点D在抛物线上，连接ED交直线BC与点G，当DG=2GE时，直接写出点D的坐标． 15．如图，开口向下的抛物线与轴交于、两点（点B在点A左侧），抛物线在第一象限上有一点D，使， （1）求的长及的值； （2）设直线与轴交于点，点D是的中点时，求直线和抛物线的解析式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$