2.3 直线的交点坐标与距离公式（八大常考题型）-2024年新高二数学暑假衔接重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

2.3 直线的交点坐标与距离公式 知识点1 两条直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 已知两条直线相交，设这两条直线的交点为，则点既在直线上，也在直线上．所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标． 2．方程组解的组数与两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线与的位置关系 相交 重合 平行 知识点2 两点间的距离公式 如图，由点，由此得到两点间的距离公式， 特别地，原点与任一点间的距离 知识点3 点到直线的距离公式 点到直线的距离，可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立． 注意：点到几种特殊直线的距离 ①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|； ②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离. 知识点4 两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线间的距离 注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决： ①两直线都与轴垂直时，则； ②两直线都与轴垂直时则. 题型一 两直线的交点问题 1．经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 4．已知直线：与直线：的交点在轴上，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C． D． 6．直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 7．已知直线经过两直线和的交点，则的值等于 . 8．已知三条直线，和. (1)若，求实数的值； (2)若三条直线相交于一点，求实数的值. 题型二 直线的交点系方程 9．平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 10．过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 11．设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为 . 12．求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 13．已知两直线和的交点为P．求： (1)过点P与的直线方程； (2)过点P且与直线平行的直线方程． 14．求证：不论为何实数，直线恒过定点． 15．已知两直线和. （1）判断两直线是否相交，若相交，求出其交点； （2）求过与的交点且斜率为的直线方程. 题型三 两点的距离问题 16．阿波罗尼斯是古希腊数学家，与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面内到两个定点的距离之比为常数的点的轨迹是“阿波罗尼斯圆”.已知曲线是平面内到两个定点和的距离之比等于常数的“阿波罗尼斯圆”，则下列结论中正确的是（    ） A．曲线关于轴对称 B．曲线关于轴对称 C．曲线关于坐标原点对称 D．曲线经过坐标原点 17．设点A,B在曲线上．若的中点坐标为，则（    ） A．6 B． C． D． 18．（多选）已知直线和点，过点A作直线与直线相交于点B，且，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 19．已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 20．写出一个同时满足下列条件①②的点的坐标 . ①该点的横、纵坐标均为正整数； ②该点到点的距离比到点的距离大4. 21．已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 22．已知的三个顶点分别为，，． (1)求边上的中线的长； (2)证明：为等腰直角三角形． 题型四 两点距离中的最值问题 23．已知直线过点且与轴､轴分别交于两点，则当最小时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 24．在平面直角坐标系中，设定点，是函数图像上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为（     ） A． B． C．或1 D．不存在 25．直线与直线交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是（    ） A．2 B． C． D．4 26．函数的最大值为 ． 27．已知，为实数，代数式的最小值是 . 28．已知直线：，：，：，若这三条直线交于一点，则交点坐标为 ，点到原点的距离最小值为 . 题型五 点到直线的距离问题 29．原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 30．已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 31．当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 32．已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 33．已知直线，点到直线的距离等于，则 34．在直线上求一点，使它到直线的距离等于原点到l的距离，则此点的坐标为 . 35．若恰有两组的实数对满足关系式，则符合题意的的值为 . 36．已知直线与直线的交点为M. (1)求过点M且与直线平行的直线的方程. (2)求过点M且到点的距离为2的直线的方程； 题型六 平行直线的距离问题 37．（多选）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 38．若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．4 39．（多选）若直线：，：，：，：，则（    ） A． B．与之间的距离为 C． D．与的倾斜角互补 40．（多选）若两条平行直线：与：之间的距离是，则的值可能为（    ） A．3 B．9 C．12 D．15 41．平行直线及之间的距离是 ． 42．设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 . 43．（1）已知直线l与两直线和平行且距离相等，求l的方程． （2）已知直线过点，过点，如果，且与之间的距离为5，求，的方程． 题型七 直线的对称问题 44．点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 45．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 46．将一张坐标纸折叠一次，使得点和点重合，点和点重合，则（    ） A． B． C． D． 47．一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 . 48．已知直线与直线关于直线对称，则直线的方程为 ． 49．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的内角平分线所在的直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程． 50．已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 题型八 将军饮马问题 51．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 52．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 53．已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 54．已知点，点P在x轴上使最大，求点P的坐标． 55．已知点，，点在直线上，则的最小值为 . 56．已知直线，点，和分别是直线和轴上的点，求的周长最小值及此时点和的坐标. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 直线的交点坐标与距离公式 知识点1 两条直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 已知两条直线相交，设这两条直线的交点为，则点既在直线上，也在直线上．所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标． 2．方程组解的组数与两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线与的位置关系 相交 重合 平行 知识点2 两点间的距离公式 如图，由点，由此得到两点间的距离公式， 特别地，原点与任一点间的距离 知识点3 点到直线的距离公式 点到直线的距离，可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立． 注意：点到几种特殊直线的距离 ①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|； ②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离. 知识点4 两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线间的距离 注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决： ①两直线都与轴垂直时，则； ②两直线都与轴垂直时则. 题型一 两直线的交点问题 1．经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得，即所求方程的直线过点， 令直线的倾斜角为，则，显然是锐角， 因此所求方程的直线斜率， 所以所求的直线方程为，即. 故选：C 2．直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】①时，则，解得，经检验符合题意； ②时，则，解得，经检验符合题意； ③时，则，解得，经检验符合题意； ④三条直线交于一点，解得或， 则实数可取值的集合为，即符合题意的实数共6个. 故选：D 3．已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 【答案】C 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得； 垂足在直线上，所以， 垂足在直线上，所以， 所以. 故选：C 4．已知直线：与直线：的交点在轴上，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在直线方程中，令，得， 即直线与轴的交点为， 因为点在直线上，所以，即， 所以：，即，所以直线的斜率为. 故选：D. 5．（多选）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】AC 【详解】联立方程， 解得 ， 因为交点在第四象限， 可得，解得 故选：AC. 6．直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为直线与直线，即相交， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 故答案为： 7．已知直线经过两直线和的交点，则的值等于 . 【答案】 【详解】联立方程组，解得，即两直线的交点为， 将点代入直线，可得，解得， 即实数的值为. 故答案为：. 8．已知三条直线，和. (1)若，求实数的值； (2)若三条直线相交于一点，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，且， 所以.解得. 经检验，时，. 所以. （2）由，解得即与的交点为， 因为三条直线相交于一点，所以点在上， 所以.解得. 题型二 直线的交点系方程 9．平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【答案】 【详解】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 故答案为： 10．过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 【答案】 【详解】令所求直线为， 又直线过原点，则， 所以所求直线为. 故答案为： 11．设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为 . 【答案】或 【详解】方法一：由，得， 所以两条直线的交点坐标为（14，10）, 由题意可得直线的斜率为1或-1， 所以直线的方程为或， 即或. 方法二：设直线的方程为，整理得， 由题意，得，解得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 12．求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【答案】 【详解】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点，所以直线的方程可设为（其中为常数），即①， 又直线的斜率为3，所以，解得，将代入①，整理得． 13．已知两直线和的交点为P．求： (1)过点P与的直线方程； (2)过点P且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设过直线和交点的直线方程为，即．① 把点代入方程①，化简得，解得， 所以过点P与Q的直线方程为，即． （2）由两直线平行，得，得， 所以所求直线的方程为，即． 14．求证：不论为何实数，直线恒过定点． 【答案】详见解析. 【详解】由， 解得， 故当时，不论为何实数，恒成立， 即不论为何实数，直线恒过定点. 15．已知两直线和. （1）判断两直线是否相交，若相交，求出其交点； （2）求过与的交点且斜率为的直线方程. 【答案】（1）两直线相交，两直线交点为；（2）. 【详解】（1）∵， ∴两直线相交， 联立两直线方程得 解得即两直线交点为. （2）解法一：由点斜式方程可得所求的直线方程为，即. 解法二：显然不是所求方程可设所求直线方程为， 整理得， ∴，∴， 整理得所求直线方程为. 题型三 两点的距离问题 16．阿波罗尼斯是古希腊数学家，与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面内到两个定点的距离之比为常数的点的轨迹是“阿波罗尼斯圆”.已知曲线是平面内到两个定点和的距离之比等于常数的“阿波罗尼斯圆”，则下列结论中正确的是（    ） A．曲线关于轴对称 B．曲线关于轴对称 C．曲线关于坐标原点对称 D．曲线经过坐标原点 【答案】A 【详解】设动点，曲线是平面内到两定点，距离之比等于常数， 所以，显然也满足方程，故曲线关于轴对称， 不关于轴、原点对称，且不过原点. 故选：A. 17．设点A,B在曲线上．若的中点坐标为，则（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【详解】设， 因为的中点坐标为，可得， 整理得，解得或， 不妨设，所以. 故选：B. 18．（多选）已知直线和点，过点A作直线与直线相交于点B，且，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】 因为点B在直线：上，设点， 因为，则，解得或， 则B点坐标为或， 当B点坐标为时，直线的方程为； 当B点坐标为时，直线的方程为，即. 故选：AC. 19．已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【答案】或 【详解】， 化简为，解得：或. 故答案为：或 20．写出一个同时满足下列条件①②的点的坐标 . ①该点的横、纵坐标均为正整数； ②该点到点的距离比到点的距离大4. 【答案】（答案不唯一，或任写一个即可） 【详解】设该点为，则， 即， 即，即 且，化简计算得. 又，，所以该点为或. 故答案为：（答案不唯一，或任写一个即可） 21．已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)26 【详解】（1）因为，，， 所以，， ， 所以， 所以是等腰直角三角形. （2）由（1）得. 22．已知的三个顶点分别为，，． (1)求边上的中线的长； (2)证明：为等腰直角三角形． 【答案】(1) (2)答案及解析 【详解】（1）因为，，所以线段的中点的坐标为， 又，则． （2）因为， ， ， 因为，且， 所以为等腰直角三角形． 题型四 两点距离中的最值问题 23．已知直线过点且与轴､轴分别交于两点，则当最小时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知：直线斜率存在且不为，可设， 令，解得：，即；令，解得：，即； ，， （当且仅当，即时取等号）， 即当时，取得最小值. 故选：A. 24．在平面直角坐标系中，设定点，是函数图像上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为（     ） A． B． C．或1 D．不存在 【答案】C 【详解】设，则； 由，则， 当且仅当，即时等号成立， 接下来分两种情况： （1）当时，，则； （2）当时，，则； 满足条件的实数的所有值为；或 故选：C 25．直线与直线交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【详解】因为与的交点坐标为 所以， 当时， ， 所以的最大值是， 故选：B. 26．函数的最大值为 ． 【答案】 【详解】表示点，分别到，的距离差， 即在函数的图象上求点，使得取得最大值， 如图所示， 易知，当且仅当点位于的延长线与的交点， 所以. 故函数的最大值为. 故答案为：. 27．已知，为实数，代数式的最小值是 . 【答案】10 【详解】 设点， 则 ， 当且仅当分别为连线与两坐标轴的交点时，等号成立. 故答案为：10. 28．已知直线：，：，：，若这三条直线交于一点，则交点坐标为 ，点到原点的距离最小值为 . 【答案】 【解析】联立，的方程即可求交点坐标，由两点距离公式有 且，可得关于的二次函数，求距离最小值. 【详解】由题意，即得交点坐标为，且， 由点到原点的距离为：， ∴当时，由最小值， 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛： 1、直线有交点，联立直线方程即可求交点坐标； 2、根据两点距离公式得到距离关于参数m或n的二次函数求最值. 题型五 点到直线的距离问题 29．原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】原点到直线间的距离是：. 故选：A 30．已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，， 所以直线的方程为，即， 点到直线的距离为. 故选：C. 31．当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】直线l：， 整理得， 由，可得， 故直线恒过点， 点到的距离， 故； 直线l：的斜率， 故，解得 故选：B. 32．已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【详解】直线可化为， 令，解得，于是此直线恒过点. 由点到直线的距离公式得到直线的距离. 故答案为： 33．已知直线，点到直线的距离等于，则 【答案】 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 34．在直线上求一点，使它到直线的距离等于原点到l的距离，则此点的坐标为 . 【答案】或 【详解】设直线上的点为， 点直线的距离为， 原点到l的距离为， 所以，解得或， 所以此点的坐标为或. 故答案为：或. 35．若恰有两组的实数对满足关系式，则符合题意的的值为 . 【答案】/ 【详解】可以看成点到直线：的距离， 可以看成点到直线：的距离， 由已知可得，，：不过原点， 又由恰有两组的实数对满足关系式， 所以可以看成有且仅有两条直线满足，直线方程：， 所以满足题意的直线： 第一条是线段的垂直平分线，当：是的垂直平分线时， 因为，所以，符合题意； 第二条只能取自与直线平行的两条直线中的一条，且此时另一条直线过原点， 此时第二条直线的方程为， 所以此时，即，符合题意； 所以. 故答案为：. 36．已知直线与直线的交点为M. (1)求过点M且与直线平行的直线的方程. (2)求过点M且到点的距离为2的直线的方程； 【答案】(1) (2)或； 【详解】（1）由可得：，所以 过点且与平行的直线的斜率为：， 所求的直线方程为：，即． （2）若所求直线方程斜率不存在设为：， 到点的距离为1，不满足题意； 若所求直线方程斜率存在，设为，即， ∵到直线的距离为2， ∴，解得或， ∴直线方程为或； 题型六 平行直线的距离问题 37．（多选）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 【答案】BD 【详解】将直线化为， 则，之间的距离， 即，解得或． 故选：BD． 38．若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】由题意，知点M在直线与之间且与两直线距离相等的直线上， 设该直线方程为，则，即， ∴点M在直线上， ∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线的距离，即. 故选：A. 39．（多选）若直线：，：，：，：，则（    ） A． B．与之间的距离为 C． D．与的倾斜角互补 【答案】BCD 【详解】由，得，所以与重合，，A错误，C正确． 与之间的距离为，B正确． 因为与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补，D正确． 故选：BCD 40．（多选）若两条平行直线：与：之间的距离是，则的值可能为（    ） A．3 B．9 C．12 D．15 【答案】BC 【详解】由题意知，解得，所以：， 又：，即， 所以，解得或， 所以或． 故选：BC． 41．平行直线及之间的距离是 ． 【答案】 【详解】平行直线及之间的距离. 故答案为： 42．设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 . 【答案】5 【详解】由于直线，整理得：， 故，解得， 即直线恒过点，则过点作直线， 且，则最大距离为点与点的距离， 即. 故答案为：5 43．（1）已知直线l与两直线和平行且距离相等，求l的方程． （2）已知直线过点，过点，如果，且与之间的距离为5，求，的方程． 【答案】（1） （2），或， 【详解】（1）设所求直线l的方程为（，）， 则由题意可得，解得， 故直线l的方程为． （2）①当直线斜率存在时，设直线的斜率为k， 则的方程为，即， 的方程为，即， 则直线与间的距离，∴， 故的方程为，的方程为． ②若，的斜率不存在，则的方程为，的方程为，它们之间的距离为5，同样满足条件． 综上，满足条件的直线方程有两组，即，或，． 题型七 直线的对称问题 44．点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设所求对称点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为. 故选：D. 45．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线， 因为，中点为，且， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即. 故选：D 46．将一张坐标纸折叠一次，使得点和点重合，点和点重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点和，线段中点为点, 折线即为线段的中垂线， 则，，所以， 直线的斜率为，则折线斜率为2， 所以折线方程为：， 由题知与关于折线对称， 则两点中点在直线上且两点连线与直线垂直， 所以化简得， 解得，所以. 故选：A 47．一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 . 【答案】 【详解】设关于的对称点， 则有，解得，即， 反射光线所在直线为：， 整理得：. 故答案为： 48．已知直线与直线关于直线对称，则直线的方程为 ． 【答案】 【详解】直线取两点， 则它们关于对称的点为在直线上， 故直线的斜率为， 则直线的方程为，即. 故答案为：. 49．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的内角平分线所在的直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，由中点在上可得 ，即， 又，联立，解得．即顶点的坐标为． （2）设关于直线的对称点为， 则有，解得，即， 所以边所在的方程为：，即直线的方程为：． 50．已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【详解】（1） 设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2） 由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3） 在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 题型八 将军饮马问题 51．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【答案】B 【详解】如图所示： 由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为， 三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确； 对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确； 对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D错误. 故选：B. 52．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 【答案】 【详解】过作关于直线对称的点， 设，所以，解得， 所以，故最短距离为. 故答案为：    九、单选题 53．已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：表示直线上一动点到定点的距离之和，如图所示：    设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以对称点为，则 由图知：的最小值为， 故选：D 十、多选题 十一、填空题 十二、解答题 54．已知点，点P在x轴上使最大，求点P的坐标． 【答案】 【详解】点关于x轴的对称点为,如图所示，若点不在直线上则, 连接并延长交x轴于点P，即为最大值． 直线的方程是， 即. 令，得． 则点P的坐标是. 55．已知点，，点在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【详解】如图所示，    设点关于直线的对称点为，则， 解得，即， 所以，等号成立当且仅当点与点重合，其中点为与直线的交点. 故答案为：. 56．已知直线，点，和分别是直线和轴上的点，求的周长最小值及此时点和的坐标. 【答案】8；点，点. 【详解】解：设点关于直线的对称点为，， 则由，且的中点在直线l上，即，解得点，；又点关于轴的对称点为， 连接，分别交直线l与x轴于M，N，结合图象可知， 此时的周长最小， 最小值为. 过点，和的直线的斜率为， ，化简为， 即直线的方程为， 由，解得， 由，解得，， 综上，的周长最小值为，此时点，点. 【点睛】关键点点睛： 本题的解题关键在于对称性的应用，即连接点关于直线l与x轴的对称点，三角形周长的最小值即，才能联立方程求出点和，突破难点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$