陕西省榆林市神木市第四中学2023-2024学年高一下学期第四次检测数学试题

神木四中2023~2024学年度第二学期高一第四次检测考试 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答：字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章一第八章8.5。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.设(a-i)i=b+2i(a,b∈R),则 A.a=2,b=1 B.a=2,b=-1 C.a=-2,b=-1 D.a=-2,b=1 2.在△ABC中，A=105°，C=45°，AB=4,则AC A.1 B.2 C.2√2 D.23 3.下列条件一定能确定一个平面的是 A.空间三个点 B.空间一条直线和一个点 C.两条相互垂直的直线 D.两条相互平行的直线 4.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是 A.16 B.12 C.4+8√② D.4+42 5.在△ABC中，若满足sin2A=sin2B十√3sinB·sinC+sinC,则A A.30 B.60 C.120 D.150° 6.已知平面a∥3，且aCa,bC3,则直线a,b的关系为 A.一定平行 B.一定异面 C.不可能相交 D.相交、平行或异面都有可能 7.在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=3,∠A=5,C它=3ED,则A它.B元 A.-9 B.-3 C.3 D.6 【高一数学第1页（共4页）】 24629A 8.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时， 介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图 形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边 三角形，设DF=3FA,若AB=3√2I,则DF的长为 A.9 B.2√3 C.3 D.√3 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列命题是假命题的是 A.|2-i=√5 B.i2021=i C.若a>b,则a+i>b+i D.若x∈C,则2≥0 10.下列说法不正确的是 A.若直线a,b不共面，则a,b为异面直线 B.若直线a∥平面a,则a与a内任何直线都平行 C.若直线a∥平面a,平面a∥平面B,则a∥B D.如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 11.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,有如下判断，其中正确的判断是 A.若A>B,则sinA>sinB B.若acos A=bcos B,则△ABC是等腰三角形 C.若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB D.若cos2A十cos2B一cos2C>1,则△ABC是钝角三角形 12.如图所示，在正方体ABCD一A,BC,D,中，点E,F,M,N分别为所在棱上的中点，下列判 断不正确的是 A.直线AD∥平面MNE B.直线FC,∥平面MNE C.平面A,BC∥平面MNE D.平面AB,D1∥平面MNE 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.在△ABC中，若C=90°，a=6,B=30°，则c-b等于 14.已知平面向量a,b满足|a=2,b=√3，且(a+b)⊥b,则向量a与b 的夹角为 15.一个钢筋混凝土预制件可看成一个长方体挖去一个底面为等腰梯形 的四棱柱后剩下的几何体，其尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这 样的预制件需要 立方米混凝土（钢筋体积略去不计） 16.已知正方体ABCD-A1BC1D1的棱长为6，E,F分别是A1D,AA 的中点，则平面CEF截正方体所得的截面的周长为 【高一数学第2页（共4页）】 24629A 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 17.(本小题满分10分) 已知i是虚数单位，复数之=(m2一5m+6)+(m2一2m)i,m∈R. (1)当复数之为实数时，求m的值； (2)当复数z为纯虚数时，求m的值： 18.(本小题满分12分) 如图，一个圆台型花盆盆口直径为20cm,盆底直径为10cm,盆壁长（指圆台的母线长）13cm. (1)求这个圆台型花盆的体积： (2)现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元， 给这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？（第(2）问中π取3.14) 20cm 13cm 19.(本小题满分12分) 在平面直角坐标系xOy中，A(1,2),B(-2,3),C(8,一5). (1)若O心-xOA+yOB,求实数x,y的值： (2)若AB∥(mOA+OC),求实数m的值. 【高一数学第3页（共4页）】 24629A 20.(本小题满分12分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足b(sinB-3cos2B)=一a(a十b),且 sin C=sin 2B. (1)求角B: (2)若△ABC的面积为23，求AC边上的中线长， 21.(本小题满分12分) 在正方体ABCD-A1BCD,中，S是B,D的中点，E,F,G分别是BC,DC,SC的中点， 求证： (1)EG∥平面D1AC: (2)平面EGC∥平面AD1F. 22.(本小题满分12分) 在①ccos A=√3 asin C;②(a-b)(sinA+sinB)=(c-√3b)sinC:③3 bcos A+acos B=V3b 十c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题. 问题：在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足 (1)求角A的大小； (2)若D为线段CB延长线上的一点，且CB=2BD,AD=√3，AC=-2√5，求△ABC的面积. 【高一数学第4页（共4页）】 24629A神木四中2023~2024学年度第二学期高一第四次检测考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.A由题意，得ai+1=b十2i,则a=2,b=1.故选A. 2.CB=x一A-C=30,则由正弦定理得 .6=4,得b=22. sin B sin C工2 22 3.D由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D选项正确.故选D. 4.A易知原图形是平行四边形，其底边长2，高为2×2√2=4√2，另一边长为√2十(42)2=6，所以原图形 的周长为2×(2+6)=16. 5.D由正弦定理得a=十C+5c,F十2-a=-V5c.+C=-5=osA,由于0°<A<180,所 2bc 2 以A=150. 6.C由平面&∥g,且aCa,bC3可知直线a,b没有公共点，故它们一定不相交，即可能是平行或异面. .C花=市+子A成，成-市-子成.花成=市-是A前-A成，市=9-是 ×16-号×4×30ms60=3.故选C 8A由题可知：在△DEF中，∠EDA=号，则∠ADB=要， 不妨设DF=3k,由DF=3AF知，AF=k,则AD=4k, 又因为△AFC与△BDA全等，所以DB=AF=k, 由余弦定理可知：cOs∠ADB=AD十BD一AB=(4k)+A-AB=-1 2.AD·BD 2×4k×k 解得AB=21k2,而AB=3√2T,所以k=3,所以DF=9.放选A. 9.CD|一i=√2十（一1）产=5，A正确，P==i,B也正确，对于虚数不能比较大小，C错误，当：=i 时，2=一1<0，所以D错误. 10.BCD 11.ACD在△ABC中，若A>B,则a>b, 则2 Rsin A>2 Rsin B,则sinA>sinB,故A项正确. '.'acos A=bcos B,.'.sin Acos A=sin Bcos B, ∴.sin2A=sin2B,∴.A=B或2A+2B=180°，即A+B=90°， ∴，△ABC为等腰或直角三角形，故B项不正确： 当△ABC为锐角三角形时，A+B>受，受>A>号-B>0, “sinA>in(受-B)=cosB,可得sinA>cosB成立，故C项正确， 若cos2A十cos2B-cos°C>1,则1-sin2A+1-sinB-1+sin2C>1, 即sinC>sinB+sin2A,即c2>+a,即c2-(+a2)>0,所以cosC<0, 即C为纯角，故△ABC是纯角三角形，故D项正确. 【高一数学参考答案第1页（共4页）】 24629A 12.ABC过点M,N,E的截面如图所示(H,I,J均为中点)，所以直线AD与其相交于H 点，故A项错误：直线FC,与直线IJ在平面BCC,B,必定相交，故B项错误；直线AB A 与直线EI相交，故平面A,BC与平面MNE不平行，C项错误：直线AB1∥直线EI,直 线AD,∥直线MH,所以平面ABD,∥平面MNE. 18,25合=an30∴b=atan830=25c=2h=45c-6=2v5. 14.150°由(a+b)⊥b.得(a+b)·b=0,即a·b+=0, -3=-3 因为a=2,b=3,所以a·b=-3,所以c0s<a,b>三aiX62后 所以向量a与b的夹角为150°. 15.324将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体.所以S幽=6×11一 之×6+3)×3=54（平方米），所以孩预制件的体积V=S·h=54×6=324(立方米).故浇制一-个这样 的预制件需要约324立方米的混凝土. 16.6v13+3v2因为正方体的棱长为6，如图，延长EF交DA的延长线于N,连接 过 CN交AB于点G,因为E,F分别是AD,AA的中点，所以AG=3AB,所以 EF=3√2，AG=2,FG=13,CG=2√13，延长FE交DD的延长线于点M,连 接CM交CD点H,连接EH,所以DH=2,EH=13,CH=2√3，所以平面 CEF被正方体截得的截面为CHEFG,如图，所以平面CEF被正方体截得的截面x 的周长为613十3√2 17.(1)当复数g为实数时，有m2一2m=0,.m=0或m=2. 5分 (m2-5m+6=0 (2)当复数：为纯虚数时，有 解得m=3。…… 10分 m2-2m≠0 18.解：(1)h=√132-(10-5)产=12. 10 S1=πR=100π，Sr=xr2=25π， V=号4(5：+5r+V/S·5T)=号×1210x+25x+V10xX25m)…4分 =4(125π十50π)=700π， 则这个圆台型花盆的体积为700xcm3;… …6分 (2)Sm=号×20元×26-号×10xX13=260x-65x=195m, ……8分 20r 195x≈195×3.14=612.3cm2=0.06123m2, 10x 0.06123×10×10000=6123元， 13cm 则给1万个同样的花盆全部涂上油漆，预计花费6123元.…12分 19.解：(1)由OC=x0A+y0B,有(8，-5)=x(1,2)十y(-2,3),…2分 |x-2y=8, 有 ……3分 2.x+3y=-5, 【高一数学参考答案第2页（共4页）】 24629A x=2, 解得， y=-3. 故x=2,y=-3:… 5分 (2)由AB=(-3,1), 6分 m0A+0C=m(1.2)+(8,-5)=(m+8,2m-5). 8分 又由Ai∥(m0A+OC),有(m+8)×1-(-3)×(2m-5)=0,解得m=1. 故m=1. …………12分 20.解：(1)，sinC=sin2B,∴.sinC=2sinB·cosB, 由正弦定理得c=2 bcos B, 2分 由(sin2B-3cos2B)=-a(a+b),得(1一4cos2B)=-a2-ab, 又由c=2eosB,得2=4Wcos2B,(1-元）=-a2-a6a2+-2=-ab,…4分 由余弦定理得sC=+=-名又：Ce(0,aC-号 2ab 31 由sinC=sin2B,sin牙=in2B,B∈(0，吾）：得2B∈(o,行）2B=音，B=若： ………6分 (2)由1)得B=吾A=吾，C-号，Sam=7bsnC=25,原。=25a=22,6=2v2c=26. 小小小4小小4…9分 设AC的中点为D,则AD=2AC=2, 在△ABD中，由余弦定理得BD=VAD+AB-2AD·AB·osA=√2+24-2XV2X2V6× 2 11分 所以AC边上的中线长为I4.……… ………12分 21.证明：(1)连AC,BD交于点O,连SB,DO. G,E分别是SC,BC的中点， GE/∥SB,… ………2分 又D SLBO.∴.SB∥DO .GE∥DO. GE寸平面D1AC, DOC平面D1AC, .EG∥平面DAC:… …6分 (2)由(1)可知，EG∥DO, 由题连接OF,A,F, ,OF是△DBC的中位线， .OF∥BC∥AD∥AD, O,F,A1,D1四点共而，…………8分 又EC∥A,D: EGOEC=E. 【高一数学参考答案第3页（共4页）】 24629A DOC平面AD1F, ADC平面AD1F. ∴.平面EGC∥平面AD,F. 12分 22.解：(1)若选择①.ccos A=√3 asin C..sin Ccos A=√3 sin Asin C,…2分 sinC≠0，c0sA=√5sinA,………………………………3分 即tanA= 写，………4分 A(0,π)A=石… ………5分 若选择②，，(a-b)(sinA十sinB)=(c-√3b)sinC,………2分 ∴.(a-b)(a+b)=c(c-√3b), ∴.a2-=c2-3bc, a=十2-√3b0,… ……3分 osA=+2-a-Bc-区 2bc 2bc-2· 4分 :A∈(0xA=吾： …………5分 若选择③，，3 bcos A十ac0sB=√3b十c,… …2分 ,.∴3 sin Bcos A+sin Acos B=√3sinB+simC, ,∴.3 sin Bcos A+sin Acos B=√3sinB+sin(A+B), .3sin Bcos A+sin Acos B=3sin B+sin Acos B+cos Asin B. .2 sin Bc0sA=√3sinB,又B∈(0，π)，.sinB≠0，…………4分 .A∈(0Af… (2)设BD=x,AB=y,∠ABD=0, 在△ABC中，用余弦定理可得AC=BC+BA2-2BC·BA·cos∠ABC,…7分 即12=4x2十y2-2·2.x·y·cos(x-)①， BC=AC+AB-2AC·AB·cos CAB, 即4x2=12+y2-2·23·y·cos∠BAC, 即4x2=y2-6y+12, 即x=y-6y+12 4 @,……9分 在△ABD中，用余弦定理可得AD=BD十BA-2BD·BA·cO5∠ABD. 即3=x2十y2-2·x·y·c0s0③， 10分 ③*2+①可得6.x2+3y2=18, 将②式代入上式可得y=2,x=1, 11分 Saw=号AB·AC·sinA=E. …12分 【高一数学参考答案第4页（共4页）】 24629A