陕西省宝鸡市陇县第二高级中学2023-2024学年高一下学期第三次教学质量检测数学试题

陇县第二高级中学2023~2024学年第二学期高一年级第三次教学质量检测 数 学 全卷满分150分,考试时间120分钟。 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑;非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答;字体工整,笔迹清楚。 4.考试结束后,请将试卷和答题卡一并上交。 5.本卷主要考查内容:必修第二册第六章~第八章。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设(a-i)i-b十2i(a,bR),则 C.a--2,b--1 Ba-2,b--1 A.a-2,b-1 D.a--2,6-1 2.设点O是正三角形ABC的中心,则向量AO,BO,CO是 A.相同的向量 B.模相等的向量 C.共线向量 D.共起点的向量 3.已知向量a,b,且a-2,b-1,ab,则2a-b= C.17 A.8 B.9 D.15 4.如图,一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形,则原图形的 __. 周长是 A.16 B.12 , C.4十8v2 D.4十42 5.若直线/平面g,则下列说法正确的是 A./仅垂直平面g内的一条直线 B./仅垂直平面g内与/相交的直线 C./仅垂直平面。内的两条直线 D./与平面。内的任意一条直线垂直 A.无解 B.有一解 C.有两解 D.解的个数不确定 【高一数学第1页(共4页)】 24641A 7.如图,某市人民广场正中央有一座铁塔,为了测量塔高AB,小胡同学先在塔 的正西方点C处测得塔顶的仰角为45{},然后从点C处沿南偏东30{}方向前进 140米到达点D处,在D处测得塔顶的仰角为30{*},则铁塔AB的高度是 A.70米 B.80米 C.90来 D.100米 8.如图所示,在正方体ABCD一A.BCD 中,E,F分别为AA.,AB上的中 点,且EF-V3,P点是正方形ABBA:内的动点,若CP/平面CD.EF,则 P点的轨迹长度为 A.23 B.3n C.③ D.n 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.下列命题是假命题的是 A.2-il-5 B.i2i2-i C.若a>b,则a+i>b+i D.若zC,则二0 10.已知g,3是两个不重合的平面,m,”是两条不重合的直线,则下列命题中是真命题的是 A.如果nn,ma,n/B,那么a{ B.如果ma,n/a,那么mn C.如果a/③,m二a,那么n/③ D.如果m//n,a//B,那么n与。所成的角和n与3所成的角相等 11.如图,在校长为1的正方体ABCD-A.B.CD中,点P是线段CD 上的一点,则下列说法正确的是 A. 直线BP与平面ABB,A; 所成的角为定值 B.AD/平面ABP C.三校锥A. 一BPD的体积为定值 D. 直线AB.与直线BP所成的角为定值 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.已知i是虚数单位,复数;满足-2-i,则复数z的模为 s士i 13.已知平面向量a,b满足la=2,b|=v3,且(a十b)Ib,则向量a与b 的夹角为 14.一个钢筋混凝土预制件可看成一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的 四楼柱后剩下的几何体,其尺寸如图所示(单位;米),浇制一个这样的 预制件需要 立方米混凝土(钢筋体积略去不计) 【高一数学第2页(共4页)】 24641A 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(本小题满分13分) 用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥,所得的截面三角形称为圆锥的轴截面,也称为圆锥的子 午三角形.如图,圆锥SO底面圆的半径是4,轴截面SAB的面积是4. (1)求圆锥SO的母线长; (2)过圆锥SO的两条母线SB,SC作一个截面,求截面SBC面积的最大值 16.(本小题满分15分) 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足3bsinA=5asinBcosC (1)求cosC的值 C 17.(本小题满分15分) 如图,在四锥P-ABCD中,BC/AD,AB|BC,2AB=2BC=AD=2,设E,F分别为 PD,PA的中点,A-OD (1)证明:CE/平面PAB; (2)证明:平面BOF/平面CDE 【高一数学第3页(共4页)】 24641A 18.(本小题满分17分) 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=3, /BAC=30{*},F是线段AC上的动点(异于 点),BC-3BE (1)若F是AC边的中点,求AE·BF的值; (2)当AE.B-7+3 时,请确定点F的位置 4 19.(本小题满分17分) 在四校锥P-ABCD中,△PAB是等边三角形,四边形ABCD是矩形,AB-2,AD-23 PBAD,E是校PD的中点 (1)求证:PABE: (2)求二面角P一AE一B的正切值 【高一数学第4页(共4页)】 24641A陇县第二高级中学2023~2024学年第二学期高一年级第三次教学质量检测·数学 参考答案、提示及评分细则 1.A 由题意,得ai+1-b+2i,则a-2,b-1.故选A. 2.B .O是正△ABC的中心,向量OA,OB,OC分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量, .O到三个顶点的距离相等[AO-BO-Cl,但向量AO,BO.C不是相同向量,也不是共线向量,也不 是起点相同的向量,故选B 3.C 由alb,有a·b=0,|2a-bl}=(2a-b)^{}=4lal}-4a·b+|b|}=4x4+1-1.$ .|2a-b-17.故选C 4.A 易知原图形是平行四边形,其底边长2,高为2×22-42,另一边长为 2十(4v2)-6,所以原图形 的周长为2×(2+6)-16. 5.D 若直线/1平面a,则/与平面。内的任意一条直线都垂直 6.C 因为ab,所以A<B 故此三角形有两解,故选C. 7.A设塔AB的高度为h,在Rt△ABC中,因为 ACB-45^},所以BC-h;在Rt△ABD中,因为 ADB= 30{*,所以BD-3h;在△BCD中, BCD=60{*,BC=h.BD=3h,根据余弦定理可得BD =BC*}+CD 8.C 如图所示,作CG/DE交BB 于点G,作C.H/CF交A.B 于点H,连接HG ·.C.HOC.G=C.CG/DE.CH/CF..'平面C.GH/平面CD.EF,又.P点是 正方形ABBA:内的动点..'点P在线段HG上,即轨迹HG一EF-③ 9.CD-il=2十(-1)-5,A正确,i*=ì-i,B也正确,对于虚数不能比较大 小,C错误,当。-i时,*一一1<0,所以D错误 10.BCD 对于A,可运用长方体举反例证明其错误,如图, 不妨设AA为直线m,CD为直线n,四边形ABCD所在的平面为a,四边形ABC'D' 所在的平面为3,显然这些直线和平面满足题目条件,但a13不成立; B正确,证明如下:设过直线n的某平面与平面a相交于直线/,则//n,由na 知mI/,从而mn; 由平面与平面平行的定义知,如果a/3,m二。,那么n/3.C正确; 由平行的传递性及线面角的定义知,如果m/n.a/3,那么n与a所成的角和n与3所成的角相等,D正确 故选BCD. 11.BCD当P分别在C或D。时,显然直线BP与平面ABB;A.所成角不同,故A错误 平面A.BP即为平面A.BCD.,又AD/BC,AD平面A.BCD,BCC平面A.BCD,所以AD/平面 【高一数学参考答案 第1页(共3页)】 24641A A.BCD,故B正确: 因为CD /BA .CDC平面A.BD.BA.C平面A.BD.所以CD /平面A. BD,所以点P到平面A.BD的 距离为定值,所以三校锥A-BPD的体积为定值,故C正确; 在正方体ABCD-A B C.D 中,易得AB 1平面A BCD,又BPC平面A.BCD,所以AB BP,故D正 确.故选BCD 12.0 1一1 1一1 (1十)(1-i) 13.150{}由(a十b)1b,得(a十b)·b-0,即a·b十b=0, laxb 23 所以向量a与b的夹角为150{ 14.324 将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四梭柱后剩下的几何体,所以S三6×11- 的预制件需要约324立方来的混凝土. 所以圆锥S0的母线长/- 1十4- 17; ........................................................................ 6分 (2)在轴截面SAB中,SO-1,SA-17. ...................................................分 ....................................................... 10分 2x17×v17 △SBC的面积s- 17 .................................... . 16.解:(u....定...si. .si..ersi.. si. Bcos. ...............................4分. 因为sinA>0.sinBo,可得cosC-3 ........................... ......................................................................................... 一 15分 ...........4分 于是CE/BF,CE平面PAB,BFC二平面PAB,则CE/平面PAB;..........6分 R (2)由于o....为.....此../.E............................................7分 又因为OF平面CDE,DE二平面CDE,则OF/平面CDE, 【高一数学参考答案 第2页(共3页)】 24641A 由(1)知BEF//CE,BF平面CDECEC平面CDE,则.BEF/.平面CDE..................... 12分 由于BFOOF=F,BF,OFC平面BOF,则平面BOF/平面CDE. ............... (2)不妨设AF-aAC,aE(0.1),因此B--AB+AC. ............................ ..分... A·B-(AB+A)#·(-AB+A)--AB*+AC+2-1AB·A=-2++(2- 19.(1)证明:取PA的中点F,连接BE,EE,如图所示 因为△PAB是等边三角形,F是PA的中点,所以BFIPA. ..................................... 因为F是PA的中点,E是校PD的中点,所以EF/AD. 又四边形ABBCD是矩形,所以ABIAD,所以EF ABB,又 PBLAD,所以 EFIPB. ......... 4分 文PBOAB=B,PB,ABC平面PAB,所以EF 1平面PAB. ..........................分. 又PAc一.. - ,.以.. ........................7分. 又BFOEF=E,BF,EFC平面BEF,所以PA 平面BEF, ..........分 又BE..平. ..F,.,所以 .P. ..,...................................9分 (2)解:因为EF 1平面PAB,BFC平面PAB,所以EF1BF, 文BF PA.BFOPAF.BF,PAC平面PBA,所以BF 平面PDA 又AEC平面PDA,所以BF1AE. ............................... 1.分... 过F作AE的垂线,垂足为G,连接BG,如图所示。 因为BFOFG=F,BF,FGC平面BFG,所以AE 1平面BFG. 又BGC平面BFG,所以AE1 BG,所以二面角P-AE-B的大小为 BGF. .....................1分. .Bf3 -2. FG ...........I7分. 第3页(共3页)】 【高一数学参考答案 24641A