吉林省吉林市桦甸市第一中学2023-2024学年高一下学期期中基础知识检测数学试题

桦甸市第一中学2023~2024学年度下学期高一年级基础知识检测 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑：非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答：字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5,本卷主要考查内容：必修第二册第六章一第九章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知复数之=(1一i)(3十4i)(i是虚数单位)，则= A.-1+i B.7+i C.-1-i D.7-i 2.某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3,2,5,4,3,1，则这组数 据的75%分位数为 A.3 B.4 C.3.5 D.4.5 3.已知正六边形ABCDEF,则AC+BD-FD= A.BC B.AE C.BE D.AC 4.若直线1⊥平面a,则下列说法正确的是 A.l仅垂直平面α内的一条直线 B.l仅垂直平面a内与l相交的直线 C.l仅垂直平面a内的两条直线 D.!与平面a内的任意一条直线垂直 5.如图，△OA'B'是水平放置的△OAB利用斜二测画法得到 的直观图，其中OA′=3，OB'=1,则△OAB的面积是 B A.3 B.3√② c D.32 4 6.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=2V2,b=4,A=石，则此三角形 A.无解 B.有一解 C.有两解 D.解的个数不确定 【高一数学第1页（共4页）】 24643A 7.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABC1D1中，M为AD的中点，则异面 直线B,C与D,M所成角的余弦值为 A B.v10 c Dio 8.已知a,b是不共线的两个向量，a=2,a·b=4V3,若Vt∈R,|b-a≥2，则|b的最小值为 A.2 B.4 C.23 D.4V3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列调查中，适宜采用抽样调查的是 A.调查某市小学生每天的运动时间 B.某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查 C.农业科技人员调查某块地今年麦穗的单穗平均质量 D.调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况 10.已知向量a=(一2,1)，b=(一1,3)，下列结论正确的是 A.a与b能作为一组基底 B.与a+b同向的单位向量的坐标为（停，一号） C。与b的夹角的正弦值为号 D.若c=(,x)满足a+c=b-c,则x=号 11.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的是 A.若A>B,则sinA>sinB B.若A=60°，c=2,a=1.74,则△ABC只有一解 C.若tanA=分，则△ABC为直角三角形 D.cos A+cos B+cos C>0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在一个底面直径为12cm,高为18cm的圆柱形水杯中加人水后，水面高度为12cm,加入一 个球型小钢珠后水面上升到了13cm,则球型小钢珠的半径为 cm. 13.将容量为的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率 之比为2：3：4：6：4：1，且后三组数据的频数之和等于66，则n= 14.在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,G为△ABC的重心，AG=BC,则 cosB的取值范围为 【高一数学第2页（共4页）】 24643A 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(本小题满分13分) 设a是实数，复数x1=1十2i,2=(a十i)(1一2i)(i是虚数单位). (1)若在复平面内对应的点在第二象限，求a的取值范围： (2)求1十2的最小值 16.(本小题满分15分) 东风家具店为了解顾客购买额度（单位：元）情况，调查了10000名顾客，并根据所得数据画 出了样本频率分布直方图（如图），每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示购买 额度在[2500,3000)内. (1)为了分析顾客购买额度与年龄的关系，按购买额度从这10000人中用分层随机抽样的方 法抽出100人作进一步分析，则购买额度在[4000,4500)内的应抽取多少名？ (2)根据频率分布直方图估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. ↑频*/组距 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 0 2500300035004000450050005500购买额度/元 【高一数学第3页（共4页）】 24643A 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且4cosB=3 sin Asin C. 1求m歌品C的最小值： (2)已知co0sA=酒a=2v0,求边c及△ABC的面积 18.(本小题满分17分) 如图，在三棱柱ABC-A1BC1中，AA:⊥平面ABC,△ABC是等边三角形，D,E,F分别是 棱B,C1,AC,BC的中点 (1)证明：AD∥平面C,EF: (2)若2AA1=3AB=3,求三棱锥A-C1DE的体积. B 19.(本小题满分17分) 在四棱锥O-MNPQ中，底面MNPQ是正方形，OM⊥平面MNPQ,且OM=MN=2. (1)求直线PO与平面OMQ所成角的余弦值； (2)求二面角N-OP-Q的大小. 【高一数学第4页（共4页）】 24643A桦甸市第-中学2023~2024学年度下学期高-年级基础知识检测·数学 参考答案、提示及评分细则 1.Dz=(1一i)(3+4i)=7+i.则有=7-i.故选D. 2.B这组数从小到大排列顺序为：1,2,3,3,4.5，由6×75%=4.5，可得这组数据的75%分位数为从小到大排 列的第5个数，为4，故选B. 3.B在正六边形ABCDEF中，AC+Bi-Fi=AC+Bi+D求-AC+B萨-AC+C定=C元-C才=A正.故 选B. 4.D若直线I⊥平面a,则l与平面α内的任意一条直线都垂直. 5.A根据斜二测画法知△OAB为直角三角形，∠AOB=90°，OA=3,OB=2OB'=2×1=2,故△OAB的面积 5=×3×2=3.故选A =云，得一nB:解得sinB一y2 6.C由正弦定理“ b 1 21 2 因为a<b.所以A<B. 又因为BE(0,x),所以B=平或B=3红 故此三角形有两解.故选C. 7.A取A:A的中点N,连接MN,DN,则MN∥AD∥B,C,则∠D,MN为异面直线所 成的角或其补角，易求MN=E,D,M=D,N=5,cos∠D,MN=2+5-5=L 22×√510 故选N 5 8,B依题意可设a,b的夹角为0，则由题意可得0<0K受， 由b-a≥2得b1sn>2.所以a·b≥品0 又因为a·b=a·beos0=45.所以gos0Ka·beos0=4, 所以a>号所以@s长号所以o-名>4，故选B 9,AC因为选项B和D中应该对所有人员进行检查，所以用普查的方式：选项A和C适合采用抽样调查. 10.ACD对于A.因为a=(一2,1)，b=(一1,3)，所以不存在实数A使得a=b,所以a与b能作为一组基 底，故A正确： 对于B,因为a=(一21).b=(一1,3).所以a+b=(一3,4)，所以与a+b同向的单位向量的坐标为号× (-3,4)-(-号，青)，放B错溪： 对于C,因为cosa.b》=Ta·1b-2)+下×-1)+3 a·b (-2)×(-1)+1×3 2 【高一数学参考答案第1页（共4页）】 24643A 所以a与b的夹角的正弦值为号，故C正确： 对于D,因为c=(x,x),|a十c=|b-c|, 所以(-2+)+1+)产=（一1-）+(3-)，解得x=号，故D正确， 故选ACD. 11.AD对于A选项，由A>B,有a>b,由正弦定理可得sinA>sinB,故A选项正确： 对于B选项，由√3<1.74<2，可知△ABC有两解，可知B选项错误： 对于C选项，由tanA=分，得sinA=-sin Btan A,有cosA=sinB,可得A+B=受或B=受十A,可知C选 项错误： 对于D选项，若△ABC为锐角三角形或直角三角形，有cosA十cosB十cosC>0:若△ABC为钝角三角形， 不妨设C为钝角，有co5C<0,cosA>0,cosB>0,有cosA+cosB+co3C>cosA+cosC=cosA一cos(A 十B)=cosA-cos Acos B十sin Asin B>cosA(1-cosB)>0,可知D选项正确.故选AD. 12.3上升水柱的体积V=xh=36x,Vg=号xR=36x,R=27,R=3. 13.120 由题意得1=6÷品=120， 14.(o.号） 记BC的中点为D,由AG=BC,可得AD=多a.又由A方=(A8+AC,有A=十(1A +2店.C+C),有g-子6+2 ecosA+心)有9a-F+(心+e-)+,有5a-谷+.又 /2+c2>a2, 1a2+c2>5a2-c2, 由△ABC为锐角三角形，有{a2+c2>b,有 a2+(5a2-c2)>c2 可得巨<台<8.又由osB- a2+b>2. g+c-E-+c-5a2-2_2C4a=￡-2a.令二=W2<1<3),由函数f)=1-22<1< 2ac 2ac 2ac V5)单调递增，可得0=区-厅<0)<5-2-停，可得0<c0sB<号 3 15.解：(1)g=(a十i)(1-2i)=a十2十(1一2☑)i,………3分 1a+2<0, 则 解得a<-2;…… ……………6分 1-2a>0. (2)g1=1十2i,则1=1一2i,1十=a十3-(2a十1)i,………9分 .|81+2|=√/(d+3)+(2a十1)=√5a+10a+10=√5(a+1)+5,…12s分 当a=一1时，1十的最小值为√5.………13分 16.解：1D因为(0.0002+0.0004+0.003+0.001)×500=0.5，所以a=05=0.0005.又0.0005×500 1000 0.25,所以购买额度在[4000,4500)内的频率为0.25，所以100人中购买额度在[4000.4500)内的人数为 0.25X100=25.…………………7分 (2)样本平均数为(2750×0.0002+3250×0.0004十3750×0.0005+4250×0.0005+4750×0.0003+5250 【高一数学参考答案第2页（共4页）】 24643A ×0.0001)X500=3900. 15分 17.解：(1)因为4cosB=3 sin Asin C, 所以-4(cos Acos C-sin Asin C)=3 sin Asin C, sin Asin C=4cos A cos C. 则t领nΛt领nC=4,……………………………3分 所以sinB=sin Acos C+cos Asin C。1 1 "sin Asin C sin Asin C anC+anA≥2√tan Atan C=1(当且仅当A=C时符号成立)， 则 sin B 00C的最小值为1…………7分 (2)由csA=,AE0,.可求得snA-3严.anA=3 由①可知tan Atan C=4,则tanC=4 ，在△ABC中，CE0,,可求得nC=青osC=号， ，…10分 4 在△ABC中，由正弦定理可得：后AC·则(= 5 sin A …12分 310 ×210=16. 3· 10 mB=mA+0=3x是+P×告180 5 50 sac=7 in=号×2v1而×9×18D_2x5X310-20s 50 2×3×50 Γ15 ………15分 18.(1)证明：连接BD, E,F分别是棱AC,BC的中点，∴.EF∥AB EFC平面C,EF,AB平面CEF,AB∥平面C,EF,……3分 ,D,F分别是棱B1C,BC的中点，.BF∥CD,BF=CD, .四边形BDCF是平行四边形，则BD∥C,F, ,C,FC平面CEF,BD￠平面CEF,.BD∥平面CEF,…6分 ,AB,BDC平面ABD,且AB∩BD=B..平面ABD∥平面CEF, ADC平面ABD,AD∥平面CEF:…9分 (2)解：连接CD,E为AC中点，∴.V三检CE=V兰腔籍CC1优=V三楼裤℃1D， B …………11分 由题意.2A,=3AB=3S6mb=CGCD=是 13分 作EG1BC于G,则EG⊥面B,CC,且EG=气，即三棱锥E-C,D的高为。 ……17分 19.解：(1)在正方形MNPQ中，有PQ⊥MQ, 因为OML平面MNPQ,PQC面MNPQ,所以OM LPQ, 又因为OMC平面OMQ,MQC平面OMQ,OM∩MQ=M, 所以PQ⊥平面OMQ, 【高一数学参考答案第3页（共4页）】 24643A 所以∠POQ为直线PO与平面OMQ所成的角， …4分 在Rt△OMQ中，OQ=√Of+MQ=√2+2=22， 在R△OPQ中，OP=√OQ+PQ=√(2√2)+2=25， c0s∠P0Q-0-25-3 0Q-22-6 所以直线P0与平面OMQ所成角的余弦值为， 列写4”8分 (2)连接NQ交MP于点E, 在正方形MNPQ中，有NQ⊥MP, 因为OM⊥平面MNPQ,所以OM⊥NQ, 因为OMC平面OMP,MPC平面OMP,OM∩MP=M, 所以NQ⊥平面OMP,所以NQ⊥OP,……10分 在△OPN中，过点N作NF⊥OP于点F,连接FQ, 因为NQC平面NFQ,NFC平面NFQ,NQ∩NF-N, 所以OP⊥平面NFQ,所以OP⊥QF, 则∠NFQ是二面角N-OP-Q的平面角，… …………13分 在△OPN中，ON=2√2，NP=2,OP=23, 则NF一ON×NP2停一2石同理可求得QF石 OP 3 在△NFQ中，NQ=22,NF=QF=25 3 ∠NF0-FOg_章+号-8 1 2NF·QF 2号 2 则∠NFQ=号x, 则二面角N-0p-Q的大小为号不…17分 【高一数学参考答案第4页（共4页）】 24643A