甘肃省平凉市静宁县第二中学2023-2024学年高二下学期第二次质检考试数学试题

静宁二中2025届春季学期第二次质检考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1,答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答：字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5.本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第二册第一章~第三章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知数组a=(x,1,1),b=(-2,2,y),a·b=0,则2x-y A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.已知点P(1,2)是曲线y=2x2上一点，则P处的瞬时变化率为 A.2 B.4 C.6 D.2 3.下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿x轴进行随机运动的质点，它在x轴上的位置7： ③某派出所一天内接到的报警电话次数X; ④某同学上学路上离开家的距离Y, 其中是离散型随机变量的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 4.在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布N(100,a)(c>0),试卷满 分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的后，数学考试成绩在80分到 100分（含80分和100分）之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为 A.1600 B.1800 C.2100 D.2400 5.若随机变量的分布列如表，则P(X一2|=1)的值为 X 1 3 4 4 5 A.12 c品 D.3 【高二数学第1页（共4页）】 24630B 6.袋中有大小、质地均相同的黑球和白球共个，设“任取1个球，这个球是白球”为事件A,则 P(A)=号.现再向袋中放人4个白球和3个黑球，则P(A)=?,则m的值是 A.5 B.4 C.7 D.6 7.如图，在棱长为2的正方体ABCD一AB:CD1中，E为BC上的一点，F为CD的中点，若点 E到平面AB,F的距离为1，则线段CE的长度为 D A.1 B B号 D.2 8.若函数f(.x)=e3一e2r一e一a存在零点，则实数a的取值范围为 A.[-2,+∞) B.[-e,+o∞) C.[-e2,+oo) D.[-1,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若随机变量X服从两点分布，其中P(X=1)=2,EX),D(X)分别为随机变量X的均值与 方差，则下列结论正确的是 AP(X=0)=号 BE(X)=司 C.E(2X)- D.D(X)=1 4 10.若函数fx)=r+名r-6x十a有三个零点，则实数a的可能取值是 A.-10 B.-9 C.2 D.3 11.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1,2,3,4，乙罐中有五个相同的小球，标号为1,2,3， 5,6,现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于 5”,事件B=“抽取的两个小球标号之积大于8”，则 A.事件A与事件B是互斥事件 B.事件A与事件B是对立事件 C事件AUB发生的概率为品 D,事件AnB发生的概率为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.某小组由3名女生、2名男生组成，现从中任选出一名组长，则其中女生甲当选为组长的概 率为 13.已知x∈R,若a=(1十x,1,x),b=(0,2x,x),那么|a一b的最小值为 14.对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的 误差c,~N(0,三)为使误差e在(-0.5,0.5)内的概率不小于0.6827，至少要测量 次 (若X~N(u,g2),则P(4-≤X≤+o)=0.6827). 【高二数学第2页（共4页）】 24630B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(本小题满分13分) 为了实现中国梦的构想，在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、 绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为号，。，号，且三个 项目是否成功相互独立： (1)求恰有两个项目成功的概率： (2)求至少有一个项目成功的概率. 16.(本小题满分15分) 已知函数f八x)=ar+br+cx十d为奇函数，且f(x)在x=1处取到极小值- 3 (1)求f(x)的解析式： (2)若g(x)=f(x)十x2一m.x在[0,2]上单调递增，求实数m的取值范围. 17.(本小题满分15分) 为推动网球运动的发展，某网球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运 动员4名，其中种子选手2名：乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这9名运动员中 随机选择4人参加比赛. (1)设事件A为“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求 事件A发生的概率； (2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列及均值E(X), 【高二数学第3页（共4页）】 24630B 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD,AB⊥AD,PA⊥底面 ABCD,E为BP的中点，AB=2,PA=AD=CD=1. (1)证明：EC∥平面PAD: (2)求二面角E-AC-P的正弦值. 4 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ar+r-1+2(a∈R)的定义域为[0，十o∞). e (1)当a>0时，证明：f(x)≥1； (2)当a<0时，若f(x)≥>0恒成立，求实数a的取值范围. 【高二数学第4页（共4页）】 24630B静宁二中2025届春季学期第二次质检考试·高二数学 参考答案、提示及评分细则 1.C因为a=(x,1,1),b=(-2,2,y),a·b=0,所以-2x+2+y=0,2x-y=2. 2.B 3.B对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量： 对于②，沿x轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量： 对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量： 对于①，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变 量，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③.故选B. 4.D由题设，若X表示数学考试成绩则P(X>120)=PX<80)=言而P(X<10)=, 所以P(80<X≤10)-号一言-弓，故参加本次联考的总人数约为800÷子-240，故选D 5.A根据题意可得a=1-子-冬-子-言P(X-2-1)=P(X=1)+P(X-8)=言+片=意故 选A. 6A设袋中白球的个数为侧只一号，青宁，从而解得=5 7.A以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD:所在直线为：轴， 建立空间直角坐标系，则A(2,0,0),F(0,1,0),B(2,2,2), 设CE=a(0≤a≤2)，则E(a,2,0), AB=(0,2,2),AF=(-2,1,0),AE=(a-2,2,0). 设n=(r,y,2)为平面ABF的一个法向量 n·AB1=012y+2x=0 则 → n·AF=0-2r+y= ,令x=1,得y=2,2=-2,所以n=(1,2,一2).则点E到平面AB,F的距离 为4=A它.”1=la十2=1，解得a=1,所以线段CE的长度为1， n 3 8.D当f(x)=0时，a=e2一e一e,若函数f(x)存在零点，实数a的取值范围为函数y=e一e一e的值 域，令e=t(t>0),g(t)=-t-1(t>0),有g'(t)=3一21-1=(3t十1)(t一1).可得函数g(t)的减区间为 (0,1),增区间为(1，十o∞)，有g(1)m一g(1)=一1，由一元三次函数的图象和性质可知，函数g(1)的值域为 [一1，+oo),故实数a的取值范围为[一1，十co). 9.ABD因为随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=号，所以P(X=0)=2故A正确： B(X)=0X号+1X号=号放B正确： E2X)=2E(X)=2×号=1，故C不正确： DX)=×(0-号）广+号×(1-)广°-}，故D正确，故选ABD. 10,BCD由函数f(x)=r+是r2-6r十a有三个不同零点， 则f(x)有两个极值点，且极小值小于0，极大值大于0， 由f(x)=3.x2-3.x-6=3(x-1)(x+2)=0,解得x1=-2,x2=1, 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 24630B 所以当x∈(-c∞，-2)时了(x)>0,当x∈(-2,1)时f(x)<0,当x∈(1，+∞)时，(x)>0, 所以函数了(x)在（一∞，一2）上单调递增，在（一2,1）上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， 可得f(x)的极大值为/(-2)=一8+6+12+a=a+10,f(x)的极小值为f)=1+号-6+a=a一子， 所以 -号<0解得-10<a<号散选KD a+10>0, 11.CD由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，包含的事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,5)，(1,6)，(2,1)， (2,2),(2,3),(2,5),(2,6),(3.1),(3,2),(3.3),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6,共20个 基本事件： “抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,3).(3,5)，(3,6)，(4,2)， (4,3),(4,5),(4,6)共11个基本事件： “抽取的两个小球标号之积大于8”包含的基本事件有：(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,3)，(4,5)，(4,6) 共8个基本事件， 即事件B是事件A的子事件，所以事件A与事件B既不互斥也不对立，所以A,B错： 事作AUB包含的基本事件个数为11个，所以事件AUB发生的概率为品，故C正确： 事件A门B包含的基本事件个数为8个，所以事件A门B发生的概率为品-号，故D正确， 12P= 13.3⑤ 5 由题知，a-b=(1+x,1-2x,0),则1a-b1=V1+x)+(1-2x)=/5(x- +号，可得当 =吉时，a-6取最小值5。 14.12根据正态曲线的对称性知：要使误差在(-0.5,0.5)内的概率不小于0.6827， 则(4-以+oC(-0.5,0.5)且=0g=√月，所以0.5≥√一，可得≥12，故答案为12 15,解：D只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概常为号×号×(1-号)一石 …2分 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为号×(1一吾)×号-· …4分 只有绿色蔬莱种植和水果种植两个项目成功的概率为(1一号)×号×号=号 9 ，…………6分 恰有两个项日成功的概率为石十十号=………………………7分 (2)三个项日全部失败的概率为(1-号)×(1-吾)×(1-号)=石： 配至少有一个项目成功的概率为1污=若……………13 16.解：(1)函数f(x)=a.x+bx2+cx+d为奇函数，.b=d=0, )=ar十c,f()=3ar+c“函数r)在x=1处取到极小值-号， 0)=3a+c=0,且)=a叶=-号解得a=号6=-1)=名-x…7分 (2)油(1)得g)=号r+r-(m+10r,g《)=r+2r-(m+1 若g(x)在[0,2]上单调递增，则g'(x)≥0在[0,2]上恒成立，即m≤x十2x-1在[0,2]上恒成立，而y=x2 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 24630B +2.x一1在[0,2]上单调递增，其最小值为一1， 故m≤一1，即实数川的取值范围是（一∞，一1门.……………………15分 17.解：(1)由已知得，PA)=CC+CC=4 C 7 所以事件A发生的概率为 …分 (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4. P(X=k)= C(k=0,1,2,3,4. C 8分 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 1 0 10 126 6 21 63 126 00-品+器+器+器-智 15分 18.解：(1)证明：如图，取AP的中点F,连EF,DF, BE=PE.PF=AF, 心EFL2AB 2分 ,直角梯形ABCD, .CD4AB. ..CD LEF. .四边形EFDC为平行四边形，.EC∥FD………………5分 ,DFC平面PAD,EC平面PAD,EC∥FD, EC∥平面PAD,…… …7分 (2)如图，，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD, .AP,AB,AD两两垂直， 以A为原点，AB,AD,AP向量方向分别为x轴，y轴，：轴建立如图所示空 间直角坐标系 各点坐标如下：A0.0,0),P(0.0.1).C11,0,B(2,0,0,E(1.0,号） ……9分 设平面APC的法向量为m=(x,y,x) 由AP=(0,0.1),AC=(1,1,0),有 AP.m==0 AC.m=x+y=0. 取x=1,y=-1,之 =0,有m=(们，一1,0)…………………12分 设平面EAC的法向量为n=(a,b,c) AC.n=a+b=0 由-0正=o2):有证。-o+-o取-1-，布=.-- ……………15分 可得m·n=2,m=√2，n=6,cos<m,n>= 2 2×√63 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 24630B 故二面角E-AC-P的正张值为√一否-号 …17分 19.解：(1)证明：当a>0时，x≥0，e≥1 由)=号+。号+2>。号+2=++1-gD+121.…5分 e e 另解：当a>0时，因为x≥0，所以a.x2十x一1≥一1，一e≤一1…2分 所以ar+x-1≥-e,放ar+x=≥-1 e 所听以f）=+r1+2≥l.5分 e (2)由(1)有f广(x= -a[x-(-)]x-2) …7分 e ①当-。=2时，a=-之，此时了()≥0，此时函数fx)单调递增，x)≥f0)=1>0,满足题意… ……………………………小…9分 ②当-日<2时a<-立，令了(x>0,可得>2或0<<-。，可得函数fx)的增区间为[0，-日)： a (2.十∞) 由0)=1，若20恒成立必有2)=+2>0，可得≥-1+2.有12<a<-专 2 …13分 1 @当-名>2时，-专<a<0ud>-是，有八x)> 2x+x- +2.由①可知二2+x一1 +2>0，故 e 有f(x)>0 由上知，当a<0时，若x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为[-1中，0)小， ………17分 【高二数学参考答案第4页（共4页）】 24630B