精品解析：2024学年上海市彭浦三中中考考前信心卷

2024学年上海市彭浦三中中考考前信心卷 一.选择题（共24分） 1. 下列是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，故不符合题意； B、，是整数，属于有理数，故不符合题意； C、，是整数，属于有理数，故不符合题意； D、是无理数，故符合题意； 故选：D． 2. 下列可以更好体现一组数据波动情况的统计图是（ ） A. 柱状图 B. 条形图 C. 饼图 D. 折线图 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折线图，根据折线图主要反映数据的波动情况即可得出答案． 【详解】解：可以更好提现一组数据波动情况的统计图是折线图， 故选：D． 3. 如右图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，如果AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF：EH=2：3，那么EH的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设EH=3x，则EF=2x，△AEH的边EH上的高为AM=AD-EF，再由三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，进而求得EH的长． 【详解】解：∵四边形EFGH是矩形， ∴EH//BC， ∴△AEH∽△ABC， ∵AM⊥EH，AD⊥BC， ∴ 设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD-EF=2-2x， ∴ 解得：x=， 则EH=3x=． 故答案为B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和矩形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 4. 已知四边形中，对角线与相交于点O，，下列判断错误的是（ ） A. 如果，，那么四边形是矩形 B. 如果，，那么四边形是矩形 C. 如果，，那么四边形是菱形 D. 如果，，那么四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项进行分析判定即可得答案． 【详解】解：A、如果，，，那么四边形是等腰梯形，不是平行四边形也就不是矩形，故A选项错误，符合题意； B、如果，，则四边形是平行四边形，则，，因为所以，那么平行四边形是矩形，故B选项正确，不符合题意； C、如果，，则四边形是平行四边形，又，那么平行四边形是菱形，故C选项正确，不符合题意； D、如果，，则可以证得四边形是平行四边形，又，那么平行四边形是菱形，故D选项正确，不符合题意， 故选：A． 5. 在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（　　） A. （6，0） B. （4，0） C. （4．﹣2） D. （4，﹣3） 【答案】D 【解析】 【分析】画出平面直角坐标系，利用全等三角形的性质以及坐标与图形的性质得出符合题意的答案． 【详解】解：如图所示：△ABC与△EFB全等，点F的坐标可以是：(4，﹣3)． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质以及坐标与图形的性质，正确掌握全等图形的性质是解题关键． 6. 某同学对“对角线垂直的四边形”进行了探究：如图，在四边形中，，，，，由上述条件，得到了两个结论：①，②．对于结论①、②下列说法正确的是（ ） A. ①正确、②错误 B. ①错误、②正确 C. ①、②正确 D. ①、②都错误 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，如图，过A作交的延长线于点E，当时，可证出，在中可得出，进而可得出，据此即可得①错误，如图，设，交于点O，利用勾股定理可得，故②正确，即可得出正确选项，熟练掌握其性质，正确的作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过A作交的延长线于点E， ∵， ∴即， 当时， ∴， 则， 如图，过点B作交于点F， ∴四形为平行四边形， ∴， 如图，在中， ∵ ∴即， ∴， ∴， 故①错误； 如图，设，交于点O， ∵， ∴， ，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴ ， 故②正确， 故选：B． 二.填空题（共48分） 7. 2的平方根是_________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方根的定义求解即可（需注意一个正数有两个平方根）． 【详解】解：2的平方根是故答案为． 【点睛】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 8. _____ （选填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了互余两角的余弦与正弦的关系．熟练掌握互余两角的余弦与正弦的关系是解题的关键． 由，可知． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9. 方程的解为____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解无理方程，将方程两边同时平方，再解方程得出的值，检验即可得出答案． 【详解】解：两边平方得：， 移项得：， 解得：，， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 10. 在实数范围内因式分解： ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了在实数范围内因式分解．熟练掌握在实数范围内因式分解是解题的关键． 利用公式法进行因式分解即可． 【详解】解：由题意知， ， 故答案为：． 11. 函数的定义域为________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义域，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件等知识．熟练掌握函数的定义域，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，且， 故答案为：且． 12. 若正比例函数过第二象限，则反比例函数的图象在每个象限，随x的增大而_________（选填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质，由题意得出，从而推出，最后由反比例函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数过第二象限， ∴， ∴， ∴则反比例函数的图象在每个象限，随x的增大而减小， 故答案为：减小． 13. 如图，、分别是的两条中线，设，那么向量用向量，表示为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据、分别是的两条中线得出，，再根据平面向量的减法运算法则即可求解． 【详解】解：如图，连接 ∵、分别是的两条中线， ∴，是的中位线 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平面向量的的减法运算法则，熟练掌握三角形重心的性质，平面向量的的减法运算法则是解题的关键． 14. 数轴上A、B两点所表示的数是和，点C是线段的中点，则点C所表示的数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用数轴上两点间距离计算即可． 【详解】解：设点C所表示的数是x， 由题意得：， 解得：， 所以：点C所表示的数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数与数轴以及二次根式的运算，熟练掌握数轴上两点间距离是解题的关键． 15. 正十边形的中心角的余弦值为____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的中心角、余弦的定义，根据正多边形的中心角的定义即可得出中心角的度数，再根据余弦的定义即可得出答案． 【详解】解：正十边形的中心角度数为：， ∴正十边形的中心角的余弦值为， 故答案为：． 16. 已知矩形纸片的边，（如图），将它折叠后，点落在边的中点处，那么折痕的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过作出折叠后的图形，作， 先证，得到 ，再求出，，，代入求解即可． 【详解】解：作出折叠后的图形，作，垂足为点M，连接PD． ∵矩形纸片，将它折叠后，点落在边的中点处，与点P重合 ∴, ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是矩形，，，点落在边的中点P处， ∴，，， 在中，， ∴则． 故答案：． 【点睛】本题考查了勾股定理、矩形性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质，能找到相似三角形得到边与边的关系是解答此题的关键． 17. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D的对应点分别为A′、D′，如果直线A′D′与⊙O相切，那么的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作图，翻折找出AD＝BC＝A′D′，AB＝CD＝CD′＝A′B，过O作OH⊥CD，连接OC，OG交BC于E，根据已知条件设出AB＝CD＝CD′＝A′B＝x，则OC＝OG＝x，再由勾股定理求出CE，即可求出BC，代入求比值即可． 【详解】设直线A′D′与⊙O相切于G，连接OC，OG交BC于E， ∵将矩形ABCD沿着直线BC翻折， ∴AD＝BC＝A′D′，AB＝CD＝CD′＝A′B， 过O作OH⊥CD， ∴CH＝CD， ∵直线A′D′与⊙O相切， ∴OG⊥A′D′， ∵BC∥A′D′， ∴OG⊥BC， ∴则四边形OECH是矩形，CE＝BE＝BC， ∴CH＝OE， 设AB＝CD＝CD′＝A′B＝x， ∴OE＝x， ∴OC＝OG＝x， ∴CE＝＝， ∴BC＝2CE＝， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查圆的切线的判定和性质，及矩形的性质，需要用到勾股定理求相关量． 18. 在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB＝4cm，AD＝8cm．Q为直线BC上一动点，如果以5cm为半径的⊙Q与矩形ABCD的各边有4个公共点，那么线段OQ长的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，画出对应的图形，当Q在Q1Q2上移动时⊙Q与AB有一个交点，与AD有2个交点，与CD有1个交点，根据勾股定理得到AQ1的长，当OQ⊥BC时，OQ取最小值，当Q在Q1或Q2时，OQ取最大值，由此可得答案． 【详解】解：临界情况，如图所示，⊙Q1与CD切于点C，⊙Q2与AB切于点B， 当Q在Q1Q2上移动时⊙Q与AB有一个交点，与AD有2个交点，与CD有1个交点， ∴CQ1＝5，BQ1＝BC﹣CQ1＝3，AB＝4， ∴AQ1＝＝5，即A⊙Q1上， 同理，D在Q2上， 临界条件下，圆与矩形存在三个交点， 当OQ⊥BC时，OQ取最小值，OQ＝2， 当Q在Q1或Q2时，OQ取最大值， OQ1＝OQ2＝， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，线段的最值，熟练掌握最值的临界情形是解题的关键． 三.解答题（共78分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先计算负整数指数幂、立方根、绝对值、零指数幂，再进行加减计算即可． 【详解】解： 20. 解不等式组：并把它的解集表示在数轴上 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，再表示在数轴上即可，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 将解集表示在数轴上如图所示： ， ∴原不等式组的解集为 21. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿着方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点从点方向出发，沿着方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为秒，以为圆心，长为半径的与、的另一个交点分别为、，连接、． （1）若是等腰三角形，求的值； （2）若与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）2或或 （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，则，，由是等腰三角形，可知分当，，三种情况求解即可； （2）当与相切时，，即，则，即，可求，即当时，与线段只有一个公共点； 当时，此时重合，则，即，可求，由题意知，，即，可求，即当时，与线段只有一个公共点． 【小问1详解】 解：由题意知，，， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴分当，，三种情况求解； 当时， 依题意得，， 解得，； 当时， ∵为直径， ∴，即， ∴， 由勾股定理得，， ∴，即， 解得，， ∴， 解得，； 当时，如图1，连接，则， ∴，即， 解得，， 经检验是原分式方程的解； 综上所述，当是等腰三角形时，的值为2或或； 小问2详解】 解：当与相切时，，即， ∴，即， 解得，， ∴当时，与线段只有一个公共点； 当时，此时重合， ∴，即， 解得，， 由题意知，，即， 解得， ∴当时，与线段只有一个公共点； 综上所述，当或时，与线段只有一个公共点． 【点睛】本题考查了勾股定理，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，余弦，切线的性质等知识．熟练掌握勾股定理，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，余弦，切线的性质是解题的关键． 22. 小张同学在探究作角问题 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用如图1的方法： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到了线段． 【证明】请根据上述过程完成下列问题： （1）连接，如图2.请直接写出：______； （2）请判断和的数量关系，并说明理由； （3）小张在探究活动的第（2）步基础上再次动手操作（如图3），将延长交于点．将沿折叠，点刚好落在边上点处，连接，把纸片再次展平，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质可得：垂直平分、垂直平分，得出，推出为等边三角形，由等边三角形的性质即可得出答案； （2）结合矩形的性质求出，即可得解； （3）证明是等边三角形，，得出，，由折叠性质得出，推出，即可得证． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得：垂直平分、垂直平分， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （3）证明：由（1）可得， ∴，， 由折叠的性质得出， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，， 由折叠的性质得出， ∴， ∴四边形平行四边形． 23. 如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，对角线BD平分∠ABC，点G在底边BC上，连接DG交对角线AC于F，∠DGB＝∠DAB． （1）求证：四边形ABGD是菱形； （2）连接EG，求证：BG•EG＝BC•EF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）先证四边形ABGD是平行四边形，再由菱形的判定可得结论； （2）由“SAS”可证△ABE≌△GBE，可得EG=AE，由相似三角形的性质可得，即可得结论． 【详解】证明：（1）∵AD//BC， ∴∠DAB+∠ABG＝180°，∠DGB+∠ADG＝180°， ∵∠DGB＝∠DAB， ∴∠ABG＝∠ADG， ∴四边形ABGD是平行四边形， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠GBD， ∵AD//BG， ∴∠ADB＝∠ABD＝∠GBD， ∴AB＝AD， ∴四边形ABGD是菱形； （2）如图，连接EG， ∵四边形ABGD是菱形， ∴AB＝BG＝AD，∠ABE＝∠GBE， 在△ABE和△GBE中， ， ∴△ABE≌△GBE（SAS）， ∴EG＝AE， ∵AD//BC， ∴△ADE∽△CBE， ∴， ∵DF//AB， ∴， ∴， ∵AD＝BG，AE＝EG， ∴， ∴BG•EG＝BC•EF． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 24. 在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线上的动点A为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为，且与y轴交于点C．设点A的横坐标为m（m＞0），过点A作y轴的垂线交y轴于点B． （1）当m=1时，求这条“子抛物线”的解析式； （2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值； （3）如果∠OAC=135°，求m的值． 【答案】（1）；（2）；（3）m的值为2 【解析】 【分析】（1）先求出m=1时点A的坐标，进而可得到这条“子抛物线”的解析式； （2）先根据A点坐标求出“子抛物线”的解析式和AB,OB的长度，然后令x = 0求出y值即可得到C点坐标，进而可求出BC的长度，最后利用即可求解； （3）过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F, 首先证明△AED≌△DFO，则有AE=DF，DE=OF，设AE=n，那么DF=n，BE= m + n=OF=ED，通过OB=EF得到，然后再通过得到，将两个关于m,n的方程联立即可求出m的值． 【详解】解：（1）∵点A在上，点A的横坐标为m， ∴A（m，m2）， 当m =1时， ， ∴A（1，1）， ∴这条“子抛物线”的解析式为． （2）由A（m，m2），且AB⊥y轴，可得AB=m，OB= m2． ∴“子抛物线”的解析式为． 令x = 0，， ∴点C的坐标（0，），， ∴． 在Rt△ABC中， ． （3）如图，过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F． ∵∠OAC=135°， ∴∠OAD=45°． 又∵OD⊥CA， ∴∠AOD=∠OAD=45°， ∴AD=OD， ， ． ， ∴△AED≌△DFO， ∴AE=DF，DE=OF． 设AE=n，那么DF=n，BE= m + n=OF=ED． 又∵OB=EF， ∴． 又， ∴∠BCA=∠ADE， ∴． 解方程组，得，（舍去） ∴ m的值为2． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，锐角三角函数的应用，子抛物线的定义，掌握全等三角形的判定及性质，锐角三角函数的定义是解题的关键． 25. 已知：在半径为2的扇形中，，点C是上的一个动点，直线与直线相交于点D． （1）如图1，当是等腰三角形时，求的大小（用含m的代数式表示）； （2）如图2，当，点C是的中点时，连接，求的值； （3）将沿所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与所在的直线相切于点，且时，求线段AD的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）C在弧线上，所以为锐角，为钝角，则是等腰三角形，仅有这一种情况，扇形中，，由边相等得对应角相等，三角形内角和为，可得； （2）过D作的延长线于M，连接，C为中点，可知边相等得对应角相等，即可求得，为的外角，可得由角相等可推出，在中，由勾股定理知在等腰直角中，根据等高三角形的面积比等于底的比可得结果； （3）E为弧与切点，知A、E、C在半径为2的另一个圆上，在中，由勾股定理知，得四边形是菱形，由菱形对角线性质，可以推出，得，在中，由勾股定理得，即可求出的长． 【详解】解：（1）C在弧线上， ∴为锐角， ∴为钝角， 则是等腰三角形时，仅有这一种情况， ∴， 连接则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ 在中，， ∴， ∴； （2）过D作延长线于M，连接， ∵C为 中点， ∴， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴B（勾股定理）， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）图2如下： ∵E为弧线与切点， ∴A、E、C在半径为2的另一个圆上， ∵， ∴（勾股定理）， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴且互相平分， 且共角， ∴， ∴且， ∴， ∴（的勾股定理） ∴． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、菱形的判定和性质、勾股定理等是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年上海市彭浦三中中考考前信心卷 一.选择题（共24分） 1. 下列是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列可以更好体现一组数据波动情况的统计图是（ ） A. 柱状图 B. 条形图 C. 饼图 D. 折线图 3. 如右图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，如果AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF：EH=2：3，那么EH的长为（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知四边形中，对角线与相交于点O，，下列判断错误是（ ） A. 如果，，那么四边形是矩形 B. 如果，，那么四边形是矩形 C. 如果，，那么四边形是菱形 D. 如果，，那么四边形是菱形 5. 在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（　　） A. （6，0） B. （4，0） C. （4．﹣2） D. （4，﹣3） 6. 某同学对“对角线垂直四边形”进行了探究：如图，在四边形中，，，，，由上述条件，得到了两个结论：①，②．对于结论①、②下列说法正确的是（ ） A. ①正确、②错误 B. ①错误、②正确 C. ①、②正确 D. ①、②都错误 二.填空题（共48分） 7. 2的平方根是_________. 8. _____ （选填“”或“”或“”）． 9. 方程解为____________ 10. 在实数范围内因式分解： ___________． 11. 函数的定义域为________． 12. 若正比例函数过第二象限，则反比例函数的图象在每个象限，随x的增大而_________（选填“增大”或“减小”） 13. 如图，、分别是两条中线，设，那么向量用向量，表示为________． 14. 数轴上A、B两点所表示的数是和，点C是线段的中点，则点C所表示的数是_________． 15. 正十边形的中心角的余弦值为____________ 16. 已知矩形纸片边，（如图），将它折叠后，点落在边的中点处，那么折痕的长为________． 17. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D的对应点分别为A′、D′，如果直线A′D′与⊙O相切，那么的值为_____． 18. 在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB＝4cm，AD＝8cm．Q为直线BC上一动点，如果以5cm为半径的⊙Q与矩形ABCD的各边有4个公共点，那么线段OQ长的取值范围是________． 三.解答题（共78分） 19. 计算： 20. 解不等式组：并把它的解集表示在数轴上 21. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿着方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点从点方向出发，沿着方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为秒，以为圆心，长为半径的与、的另一个交点分别为、，连接、． （1）若是等腰三角形，求的值； （2）若与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 22. 小张同学在探究作角问题 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用如图1的方法： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到了线段． 【证明】请根据上述过程完成下列问题： （1）连接，如图2.请直接写出：______； （2）请判断和的数量关系，并说明理由； （3）小张在探究活动的第（2）步基础上再次动手操作（如图3），将延长交于点．将沿折叠，点刚好落在边上点处，连接，把纸片再次展平，求证：四边形是平行四边形． 23. 如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，对角线BD平分∠ABC，点G在底边BC上，连接DG交对角线AC于F，∠DGB＝∠DAB． （1）求证：四边形ABGD是菱形； （2）连接EG，求证：BG•EG＝BC•EF． 24. 在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线上的动点A为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为，且与y轴交于点C．设点A的横坐标为m（m＞0），过点A作y轴的垂线交y轴于点B． （1）当m=1时，求这条“子抛物线”的解析式； （2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值； （3）如果∠OAC=135°，求m的值． 25. 已知：在半径为2的扇形中，，点C是上的一个动点，直线与直线相交于点D． （1）如图1，当是等腰三角形时，求的大小（用含m的代数式表示）； （2）如图2，当，点C是的中点时，连接，求的值； （3）将沿所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与所在的直线相切于点，且时，求线段AD的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$