第十八章 平行四边形证明思路与解题技巧 课件-2023-2024学年人教版数学八年级下册

人教八年级数学 第十八章 平行四边形 有两组对边分别平行的四边形叫平行四边形 A B C D 四边形ABCD 如果 AB∥CD AD∥BC B D ABCD A C B D A C O 平行四边形的定义 知识回顾 边 平行四边形的对边平行 平行四边形的对边相等 角 平行四边形的对角相等 平行四边形的邻角互补 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD AD=BC ∴AB∥CD AD∥BC 平行四边形的性质 知识回顾 从边来判定 1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 从角来判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 从对角线来判定 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行四边形的判定方法 知识回顾 4 4 1. 如图，在平行四边形ABCD中，已知点E在AD上，点F在CB上，且AE=CF.求证：（1）四边形DEBF是平行四边形. 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC AD = BC BF∥ED 又∵AE=CF，∴AD-AE=BC-CF 即 BF=ED ∴四边形DEBF是平行四边形 学以致用 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 基 础 讲 解 A B D C E F 1. 如图，在平行四边形ABCD中，已知点E在AD上，点F在CB上，且AE=CF.求证：（1）四边形DEBF是平行四边形. （2）连接AF，CE，AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N 点．求证：四边形FMEN为平行四边形 （2）证明：由（1）可得四边形DEBF为平行四边形． ∴BE∥DF. 同理可证，AF∥CE.∴四边形FMEN为平行四边形． 学以致用 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 基 础 讲 解 B A D C E F 如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF，请你猜想： BE与DF有怎样的关系？ 并对你的猜想加以证明 猜想：BE∥DF,BE=DF 大显身手 D A B C E F 小 试 牛 刀 D A B C E F 1 2 3 4 证法1：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴BC=AD，∠1=∠2 在△BCE与△DAF中 BC=AD，∠1=∠2， CE=AF ∴ △BCE≌△DAF ∴BE=DF， ∠3=∠4 ∴BE∥DF 大显身手 小 试 牛 刀 A B C D E F o 大显身手 小 试 牛 刀 证法2： 连接BD，交AC于点O，连接DE,BF ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴BO=DO, AO=CO 又∵AF=CE ∴AF-AO=CE-CO 即EO=FO ∴四边形BEDF是平行四边形 ∴ BE=DF， BE∥DF 2、已知 ABCD中，直线MN // AC，分别交DA延长线于M，DC延长线于N，AB于P，BC于Q。求证：PM=QN。 能力提升题 2、已知 ABCD中，直线MN // AC，分别交DA延长线于M，DC延长线于N，AB于P，BC于Q。求证：PM=QN。 能力提升题 证明：由 ABCD可得MD//BC ∴∠PQB=∠M, ∵∠PQB=∠CQN,∠M=∠CQN 同理可证∠N=∠APM 又∵MN // AC， ∴四边形APNC是平行四边形 ∴ PA=NC △APM≌△CNQ ∴PM=NQ 2、已知 ABCD中，直线MN // AC，分别交DA延长线于M，DC延长线于N，AB于P，BC于Q。求证：PM=QN。 能力提升题 证明：由 ABCD可得MD//BC 又∵MN // AC ∴四边形ACQM是平行四边形 ∴ MQ=AC 同理可证，四边形APNC是平行四边形 ∴ PN=AC ∴ MQ=PN ∴ PM=QN 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s)． （1）用含t的代数式表示： AP=_____； DP=________； CQ=_____； BQ=________ tcm (12-t)cm (15-2t)cm 2tcm 拓广探索题 （2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？ 解：根据题意有AP=tcm，CQ=2tcm， PD=(12-t)cm，BQ=(15-2t)cm． ∵AD∥BC， ∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形． ∴t=15-2t， 解得t=5． ∴t=5时四边形APQB是平行四边形. 能力提升题 解：由PD=(12-t)cm，CQ=2tcm， ∵AD∥BC， ∴当PD=QC时，四边形PDCQ是平行四边形． 即12-t=2t，解得t=4s， ∴当t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形． （3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？ 能力提升题 如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．求证：四边形BCED′是平行四边形. 由折叠可得 ∠D=∠AD′E， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠CBD′ ∴∠CBD′=∠AD′E. ∴CB∥ED′ 又∵CE∥BD′（四边形DAD′E是平行四边形) ∴四边形BCED′是平行四边形. 能力提升题 证明： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．求证：四边形BCED′是平行四边形. 由题意，得∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA， ∠D=∠AD′E， ∵DE∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′. ∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA. ∴∠DAD′=∠DED′. ∴四边形DAD′E是平行四边形. ∴DE=AD′. 能力提升题 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB=DC.∴CE∥D′B，CE=D′B. ∴四边形BCED′是平行四边形. 如图，在△ABC中，分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形． 证明：∵△ABD和△BCF都是等边三角形， ∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°. ∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC， ∴△DBF≌△ABC(SAS).∴AC＝DF. 又∵△ACE是等边三角形，∴AC＝DF＝AE. 同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD. ∴四边形DAEF是平行四边形． 拓广探索题 课堂小结 1.请理解并熟记平行四边形的性质与判定. 2.解题时要有信心，要学会观察图形中的位置关系， 寻找已知条件中的数量关系. 3.注意每一个判断都要有充分的理由和依据. 最后送同学们一句话：相信自己，你也可以学好数学！ 谢谢聆听 2023.04 平行四边形的解题思路与技巧 $$