专题14 函数的应用（一）-2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一）

2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一） 专题14 函数的应用（一） 考点一 二次函数型函数模型的应用 考点二 分式型型函数模型的应用 考点三 ★分段函数型函数模型的应用 考点四 幂函数模型的应用 一、用函数模型解决实际问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得到数学结论． (4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． 可将这些步骤用框图表示如下： 二、常见的函数模型 (1)一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小．现实生活中很多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等． (2)二次函数模型：二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等问题常常是二次函数的模型． (3)分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用． 【题型一 二次函数型函数模型的应用】 策略方法 (1)二次函数与二次方程之间有密切的关系,解题时要注意题目中的约束条件. (2)求解二次函数问题应注意二次函数图象的对称性与单调性. (3)解决实际生活中用料最省、利润最大等问题时,一般建立二次函数模型,还需掌握一些常见的关系式,如利润=(商品销售单价-商品成本单价)×销售量等. 一、单选题 1．（23-24高一上·辽宁大连·期末）从甲地到乙地的距离为，经过多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）的关系式为，从甲地到乙地这辆车的总耗油最少时，其速度为（    ） A．60 B．80 C．100 D．110 2．（23-24高一上·北京东城·期末）把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高一下·云南·阶段练习）某商店销售两款商品，利润（单位：元）分别为和，其中为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为 . 三、解答题 4．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）某商场销售型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示： 销售单价（元） 4 5 6 7 8 9 10 日均销售量（件） 400 360 320 280 240 200 160 请根据以上数据分析，此商品如何定价（单位：元/件），该商品的日均销售利润最大？并求日均销售利润的最大值. 5．（23-24高一上·浙江湖州·期末）随着电动汽车研发技术的日益成熟，电动汽车的普及率越来越高．某型号电动汽车在封闭路段进行测试，限速（不含）．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示． 0 10 30 70 0 1325 3375 9275 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，，． (1)当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)在本次测试报告中，该电动汽车的最长续航里程为．若测试过程为匀速运动，请计算本次测试时的车速为何值时，该电动汽车电池所需的容量（单位：）最小？并计算出该最小值． 【题型二 分式型型函数模型的应用】 策略方法 形如y=ax+(a>0,b>0)型函数的最值,首先考虑基本不等式,其前提是取等号的条件x=(或x=-)在函数定义域内,若取等号的条件不在函数定义域内,则考虑函数单调性,即x∈(0,)时,函数单调递减,当x∈(,+∞)时,函数单调递增.(同理,x∈(-∞,-)时,函数单调递增,x∈(-,0)时,函数单调递减) 一、单选题 1．（23-24高一上·四川绵阳·开学考试）广汽新能源汽车公司已经在长沙建成投产，随着市场对新能源汽车的需求越来越大，为了满足市场需求，该厂更新了生产线，加快了生产速度，现在平均每月比更新技术前多生产300台新能源汽车，现在生产5000台新能源汽车所需时间与更新生产线前生产4000台新能源汽车所需时间相同.设更新技术前每月生产台新能源汽车，依题意得（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一·全国·期中）某企业用1960万元购得一块空地，计划在该空地建造一栋（，）层，每层2800平方米的楼房．经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为（单位：元）．若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2000元，（注：综合费用＝建筑费用＋购地费用），则该楼房最多建的层数为（     ） A．11 B．8 C．12 D．10 3．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（    ）万元. A．45.5 B．37.5 C．36 D．35 二、解答题 4．（23-24高一上·青海西宁·期末）某工厂分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为1800元．若每批生产件产品，每件产品每天的仓储费用为2元，且每件产品平均仓储时间为天，设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为元． (1)写出关于的函数解析式； (2)当为何值时，有最小值？最小值是多少？ 5．（23-24高二下·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位；）满足关系：，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和． (1)求的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 6．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（其中为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． (1)求常数的值，并将2023年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (2)该厂家的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少万元？ 【题型三 分段函数型函数模型的应用】 策略方法 应用分段函数时的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏. (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. (3)分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围,最后取并集. 一、单选题 1．（23-24高一下·江西赣州·期中）春天，时令水果草莓上市了，某水果店统计了草莓上市以来前两周的销售价格（元/盒）与时间t（天）的关系：一位顾客在这两周里在该水果店购买了若干盒草莓，总共消费212元，其中在后6天买了4盒，则前8天一共买了（   ） A．7盒 B．6盒 C．5盒 D．4盒 2．（23-24高一上·山东烟台·期中）某地民用燃气执行“阶梯气价”，按照用气量收费，具体计费方法如下表所示．若某户居民去年缴纳的燃气费为868元，则该户居民去年的用气量为（    ） 每户每年用气量 单价 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 A． B． C． D． 3．（23-24高一上·全国·课后作业）小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看20分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间x与距离y之间的关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   二、解答题 4．（23-24高一下·浙江·阶段练习）空调是人们生活水平提高的一个标志，炎热夏天，空调使温度调节到适合人们工作、学习、生活的舒适环境内，心情好，休息好，工作效率也高，这是社会进步的一个里程碑．为适应市场需求，2024年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x千台空调，需另投入成本万元，当年产量不足30千台时，，当年产量不小于30千台时，．已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量x（千台）的函数解析式． (2)年产量为多少千台时，该厂该型号的变频空调所获利润最大？并求出最大利润． 5．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）某乡镇为了打造“网红”城镇发展经济，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元） (1)写单株利润（元）关于施用肥料x（千克）的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 6．（23-24高一上·安徽合肥·期末）近年来，合肥市地铁轨道交通高质量发展，成为中国内地轨道交通新星，便捷的交通为市民出行带来极大便利，刷新了市民幸福指数.春节将至，为了提升人们的乘车体验感，合肥某地铁线路准备通过调整发车时间间隔优化交通出行，已知地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足，通过调研，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1250人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时载客量为610人，记地铁载客量为. (1)求的解析式； (2)经过对该线路的数据分析，得出市民乘车体验感指数与发车时间间隔之间的函数关系，体验感指数越高，乘车体验感就越好，问当发车时间间隔为多少时，市民乘车体验感最好？ 【题型四 幂函数模型的应用】 一、单选题 1．2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 2．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 二、解答题 3．（22-23高一上·全国·课后作业）“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍． (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？ (2)若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？ 4．（23-24高一上·重庆·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 5．（22-23高一上·福建厦门·期末）北京冬奥会已于月日开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温，与冬奥会相关的周边产品也销量上涨.因可爱而闻名的冰墩墩更是成为世界顶流，在国内外深受大家追捧.对某商户所售的冰墩墩在过去的一个月内（以天计）的销售情况进行调查发现：冰墩墩的日销售单价（元/套）与时间（被调查的一个月内的第天）的函数关系近似满足（常数），冰墩墩的日销量（套）与时间的部分数据如表所示： （套） 已知第天该商品日销售收入为元，现有以下三种函数模型供选择： ①，②，③ (1)选出你认为最合适的一种函数模型，来描述销售量与时间的关系，并说明理由； (2)根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（，）在哪天达到最低． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一） 专题14 函数的应用（一） 考点一 二次函数型函数模型的应用 考点二 分式型型函数模型的应用 考点三 ★分段函数型函数模型的应用 考点四 幂函数模型的应用 一、用函数模型解决实际问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得到数学结论． (4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． 可将这些步骤用框图表示如下： 二、常见的函数模型 (1)一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小．现实生活中很多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等． (2)二次函数模型：二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等问题常常是二次函数的模型． (3)分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用． 【题型一 二次函数型函数模型的应用】 策略方法 (1)二次函数与二次方程之间有密切的关系,解题时要注意题目中的约束条件. (2)求解二次函数问题应注意二次函数图象的对称性与单调性. (3)解决实际生活中用料最省、利润最大等问题时,一般建立二次函数模型,还需掌握一些常见的关系式,如利润=(商品销售单价-商品成本单价)×销售量等. 一、单选题 1．（23-24高一上·辽宁大连·期末）从甲地到乙地的距离为，经过多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）的关系式为，从甲地到乙地这辆车的总耗油最少时，其速度为（    ） A．60 B．80 C．100 D．110 【答案】B 【分析】根据题意列出函数关系，即可利用二次函数的性质求解. 【详解】由题意可得总耗油量为, 由于为开口向上的二次函数，对称轴为 故速度为80时，总耗油量最小， 故选：B 2．（23-24高一上·北京东城·期末）把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设铁丝的一段长度为，则另一段铁丝长为，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设铁丝的一段长度为，（其中），则另一段铁丝长为， 两个正方形的面积之和为， 根据题意，可得， 当且仅当时，取得最小值，最小值为. 故选：D. 二、填空题 3．（23-24高一下·云南·阶段练习）某商店销售两款商品，利润（单位：元）分别为和，其中为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为 . 【答案】170 【分析】设该商店销售商品袋，则商品袋，根据题意求得利润的函数解析式，结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】设该商店销售商品袋，则商品袋， 所以可获得的利润， ，当或10时，利润最大，最大利润为170元. 故答案为：170. 三、解答题 4．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）某商场销售型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示： 销售单价（元） 4 5 6 7 8 9 10 日均销售量（件） 400 360 320 280 240 200 160 请根据以上数据分析，此商品如何定价（单位：元/件），该商品的日均销售利润最大？并求日均销售利润的最大值. 【答案】当定价为8.5元时，该商品的日均销售利润最大，且最大值为1210元. 【分析】设定价为元，日均销售利润为元，则，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意表格中的数据可知，当售价为4元时，日销售量为400件， 售价每增加1元，日销售量就减少40件. 设定价为元，日均销售利润为元， 则， 故当时，有最大值. 所以定价为8.5元时，日均销售利润最大，且最大值为1210元. 5．（23-24高一上·浙江湖州·期末）随着电动汽车研发技术的日益成熟，电动汽车的普及率越来越高．某型号电动汽车在封闭路段进行测试，限速（不含）．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示． 0 10 30 70 0 1325 3375 9275 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，，． (1)当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)在本次测试报告中，该电动汽车的最长续航里程为．若测试过程为匀速运动，请计算本次测试时的车速为何值时，该电动汽车电池所需的容量（单位：）最小？并计算出该最小值． 【答案】(1)选， (2)车速为，该电动汽车的电池所需的最小容量为 【分析】（1）根据题意，得到，结合提供的数据，列出方程组，取得，即可求解； （2）设车速为，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：对于，当时，它无意义，所以不符合题意； 对于，它显然是个减函数，所以不符合题意， 故选． 根据提供的数据，则有，解得， 当时，． （2）解：设车速为，所用时间为， 所耗电量， 要使得续航里程最长，则耗电量达到最小，即． 所以当测试员控制的车速为， 该电动汽车的电池所需的最小容量为． 【题型二 分式型型函数模型的应用】 策略方法 形如y=ax+(a>0,b>0)型函数的最值,首先考虑基本不等式,其前提是取等号的条件x=(或x=-)在函数定义域内,若取等号的条件不在函数定义域内,则考虑函数单调性,即x∈(0,)时,函数单调递减,当x∈(,+∞)时,函数单调递增.(同理,x∈(-∞,-)时,函数单调递增,x∈(-,0)时,函数单调递减) 一、单选题 1．（23-24高一上·四川绵阳·开学考试）广汽新能源汽车公司已经在长沙建成投产，随着市场对新能源汽车的需求越来越大，为了满足市场需求，该厂更新了生产线，加快了生产速度，现在平均每月比更新技术前多生产300台新能源汽车，现在生产5000台新能源汽车所需时间与更新生产线前生产4000台新能源汽车所需时间相同.设更新技术前每月生产台新能源汽车，依题意得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“工作时间=工作总量÷工作效率”列式即可. 【详解】设更新技术前每月生产x台新能源汽车，则更新技术后每天生产台新能源汽车， 依题意得. 故选：A. 2．（22-23高一·全国·期中）某企业用1960万元购得一块空地，计划在该空地建造一栋（，）层，每层2800平方米的楼房．经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为（单位：元）．若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2000元，（注：综合费用＝建筑费用＋购地费用），则该楼房最多建的层数为（     ） A．11 B．8 C．12 D．10 【答案】C 【分析】根据实际问题建立函数关系式，再利用一元二次不等式解出范围，根据变量的取值范围即可得答案. 【详解】设该楼房每平方米的平均综合费用为元， 则，即， 则，解得． 因为，所以该楼房最多建12层． 故选：C. 3．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（    ）万元. A．45.5 B．37.5 C．36 D．35 【答案】B 【分析】根据题意，得到，进而得到月利润的表示式，结合基本不等式即可求解. 【详解】依题意，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足， 即有，由，得， 因此月利润 ，当且仅当时，即时取等号， 所以当万件时，该公司最大月利润为万元. 故选：B 二、解答题 4．（23-24高一上·青海西宁·期末）某工厂分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为1800元．若每批生产件产品，每件产品每天的仓储费用为2元，且每件产品平均仓储时间为天，设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为元． (1)写出关于的函数解析式； (2)当为何值时，有最小值？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)时，有最小值，最小值为60 【分析】（1）由题意结合的定义以及的含义即可列出表达式； （2）结合基本不等式求和的最小值，并注意取等条件即可. 【详解】（1）根据题意可得 . （2）， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，有最小值，最小值为60． 5．（23-24高二下·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位；）满足关系：，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和． (1)求的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 【答案】(1) (2)当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为万元 【分析】（1）由建造费与能源消耗费求和可得； （2）利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为， ∴. （2）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值， ∴当隔热层修建6cm厚时，总费用最小，最小值为112万元. 6．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（其中为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． (1)求常数的值，并将2023年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (2)该厂家的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少万元？ 【答案】(1)，； (2)投入3万元，最大利润为21万元. 【分析】（1）当时，求得，由题意中变量之间的关系列出函数即可. （2）由（1）可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）依题意，当时，，则，解得，即， 又每件产品的销售价格为元， 因此， 所以，. （2）由（1）知，， 由，得，当且仅当，即时取等号， 因此当时，， 所以该厂家2023年的促销费用投入为3万元时获得利润最大，且最大值为21万元. 【题型三 分段函数型函数模型的应用】 策略方法 应用分段函数时的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏. (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. (3)分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围,最后取并集. 一、单选题 1．（23-24高一下·江西赣州·期中）春天，时令水果草莓上市了，某水果店统计了草莓上市以来前两周的销售价格（元/盒）与时间t（天）的关系：一位顾客在这两周里在该水果店购买了若干盒草莓，总共消费212元，其中在后6天买了4盒，则前8天一共买了（   ） A．7盒 B．6盒 C．5盒 D．4盒 【答案】B 【分析】设前3天共买了m盒，第4天到第8天共买了n盒，列式得，结合m，n均为非负整数，求得. 【详解】设前3天共买了m盒，第4天到第8天共买了n盒，则，整理得， 因为m，n均为非负整数，所以是11的整数倍，当时，，得． 故选：B． 2．（23-24高一上·山东烟台·期中）某地民用燃气执行“阶梯气价”，按照用气量收费，具体计费方法如下表所示．若某户居民去年缴纳的燃气费为868元，则该户居民去年的用气量为（    ） 每户每年用气量 单价 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分段讨论列方程求解. 【详解】该户居民去年的用气量为，缴纳的燃气费为元， 当时，，令，解得，不合题意； 当时，， 令，解得，符合题意； 当时，， 令，解得，不合题意， 综上，. 故选：C. 3．（23-24高一上·全国·课后作业）小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看20分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间x与距离y之间的关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据题目中描述的信息，按照分段函数图象分成三段画出即可得出答案. 【详解】小明父亲行走的前20分钟路程一直在增加，到900米之后停下看报纸，20分钟至40分钟路程不增加， 40分钟至60分钟回家过程中，路程减少至0，因此A中图象符合题意. 故选：A 二、解答题 4．（23-24高一下·浙江·阶段练习）空调是人们生活水平提高的一个标志，炎热夏天，空调使温度调节到适合人们工作、学习、生活的舒适环境内，心情好，休息好，工作效率也高，这是社会进步的一个里程碑．为适应市场需求，2024年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x千台空调，需另投入成本万元，当年产量不足30千台时，，当年产量不小于30千台时，．已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量x（千台）的函数解析式． (2)年产量为多少千台时，该厂该型号的变频空调所获利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当该企业该型号的变频空调总产量为25千台时，获利最大，最大利润为2925万元 【分析】（1）根据已知条件，结合利润销售额成本公式，分类讨论即可求解； （2）根据（1）的结论及分段函数分段处理，利用二次函数的性质及基本不等式即可求解． 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以 （2）当时，，当时， 取得最大值2925万元； 当时，． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以当时，取得最大值2830万元． 因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为25千台时，获利最大，最大利润为2925万元． 5．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）某乡镇为了打造“网红”城镇发展经济，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元） (1)写单株利润（元）关于施用肥料x（千克）的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1)； (2)当施用肥料为4千克时，单株利润最大，最大利润是480元. 【分析】（1）根据给定的函数关系，直接求出的解析式. （2）结合二次函数最值、基本不等式求最值，分段求出函数的最大值，再比较大小即可. 【详解】（1）依题意，，又， 所以. （2）当时，，其图象开口向上，对称轴为， 因此在上单调递减，在上单调递增，在上的最大值为； 当时， ， 当且仅当时，即时等号成立， 而，则当时，， 所以当施用肥料为4千克时，单株利润最大，最大利润是480元. 6．（23-24高一上·安徽合肥·期末）近年来，合肥市地铁轨道交通高质量发展，成为中国内地轨道交通新星，便捷的交通为市民出行带来极大便利，刷新了市民幸福指数.春节将至，为了提升人们的乘车体验感，合肥某地铁线路准备通过调整发车时间间隔优化交通出行，已知地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足，通过调研，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1250人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时载客量为610人，记地铁载客量为. (1)求的解析式； (2)经过对该线路的数据分析，得出市民乘车体验感指数与发车时间间隔之间的函数关系，体验感指数越高，乘车体验感就越好，问当发车时间间隔为多少时，市民乘车体验感最好？ 【答案】(1)； (2)分钟. 【分析】（1）根据题意建立函数模型并计算解析式即可； （2）由函数的单调性及基本不等式分类讨论计算即可. 【详解】（1）由题意可设（k为常数）， 因为，则， 所以； （2）由，结合（1）可知， 可得， 整理得， ①当时，， 当且仅当时等号成立； ②当时，在上单调递减， 即当时取最大值； 由①②可知，当发车时间间隔为分钟时，用户体验感指数最高，用户体验感最好. 【题型四 幂函数模型的应用】 一、单选题 1．2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 【答案】B 【分析】设年平均增长率为，依题意列方程求即可. 【详解】由题意，设年平均增长率为，则， 所以，故年平均增长率为20%. 故选：B 2．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据题意中给出的解密密钥为，利用其加密、解密原理， 求出的值，解方程即可求解. 【详解】由题可知加密密钥为， 由已知可得，当时，， 所以，解得， 故，显然令，即， 解得，即． 故选：A. 二、解答题 3．（22-23高一上·全国·课后作业）“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍． (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？ (2)若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？ 【答案】(1)A品牌垃圾桶100元，B品牌垃圾桶150元 (2)最多16个 【分析】（1）根据题意，列出方程，分别解出购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶的价格； （2）根据题意，设购买m个B品牌垃圾桶列出不等式，求得m的最值即可． 【详解】（1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需(x+50)元， 依题意，得：，解得：x＝100，经检验x＝100是原方程的解，且符合题意， ∴x+50＝150． 答：购买一个A品牌垃圾桶需100元，购买一个B品牌垃圾桶需150元． （2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买(50m)个A品牌垃圾桶， 依题意，得：100×0.9(50m)+150×(1+20%)m6000，解得：m． 因为m是正整数，所以m最大值是16． 答：该学校此次最多可购买16个B品牌垃圾桶． 4．（23-24高一上·重庆·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解； （2）列出企业利润的函数解析式，利用换元法求得函数最值得解. 【详解】（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以． 从而，． （2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元， 则， 令，则，所以， 当时，，此时. 故产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 5．（22-23高一上·福建厦门·期末）北京冬奥会已于月日开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温，与冬奥会相关的周边产品也销量上涨.因可爱而闻名的冰墩墩更是成为世界顶流，在国内外深受大家追捧.对某商户所售的冰墩墩在过去的一个月内（以天计）的销售情况进行调查发现：冰墩墩的日销售单价（元/套）与时间（被调查的一个月内的第天）的函数关系近似满足（常数），冰墩墩的日销量（套）与时间的部分数据如表所示： （套） 已知第天该商品日销售收入为元，现有以下三种函数模型供选择： ①，②，③ (1)选出你认为最合适的一种函数模型，来描述销售量与时间的关系，并说明理由； (2)根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（，）在哪天达到最低． 【答案】(1)模型③最合适，理由见解析； (2)第天达到最低. 【分析】（1）结合表中数据及其增速较慢的特点，分别对指数型、二次函数型、幂函数型三种函数模型进行分析，即可选出最合适的一种函数模型； （2）由表中数据和第天日销售收入，分别求出第（1）问中选择的模型和中的参数，代入，化简后使用基本不等式求解. 【详解】（1）模型③最合适，理由如下： 对于模型①，为指数型函数模型，表格中对应的数据递增的速度较慢，故模型①不合适； 对于模型②，为二次函数模型，其图象关于直线对称，有，与表中数据不符，故模型②不合适； 对于模型③，幂函数型增长模型满足表格中对应数据较慢的递增速度，将表中数据，代入模型③，有 ，解得， ∴， 经验证，均满足表中数据， 因此，使用模型③来描述销售量与时间的关系最合适. （2）∵第天冰墩墩的日销售单价（元/套）， ∴第天的日销售收入为（元）， ∴， ∴， 由（1）所选模型③，当且时， （元） 当且仅当，即时，等号成立， ∴在第天时，该商品的日销售收入达到最低元. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$