陕西省宝鸡南山高级中学2023=2024学年高一下学期期中考试数学试题

宝鸡南山中学2023级2023~2024学年高一第二学期期中考试 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答：字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册第六章~第八章8.4。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知集合A={x.x2-x-2>0},B={xly=l1og3x},则A∩B= A.(1,3) B.(0,3) C.(1,2) D.(2,十∞) 2.用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是 A.长方体 B.圆锥 C.棱锥 D.圆台 3.复平面内表示复数=的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知a,b为非零实数，则>≥1”是b≥a”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它 们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是 A.直线及直线外一点确定一个平面 B.两条平行直线确定一个平面 C.四点确定一个平面 D.两条相交直线确定一个平面 【高一数学第1页（共4页）】 24598A 6.函数f(x)= ”票的部分图象大致为 B. 63 7.若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图， 四边形OA'C'B'为等腰梯形，A'C'∥OB',A'C=4,OB'=8,则原四 边形AOBC的面积为 A.18V2 B.20√2 C.22√2 D.242 8.如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，某同学选 择地面CD作为水平基线，使得C,D,B在同一条直线上，在C,D两点用测 角仪器测得A点的仰角分别是45°和75°，CD=10,则建筑物AB的高度为 A.5√3+5 B.56+②) 2 C.5v3 D.5v8+5 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是 A.平行 B.相交 C.异面 D.以上皆不可能 10.已知指数函数f(x)=在[一1,1门上的最大值与最小值之差为2，则实数a的值为 A.3-2② B.√2-1 C.22+3 D.√2+1 2 2 1.已知a8满足0<a<受<g<,且sina=25 5,cos B=- 则 A.B十a<π BBa<受 C.B-2a=0 D.tan 2a+tan 280 【高一数学第2页（共4页）】 24598A 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知fx)=x-,则f(2)= 13.在平行四边形ABCD中，E是直线BD上的一点，且AE⊥BD,若AE·AC=18,则|AE= 14.一个钢筋混凝土预制件可看成一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何 体，其尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要 立方米混凝土（钢筋体 积略去不计). 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(本小题满分13分) 设a是实数，复数1=1十2i,≈2=(a+i)(1一2i)(i是虚数单位). (1)若2在复平面内对应的点在第二象限，求a的取值范围； (2)求1十22的最小值 16.(本小题满分15分) 某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农业，为提升特色农产品的知名度，让广告 公司设计一个长y米，宽x米，面积为(x一y十8)平方米的长方形广告牌，其中y>x. (1)求y关于x的函数f(x),并写出x的取值范围： (2)如何设计才能使广告牌的周长最小. 【高一数学第3页（共4页）】 24598A 17.(本小题满分15分) 如图，在正方体ABCD-A1BCD中，E,F分别是AB,AA上的点，且A1F=2FA,BE=2AE. (1)证明：E,C,D1,F四点共面： D (2)设D1F∩CE=O,证明：A,O,D三点共线. B 18.(本小题满分17分) 在平面四边形ABCD中(B,D在AC的两侧)，AD=CD=1,∠ADC=120°. a若∠DAB=90,BC=3.求∠ABC (2)若AB=2BC,求四边形ABCD的面积的最大值， 19.(本小题满分17分) 如图，在△ABC中，AB=1,BC=√7，AD是△ABC的角平分线，且A方=A店+AC,G 是AD上的一点，过G的直线分别交边AB,AC于点E,F,且△AEF的面积为3,3， (1)求线段AD的长： (2)若，成-铝求品的值。 【高一数学第4页（共4页）】 24598A宝鸡南山中学2023级20232024学年高-第二学期期中考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.D由x-x-2>0可得，x<-1或x>2,B={x|x>0},故A∩B=(2,十∞).故选D 2.D过长方体ABCD-A:B:C,D,三个顶点A、C、B,的截面为三角形：圆锥轴截面为三角形：过棱锥底面不 相邻两顶点和棱锥顶点的截面为三角形， 3.C=1一①二D-二=一1-i,故对应的点在第三象限。 2 -1 4.Aa6为非零实数，6≥a合>1=合≤-1或合> 所以“≥]”是“6≥a"的充分不必要条件，故选A. 5.D 6.C函数为奇函数，排除AB,当x在正方向趋向于0时，函数为正数，故排除D,故选C 7.D在直观图中，四边形A'CB'O为等腰梯形，∠A'OB'=45.而A'C=4,OB'=8,则OA' =2v2,由斜二测画法得原四边形AOBC是直角梯形，AC∥OB.∠AOB=90°，OA=42,OB 42 =2AC=8,如图.所以四边形AOBC的面积为ACOB×OA=4牛8×42=24反.故选D. 2 2 8,A在△ACD中，∠CAD=∠ADB-∠ACD=75=45=30,由正弦定理C30=A,得” AD=102,在△ABD中，AB=ADsin75=10v2×号×5+1=5V5+5,故选A. 2 9.ABC当两直线分别平行于交线时，这两条直线平行，A正确： 两条直线可以交于交线上一点，故可以相交，B正确： 一条直线和交线平行，另一条直线在另一个平面内过交线上一点和交线外一点时，两直线异面，C正确. 10.BD当a>1时，fx=f(1)=a,f(x)m=f代-1)=上，所以a-】=2,解得a=√反+1： a 当0<a<1时fx)n=f(-1D=。x)s=f1)=a,所以日-a=2.解得a=2-1 1.B0D由题意可知，oas。=号s如g-兰 因为n（叶a)=sino十0sAin=一25<0，且受<a十K号x,所以p叶。>，即A错误： 25 因为cos(ge)=os0sa十如Ana=号>0，且0<g<,所以月广a<受，即B正确： 因为cos2a=2cosa1=-号=cosB,所以B=2a,即C正确 【高一数学参考答案第1页（共4页）】 24598A 因为am广产忠号-合所以m9品-号又=2，所以un2a十m9m计mp>0,即 D正确.故选BCD, 12.由2)=2--号有2)=（）=号-号- 13.3记ACO BD=O,又AE⊥BD,所以AE.EO=0,所以AE.AC-AE·2A0=2AE,(AE+E0)= 2A它+2AE.Eò=2A产=18，解得1AE=3. 14.324将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体.所以S底=6×11 合×(6+3)×3=54（平方米）.所以该预制件的体积V=5=·A=54×6=324(立方米).故浇制一个这样 的预制件需要约324立方米的混凝土. 15.解：(1)2=(a十i)(1-2i)=a+2+(1-2a)i,… …3分 fa+2<0, 则 解得☑<一2；………6分 1-2a>0, (2)a1=1十2i,则81=1一2i,,81十82=a+3-(2a十1)i, 8分 .|1十2|=√(a+3)2+(2a+1)=√5a+10a+10=√5(a+1)2+5,…12分 当a=一1时，刘十22的最小值为5。…13分 16.解：（们）长为y米、宽为x米的长方形广告牌，面积为xy=x一y十8，…1分 因此(x+1)y=x+8,即y=+8 x+1” …2分 >0.∴>r<8. …4分 故0江<2W2,… …5分 即y=/)=1+名(0<<22)： …7分 （2r告牌的周长即2x+2y=2+2+片-2(x+1)+片>2V2(z+1D×开=47，…12分 当且仅当=7-1时等号成立，此时y=1十名厅+1，…14分 所以设计广告牌的长为√7十1和宽为v7一1，才能使广告牌的周长最小，最小值为4√7.…15分 17.(1)证明：如图，连接EF,A,B,DC D 在正方体ABCD-A,BC,D中，A1F=2FA,BE=2AE,所以EF∥AB,·3分 又BC∥AD1,且BC=AD1, 所以四边形BCD,A是平行四边形，所以AB∥DC,…6分 EF∥D1C,所以E,C,D,F四点共面：…8分 (2)证明：由DF∩CE=O,∴.O∈D1F,又D1FC平面ADD1A1,.O∈平面ADD1A,……10分 【高一数学参考答案第2页（共4页）】 24598A 同理O∈平面ABCD,又平面ADD,A1∩平面ABCD=AD,… 14分 O∈AD,即A,O,D三点共线.………………………… 15分 18.解：(1)在△DAC中，由余弦定理得AC=DA十DC-2DA·DCeos.∠ADC=3,即AC=√3. 因为AD=CD=1,∠ADC=120°，所以∠DAC=30°， 又∠DAB=90°，所以∠BAC=∠BAD-∠DAC=60°.………3分 在△ABC中，由正项定理得AC BC sin∠ABC sin∠BAC' 所以sim∠ABC-ACsin<BACV5×Y 2 BC ……………5分 32 2 又BC-3)2月=AC,所以∠ABC<60,所以∠ABC=45:…7分 (2)设BC=m(m>0),所以BA=2m. 在△ABC中，由余弦定理得cos∠ABC=BA土BC一AC-m+4m-3-5m2-3 2BA·BC Am 4n2 所以△ABC的面积S=号BA·BCsin∠ABC-m·2mV-()=√9(m-号)+15. 12分 所以S=1,此时m=5 14分 又△DAC的面积Sanc= DA·DCsin∠ADC-YE 所以四边形ABCD的面积的最大值为S十SAwc=1 4 17分 19.解：1)因为AD=A访+AC,所以AD+A市=Ai+AC, 即子A市-子A店=AC-A市.即DC=3B成， …2分 因为AD是△ABC的角平分线，所以把-肥-合，所以AC-3AB-3.…3分 由余弦定理得O∠BAC=A去ACAC=三，又∠BAC∈（O,.所以∠BAC- 2AB·AC 3 …4分 因为Sam=Sm+5am…所以号X1X3sn吾=壹×1·ADsin吾+之×3·ADin吾…6分 解得AD-33 …7分 (2)设A正=λAB,AF=uAC,AG=kAD(0≤≤1,0≤≤1,0≤k≤1)， 5a=·3sin吾=8w=3解得= ………………………9分 【高一数学参考答案第3页（共4页）】 24598A 因为Ai=子A店+AC,所以AG是A+A市， 因为E,F,G三点共线，所以=十，即大写3十山分 2 所以AG=kA市=kA店+kAC,又E=A亦-A正-HAC-AA店， 所以AG.E萨=(kA店+kAC)(gAC-AA)=是A成，A心-是aA亦+知AC-aA店， AC-224-9-45 12十444· 15分 2 解得入=号以=写， 16分 所以所以品-号 17分 【高一数学参考答案第4页（共4页）】 24598A