第21章：一元二次方程 讲义 2023-2024学年人教版九年级数学上册

专题21.01 一元二次方程 【知识点1 一元二次方程的概念】 只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程，叫做一元二次方程. 【题型1 判断一元二次方程的个数】 【例1】下列方程中，一元二次方程共有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x24；④x2﹣3x＝4；⑤x23＝0． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】下列方程中，一元二次方程共有（　　）个．①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2+bx+c＝0； ③3x﹣5＝0；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2+y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x24＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】下面关于x的方程中：①ax2+bx+c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1；③x25＝0；④x2+5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0．是一元二次方程个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2 利用一元二次方程的概念求字母的值】 【例2】已知（m﹣1）x|m+1|+2mx+4＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是　 　． 【变式2-1】若关于x的方程（a﹣1）7x+3＝0是一元二次方程，则a＝　 　． 【变式2-2】已知关于x的方程为一元二次方程，则a的取值范围是　 　 【变式2-3】关于x的方程（m2﹣4）x2+（m﹣2）x﹣2＝0，当m满足　 　时，方程为一元二次方程，当m满足　 　时，方程为一元一次方程． 【知识点2 一元二次方程的一般形式】 任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式+bx+c=0（a，b，c是常数，a≠0）． 这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中 叫做二次项， 叫做二次项系数； 叫做一次项； 叫做常数项． 【题型3 一元二次方程的一般形式】 【例3】方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是　 　；其中二次项系数是　 　． 【变式3-1】将一元二次方程x（x﹣2）＝5化为二次项系数为“1”的一般形式是　 　，其中二次项系数是　 　，一次项系数是　 　，常数项是　 　． 【变式3-2】若关于x的一元二次方程（a）x2﹣（4a2﹣1）x+1＝0的一次项系数为0，则a的值为　 　． 【变式3-3】阅读理解：定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是　 　． （2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 【知识点3 一元二次方程的解】 能使一元二次方程左右两边 的未知数的值是一元二次方程的解． 一元二次方程的解也称为一元二次方程的 ． 【题型4 利用一元二次方程的解求字母的值】 【例4】关于x的方程3x2﹣2（3m﹣1）x+2m＝15有一个根为﹣2，则m的值等于（　　） A．2 B． C．﹣2 D． 【变式4-1】若是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，c的值是（　　） A．2 B． C．﹣1 D．1 【变式4-2】若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．± 【变式4-3】若t是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设P＝1﹣ac，Q＝（at+1）2，则P与Q的大小关系正确的是（　　） A．P＜Q B．P＝Q C．P＞Q D．不确定 【题型5 利用一元二次方程的解求代数式的值】 【例5】已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则代数式1+6m﹣2m2的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3 【变式5-1】若a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则代数式2a的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．5 【变式5-2】若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（　　） A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣2019 【变式5-3】已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，则的值为（　　） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 【题型6 赋值法求一元二次方程的定根】 【例6】若a﹣b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．无法确定 【变式6-1】关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2020＝0满足a+b＝2020，则方程必有一根为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定 【变式6-2】若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【变式6-3】若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足3a﹣bc＝0，则方程必有一根为　 　． 【题型7 根据面积问题列一元二次方程】 【例7】计划在一个长为32m，宽为20m的矩形场地ABCD（如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行、另一条与AD平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为95m2，求道路的宽度、若设道路的宽度为xm，则x满足的方程为（　　） A．（32﹣x）（20﹣x）＝95 B．（32﹣2x）（20﹣x）＝95 C．（32﹣x）（20﹣x）＝95×6 D．（32﹣2x）（20﹣x）＝95×6 【变式7-1】在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（　　） A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468 C．30×20﹣2•30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝468 【变式7-2】如图，在一块长方形草地上修建两条互相垂直且宽度相同的平行四边形通道，其中∠KHB＝60°，已知AB＝20米，BC＝30米，四块草地总面积为503m2，设GH为x米，则可列方程为（　　） A．（20﹣x）（30﹣x）＝503 B． C．20x+30x﹣x2＝97 D． 【变式7-3】如图，将边长为12的正方形纸片，沿两边各剪去一个一边长为x的长方形，剩余的部分面积为64，则根据题意可列出方程为　 　．（方程化为一般式） 【题型8 根据实际问题列一元二次方程】 【例8】某市大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造，2019年投入10亿元，若每年的增长率相同，预计2021年投资14.4亿元，设年平均增长率为x，则由题意可列方程　 　． 【变式8-1】2021年元旦，某班同学之间为了相互鼓励，每两人之间进行一次击掌，共击掌595次．设全班有x名同学，则可列方程为　 　． 【变式8-2】某快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月份、三月份每月投递的件数逐月增加，第一季度总投递件数为33.1万件，问：二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程（　　） A．10（1+x）2＝33.1 B．10（1+x）+10（1+x）2＝33.1 C．10+10（1+x）2＝33.1 D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.1 【变式8-3】《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（　　） A．102+（x﹣1）2＝x2 B．（x+1）2＝x2+102 C．x2＝（x﹣1）2+12 D．（x+1）2＝x2+12 【对应练习】 时间：45分钟；满分：100分 1．给出下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②（x﹣9）2＝1；③4x2+2x﹣1＝0；④x+3；其中一元二次方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．关于x的方程（a+1）x|a|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，则（　　） A．a≠±1 B．a＝﹣1 C．a＝1 D．a＝±1 3．把一元二次方程y2+2（y﹣1）＝3y化成一般形式，正确的是（　　） A．y2﹣y﹣2＝0 B．y2+5y﹣2＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2﹣2y﹣1＝0 4．将关于x的一元二次方程（2x+1）2﹣（x）（x）＝0化为一般形式后，其二次项系数为（　　） A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4 5．已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a的值应在（　　） A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间 6．若x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设M＝2﹣ac，N＝（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定 7．2020年是脱贫攻坚决胜之年，为落实“一户一策”精准帮扶方案，某地区2018年投入15亿元用于当地扶贫产业，之后投入的资金逐年增长，到2020年底三年累计投入54.6亿元，假设投入资金的年平均增长率为x，则下列根据题意所列方程正确的是（　　） A．15（1+x）＝54.6 B．15（1+x）2＝54.6 C．15+15（1+x）2＝54.6 D．15+15（1+x）+15（1+x）2＝54.6 8．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（　　） A．32×20﹣32x﹣20x＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540 C．32x+20x＝540 D．（32﹣x）（20﹣x）＝540 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 9．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为　 　． 10．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣2x+a2﹣9＝0的常数项是0，则a＝　 　． 11．若a是方程2x2+x﹣2＝0的根，则代数式2021﹣a2a的值是　 　． 12．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为　 　． 13．小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1、b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小1，则原方程的根为　 　． 14．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？设衬衫的单价降了x元，则可列方程为　 　． 三．解答题（共6小题，满分44分） 15．向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题： （1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程； （2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程． 16． 将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义ad﹣bc．上述记法就叫做二阶行列式．那么22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式． 17． 已知x＝0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+mx+4m2﹣4＝0的一个根，求直线y＝mx﹣2经过哪些象限． 18． 先化简再求值：已知a是方程x2+2x﹣7＝0的解，求代数式（a+3）的值． 19．数学课上，李老师布置的作业是图中小黑板所示的内容，丽丽同学看错了第②题※中的数，求得①的一个解x＝2，想想同学由于看错了第①题■中的数，求得②的一个解x＝3． 请写出老师布置的作业①　 　；②　 　． 20．若a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，求代数式a2﹣2021a的值． 专题21.02 直接开平方法 【题型1 直接开平方法解一元二次方程的条件】 【例1】若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0 【变式1-1】若方程（x﹣1）2＝m+1有解，则m的取值范围是（　　） A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 C．m为任意实数 D．m＞0 【变式1-2】若（4x﹣3）2＝m+3无实数解，则m的取值范围是　 　． 【变式1-3】已知关于x的方程（x﹣1）2＝4m﹣1有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程有一个根为2，求方程的另外一个根． 【题型2 解形如的方程】 【例2】解方程：①x2＝9； ②4x2﹣25＝0． ③4x2﹣13＝12 【变式2-1】解方程：①1﹣8x+16x2＝2﹣8x ②x2﹣1＝1﹣ax2（a≠﹣1）． 【题型3 解形如的方程】 【例3】解方程：4（2x﹣1）2﹣36＝0． 【变式3-1】解方程：①（y+2）2﹣6＝0 ②（y+2）2＝（3y﹣1）2． ③4x2+12x+9＝81． 【题型4 已知方程的根求字母的值】 【例4】如果x＝2是方程x2﹣c＝0的一个根，这个方程的另一个根为　 　． 【变式4-1】若关于x的方程（ax﹣1）2﹣16＝0的一个根为2，则a的值为　 　． 【变式4-2】若关于x的一元二次方程a（x﹣m）2＝3的两根为±，其中a、m为两数，则a＝　 　，m＝　　． 【变式4-3】若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则　 　． 【题型5 已知方程的解求另一个方程的解】 【例5】方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是（　　） A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝﹣4，x2＝﹣1 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝x2＝﹣2 【变式5-1】若关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（﹣x﹣m+1）2+b＝0的解是（　　） A．x1＝1，x2＝﹣2 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝3，x2＝0 【变式5-2】关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2（a、b、m为常数，a≠0），则方程a（2x+m+1）2+b＝0的解是　 　． 【变式5-3】关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1＝3和x2＝7，则方程b＝0的解是　 　． 【题型6 直接开平方法解新定义问题】 【例6】一种运算：对于函数y＝xn，规定y'＝nxn﹣1．例如：若函数y＝x4，则有y'＝4x3．已知函数y＝x3，那么方程y′＝18的解是（　　） A．x1，x2 B．x1＝6，x2＝﹣6 C．x1＝3，x2＝﹣3 D．x1＝3，x2＝﹣3 【变式6-1】实数p，q用符号min（p，q）表示p，q，两数中较小的数，如min（1，2）＝1，若min（x2﹣1，x2）＝1，则x＝　 　． 【变式6-2】定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+3b；当a＜b时，a*b＝a﹣3b，例如：3*（﹣4）＝3+（﹣12）＝﹣9，（﹣6）*12＝﹣6﹣36＝﹣42． （1）x2*（x2﹣2）＝30，则x＝　 　； （2）小明在计算（﹣3x2+6x﹣5）（﹣x2+2x+3）随取了一个x的值进行计算，得到的结果是40，小华说小明计算错了，请你说明小华是如何判断的． 【变式6-3】在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x（x+8）＝4 解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4→（x+4）2﹣42＝4→（x+4）2＝20 直接开平方，得x1＝﹣4+2，x2＝﹣4﹣2．我们称这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程： 解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40→（x+a）2﹣b2＝40→（x+a）2＝40+b2 直接开平方，得x1＝c，x2＝d． 上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是　 　，　 　，　 　，　 　． （2） 请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4． 专题21.03 配方法 【题型1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】 【例1】用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1 【变式1-1】把x2﹣3x+1＝0的左边配方后，方程可化为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】解方程：①x2﹣5x+1＝0（配方法）． ②x2+2＝2x． 【题型2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】 【例2】用配方法解方程2x2＝7x﹣3，方程可变形为（　　） A．（x）2 B．（x）2 C．（x）2 D． 【变式2-1】用配方法解下列方程时，配方有错误的是（　　） A．2m2+m﹣1＝0化为 B．x2﹣6x+4＝0化为（x﹣3）2＝5 C．2t2﹣3t﹣2＝0化为 D．3y2﹣4y+1＝0化为 【变式2-2】解方程：3x2+1＝2x． 【变式2-3】已知y18x﹣1，y2＝6x+2，当x取何值时y1＝y2． 【题型3 利用一元二次方程的配方求字母的值】 【例3】一元二次方程x2﹣8x+c＝0配方，得（x﹣m）2＝11，则c和m的值分别是（　　） A．c＝5，m＝4 B．c＝10，m＝6 C．c＝﹣5，m＝﹣4 D．c＝3，m＝8 【变式3-1】已知方程x2﹣6x+q＝0配方后是（x﹣p）2＝7，那么方程x2+6x+q＝0配方后是（　　） A．（x﹣p）2＝5 B．（x+p）2＝5 C．（x﹣p）2＝9 D．（x+p）2＝7 【变式3-2】如果x2﹣8x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝6的形式，那么x2+8x+m＝0可以配方成（　　） A．（x﹣n+5）2＝1 B．（x+n）2＝1 C．（x﹣n+5）2＝11 D．（x+n）2＝6 【变式3-3】若一元二次方程x2+bx+5＝0配方后为（x﹣4）2＝k，则k的值为　 　． 【题型4 利用一元二次方程的配方法解新定义问题】 【例4】设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2+b2+ab，则方程（x+2）△x＝1的实数根是（　　） A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣2 【变式4-1】定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b＝a2+b2，a★b，则方程3☆x＝x★12的解为　 　． 【变式4-2】将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若8x，则x＝　 　． 【变式4-3】阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法，减法，乘法运算与整式的加法，减法，乘法运算类似． 例如：解方程x2＝﹣1， 解得：x1＝i，x2＝﹣i． 同样我们也可以化简2i； 读完这段文字，请你解答以下问题： （1）填空：i3＝　 　，i4＝　 　，i6＝　 　，i2020＝　 　； （2）在复数范围内解方程：（x﹣1）2＝﹣1． （3）在复数范围内解方程：x2﹣4x+8＝0． 【题型5 配方法的应用】 【例5】我们知道“a2≥0”，其中a表示任何有理数，也可表示任意代数式．有时我们通过将某些代数式配成完全平方式进行恒等变形来解决符号判断、大小比较等问题，简称“配方法”．例如：x2+2x+2＝x2+2x+1+1＝（x+1）2+1． ∵（x+1）2≥0， ∴（x+1）2+1≥1． 即：x2+2x+2≥1． 试利用“配方法”解决以下问题： （1）填空：x2﹣2x+4＝（A）2+B，则代数式A＝　 　，常数B＝　 　； （2）已知a2+b2＝6a﹣4b﹣13，求ab的值； （3）已知代数式M＝4x﹣5，N＝2x2﹣1，试比较M，N的大小． 【变式5-1】阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0， ∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0， ∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0， ∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知△ABC的三边长a，b，c，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求c的取值范围； （2）已知P＝2x2+4y+13，Q＝x2﹣y2+6x﹣1，比较P，Q的大小． 【变式5-2】阅读下列材料： 利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式， 例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2•x•4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1． 根据以上材料，解答下列问题： （1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小关系， ∵x2﹣2x+3＝（x﹣　 　）2+　 　； 所以x2﹣2x+3　 　0（填“＞”、“＜”、“＝”）； （2）将多项式x2+6x﹣9变形为（x+m）2+n的形式，并求出多项式的最小值； （3）求证：x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数． 【变式5-3】教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）； 例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣6m﹣7． （2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+20有最小值，并求出这个最小值； （3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+28有最小值，并求出这个最小值． 【题型6 一元二次方程的几何解法】 【例6】《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（　　） A．6 B．33 C．32 D．3 【变式6-1】公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的名著《代数学》中用图解一元二次方程．他把一元二次方程x2+2x﹣35＝0写成x2+2x＝35的形式，并将方程左边的x2+2x看作是由一个正方形（边长为x）和两个同样的矩形（一边长为x，另一边长为1）构成的矩尺形，它的面积为35，如图所示，于是只要在这个图形上添加一个小正方形，即可得到一个完整的大正方形，这个大正方形的面积可以表示为：x2+2x+　 　＝35+　 　，整理，得（x+1）2＝36．因为x表示边长，所以x＝　 　． 【变式6-2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE． （1）求∠DCE的度数． （2）设BC＝a，AC＝b． ①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由． ②若D为AE的中点，求的值． 【课后练习】 1、一元二次方程 配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 2、①_________；②_________；③_________． 3、用配方法解方程：①； ②． 4、关于的方程，下列说法正确的是（ ） A．有两个解 B．当，有两个解 C．当，有两个解 D．当时，方程无实数根 5、用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A． B． C． D． 6、若是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 7、把方程x2﹣10x﹣5＝0变形为（x+h）2＝k的形式可以是（　　） A．（x﹣5） 2＝30 B．（x﹣5） 2＝5 C．（x+5） 2＝5 D．（x+5） 2＝30 8、一元二次方程y2﹣y0配方后可化为________． 9、求代数式的最小值为_________． 10、已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为方程x2﹣6x+9＝0的根，则该等腰三角形的周长为 _____． 11、当______，_______时，多项式有最小值，这个最小值是_____． 12、已知，则的值等于______． 13、配方法解方程：① x2＋4x﹣3＝0； ②； ③ 14、先化简，再求值：，其中x2＋2x﹣8＝0 15、已知：整式，整式，整式． （1）求A+B的值； （2）分解因式：A+B； （3）若，求x的值． 16、我们知道，，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如，探究多项式的最小值时，我们可以这样处理： 解：原式 因为，所以，即 所以的最小值是，即的最小值是． 请根据上面的探究思路，解答下列问题： （1）多项式的最小值是_________； （2）求多项式的最小值（写过程）． 专题21.04 公式法 【题型1 用公式法解一元二次方程】 【例1】用公式法解方程：①x2﹣5x﹣1＝0． ②3x2﹣x﹣1＝0． 【变式1-1】解方程：①（公式法）． ②3x2﹣4x+2＝0（用公式法解）． 【题型2 求根公式的应用】 【例2】若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b（　　） A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m 【变式2-1】关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1，x2，下列判断一定正确的是（　　） A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝﹣1 D．1 【变式2-2】已知a是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根中较小的根， （1） 求a2﹣4a+2013的值； （2）化简求值：． 【变式2-3】先阅读下列材料，然后回答问题： 在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，若各项的系数之和为零，即a+b+c＝0，则有一根为1，另一根为． 证明：设方程的两根为x1，x2，由a+b+c＝0，知b＝﹣（a+c）， ∵x ∴x1＝1，x2． （1）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的各项系数满足a﹣b+c＝0，则两根的情况怎样，试说明你的结论； （2）已知方程（ac﹣bc）x2+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）有两个相等的实数根，运用上述结论证明：． 【题型3 应用根的判别式判断方程根的情况】 【例3】下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1 C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0 【变式3-1】关于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【变式3-2】函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【变式3-3】已知a，b，c是△ABC的边长，则一元二次方程（a+b）x2+2cx+a+b＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【题型4 已知方程根的情况求字母系数的值或范围】 【例4】关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k且k≠1 B．k且k≠1 C．k D．k 【变式4-1】关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A．a且a≠﹣2 B．a C．a且a≠﹣2 D．a 【变式4-2】若关于x的方程x2x+n＝0有两个相等的实根，则　 　． 【变式4-3】关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值都等于n，则n＝　 　． 【题型5 根的判别式的综合应用】 【例5】关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围． 【变式5-1】已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0 （1）求证：无论k取何值，方程都有实根； （2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值； （3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）． 【变式5-2】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根； （2）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根． （3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【变式5-3】已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根． （1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根． （2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC周长． 【题型6 根的判别式中新定义问题】 【例6】定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【变式6-1】对于实数a、b，定义运算“★”：a★b，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（　　） A．t B．t C．t D．t 【变式6-2】对于实数m、n，定义一种运算：m△n＝mn+n． （1）求﹣2△得值； （2）如果关于x的方程x△（a△x）有两个相等的实数根，求实数a的值． 【变式6-3】如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是全等的Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AEc，这时我们把关于x的形如ax2cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0必有实数根； （2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC的面积． 【课后练习】 1、用求根公式法解方程的解是（ ） A． B． C． D． 2、一元二次方程的解为________． 3、公式法解方程：①4x2﹣16＝0； ②（x﹣2）3＝18． ③． ④． 4、如图，与均是等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，，，，则__________． 5、用配方法解一般形式的一元二次方程，移项，得：， 二次项系数化为1，得：，配方，得：，即， 因为，所以，式子的值有以下三种情况： （1）当，方程有两个不等的实数根_______________； （2）当，方程有两个不等的实数根_________； （3）当，方程有无实数根； 6、一元二次方程根的情况是________． 7、已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 8、若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（ ） A．6 B．12 C．12或 D．6或 9、关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A．且 B． C． D． 10、若关于x的不等式组有且只有五个整数解，且关于y的方程有两个实数根，则符合条件的所有整数a的和为（ ） A．25 B．13 C．22 D．17 11、若关于x的一元二次方程mx2﹣3x＝﹣1有实数根，则m的取值范围是________． 12、方程（a2﹣1）x2﹣2（5a＋1）x＋24＝0有两个不等负整数根，则整数a的值是_____． 13、方程的解是_____________． 14、对于实数m，n，定义运算m⊗n＝mn2﹣n．若2⊗a＝1⊗（﹣2）则a＝___________． 15、已知关于的不等式组无解，且关于y的一元二次方程有两个实数根，则整数的值可以是______ 16、已知关于x的一元二次方程． （1）讨论此方程根的情况； （2）若方程有两个整数根，求正整数k的值． 17、已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）等腰三角形ABC中，AB=3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值． 专题21.05 因式分解法 【题型1 因式分解法概念的应用】 【例1】如果二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，则方程x2+px+q＝0的两个根为（　　） A．x1＝﹣3，x2＝1 B．x1＝﹣3；x2＝﹣1 C．x1＝3；x2＝﹣1 D．x1＝3；x2＝1 【变式1-1】若x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，则多项式2x2﹣4px+6q可以分解为（　　） A．（x+3）（x﹣5） B．（x﹣3）（x+5） C．2（x+3）（x﹣5） D．2（x﹣3）（x+5） 【变式1-2】若方程x2﹣（m+n）x+mn＝0（m≠0）的根是x1＝x2＝m，则下列结论正确的是（　　） A．n＝0且n是该方程的根 B．n＝m且n是该方程的根 C．n＝m但n不是该方程的根 D．n＝0但n不是该方程的根 【变式1-3】我们知道可以用公式x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）来分解因式解一元二次方程． 如：x2+6x+8＝0，方程分解为：　 　＝0， x2﹣7x﹣30＝0，方程分解为：　 　＝0 爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：3x2﹣7x+2＝0 解：方程分解为：（x﹣2）（3x﹣1）＝0 从而可以快速求出方程的解．你利用此方法尝试解下列方程4x2﹣8x﹣5＝0 【题型2 用提公因式法解一元二次方程】 【例2】用分解因式解方程：①x（5x+4）﹣（4+5x）＝0． ②（x+1）2＝2x+2； 【变式2-2】①2y2+4y＝y+2 ②2（x﹣3）2＝x2﹣9． 【题型3 用乘法公式解一元二次方程】 【例3】解用分解因式解方程：①4x2﹣（x﹣1）2＝0． ②（x+3）2＝（1﹣2x）2． 【变式3-1】①（2x﹣1）2＝x2+6x+9． ②（x+2）2﹣4（x﹣3）2＝0． 【题型4 用十字相乘法解一元二次方程】 【例4】解用分解因式解方程：①x2﹣10x+16＝0； ②2x2+1＝3x 【变式4-1】①（2y﹣1）2＝3（1﹣2y）+4． ②x20 【题型5 因式分解法解一元二次方程的应用】 【例5】已知方程x2﹣7x+10＝0的两个根是等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．9 B．12 C．12或9 D．不能确定 【变式5-1】已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣3x＝4（x﹣3）的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．2.5 【变式5-2】如图，已知A，B，C是数轴上异于原点O的三个点，且点O为AB的中点，点B为AC的中点．若点B对应的数是x，点C对应的数是x2﹣3x，则x＝　 　． 【变式5-3】菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的面积为　 　． 【题型6 新定义问题】 【例6】定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，（x﹣3）（x﹣6）＝0的实数根是3或6，x2﹣3x+2＝0的实数根是1或2，3：6＝1：2，则一元二次方程（x﹣3）（x﹣6）＝0与x2﹣3x+2＝0为相似方程．下列各组方程不是相似方程的是（　　） A．x2﹣16＝0与x2＝25 B．（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0 C．x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0 D．（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0 【变式6-1】对于实数m，n，先定义一种新运算“⊗”如下：m⊗n， 若x⊗（﹣2）＝10，则实数x等于（　　） A．3 B．﹣4 C．8 D．3或8 【变式6-2】对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝　 　． 【变式6-3】定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{3，1}＝3，max{﹣3，2}＝2，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是　 　． 【课后练习】 1、方程x2＝3x的解为（ ） A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝3 2、已知方程的解是，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 3、若，则的值是（ ） A．3 B．-1 C．3或1 D．3或-1 4、 解方程：① ② ③ 5、已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值等于______________． 6、若方程x2-6x+8=0的两个根是等腰三角形的底边和腰长，则三角形的周长为（ ） A．6 B．8 C．10 D．8或10 7、一元二次方程的根是（ ） A． B． C． D． 8、方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（    ） A．12 B．15 C．12或15 D．17或11 9、方程的两个根为（ ） A． B． C． D． 10、若，则（ ） A． B． C． D．或 11、对于实数m，n，先定义一种新运算“⊗”如下：m⊗n＝，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x等于（ ） A．3 B．﹣4 C．8 D．3或8 12、关于x的一元二次方程的一个根是0，则的值是（ ） A．−3或1 B．1 C．−3 D． 13、方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（ ） A． B． C． D． 14、若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 15、已知，那么的值是（ ） A．3 B．-4 C．3或-4 D．-3或4 16、已知，且，则的值是__________． 17、菱形的两条对角线长为方程的一个根，则菱形的周长为______． 18、若a满足，则__________． 19、如图，在中，，，垂足为D，，垂足为E，F是边AC的中点，连接DF。若，，则BE的长为_____． 20、已知关于的一元二次方程有一个根是零，则=______． 21、已知，则的值为__________． 22、设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为__________． 专题21.06 解一元二次方程练习 【题型1 用指定方法解一元二次方程】 【例1】用指定方法解方程： ①（2x﹣3）2﹣121＝0．（直接开平方法） ②x2﹣4x﹣7＝0．（配方法） ③x2﹣5x+1＝0．（公式法） ④3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．（因式分解法） ⑤x2﹣6x﹣7＝0（配方法） ⑥2x﹣6＝（x﹣3）2（因式分解法） ⑦3x2﹣4x+1＝0（公式法） ⑧5（x+1）2＝10（直接开平方法） 【变式1-1】用指定方法解下列一元二次方程． ①x2﹣36＝0 （直接开平方法） ②x2﹣4x＝2（配方法） ③2x2﹣5x+1＝0（公式法） ④（x+1）2+8（x+1）+16＝0（因式分解法） ⑤2x2+3x＝1（配方法） ⑥2x2+5x﹣3＝0（公式法） ⑦2y2﹣4y＝0（因式分解法） ⑧x2﹣5x﹣14＝0（因式分解法） 【题型2 选择适当方法解一元二次方程】 【例2】用适当的方法解下列一元二次方程： ①2（2x+1）2﹣18＝0； ②（x﹣5）＝（x﹣5）2； ③x2﹣5x﹣24＝0； ④（x+1）（x+8）＝﹣12． ⑤（x﹣1）2＝9． ⑥x2﹣4x﹣7＝0． ⑦x2+4x﹣5＝0． ⑧3x（x﹣2）＝2（x﹣2）． 【变式2-1】用适当的方法解下列方程： ①2（x﹣1）2＝18； ②x2﹣2x＝2x+1； ③（3y﹣1）（y+1）＝4； ④x（2x+3）＝2x+3． ⑤25y2﹣16＝0； ⑥y2+2y﹣99＝0； ⑦3x2+2x﹣3＝0． ⑧（2x+1）2＝3（2x+1）； 【题型3 用换元法解一元二次方程】 【例3】解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0时，我们将x2﹣1作为一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣3y＝0．解得y1＝0，y2＝3．当y＝0时，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1．当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2．所以，原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 模仿材料中解方程的方法，求方程（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3＝0的解． 【变式3-1】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为x1＝2，x2＝5．请利用这种方法求下列方程： （1） （2x+5）2﹣（2x+5）﹣2＝0； （2）32x﹣4×3x+3＝0． 【变式3-2】阅读材料并回答下面的问题： 为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1看成为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣5y+4＝0①，解得：y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2，∴x＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±∴原方程的根为：x1，x2，x3，x1． 在由原方程得到方程①的解题过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想， 请利用以上方法解方程： ①x4﹣x2﹣6＝0； ②（x2+3）2﹣9（x2+3）+20＝0． 【变式3-3】阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值 解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，∴t＝±9 因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x，y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值． （2）若四个连续正整数的积为11880，求这四个连续正整数． 【题型4 含绝对值的一元二次方程的解法】 【例4】阅读下面的例题：解方程：x2﹣|x|﹣2＝0． 解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍）． （2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0， ①解得：　 　． ②综上，原方程的根是　 　． ③请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，则此方程的根是　 　． 【变式4-1】阅读下面的例题：解方程m2﹣|m|﹣2＝0的过程如下： （1）当m≥0时，原方程化为m2﹣m﹣2＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1（舍去）． （2）当m＜0时，原方程可化为m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1（舍去）． 原方程的解：m1＝2，m2＝﹣2． 请参照例题解方程：m2﹣|m﹣1|﹣1＝0． 【变式4-2】阅读理解下列材料，然后回答问题： 解方程：x2﹣3|x|+2＝0． 解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣3x+2＝0，解得：x1＝2，x2＝1； （2）当x＜0时，原方程化为x2+3x+2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2； ∴原方程的根是x1＝2，x2＝1，x3＝﹣1，x4＝﹣2． 请观察上述方程的求解过程，试解方程x2﹣2|x﹣1|﹣1＝0． 【变式4-3】阅读下面例题的解题过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程． 例：解方程：x2﹣|x|﹣2＝0 解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0．解得：x1＝2，x2＝﹣1 ∵x≥0，故x＝﹣1舍去，∴x＝2是原方程的解； 当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0．解得：x1＝﹣2，x2＝1 ∵x＜0，故x＝1舍去，∴x＝﹣2是原方程的解； 综上所述，原方程的解为x1＝2，x1＝﹣2． 解方程x2+2|x+2|﹣4＝0． 专题21.07 一元二次方程的根与系数的关系 【题型1 利用根与系数的关系求代数式的值】 【例1】若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）＝______________。 【变式1-1】设x1，x2是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，则的值为______________。 【变式1-2】一元二次方程x2+4x+1＝0的两个根是x1，x2，则的值为___________。（其中x2＞x1） 【变式1-3】已知a、b是方程2x2+5x+1＝0的两实数根，则式子的值为______________。 【题型2 利用根与系数的关系求系数字母的值】 【例2】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值______________。 【变式2-1】一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两根为x1，x2，且x12﹣x1+x2＝3x1x2，则m＝______________。 【变式2-2】已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，则k的值是______________。 【变式2-3】x2+（2m+1）x+m2﹣2m0的两个实数根为α和β，若|α|+|β|＝4，求m的值______________。 【题型3 利用根与系数的关系及代根法综合求值】 【例3】如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（　　） A．7 B．6 C．﹣2 D．0 【变式3-1】一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2+1的值为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式3-2】已知α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，则α4+3β的值是（　　） A．4 B．4 C．5 D．5 【变式3-3】设x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x13+4x22+x1﹣1的值为______________。 【题型4 构造一元二次方程求代数式的值】 【例4】m≠n，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝_____________。 【变式4-1】实数x，y分别满足99x2+2021x＝﹣1，y2+2021y＝﹣99，且xy≠1。则____________。 【变式4-2】已知a2﹣2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，且ab≠1，则的值为______________。 【变式4-3】已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则3β的值为______________。 【题型5 根与系数的关系与三角形综合】 【例5】已知关于x的方程x2﹣8x﹣k2+4k+12＝0． （1）求证：无论k取何值，这个方程总有两个实数根； （2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值。 【变式5-1】关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根． （2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？ （3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值。 【变式5-2】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0． （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根。 （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2； ①求代数式4x1x2的最大值； ②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长。 【变式5-3】已知关于x的方程，其中m、n是等腰三角形的腰和底边长． （1）说明这个方程有两个不相等的实数根。 （2）若方程的两实数根的差的绝对值是8，且等腰三角形的面积是16，求m，n的值。 【题型6 根与系数关系中的新定义问题】 【例6】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有　 　．（填序号） ①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程； ②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是关于2的等距方程； ③若方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）； ④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程。 【变式6-1】x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”。根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”： ①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣2x+1＝0； （2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式。 【变式6-2】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2ac＝0；我们记“K＝b2ac”，即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题： （1）以下为倍根方程的是　 　；（写出序号） ①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x+8＝0； （2）若关于的x方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值； （3）若A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，且关于x的一元二次方程x2n＝0是倍根方程，求此倍根方程。 【变式6-3】阅读理解： 材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”． 材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有，． 问题解决： （1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数　 　； （2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组” 【课后练习】 1、方程2x2+3x-1=0的两根之和为（　　） A． B． C． D． 2、如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是（　　） A．﹣3，2 B．3，﹣2 C．2，﹣3 D．2，3 3、已知、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A．1 B． C． D． 4、若x1、x2是方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A．2020 B．2019 C．2029 D．2028 5、已知关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若x1•x2＝1，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D． 6、若ab≠1，且有，及，则的值是（ ）． A． B． C． D． 7、设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为（　　） A．2020 B．﹣2021 C．﹣2019 D．2022 8、已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，，且，则k的值是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 9、一元二次方程的两根为、，则的值为（ ）． A．3 B．6 C．18 D．24 10、x的一元二次方程x2﹣（4﹣m）x+m＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＝5，则x1x2=（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．0 11、设，是一元二次方程的两个根，则________． 12、已知实数a、b满足a2＝2﹣2a，b2＝2﹣2b，则＝_____． 13、一元二次方程的两根为，若，则______，________． 14、若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个实数根，则x1+x2+x1x2＝________． 15、若方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝________． 16、已知x1，x2是关于的一元二次方程的两根，且，则k = ______________． 17、若m、n是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根，求代数式：m2+n2﹣2m﹣2n+2020的值． 18、已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）设此方程的两个根分别为，若，求的值． 18、（1）解方程：2（x2﹣x）＝x2． （2）已知方程x2+x+k+1＝0有一个根是2，求另一个根． 19、已知x1、x2是关于x的方程的两个不相等的实数根． （1）求t的取值范围； （2）设，求s关于t的函数关系式． 专题21.08 实际问题与一元二次方程 【题型1 面积问题】 【例1】如图，在一块长为16m，宽为10m的矩形空地中，修建2条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为135m2，求道路的宽度。 【变式1-1】为创建“绿色校园”，某学校准备将校园内一块长34m，宽20m的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草如图所示，要使种植花草的面积为608m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形） 【变式1-2】在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长25m的墙AB建造面积为450m2的长方形区域来养一些家禽，该单位给贫困户提供65m长的篱笆（全部用于建造长方形区域），并提供如图所示的两种方案： （1）如图1，若选取墙AB的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成，则在墙AB上借用的CF的长度为多少？ （2）如图2，若将墙AB全部借用，并在墙AB的延长线上拓展BF，构成长方形ADEF，BF，FE，ED和DA都由篱笆构成，求BF的长。 【变式1-3】某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米． （1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝　 　米． （2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长． （3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由． 【题型2 平均变化率问题】 【例2】某农机厂四月份生产零件40万个，第二季度共生产零件162万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．40（1+x）2＝162 B．40+40（1+x）+40（1+x）2＝162 C．40（1+2x）＝162 D．40+40（1+x）+40（1+2x）＝162 【变式2-1】根据疫情需要，某防疫物资制造厂原来每件产品的成本是100元，为提高的生产效率改进了生产技术，连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元，则平均每次降低成本的百分率是　 　． 【变式2-2】习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市为响应该市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆288人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，该市图书馆每月接纳能力不能超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该市图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 【变式2-3】某小型工厂9月份生产的A、B两种产品数量分别为200件和100件，A、B两种产品出厂单价之比为2：1，由于订单的增加，工厂提高了A、B两种产品的生产数量和出厂单价，10月份A产品生产数量的增长率和A产品出厂单价的增长率相等，B产品生产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半，B产品出厂单价的增长率是A产品出厂单价的增长率的2倍。设B产品生产数量的增长率为x（x＞0）． （1）用含有x的代数式填表（不需化简）： 9月份生产数量 生产数量的增长率 10月份生产数量 产品A 200 　 　 　 　 产品B 100 x 　 　 （2） 若9月份两种产品出厂单价的和为90元，10月份该工厂的总收入增加了4.4x，求x的值。 【题型3 销售利润问题】 【例3】某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品．经调查发现，每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件．根据规定：纪念品售价不能超过批发价的2.5倍． （1）当每个纪念品定价为3.6元时，商店每天能卖出　 　件； （2）如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？ 【变式3-1】某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克，在销售中发现，当这种水果的价格定为7元/千克时，每天可以卖出160千克，在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克．该水果店每天就会少卖出20千克，设这种水果的单价为x元（x＞7）， （1）请用含x的代数式表示：每千克水果的利润　 　元及每天的销售量　 　千克． （2）若该水果店一天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客．单价应定为多少元？ 【变式3-2】某天猫店销售某种规格学生软式排球，成本为每个30元．以往销售大数据分析表明：当每只售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价上涨m元，每月能售出　 　个排球（用m的代数式表示）． （2）为迎接“双十一”，该天猫店在10月底备货1300个该规格的排球，并决定整个11月份进行降价促销，问售价定为多少元时，能使11月份这种规格排球获利恰好为8400元． 【变式3-3】每年的3月15日是“国际消费者权益日”，许多家居商城都会利用这个契机进行打折促销活动．甲卖家的某款沙发每套成本为5000元，在标价8000元的基础上打9折销售． （1）现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于20%？ （2）据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为．乙卖家也销售相同的沙发，其成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出8套，现乙卖家先将标价提高m%，再大幅降价40m元，使得这款沙发在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了m%，这样一天的利润达到了50000元，求m的值． 【题型4 传播问题】 【例4】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91．设每个支干长出x个分支，则可列方程为（　　） A． x2+x+1＝91 B．（x+1）2＝91 C．x2+x＝91 D．x2+1＝91 【变式4-1】某种细胞分裂，一个细胞经过两轮分裂后，共有a个细胞，设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为（　　） A． n2＝a B．（1+n）2＝a C．1+n+n2＝a D．n+n2＝a 【变式4-2】“泱泱华夏，浩浩千秋．于以求之？旸谷之东．山其何辉，韫卞和之美玉…”这是武汉16岁女孩陈天羽用文言文写70周年阅兵的观后感．小汀州同学把这篇气势磅礴、文采飞扬的文章放到自己的微博上，并决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将文章发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为　 　． 【变式4-3】2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求： （1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？ （2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 【题型5 循环问题】 【例5】某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）． （1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行　 　场比赛； （2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 【变式5-1】毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为多少？ 【变式5-2】象棋比赛中，每个选手与其他选手将比赛一场，每局胜者记2分，败者记0分，如果平局，每人各记1分，今有4位同学统计了比赛中全部选手得分的总和分别为2025，2070，2080，2085分，经核实，其中只有一位同学是正确的，试求这次比赛中共有多少名选手参加？ 【变式5-3】参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？ 设共有x家公司参加商品交易会． （Ⅰ）用含x的代数式表示： 每家公司与其他　 　家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了　 　份合同； （Ⅱ）列出方程并完成本题解答． 【题型6 数字问题】 【例6】小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（　　） A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2 C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2 【变式6-1】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位数字为a，则可列方程为（　　） A．a2+（a﹣4）2＝10（a﹣4）+a﹣4 B．a2+（a+4）2＝10a+a﹣4﹣4 C．a2+（a+4）2＝10（a+4）+a﹣4 D．a2+（a﹣4）2＝10a+（a﹣4）﹣4 【变式6-2】如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个正方形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为192，那么根据题意可列方程为（　　） A．x（x+3）＝192 B．x（x+16）＝192 C．（x﹣8）（x+8）＝192 D．x（x﹣16）＝192 【变式6-3】如图是一张月历表，在此月历表上可以用一个矩形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，则这4个数中最小的数是　 　． 【课后练习】 1、商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（ ） A．50元 B．60元 C．70元 D．50元或70元 2、某商场品牌手机经过5，6月份连续两次降价每部售价由5000元降到3600元．且第一次降价的百分率是第二次的2倍，设第二次降价的百分率为，根据题意可列方程（ ） A． B． C． D． 3、某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利40元．在每件降价幅度不超过15元的情况下，若每件降价1元，则每天可以多售5件．为了实现每天1440元的销售利润，每件应降价多少元？设每件应降价x元，则可列方程为_____________． 4、端年节吃粽子是中国古老的传统习俗，某粽子批发店卖出每个粽子的利润为2元，根据员工情况，每天最多能做1100个，由市场调查得知，若每个粽子的单价降低x元，则粽子每天的销售量y（个）关于x（元）的函数关系式为y＝800x+400． （1）若每个粽子降价0.2元，则该店每天的销售量为　 　个，每天的总利润为　 　元． （2）当每个粽子的单价降低多少元时，该店每天的总利润刚好是1200元？ 5、某商场销售一批鞋子，平均每天可售出20双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双． （1）若每双鞋子降价5元，商场平均每天可售出多少双鞋子？ （2）若商场每天要盈利1600元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？ 6、某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量（桶）与每桶降价（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？ 7、返校复学之际，育才学校为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设学校共买了瓶免洗抑菌洗手液． （1）当时，每瓶洗手液的价格是______元；当时，每瓶洗手液的价格是______元；当时，每瓶洗衣手液的价格为______元（用含的式子表示）； （2）若学校一次性购买洗手液共花费1250元，问一共购买了多少瓶洗手液？ 8、某网店销售一款羽绒服，每件售价900元，每天可卖2件．为迎接“双11”抢购活动，该网店决定降价销售，市场调查反映：售价每降低50元，每天可多卖1件．已知该款羽绒服每件进价400元，设该款羽绒服每件售价x元，每天的销售量为y件． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求网店每天盈利1600元，且销售量最大时，该款羽绒服的售价． 专题21.09 一元二次方程的应用综合 【题型1 与一元二次方程有关的三角形动点问题】 【例1】如图，在△ABC内，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当其中一个动点到达终点时，另一动点也随之停止运动，当如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？ 【变式1-1】如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）． （1）当t＝4时，求△APQ的面积． （2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半． 【变式1-2】如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm． （1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． （2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？ 【变式1-3】已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于cm？ （3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由． 【题型2 与一元二次方程有关的四边形动点问题】 【例2】如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为　 　s． 【变式2-1】如图，在边长为6cm正方形ABCD中，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC和CD边向D点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了　 　秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2． 【变式2-2】如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动 （1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？ （2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？ 【变式2-3】如图，菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝8cm BD＝6cm，动点M从A点出发沿AC方向以2cm/s匀速直线运动到C点，动点N从B点出发沿BD方向以1cm/s匀速直线运动到D点，若M，N同时出发，设运动时间为t秒： （1）当t＝1秒时，M，N两点之间的距离是多少？ （2）当2＜t＜3时，用含t的代数式表示OM的长； 设W＝MN2，求W关于t的函数关系式； （3）当t为何值时，△MON的面积为cm2． 【题型3 一元二次方程与一次函数的综合】 【例3】北京国家体育场“鸟巢”的模型深受游客喜爱． 图中折线（AB∥CD∥x轴）反映了某种规格“鸟巢”模型的单价y（元）与购买数量x（个）之间的函数关系． （1）求当10≤x≤20时，y与x的函数关系式； （2）已知某旅游团购买该种规格的“鸟巢”模型的总金额为2625元，问该旅游团共购买这种模型多少个？（总金额＝数量×单价） 【变式3-1】为积极响应新旧功能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量为550台；每台售价为40万元时，年销售量为500台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系． （1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ 【变式3-2】某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“如果购买不超过40台学习机，则每台售价800元，如果超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元”该学习机的进货价与进货数量关系如图所示： （1）当x＞40时，用含x的代数式表示每台学习机的售价； （2）当该商店一次性购进并销售学习机60台，每台学习机可以获利多少元； （3）若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台． 【变式3-3】某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示． ①求y与x之间的函数关系式； ②若某段时间内该商品的销售单价为70元，则销售利润为多少元？（利润＝（销售单价﹣进价）×销售量） ③要使销售利润达到800元，则销售单价应定为每千克多少元？ ④在一段时间内，销售利润能达到1000元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，说明理由． 【题型4 与一元二次方程有关的阅读探究问题】 【例4】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形． 如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形． 任务：当矩形的长为8，宽为1时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，请求出“减半”矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由． 【变式4-1】阅读探究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格） （1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的： 设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组 ，消去y化简得：2x2﹣7x+6＝0， ∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0，∴x1＝　 ，x2＝　 　， ∴满足要求的矩形B存在． （2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B． （3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？ 【变式4-2】阅读下面材料：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公式S＝nad来计算等差数列的和．（公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，） 例如：3+5+7+9+11+13+15+17+19+21＝10×32＝120． 用上面的知识解决下列问题． （1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116． （2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，如表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木． 2009年 2010年 2011年 2012年 植树后坡荒地的实际面积（公顷） 25200 24000 22400 20400 【变式4-3】实验与探究：三角点阵前n行的点数计算． 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？ 如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24＝300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]＝[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1] 把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n＝n（n+1）这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是 n（n+1）． 下列用一元二次方程解决上述问题 设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有n（n+1）＝300整理这个方程，得：n2+n﹣600＝0解方程得：n1＝24，n2＝﹣25，根据问题中未知数的意义确定n＝24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 专题21.10 一元二次方程的应用专项训练 考试时间：60分钟；满分：100分 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1、一个研究小组有若干人，互送研究成果，若全组共送研究成果72个，这个小组共有（　　）人． A．8 B．9 C．10 D．72 2、如图是某公司去年8～12月份生产成本统计图，设9～11月每个月生产成本的下降率都为x，根据图中信息，得到x所满足的方程是（　　） A．30（1﹣x）2＝15 B．15（1+x）2＝30 C．30（1﹣2x）4＝15 D．15（1+2x）2＝30 第2题图 第3题图 3、如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地．设原正方形空地的边长为xm，则下面所列方程正确的是（　　） A．（x﹣3）（x﹣2）＝20 B．（x+3）（x+2）＝20 C．x2﹣3x﹣2x＝20 D．x2﹣3×2＝20 4、目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，根据题意可列方程是（　　） A．2（1+x）3＝8.72 B．2（1+x）2＝8.72 C．2（1+x）+2（1+x）2＝8.72 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.72 5、一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上数字比十位上数字大2，则这个两位数是（　　） A．24 B．35 C．42 D．53 6、某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元．每件衬衣应降价（　　）元． A．10 B．15 C．20 D．25 7、某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 8、日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律．小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数e是（　　） A．17 B．18 C．19 D．20 第8题图 第9题图 第10题图 9、欧几里得的《原本》记载，方程x2+ax＝b2的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝BC．则该方程的一个正根是（　　） A．AC的长 B．CD的长 C．AD的长 D．BC的长 10、《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+10x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（　　） A．6 B． C．2 D．55 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11、近期，某商店某商品原价为每件800元，连续两次降价a%后售价为648元，则a的值是　 　． 12、在研究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半”时，小明发现：当已知矩形A的长和宽分别为6和1时，存在一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，那么矩形B的长为　 　． 13、一个小区用篱笆围成一个直角三角形花坛，花坛的斜边利用足够长的墙，两条直角边所用的篱笆之和恰好为21米，围成的花坛如图所示，其中∠ACB＝90°，若所修的直角三角形花坛面积是54平方米，则直角三角形的斜边AB长为　 　米． 14、如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为　 　s． 第14题图 第15题图 15、如图是某年某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，这9个数的和为　 　． 16、《九章算术》中有一题：“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是　 　． 三、解答题（共6小题，满分52分） 17、某种肺炎病毒在M国爆发，经世卫组织研究发现：病毒有极强的传染性．在调查某工厂的疫情时，发现最初只有1位出差回来的病毒携带者，在召开工厂车间组长会议时发生了第一轮传染，开完会后所有人都回到各自车间工作又发生了第二轮传染，这时全厂一共有196人检测出携带病毒．假如每个病毒携带者每次传染人数都相同，求每个病毒携带者每次传染多少人？ 18、 有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果，已知A、B两区初始显示的分别是25和﹣16．如图． 如：第一次按键后，A，B两区分别显示． （1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果； （2）从初始状态按4次后，得A，B两区代数式的和为1，求a的值． 19、某商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的零售单价分别为　 　元和　 　元．（直接写出答案） （2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1200件．经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元？ 20、如图1，某小区的平面图是一个占地长500米，宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的19%，南北空地等宽，东西空地等宽． （1）求该小区四周的空地的宽度； （2）如图2，该小区在东、西、南三块空地上做如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路，小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米，绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度． 21、如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿B→C→D方向向点D运动，动点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B方向向点B运动，若P、Q两点同时出发运动时间为ts． （1）连接PD、PQ、DQ，求当t为何值时，△PQD的面积为7cm2？ （2）当点P在BC上运动时，是否存在这样的t使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 22、全面奔小康，关键在农村，经济林是振兴农村经济，实现小康目标的重要途径．在读农林经济学的大学生林可利用知识优势，鼓励家人大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，主打种植大樱桃和小樱桃，今年风调雨顺，大樱桃和小樱桃双双增产． （1）林可家今年大樱桃和小樱桃共2400千克，其中大樱桃的产量不超过小樱桃产量的5倍，求今年林可家收获小樱桃至少多少千克？ （2）林可家把今年收获的两种樱桃的一部分运往市场销售，已知他家去年大樱桃的市场销售量为1000千克，销售均价为30元/千克，今年大樱桃的市场销售量比去年减少了m%（m≠0），销售均价与去年相同，他家去年小樱桃的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年小樱桃的市场销售量比去年增加了2m%，销售均价也比去年提高了2m%，结果林可家今年运往市场销售的这两种樱桃的销售总金额与他家去年销售这两种樱桃的市场销售总金额相同，求m的值。 专题21.11 一元二次方程章末重难点突破 【考点1 一元二次方程的概念】 【例1】关于x的方程（m2﹣16）x2+（m+4）x+2m+3＝0，当m　　时，是一元一次方程；当m　 　时，是一元二次方程。 【变式1-1】已知关于x的方程（m+1）8x+2＝0是一元二次方程，则m＝　 　。 【变式1-2】关于x的方程（k2﹣6k+12）x2＝3﹣（k2﹣9）x是一元二次方程的条件是k　 　。 【变式1-3】若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为 　 　。 【考点2 一元二次方程的解】 【例2】已知a是方程x2+x﹣2021＝0的一个根，则的值为（　　） A．2020 B．2021 C． D． 【变式2-1】设方程x2+x﹣1＝0的一个正实数根为a，2a3+a2﹣3a的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3 【变式2-2】若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为　　． 【变式2-3】已知x2﹣4x+1＝0，则的值为 　 　． 【考点3 解一元二次方程】 【例3】解方程：①2（x+1）20； ②（x+1）（x﹣3）＝﹣2； ③x（x+3）＝5（x+3）； ④（2x+1）2﹣3（2x+1）﹣28＝0． 【变式3-1】解方程：①（x+1）（x﹣1）； ②（2x﹣1）2+3（2x﹣1）+2＝0； ③x2x﹣6＝0； ④4（x﹣2）2﹣（3x﹣1）2＝0． 【变式3-2】解下列方程①x2+12x+27＝0（配方法）； ②x（5x+4）＝5x+4； ③（3x+2）（x+3）＝x+14； ④（x+1）2﹣3（x+1）+2＝0． 【变式3-3】解方程：①x2+（）x0（因式分解法） ②5x2+2x﹣1＝0（公式法） ③y2+6y+2＝0（配方法） ④9（x﹣2）2＝121（x+1）2（直接开平方法） ⑤1（换元法） ⑥（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0（适当方法） 【考点4 根的判别式综合】 【例4】已知关于x的一元二次方程x2﹣xm＝0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y＝4b2﹣4b﹣3m+3，则（　　） A．y＞﹣1 B．y≥﹣1 C．y≤1 D．y＜1 【变式4-1】关于x的一元二次方程ax2+2ax+b+1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k（　　） A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1 C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1 【变式4-2】已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0． （1）求证：当m＞0时，方程一定有两个不相等的实数根； （2）已知x＝n是它的一个实数根，若mn2﹣4n+m＝3+m2，求m的值． 【变式4-3】已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【考点5 根与系数的关系综合】 【例5】已知α、β为方程x2+4x+2＝0的二实根，则α3+14β+2069＝　 　． 【变式5-1】若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则的值为　 　． 【变式5-2】已知一元二次方程两个根为a，b，求下列各式的值． （1）； （2）． 【变式5-3】已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2+1＝0． （1）若方程有两实数根，求m的范围； （2）设方程两实根为x1，x2，且|x1|+|x2|＝x1x2，求m． 【考点6 一元二次方程中的新定义问题】 【例6】定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（ac≠0，a≠c）称为一对“友好方程”．如2x2﹣7x+3＝0的“友好方程”是3x2﹣7x+2＝0． （1）写出一元二次方程x2+2x﹣8＝0的“友好方程”　 　． （2）已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣4，它的“友好方程”的两根x3、x4＝　 ．根据以上结论，猜想ax2+bx+c＝0的两根x1、x2与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根x3、x4之间存在的一种特殊关系为　 　，证明你的结论． （3）已知关于x的方程2020x2+bx﹣1＝0的两根是x1＝﹣1，x2．请利用（2）中的结论，写出关于x的方程（x﹣1）2﹣bx+b＝2020的两根为　 　． 【变式6-1】定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）若方程为x2﹣2x＝0．写出该方程的衍生点M的坐标． （2）若关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标； （3）是否存在b、c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx﹣2（k﹣2）的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，说明理由． 【变式6-2】若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则有：x1+x2，x1•x2，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． （1）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两不相等的根分别为x1，x2，且满足：|x1+x2|＝x1x2，求k的值； （2）若α，β是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，记S1＝α+β，S2＝α2+β2，…，Sn＝αn+βn， ①计算S1，S2； ②当n为不小于3的整数时，证明：Sn﹣2+Sn﹣1＝Sn； ③求（）7+（）7的值． 【变式6-3】（1）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0的两实根，且（x1+1）•（x2+1）＝8，求k的值． （2）已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，设s1＝α+β，，…，．根据根的定义，有α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，将两式相加，得（α2+β2）﹣（α+β）﹣2＝0，于是，得s2﹣s1﹣2＝0．根据以上信息，解答下列问题： ①利用配方法求α，β的值，并利用一元二次方程根与系数的关系直接写出s1，s2的值． ②猜想：当n≥3时，sn，sn﹣1，sn﹣2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性． （注：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0若有两根x1，x2，则有；） 【考点7 一元二次方程的实际应用】 【例7】由于医疗物资极度匮乏，许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情．某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题： （1）每天增长的百分率是多少？ （2）经调查发现，一条生产线最大产能是900万个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30万个/天． ①现该厂要保证每天生产口罩3900万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ ②是否能通过增加生产线，使得该厂每天生产口罩9000万个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 【变式7-1】小伟利用网络平台帮助家乡销售特产“留香瓜”．已知小伟的家乡每年大约出产“留香瓜”600吨，利用网络平台进行销售前，人们主要依靠在本地自产自销和水果商贩上门收购，本地自产自销的价格为10元/千克，水果商贩上门收购的价格为8元/千克；利用网络平台进行销售后，因受网上销售火爆的影响，网上每销售100吨“留香瓜”，水果商贩的收购价将提高1元/千克．设网上销售价格为20元/千克，本地自产自销的价格仍然为10元/千克． （1）利用网络平台进行销售前，小伟的家乡每年本地自产自销的总收入不超过卖给水果商贩收入的，求每年至少有多少吨“留香瓜”卖给了水果商贩？ （2）利用网络平台进行销售后，小伟的家乡每年销售“留香瓜”的总收入大约为920万元，其中本地自产自销“留香瓜”的销量按（1）问中的最大值计算，求每年在电商平台上销售了多少吨“留香瓜”？ 【变式7-2】为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”． （1）求出m的值； （2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人． ①分别求出他们三人号召的成功率； ②求出n的值． 【变式7-3】全球疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题： （1）求每天增长的百分率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天． ①现该厂要保证每天生产口罩6500万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ ②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 【考点8 一元二次方程与几何综合】 【例8】如图，在一块矩形ABCD的草坪上有两条部分重叠的平行四边形（▱AEFH、▱BFHG）小路，小路进出口的宽AE、BG、FH均为2m，小路的边EF、GH与AB所成的夹角均为60°，小路的面积是整个矩形面积的，设AB长为xm． （1）EF与GH的交点记为P，△PHF的面积为　 　m2． （2）用含x的代数式分别表示线段BE、BC的长（直接写出答案，不必说明理由）； （3）求x的值． 【变式8-1】如图1，将一块矩形的空地ABCD修建成一个花圃，其中AB＝12米，BC＝20米．设计方案为：该花圃由一条宽度相等的环形小道（图2中阴影）和花卉种植区域（图2中矩形EFGH）组成． （1）若环形小道面积是花圃面积的，求小道的宽度． （2）若花卉种植区域分割成如图3的形状，点I，J，K分别在边EH，EF，FG上，L为花圃内一点，四边形HIJL和四边形GLJK均为平行四边形．已知KG的长是小道宽度的2倍，且四边形HIJL与四边形GLJK的面积之和是花圃面积的，求小道的宽度． 【变式8-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动（P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）． （1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？ （2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由． 【变式8-3】已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为4，点B在A点的左边，且AB＝12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒． （1）写出数轴上点B表示的数为　 　，P所表示的数为　 　（用含t的代数式表示）； （2）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？ （3）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，分别以BQ和AP为边，在数轴上方作正方形BQCD和正方形APEF如图2所示．求当t为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形APEF面积的一半？请直接写出结论：t＝　 　秒vv 专题21.12 一元二次方程章末测试卷 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1、下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（　　） A．（a﹣1）x2﹣2x＝0 B．x21 C．x2﹣4＝2y D．﹣2x2+3＝0 2、把方程x2+2（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣x﹣2＝0 B．x2+5x﹣2＝0 C．x2﹣x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0 3、用配方法将方程x2﹣6x＝1转化为（x+a）2＝b的形式，则a，b的值分别为（　　） A．a＝3，b＝1 B．a＝﹣3，b＝1 C．a＝3，b＝10 D．a＝﹣3，b＝10 4、已知关于x的方程x2﹣3x+m＝0的一个根是2．则此方程的另一个根为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5、若关于x的方程kx2+（k+2）x0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≤﹣1 6、关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣m﹣2＝0实数根的情况最确切的是（　　） A．有实数根 B．无实根 C．有两个相等实根 D．有两个不相等的实根 7、某厂一月份生产某大型机器20台，计划二、三月份共生产90台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　） A．20（1+x）2＝90 B．20（1﹣x）2＝90 C．20（1+x）+20（1+x）2＝90 D．20+20（1+x）+20（1+x）2＝90 8、某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 9、在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 10、定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）“满足a+b+c＝0”，那我们称这个方程为“蜻蜓”方程，已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，下列结论正确的是（　　） A．a＝c≠b B．a＝b≠c C．b＝c≠a D．a＝b＝c 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11、若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0是一元二次方程，则m＝　 　． 12、已知某个一元二次方程的两根分别是1和﹣2，则这个方程可以是（一般形式） 　 　． 13、若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式2022﹣3a2﹣3a的值是 　 　． 14、已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根，则该等腰三角形的周长为 　 　． 15、关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是　 　． 16、如图，将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即为剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．若长方形纸板边长分别为40cm和30cm，且折成的长方体盒子表面积是888cm2，则剪掉的小正方形的边长为　 　cm． 三、解答题（共7小题，满分52分） 17、用指定方法解下列方程 ①2x2+5x﹣2＝0（用配方法）； ②9x2﹣（x﹣1）2＝0（用因式分解法）． 18、关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为1，求m的值． 19、已知关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2+1＝0两根为x1，x2． （1）已知x1﹣x2＝0，求a的值； （2）化简：|2﹣a|． 20、阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，将原方程化为y2﹣3y＝0，①解得y1＝0，y2＝3． 当y＝0时，x2﹣1＝0，x2＝1，∴x＝±1 当y＝3时，x2﹣1＝3，x2＝4，∴x＝±2 ∴原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2 解答问题： （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　 　法达到了降次的目的，体现了　 　的数学思想； （2）利用上述材料中的方法解方程：（x2+x）2﹣（x2+x）﹣2＝0． 21、设△ABC的三边长为a，b，c，其中a，b是方程x2﹣（c+2）x+2（c+1）＝0的两个实数根． （1）判断△ABC是否为直角三角形？是说明理由． （2）若△ABC是等腰三角形，求a，b，c的值． 22、在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11﹣3×17＝48，13×15﹣7×21＝48．不难发现，结果都是48。 （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数； （3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 23、科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径．当前居民接种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏，某工厂及时引进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器．开工第一天生产200万个，第三天生产288万个．试回答下列问题： （1）求前三天生产量的日平均增长率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/天． ①现该厂要保证每天生产一次性注射2600万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ ②是否能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$