陕西省宝鸡南山高级中学2023=2024学年高二下学期期中考试数学试题

宝鸡南山中学2022级2023~2024学年高二第二学期期中考试 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答；字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5,本卷主要考查内容：必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第 三册。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.《中国好声音》报名即将开始，选手们可通过拨打热线电话或登陆官网两种方式之一来报名. 现有甲、乙、丙三人均要报名参加，则不同的报名方法有 A.4种 B.6种 C.8种 D.9种 2.已知复数满足x+2乏=3十4i(i是虚数单位)，则= A.1-4i B.6-4i C.6-2i D.3-21 3.某市2018年至2022年新能源汽车年销量y(单位：千台)与年份代号x的数据如下表： 年份 2019 2020 2021 2022 年份代号x 1 2 3 4 年销量y 15 20 m 35 若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线方程为y=7x十7.5，则表中 m的值为 A.25 B.28 C.30 D.32 4.C是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形 和20个正六边形组成.如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多 边形的边长为1，A,B,C为正多边形的顶点，则AB.AC A.1 B.2 C.3 D.4 【高二数学第1页（共4页）】 24598B 5.已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有两个红球，一个绿球和一 个黄球；绿色口袋内装有两个红球，一个黄球：黄色口袋内装有三个红球，两个绿球（球的大小 质地相同).若第一次先从红色口袋内随机抽取1个球，然后将取出的球放入与球同颜色的口 袋内，第二次从该口袋内任取一个球，则第二次取到黄球的概率为 A B C器 D是 6.著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球 放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切 (该球也被称为圆柱的内切球)，那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定 值为 A司 c D号 7.已知函数f(x)=x-2x+3在(-∞，-1)上单调递减的概率为号，且随机变量~N(,1D, 则P(1≤≤2)= (附：若X~V(4,a2),则P(4-o≤X≤4+a)=0.6827,P(4-2a≤X≤4+2a)=0.9545, P(H-3a≤X≤μ+3g)=0.9973) A.0.1359 B.0.01587 C.0.0214 D.0.01341 8.已知点A为直线3.x+4y-5=0上一动点，点P(m十2,1-n),B(2,0),且满足m2十n=2n一 4m一4，则2AP十|BP的最小值为 A号 B号 C.v65 5 n号 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取 一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下1尺，第二天截取剩下的一半后剩 下a2尺，·，第五天截取剩下的一半后剩下a5尺，则下列说法正确的是 Aa=日 B.4=1 a24 C.a-a=16 31 D,a,十ae+a+a:十ag=32 10.下列命题中正确的是 A.已知一组数据6,6,7,8,10,12，则这组数据的50%分位数是7.5 B.随机变量X~N(2,g2),且P(X>3)=0.3,则P(1<X<2)=0.2 C.若随机变量Y~B10,）则EY)=号 D.在回归方程y=一2x十3中，y与x具有负线性相关关系 11.某商场举办一项抽奖活动，规则如下：每人将一枚质地均匀的骰子连续投掷3次，记第i次 正面朝上的点数为a:(i=1,2,3),若“a1<a2<a:”,则算作中奖，现甲、乙、丙、丁四人参加抽 奖活动，记中奖人数为X,下列说法正确的是 A.若甲第1次投掷正面朝上的点数为3，则甲中奖的可能情况有4种 B.若甲第3次投掷正面朝上的点数为5，则甲中奖的可能情况有6种 C.甲中奖的概率为p一54 .5 D.E(X)=27 0 【高二数学第2页（共4页）】 24598B 12.已知函数f(.x)= ela-l,x∈(-oo,0) n1十x,x∈[0，+∞)，则下列说法正确的是 A.方程f(f(x)=恰有3个不同的实数解 B.函数f(x)有两个极值点 C.若关于x的方程f(x)=m恰有1个解，则m>1 D.若∫(x1)=f(x2)=f(xg),且x1<x2<xg,则(1十x3)(x1十x2)存在最大值 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.(+22)广”展开式中的常数项为 14.随着杭州亚运会的举办，吉祥物“踪踪”、“莲莲”、“宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员 要与“踪踪”、“莲莲”、“宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物相邻的排队方法数为 .(用数字作答) 15在20件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为，已知P(=1D一.且该产 品的次品率不超过30%，则这20件产品的次品率为 16.已知A,B两个不透明的盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，A盒中有m (0<8)个红球与8一m个白球，B盒中有8一m个红球与m个白球，若从A,B两盒中各取 1个球，：表示所取的2个球中红球的个数，则D()的最大值为 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 17.(本小题满分10分) 已知数列{a,}满是：a,=一名a,= 2,数列(a+1一a}是以4为公差的等差数列. (1)求数列{a.}的通项公式： (2)记数列(1) 的前n项和为S,求S22s的值. 18.(本小题满分12分) 生态环境部等五部门发布关于实施汽车国六排放标准有关事宜的公告，其中提到，自2023 年7月1日起，全国范围全面实施国六排放标准6b阶段，禁止生产、进口、销售不符合国六 排放标准6b阶段的汽车.为调查市民对此公告的了解情况，对某市市民进行抽样调查， 了解 不了解 合计 男性 140 60 200 女性 180 20 200 合计 320 80 400 (1)根据以上数据，依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为对此公告的了解情况与 性别有关？并说明原因： (2)以样本的频率为概率.在全市随机抽取5名市民进行采访，求这5名中恰有3名为“了 解”的概率. 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 n (ad-bc)2 参考公式：X=a+bc+0a0b+,其中n=a+b+c+d. 【高二数学 第3页（共4页）】 24598B 19.(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形. (1)若直线1是平面PAB和平面PCD的交线，证明：AB∥l: (2)若四棱锥P-ABCD的体积为3，二面角P-AB-C和二面角P AD-B都是云，求直线AP与平面PBC所成角的正弦值. 20.(本小题满分12分) 2021年底某购物网站为了解会员对售后服务（包括退货、换货、维修等）的满意度，从2021 年下半年的会员中随机调查了25个会员，得到会员对售后服务的满意度评分如下： 9588758290949865921008590957787 70899390848283977391 根据会员满意度评分，将会员的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于75分 75分到94分 不低于95分 满意度等级 不满意 比较满意 非常满意 (1)根据这25个会员的评分，估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率； (2)以(1)中的频率作为概率，假设每个会员的评价结果相互独立. ()若从下半年的所有会员中随机选取2个会员，求恰好一个评分比较满意，另一个评分 非常满意的概率： ()若从下半年的所有会员中随机选取3个会员，记评分非常满意的会员的个数为X,求 X的分布列，数学期望E(X)及方差D(X). 21.(本小题满分12分) 已知双曲线C:无一1(@>0,6>0，其焦点到渐近线的距离为3，双曲线C的离心率为 右焦点为F,O为坐标原点. (1)求双曲线C的方程： (2)若经过右焦点F的直线1交双曲线C的右支于A,B两点，点V满足FO-ON=BO-OA, 求直线OV的斜率的取值范围. 22.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=alnr+1二，a∈R. (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程： (2)当x>0时，证明：eln(x+1)+ex一cosx≥0. 【高二数学第4页（共4页）】 24598B宝鸡南山中学2022级2023~2024学年高二第二学期期中考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.C每人选择的方式有2种，总共有2×2×2=8种，故选C. 2.A设g=a+bi(a,b∈R),所以g+2=a+bi+2(a-bi)=3a-bi=3+4i,所以a=1,b=-4,所以g=1- 4i.故选A. 3.C由已知r=号，回归直线方程为y-7+7.5过样本点中心（，y,y=7X号+7.5=25，即 15+20+m+35=25,m=30.故选C 4 4.B取AC的中点M,则AC⊥BM,所以AB.AC=|AC1·A7=2,故选B. 5,D记第一次抽到红绿，黄球的事件分别为A,A,A,则P(A)=号，P(A)=P(A)=,记第二次在 红、绿、黄色口袋内抽到黄球的事件分别为B,B,B,而A,A2,A:两两互斥，其和为2，所以P(BA,) ,PAA)=子，P(BA)=行，记第二次轴到黄球的事件为B,则P(B)=含P(AB,)=宫[P(A)· P(B1A)]=×+×+×言-故选D 6.D设圆柱的母线长为，内切球的半径为r,如图所示， 0 则其轴截面如图所示， 则1=2r, 所以圆柱的内切球体积为=专x,圆柱体积为V:=动=r1=产×2，=2， 4 所以圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为长=一一·放选D 2 7.C根据题意x)在(-∞，-1)上单调递减，可得≥-1，故P(≥-1)=号“N(u,1),=-1, P1≤≤2)=P(-1<r≤2)-P(-1≤1)=号×[P(-4≤≤2)-P(-3≤≤1)]=号×0.9973 0.9545)=0.0214.故选C. 8.D,m2+n2=2n-4m-4,.(m+2)2+(n-1)2=1,设P点坐标为(x,y),x=m十2，y=1-1,可得x2+y =1.P点轨迹是以(0,0)点为圆心，1为半径的圆，令|BP=2|MP1,Mx,0),P(x,y),令|BP=2|MP|: 【高二数学参考答案第1页（共5页）】 24598B V-2)+了=2V-)+了，又：2+y=1,解得=号M(2,0）21AP+1BP=2AP1+ 2MP|,当A,P,M三点共线时，2AP|+21MP最小为21AM,即点M到直线3x+4y-5=0的距离的2倍， 2 .故选D. √3+4 9.ACD 根据题意可得a,=(号)广(aEN)a=日，故A正确：号==言，故B错误：a=令a,=6,则 a: a-a4= 6,故C正确：a,十ae十a十a:+ag -) 1一2 ,故D正确，故选ACD, 32 10.ABD对于A选项，6X50%=3,第3个和第4个数的平均数为2生8=7.5，放A正确： 对于B选项，P(1<X<2)=P(2<X<3)=0.5-P(X>3)=0.5-0.3=0.2,故B正确： 对于C选项，Y~B(10,),则EY)=np=10X)=5,放C错误： 对于D选项，一2<0，可得y与x具有负线性相关关系，可知D正确.故选ABD. 11.BCD由题意知，当a1=3时，中奖情况有。A=3种，故A错误： 当a=5时，中奖情况有之A=6种，故B正确： 中奖情况如下：当a=3时，共有1种；当G=4时，共有号A=3种：当a=6时，共有号A=10种“记 “a1<ag<a,”的事件为A,则中奖的可能情况共有1+3+6+10=20种，所有可能情况有CCC=216种， PA=品-景故C正确： 四人参加抽奖，每人中奖的概率均为品，中奖人数X~B(,品)，所以E(X)=4×员-品，放D正确，故 选BCD. r≤-1， 12.AD由已知f(x) -x,-1<x<0, ln(1+x),x≥0， 由方程(x)=专得/(x)=-号或f(x)=-2或f(x)=-1 由图可知(x)=一号无解.f(x)=-2无解，(x)-E-1有3个解，故A正确： 由图可知，x=0和x=一1不是函数f(x)的极值点，故B错误： 若方程数f(x)=m恰有1个零点，即函数y=f(x)与y=m的图象仅有一个交点，可得m>1或m=0,故 C错误； 由f()=f()=f(x)=1(1(01)(x<<),则m=-7,=-1+4=,则 1 1+x)(+)=-e(+）,设g)=-e(+)则g)=-e(+)-e(（1-是) _e(t++t-1) 设h(1)=十t+1-1,显然h(t)在(0,1)上单调递增，且h(0)<0,h(1)>0, 所以存在o∈(0,1)，使h(16)=0,且当1∈(0，)时，g'(t)>0,g(t)单调递增， 当1∈(t,1)时，g'(t)<0,g(1)单调递减，所以g(t)存在最大值g(t),故D正确.故选AD. 【高二数学参考答案第2页（共5页）】 24598B 13.7T1=C·(2)）广=C·",令8-4r=0,得r=2,所以常数项为7 14.144先将甲、乙、丙3位运动员排序，然后将“踪踪”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入3位运动员形成的空 位中，所以不同的排队方法种数为A×C×A=144(种). 15,10%设20件产品中有件次品，则P(g=1D-CC=002-解得=2或=18因为次品 C 190 率不超过30%，所以=2，所以次品率为品=10%。 16.号专的可能取值为0,12， P(=0)=0.8-m=n(8-m) 8 8 64 P(1)=8。m.8二m+m.=(8-m)+-m2-8m+32 8 8 88 64 32 P(-2)=8g”,g=m8m。 64 所以的分布列为 0 1 2 P m(8-m) m2-8m十32 m(8-m) 64 32 64 E()=0×m(8-m2+1×m-8m+32+2×m(8-m2=1. 64 32 64 D()=(0-1)×m(8-m+a-1)×m-8m+32+(2-1)2×m(8m2 64 32 64 -m”<动×（四十8四）=宁当且仅当0-4时：等号成立， 32 所以当D()取到最大值号时，m的值为4. 17.解：(1)根据题意可得an+1一am=(a2一a1)十4(n-1)=4n一2，… 2分 则a.=(a,-a.1)+(a1-a,-)+…+(a-a)+a,=(4n-6)+(4m-10)+…+2+(-号） 2(i-1）2号=号(2nD(2月-3)月………………………5分 (2):1 2 ,(21-1)(2n-3)2n-32m-…7分 1 1 =+++=-+片++= 11 4046 ……10分 a az 0203 4045 18.解：(1)零假设为H。:对此公告的了解情况与性别相互独立，即对此公告的了解情况与性别无关， 由题意，x-400×140×20-180×60) 320×80×200×200 =25>10.828=T@.01.…3分 所以根据小概率值a=0.O01的独立性检验，我们推断H不成立. 即认为对此公告的了解情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001：…6分 (2)由样本数据可知，“了解”的概率为=专，…………9分 设这5名市民中恰有3名为了解“为事件A,则PA)=C×(告)广×（信）广-器 …12分 19.(1)证明：正方形ABCD,AB∥CD,…………………………1分 ,AB∥CD,CDC平面PCD,ABt平面PCD, .AB∥平面PCD,ABC平面PAB,直线1是平面PAB和平面PCD的交线，…2分 【高二数学参考答案第3页（共5页）】 24598B 3分 (2)解：如图，过点P作平面ABCD的垂线，垂足为H,过点H作EH⊥AB. 垂足为E,连接PE, 因为二面角P-AB-C和二面角P-AD-B都是天，可知点H在正方形 ABCD内，……………………………4分 四棱锥P-ABCD的体积为3，有号AB×PH=3PH=3,可得PH=1, …………5分 因为PH⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以PH⊥AB, 因为PH⊥AB,EH⊥AB,所以∠PEH为二面角P-AB-C的平面角， 可得∠PEH=牙，可得EH=1,同理可得点H到AD的距离为1，…7分 以A为坐标原点，向量AB,AD,与平面ABCD垂直的方向分别为x,y,x轴建立如图所示的空间直角坐标 系，A(0,0,0),B(3,0,0),D(0,3,0),C(3,3,0),P(1,1,1),………8分 可得AP=(1,1,1),BC=(0,3,0),BP=(-2,1,1),… …9分 设平面PBC的法向量为m=(x,y,x) BC.m=3y=0, 取x=1,y=0,=2,可得m=(1,0,2),……11分 B.m=-2.x十y十x=0, 由AP·m=3,AP1=5,m=5,有c0s(AP,m》= 15 3X/55 所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为 0++。0++00++++00t++0t0t++0t+t50ttt0+00+0+00g00 5 12分 20.(1)解：(1)由给出的25个数据可得，非常满意的个数为5，不满意的个数为3，比较满意的个数为17， 号=0.68，毫=0.2，…2分 .可估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率分别为0.68和0.2.…3分 (2)()记“恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意”为事件A,则 P(A)=0.68X0.2X2=0272.… ……5分 (ii)X的可能取值为0,1,2,3， P(X=0)=(1一0.2)3=0.512，……6分 P(X=1)=C(1-0.2)2X0.2=0.384,……7分 P(X=2)=C明(1一0.2)X0.22=0.096,…8分 P(X=3)=0.23=0.008,…………………9分 则X的分布列为 X 0 1 2 P 0.512 0.384 0.096 0.008 由题可知XB(3,0.2),∴.E(X)=0.2×3=0.6,D(X)=3×0.2×(1-0.2)=0.48. …12分 =2 a=1, 21.解：(1)根据题意得a2十2=c2, b=5, ……3分 =V3 c=2, a2+ 六双曲线C的方程为x一 =1 …………………………4分 3 【高二数学参考答案第4页（共5页）】 24598B (2)FO-ON-BO-OA.FO+OA-BO+ON,FA=BN......................... 5分 设点V(.x,y),A(y),B(x22),x1>1, 设直线1的方程为r=m心y十2，与双曲线C的方程-学=1联立， …6分 整理得(3m2一1)y2+12my+9=0, 则3m2-1≠0,4=(12m)2-36(3m2-1)=36(m2+1)>0,整理得m≠3 ,……7分 由银与系数的关系得十为2于是十=m十为)十4 4 3n2-1 注意到十>2，于是3>2解得m<名 1 ……………8分 一4 x+2= 又点N满足F=B成，即历一2=1一'整理得 3m2-1' …9分 yh=y一y· 一12m y=3m2-1' 两式消除得m3产2代人清去m得写一适-1(>0… 10分 因此点N的轨迹是以（一4,0），(4,0)为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，…11分 其渐近线斜率为土√3， 直线ON的斜率范围为（一√3，W)。… 12分 2.1)解：当a=2时)=2nr+号，)=2n1+ =0 …2分 广(z）=2一=.广（)=2议11，心…n………3分 1 .k=(1)=1,在点(1.0)处的切线方程为y=x-1.即x一y一1=0；………4分 (2)证明：设g(x)=eln(x+1)+e-cosx,g(0)=0, g到=e[+叶]-e7+n,5分 设H)=nx+子，H()=子之=号，当E(0,1时，H()<0,H)单调递减，当：∈1，+) 时，H(x)>0,H(x)单调递增，∴.H(x)≥H(1)=ln1十1=1， 1恒成立，…… 由1nx+上≥1可知1n(x+1)+1 7万之1”…………8分 所以g'(x）≥C2-e十sinT,…9分 设h(x)=e-er+sinx,则h(0)=0,h'(x)=e+e+cosx≥2√e2·e-1=1>0,…10分 所以当x∈[0，十o∞)时，h'(x)≥0，h(x)单周递增，g'(x)≥h(.x)≥h(0)=0, 所以g(x)单调递增，g(x)≥g(0)=0, 所以eln(x十1)十e了一c0sx≥0.4 12分 【高二数学参考答案第5页（共5页）】 24598B